LTDHPTLUONGGIAC

(Không hướng dẫn-bạn tự nghiên cứu đáp án các đề thi đại học) Baøi 1 :Giaûi caùc phöông trình sau :.. Tính ba goùc cuûa  ABC.. MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC. * Vi[r]

LỜI NĨI ĐẦU: Kính thưa đồng nghiệp bạn đọc:

Tôi viết chuyên đề giải PTLG nhằm trao đổi đồng nghiệp để tham khảo Bên cạnh giúp cho em học sinh học xong chương trình THPT tự học để có thể tự ơn luyện vào trường đại học theo nguyện vọng mình.

Nếu nói chun đề PTLG phải giới thiệu tất dạng phương trình cách giải thuật tốn dạng.Tuy nhiên trình giảng dạy nghiên cứu cách cho đề đề thi đại học từ năm gần thân rút kinh nghiệm:

+Số chuyên đề học sinh phải học nhiều, vấn đề thời gian dành để ôn luyện cho chuyên đề phải tính đến.

+Dạy ôn để phù hợp với xu đề Bộ Giáo dục.

Do tài liệu tơi tích lũy từ nhiều năm, tập biên soạn ngang tầm với đề thi đại học diễn mức độ chênh lệch không đáng kể.Tài liệu viết theo nội dung say đây:

A.Ơn lý thuyết:Khơng trình bày phần lý thuyết nhằm tránh tài liệu dài. B.Sơ đồ hệ thống cách giải phương trình lượng giác đề thi đại học. (Sau giải ví dụ,bạn thử xem đối chiếu lại với sơ đồ !)

C.Ôn tập cách giải phương trình thường gặp nâng cao.Trong phần có ví dụ có lời giải hướng dẫn cách giải.Cuối mục có phần tập hồn tồn tương tự , tơi không ghi cách giải Riêng phần PTLG đẳng cấp bậc n tơi biên soạn ví dụ theo hai cách giải để bạn đọc thấy ưu điểm cách.Số tập tương tự mục nhiều so với nội dung khác.

D.Phần tập để rèn luyện chung cho chuyên đề-phần biên soạn tương ứng với mức độ đề thi đại học từ 2002-2009 Các em học sinh nghiên cứu đáp án đề thi đại học từ 2002-2009 để giải (nếu khơng giải được).(Nếu em học sinh có yêu cầu giải phần liên hệ theo email:

maunguyencong@yahoo.com hoặcsố điện thoại: 0984-003114.

E.Nội dung đề thi đại học khối từ 2003-2009 để dễ so sánh với tập ở phần D.

F.Nghiên cứu thêm gợi ý cách giải phương trình lượng giác. Tơi hy vọng rằng, đọc kỹ cách giải PTLG với sơ đồ hệ thống em học sinh tự học tốt chuyên đề này.

Chúc tất thành công mong đồng nghiệp em học sinh thông cảm cho thân tơi q trình biên soạn tài liệu khơng tránh khỏi những sai sót Chào thân ái!

A ÔN LÝ THUYẾT:

 Ơn :giá trị lượng giác góc đặc biêt, giá trị lượng giác cung góc có

liên quan đặc biêt Các công thức bản, cơng thức lượng giác…

 Ơn : Phương trình lượng giác cách giải.

B SƠ ĐỒ HỆ THỐNG CÁCH GIẢI CÁC PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC TRONG CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2002- 2009.



(ẩn phụ)

C.ÔN TẬP CÁCH GIẢI CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH THƯỜNG GẶP VÍ DỤ-CÁCH GIẢI –GIẢI HOẶC HƯỚNG DẪN VÀ BÀI TẬP.

I Phương trình bậc hai hàm số lương giác:

 Phương trình dạng : a.f2(x) + b.f(x) + c = 0 , f(x) hàm số lượng giác Và a, b, c hệ số a0

 Cách giải: + Đặ t = f(x) ( f(x) sinx cosx t 1)

+ Giải phương trình at2 + bt + c = chọn t thoả mãn điều kiện.

+ Giải phương trình f(x) = t Ví d

ụ ) Giải phương trình :

2

2cos s 3cos cos

x co x x

x

  

 (1) Ví d ụ ) Giải phương trình :

cos

sin ) cos ( cos

 

  

x

x x

x (2)

Ví d

ụ ) Giải phương trình : 3cosx 2 3(1 cosx).cot2x

   (3)

Ví d

ụ ) Giải phương trình : sin6x cos x6 2cos x2 1

   (4)

Ví d

ụ ) Tìm nghiệm khoảng 0; phương trình :

PTLG cho trước

PT cung

Còn HSLG

PTĐẠI SỐ

Cịn hàm sin cơsin

PTLG bản PTLG THƯỜNG GẶP

PT hai cung

Áp dụng:

(asinu + bcosu) PTcơ bản Sinf(x)=sing(x) Hoặc

cosf(x)=cosg(x) P.T.Tích

sin cos3 cos 2sin

x x cosx x x         

  (5)

Ví d

ụ ) Cho phương trình : cos 2x(2m1) sinx m 1 (*) a) Giải phương trình m =

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm khoảng  ; 2

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ: Ví dụ 1) +Đk x m

2

(1) 22cos22 1 3(1 cos2 3cos2

     

 x x x

                         k x k x x x x x 2 cos cos cos cos 2

Họ xk2 thỏa ĐK k = 2h  xh

Vậy (1) có họ nghiệm là: xh x k ; h,kZ

6

;  



Ví dụ 2) + ĐK : cosx1 xm2

(2) 2cos2 cos 2sin cos 2(1 sin2 ) 2sin

         

 x x x x x x

2 sin 2 sin sin sin 2        

 x x x x (loại)

                           2 4 5 2 4 4 sin 2 2 sin k x k x x

Ví dụ 3) +ĐK : xm

(3)     

x x x x 2 sin cos ) cos ( 2 cos       x x x x 2 cos cos ) cos ( 2 cos cos cos cos cos cos

3 2

       

 x x

x x x                            ) arccos( 3 cos cos k x k x x x

(Thỏa ĐK)

Ví dụ 4) +Biến đổi:

  cos sin ) cos (sin cos sin ) cos (sin ) (cos sin cos sin 2 2 2 2 3 6              x x x x x x x x x x x x

(4) cos2 3cos 4cos2

4 cos

3 2

     

  

 

   

  

  

 

2 arccos

1

1 cos

1 cos

k x

k x x

x

Ví dụ 5) *Giải PT(5):

+ĐK : sinx

     

 

   

 

 

2 12

2 12 5 2 1

m x

m x

+Ta có

) cos sin )( cos (sin

4 ) cos (sin

3 cos cos sin sin 3 cos

sin x x x x x x x x x x x x

 

 

 

 

 

) sin )( cos (sin

) cos sin )( cos

(sin     

 x x x x x x x

x x

x x x

cos sin

1 sin

3 cos sin

    

(5) 7(sinx cosx cosx) cos2x 7sinx (1 2sin2 x)

   

  

 

3 sin sin sin sin 2

 

 

  

 x x x x (loại)

   

 

 

   

 

 

2 6 5

2 6 2

1 sin

k x

k x x

*Chọn nghiệm khoảng 0; ta hai nghiệm phương trình là:

; 56

6

 



 x

x

Ví dụ 6) (*) 2sin2 (2 1)sin

   

 

 x m x m

0 sin

) ( sin 2

  



 x m x m

 1;1

; sin ; )

1 ( )

(

  

    

 f t t m t m t x t

a)Khi m=2:

2

2 )

(t  t2 t   t  t

f (loại)

   

 

 

     

 

 

2 6 5

2 6 2 1 sin 2 1

k x

k x x t

b)Tìm m để PT (*) có nghiệm khoảng  ; 2:

Vậy ta phải có :

  

 

  

  

 

       

 

    

   

 

 

 

0 1 0)1 (0 )1(). 0(

0 2 1

0)1 (;0 )0(; 0

0 1

0 1

0 1

2 1

2 1

2 1

m m f

ff S

af af

t t

t t

tt

 1;0



 m

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình :4sin 22 6sin2 3cos cos

x x x

x

  

 2) Giải phương trình : cos 2 2 2 1

1 sin

x sinx cos x

x

  

 

3) Giải phương trình : 5sinx 2 3(1 sinx).tan2x

  

4) Giải phương trình : sin8 17 22 16

x cos x  cos x

5 Tìm nghiệm khoảng 0; 2 phương trình :

cos3 sin 3 cos 2sin

x x

sinx x

x



 

  

 



 

6) Cho phương trình : cos 2x (2m1) cosx m  1 (*)

a) Giải phương trình m = 3/2

b) Tìm m để phương trình (*) có nghiệm khoảng ;3 2

 

 

 

 

II Phương trình bậc theo sin côsin cung:

Phương trình dạng : asinx + bcosx = c , với a.b  + Điều kiện phương trình có nghiệm : a2 + b2  c2.

+ Cách giải :

- Chia vế phương trình cho a2 b2

 ta :

2 2 2

cos

asinx b x c

a b  a b  a b

- Đặt 2 sin 2

a b

cos

a b a b

    

  đặt 2

sin c

a b

 

 ta có phương trình:

sin(x) sin 

Ví dụ 1: Giải phương trình : 4cos32x 3sin6x 2cos4x 3cos2x

 

Ví dụ 2: Giải phương trình : 8sinx cosx sinx

  (2) Ví dụ 3: Giải phương trình : sin2x cos2x cosx sinx0 (3) Ví dụ 4: Giải phương trình : 9sinx3cosx 3sin2xcos2x8 (4) Ví dụ 5: Giải phương trình : 2cos x3 cos 2x sinx 0

   (5) Ví dụ 6: Giải phương trình : sin3x cos x sinx cosx3

   (6) Ví dụ 7: Giải phương trình : 4

(sin x cos x ) sin 4x2 (7)

Ví d ụ : Giải phương trình : 3(sin3x cosx)cos3xsinx (8)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1) 4cos32x 3cos2x 3sin6x 2cos4x

 

 

x x x x sin6x cos4x

2 cos cos sin

cos     



x cos4x

3

cos 

       

Ví dụ 2: + ĐK : x x m  m Z

x x           2 0 2sin 0 cos 0 sin 

+ (2) 4sin2xsinx 3sinxcosx 2(cosx cos3x) 3sinxcosx

x x

x x

x cos3

3 cos cos sin cos             

Ví dụ 3: (3) (2sin cos sin ) 2cos2 cos 1

   



 x x x x x

0 ) cos )(sin cos ( ) )(cos cos ( ) cos ( sin            x x x x x x x ) sin( 2

cos    

 x x 

Ví dụ 4: (4)  9sinx 6sinxcosx3cosx2cos2x 90 ) )(cos cos ( ) cos ( sin

3     

 x x x x

0 sin cos ) sin )(cos cos (        

 x x x x x

 

cos sin sin sin

cos 10 sin 10 cos 10       

 x x x x

10 sin ; 10 cos ; cos )

cos(   

       

 x     

Ví dụ 5: (5) 2cos3 2cos2 sin 2cos2 (cos 1) (1 sin )

        

 x x x x x x

0 ) sin ( ) )(cos sin )( sin (

2      

 x x x x

  ) sin cos sin )( sin ( ) cos )( sin ( ) sin (             x x x x x x x

2(sin cos ) (sin cos )  ) sin (     

 x x x x x

Ví dụ 6: (6)  (sinxcosx)(1 sinxcosx)sinx cosx

x x

x x

x x x

x cos sin cos (sin cos ) sin cos

sin     



0 ) cos sin sin

2 ( cos ) cos (sin

cos sin cos

2

 

 

 



 x x x x x x x x x

0 ) sin cos ( cos

) sin 2

2 cos (

cos        

 x x x x x x

0 cos 

 x

Ví dụ 7: + Biến đổi : x x x x cos4x

4 ) cos ( 1 sin 1 cos

sin4

  

  

 

+ (7)

2 sin

3 cos 2 sin cos

3     

 x x x x



3 cos

4

cos    

  

 



x 3(sin3x cosx)cos3xsinx

Ví dụ 8: (8) x x x x x x x cosx

2 sin cos sin

3 cos

3 sin cos sin

3       





    

 

   

 

 

3 sin

sin x  x 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ :

1) Giải phương trình : 3sin3x 3cos9x 2cos3x 4sin33x

 



2) Giải phương trình : sin

cosx

x cosx

 

3) Giải phương trình : sin 2x 2sinx 1 4sin xcosx cos x2 2 2sin cos 2x x

    

4) Giải phương trình : sinx4cosx sin 2x2 cos 2x1

5) Giải phương trình : 2sin3x cos 2x cosx 0

  

6) Giải phương trình : sin3x cos x sinx cosx3

  

7) Giaûi phương trình : 8sin6 cos6  3sin4

 

 x x

x

8) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3x cosx

III Phương trình đẳng cấp theo sin côsin cung:

1) Phương trình đẳng cấp bậc hai theo sin côsin cung:

 Phương trình có dạng : asin2x + bsinxcosx + ccos2x + d = 0 (1)

 Cách giải 1: (Dùng cơng thức hạ bậc đưa PT bậc theo sin côsin cung)

(1)  cos sin cos

2 2

x b x

a   x c  d 

 bsin 2x(c a ) cos 2x(2d a c  )

 Cách giải 2: (Đưa PT bậc hai hàm tanx) Xét hai trường hợp :

+ Neáu x = ;

2 k k Z

 

+ Neáu x ;

2 k k Z

 

   , chia hai vế phương trình cho cos2x ta được: atan2x + btanx + c + d(1 + tan2x) = 0

 (a + d)tan2x + btanx + c + d =

Ví dụ 1: Giải phương trình cos2x - 3sin2x = + sin2x (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình 4sin2x – 3sinxcosx +  3 4 cos2x = 4 (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình : 10cos2x – 5sinxcosx + 3sin2x = (3) Ví dụ 4: Giải phương trình : cos2x + sinxcosx + 3sin2x = (4)

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC VÍ DỤ

Ví dụ 1: (1) cos2 sin2  3sin2 cos2 3sin2

 

  



 x x x x x

cos3

3 cos

1 sin

3 cos

1  

    

 

 

 

 x x x

Ví dụ 2: +Xét cosx = sin2



x nghiệm phương trình (2)

Vậy (2) có nghiệm x k

2

+Xét cosx0 Chia hai vế PT(2) cho cos2x thay x

x

2 tan

cos



 đặt ăn

phụ t = tanx :

Ta có : t  t   t  t  x   x k

6

tan tan

3 )

1 ( 4 3

4 2

Vậy PT (2) có hai họ nghiệm : x k

2 ; x6k ; kZ



Ví dụ 3: (3) (1 cos2 )

2 sin ) cos (

5     

 x x x

7 sin cos

7  

 x x

Ví dụ 4: +Xét cosx = sin2



x nghiệm phương trình (2).

Vậy (2) có nghiệm x k

2

+Xét cosx0 Chia hai vế PT(2) cho cos2x thay x

x

2 tan

cos



 đặt ăn

phụ t = tanx :

Ta có : 1t3t2 3(1t2) t 2 tanx2 xarctan2k

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ:

1) Giải phương trình : 3sin2x - 5 3sinxcosx – 6cos2x = 0

2) Giaûi phương trình : sin2x +(1 3) sin cosx x 3cos x2 0

  

3) Giaûi phương trình : 2sin2x + sinxcosx – 5cos2x = 1

4) Giải phương trình : cos2x – 3sin2x – 4sinxcosx = 0

2) Phương trình đẳng cấp bậc cao theo sin côsin cung:

+ Một biểu thức theo sinx cosx có bậc k biến đổi thành biểu thức theo sinx cosx có bậc k + 2n nhờ đẳng thức : sin2 cos2



 x

x (k,nN)

Chẳng hạn : sinx (bậc 1) = sinx.(sin2x cos2 x) sin3x sinxcos2x

 

 (bậc 3)

Hoặc sinx = sinx 2x x 5x 3x 2x x 4x

cos sin cos

sin sin ) cos

(sin     (bậc 5)

+ Chú ý : i) Số bậc Một số khác có bậc

ii) Xác định bậc hạng tử PTLG chứa sin côsin chúng cung ( ví dụ với cung 3x sin3x có bậc 1, với cung 1x sin3x có bậc 3)

 Từ ý tưởng ta nêu định nghĩa PTLG đẳng cấp bậc n theo sin côsin cung sau:

“ PT đẳng cấp bậc n theo sinx cosx PT có bậc hạng tử hơn, 2k, kN ”

 Cách giải : ( tương tự đẳng cấp bậc 2)

(Cách giải thường phát cách giải từ ban đầu có thuật toán, nhược điểm dài cách giải thứ hai)

+Bước 1: Xét cosx = có nghiệm PT không (nếu ghi nhận kết quả) +Bước 2: -Xét cosx 0 Chia hai vế PT cho cosn xvà thay  k

k

x x

2

2 tan

cos

     



 .

-Đặt ẩn phụ t = tanx thu gọn PT đa thức bậc n theo t -Giải tìm nghiệm t = t0 giải PT tanx = t0 để tìm x

 Cách giải : (Biến đổi PT tích theo sin cơsin)

( Cách giải thường ngắn gọn không định hướng kết biến đổi Địi hỏi kỷ phân tích đa thức thành nhân tử học sinh).Khơng có thuật tốn cách Sau số ví dụ:

Ví dụ 1: Giải phương trình: tanx sinxcosx cos2x



 (1)

Giải cách 1:

+ĐK: x m

2

+(1) sinx sinxcos2x cos3x

 

 (*) (đẳng cấp bậc 3)

+cosx = không nghiệm PT (vì 10 ; vơ lý) +cosx 0, chia hai vế (*) cho cos3x :

x  x  x t  t  x  x  k

4

tan 1

1 tan ) tan (

tan

(t = tanx) Gi

ải cách 2:

(*) sinx(1 cos2 x) cos3x sin3x cos3x

  

  

 (**)

x  x  x k

4

tan

tan3

Chú ý:Theo cách giải nêu biến đổi PT tích nên tơi minh họa lại sau: (**) sin3 cos3 (sin cos )(1 sin cos ) (sin cos )(2 sin2 )

 

 

 

 

 

 x x x x x x x x x





k x

x x

x      



4

tan cos sin

Ví dụ 2: Giải phương trình: cos3 xsinxcosx (2) (đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = không nghiệm (2)

+ cosx 0, chia hai vế (2) cho cos3x :1 tanx(1 tan2 x) (1 tanx)

  



 k x x

t t

t

t         

Gi

ải cách 2:

(2) cos (cos2 1) sin cos sin2 sin sin (sin cos 1)

       

 x x x x x x x x x

 sinx(sin2x2)0 sinx0 xk

Ví dụ 3: Giải phương trình: 3sin3 2cos3 sin2 cos 2cos

 



 x x x x

x (3)

(đẳng cấp bậc 3)

Giải cách 1:

+ cosx = không nghiệm (3)

+ cosx 0, chia hai vế (3) cho cos3x :

0 ) ( 3 ) tan ( tan tan

3 2 2

        

 x x t t t t

x                           k x k x x x t t 3 tan tan Gi

ải cách 2:

(3)  3sin3 sin2 cos  2cos (1 cos2 )

 

 

 x x x x x

sin2 ( 3sin cos ) 2cos sin2 sin2  3sin 3cos 

     

 x x x x x x x x

                          k x k x x k x x x x 3 tan cos sin sin

Ví dụ : Giải phương trình 3cos4x – 4sin2xcos2x + sin4x = (4) (đẳng cấp bậc 4)

Giải cách 1:

+ cosx = sinx = 1 khơng nghiệm ptrình Vậy cosx 0

+ Chia hai vế (2) cho cos4x đặt ẩn phụ t = tan2 x được:

3

     

 t t t

t

Gi

ải cách 2:

(4) (3cos4 3sin2 cos2 ) (sin2 cos2 sin4 )

 

 

 x x x x x x

0 ) sin (cos sin ) sin (cos cos

3 2 2 2

 

 

 x x x x x x

          tan cos ) sin cos 3(

cos 2

x x x

x x

Ví dụ 5: Giải phương trình : sin6x cos6x cos22x sinxcosx

 

 (5)

Giải cách 1:

Nếu biến đổi : sin6 x cos6 x (sin2 x cos2 x)(sin4 x cos4 x sin2 xcos2 x)

 

 

 =

= sin4x cos4x sin2xcos2 x

 

Và biến đổi : cos22x (cos2x sin2x)2 cos4 x sin4x 2sin2xcos2 x

 

 



Thì PT (5)  sin2xcos2 xsinxcosx0 (*)

Khi PT (*) giải cách giải cách giải nêu đơn giản

+ Nếu từ PT: sin6x cos6x (cos2x sin2x)2 sinxcosx

 



 (đẳng cấp bậc 6)

Làm theo cách giải (1) sau bước thu gọn ta phương trình: (Với t = tanx )

               )1. 5( 0 1 2 0 0

23 4 3 2 t t t t t t t t t t

Khi PT (5.1) 1 12

2                         t t t t t t t

PT (5.2) đặt ẩn phụ

t t

u  1 PT bậc hai u2u0 u0 u1

Trở lại với ẩn t PT vô nghiệm + Với t =  tanx0 xk

Chú ý: Khi xét cosx = nghiệm PT đẳng cấp bậc nên:

 

k

x 

2 nghiệm PT Kết hợp nghiệm x =



k

Phù hợp với cách giải.

BAØI TẬP TƯƠNG TỰ: Cĩ thể giải lại ví dụ tập tương tự phân PT đưa PT bậc theo sin cơsin cung :

1) Giải phương trình sinxsin2x + sin3x = 6cos3x (đẳng cấp bậc 3)

2) Giải phương trình sin3x + cos3x + 2cosx = (đẳng cấp bậc 3) 3) Giải phương trình sinx – 4sin3x + cosx = (đẳng cấp bậc 3)

4) Giải phương trình : sin3x cos x sinx cosx3

   (đẳng cấp bậc 3) 5) Giải phương trình : 8sin6 cos6  3sin4

 

 x x

x (đẳng cấp bậc 6)

6) Giải phương trình : 3(cos3xsinx)sin3x cosx (đẳng cấp bậc 3)

7) Giải phương trình : 3

sin x cos x sinx cosx   (đẳng cấp bậc 3) 8) Giải phương trình : 4(sin4x cos x4 ) 3 sin 4x 2

   (đẳng cấp bậc 4) 9) Giải phương trình : 3(sin3x cosx)cos3xsinx (đẳng cấp bậc 3)

10) Giải phương trình : sin8 17 22 16

x cos x  cos x (đẳng cấp bậc 8)

11) Giải phương trình : 6

sin x cos x 2cos x1 (đẳng cấp bậc 6)

IV Phương trình chứa tổng (hoặc hiệu) tích sin cơssin cung:

1) Phương trình chứa tổng tích (cịn gọi phương trình đối xứng theo sin cơsin)

 Dạng phương trình : a(sinx + cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(1)

 Cách giải : Đặt t = sinx + cosx = 2sin 4   

   

 t

x 

(*)

2 cos

sin cos

sin

2

2     

 t x x x x t

(1) 2 (1.1)

2

2

        

 at b t c bt at c b

Giải phương trình (1.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 

Thay giá trị t0 vào PT (*) giải PT sin2x = t02  để tìm x

2) Phương trình chứa hiệu tíc h ( cịn gọi phương trình phản xứng)

 Dạng phương trình : a(sinx - cosx) + bsinx.cosx + c = 0 (a,b,c R)(2)

 Cách giải : Đặt t = sinx - cosx = 2sin 4   

   

 t

x 

(**)

2 cos sin cos

sin

2

2 x x x x t

t     

(1) 2 (2.1)

1

2

        

 at b t c bt at c b

Giải phương trình (2.1) chọn nghiệm t = t0 thỏa mãn t0 

Thay giá trị t0 vào PT (**) giải PT sin2x = 1-t02 để tìm x

Ví dụ 1: Giải phương trình sinx cosxsin2x12(cosx sinx)12cos2x0 (1)

Ví dụ 2: Giải phương trình 

  

 

 

 

4 sin cos sin sin sin cos

8 x x x x x x  (2)

Ví dụ 3: Giải phương trình sin3 sin2 2cos

  

 x x

x (3)

Ví dụ 4: Giải phương trình sin2 cos 12(sin cos sin2 ) sin cos2 12

 

 

 x x x x x

x

x (4)

Ví dụ 5: Giải phương trình sin2 sin cos cos 2sin2 (sin 1)

  



 x x x x x

x (5)

Ví dụ 6: Giải phương trình (sinxcosx 1)cos2xcosx sinx0 (1)

HƯỚNG DẪN CÁC VÍ DỤ:

Ví dụ 1: (1)  sinx cosxsin2x12(sinxcosx) 12 0 

 

  

  



) ( 12 sin ) cos (sin

12

) ( cos sin

b x

x x

a x

x

(1a)  x k

4

(1b) t t x x

t t t

t 1 sin cos

13 1 0

13 12

2

       

       

2

2 sin

1 x x k

t    



+ Vậy (1) có họ nghiệm ( )

;

4 k Z

k x k

x     

Ví dụ 2: (2)  cosxsinx8(cosx sinx) 3sin2x7 0 

 

  

  



) ( sin ) sin (cos

) ( cos sin

b x

x x

a x

x

(2a)  x  k

4

(2b) : Đặt t = cosx sinx ; (t 2) t2 sin2x sin2x t2 (*)

  

    

(2b)

3 2 32

      

 

     

 t

t t t

t , thay t = -2/3 vào (*):

Sin2x =

   

 

 



 



 



k x

k x

9 5 arcsin 2

9 5 arcsin 2 1 9

5

               2 cos sin cos sin cos   k x k x x x x x x

Ví dụ 4: (4)                     12 ) cos (sin 12 cos sin cos sin 12 ) cos (sin 12 cos sin cos sin x x x x x x x x x x x x            k x x

Ví dụ 5: (5) sin2 1 (sin cos cos ) 2sin2 (sin 1)

     

 x x x x x x

                               sin cos sin sin sin cos sin sin ) (sin sin sin cos sin sin x x x x x x x x x x x x x x

Ví dụ 6: (6) sin cos 1cos2 sin2  cos sin 

 

 



 x x x x x x

 sinxcosx1cosx sinxcosxsinx  cosx sinx0

 (cosx sinx) sinxcosx1cosxsinx1 0

          ) ( ) sin )(cos cos (sin ) ( sin cos b x x x x a x x

(6a) x k

4

(6b): Đặt t = sinx +cosx ( t  ) ; t2 1sin2x sin2xt2 1 (*)

(6b) 2           t t

3  

 t t  (t1)(t2 t 2)0

         t t t

thay vào (*) sin2x =

2



k x 

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ: Giải phương trình sau :

1)

4 cos ) cos (sin sin

2 

       

 x x 

x

x .

2) x x sin4x sinx cosx

2 cos sin4

  



3) cos3xcos2x2sinx 20 4) 3 sinx3 sin2 x 8(2 cosx)

  



5) cos2x(1sinxcosx)cosxsinx0 6) sin3 3sin2 6cos

  

 x x

x

D PHẦN BÀI TẬP NÀY ĐƯỢC BIÊN SOẠN TƯƠNG TỰ CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009

a) x x

x

x cos2

cos sin sin

4  

     

 ; b) sin22x cos23x sin2x cos24x

 



c) sin3x 4cos2x 3sinx40 ; d) sin 2 sin cos sin    

 x x x

x

e)

2 cos cos sin cos sin sin

cos6 2

     x x x x x x x

; g) x x x xx x

sin cos sin cos cot

cos 

 

Bài 2:Giải phương trình sau :

a)   0

sin 2 cos sin cos sin

2 4

                   x x x x

x  

b) sinx cosxcotx cos2x.cosx 2sin3x cos3x sin2x.cosx

 

 



c) 10cos2 x cosx 2 3(cosx cos2x).cotg2x

 

 

d) 2cosx 32sinxcosxsin2x 3sinx

Baøi 3:Giải phương trình sau :

a) sin cos sin2 cos2 sin3 cos3

     

 x x x x x x ; b)

x x

x

x 2

tan cot cos sin

1  

c) (1 sin2 x)cosx sin2x sinx(1 cos2 x)

 

 

 ;

d) tan2 2tan cot2 2cot

  



 x x x

x

Baøi : Giải phương trình :

a)    sin2

2 sin cos sin cos sin 6       x x x x x

x ; b)

0 sin cos

sin2



 x

x x

c)

3 cos cos cos sin cos

sin6 4

      x x x x x

x ; d) sinx.tanx sin2x tanx

 

e) (1 sin2x)cosx sin2x sinx(1 cos2 x)

 

 

 ; g) 2cos2xcosx1 cos7x

Baøi 5 : Giải phương trình :

a) (1 sin2 )cos (1 cos2 )sin sin2

 

 

 x x x x x ; b) 3cos

2 cos sin         

 x x

x

c) 3cosx(1 cos2x)2sin2xsinxcos2x0 ;

d) 

                     cos sin cos    x x x

e) 3cosx(1 cos2x)2sin2xsinxcos2x0 f) sin3x 3cos3x cos2x sinxcos2x 3sin2xcosx

 

 

Bài 6: a) Giải phương trình   ) cos )( cos ( sin cos     x x x x

b) Giải phương trình : cos

c) Giải phương trình cos

cos sin cos

3

 

x

x x x

E CÁC ĐỀ THI ĐẠI HỌC TỪ NĂM 2003-2009. Bài 1:Giải phương trình sau :

a) (KA-2003) x x

x x

x sin2

2 sin tan

2 cos

cot

 

  

b) (KB-2003) x x x x

2 sin

2

sin tan

cot   

c) (KD-2003)

2 cos tan

sin2  

   

 

 x x

x 

Bài 2:Giải phương trình sau :

a) (KB-2004) 5sinx 2 3(1 sinx)tan2 x

  

b)(KD-2004)(2cosx1)(2sinxcosx)sin2x sinx

c) (KA-2004) Cho ABC không tù thoả điều kiện :cos2A2 2cosB2 2cosC3 Tính ba góc ABC

Bài 3:Giải phương trình sau :

a) (KA-2005) cos23x.cos2x cos2 x0 b) (KB-2005) 1sinxcosxsin2xcos2x0

c) (KD-2005)

2 ) sin( ) cos( sin

cos4

   



 x x  x 

x

Bài 4:Giải phương trình sau :

a) (KA-2006)  

sin 2

cos sin sin

cos

2 6

 

 

x

x x x

x

b) (KB-2006) )

2 tan tan ( sin

cotx x  x x 

c) (KD-2006) cos3xcos2x cosx 10

Bài 5:Giải phương trình sau :

a) (KA-2007) (1 sin2 x)cosx (1 cos2x)sinx sin2x

  

 

b) (KB-2007) 2sin22xsin7x 1sinx

c) (KD-2007) 3cos

2 cos sin

2

 

   

 

 x x

x

Baøi 6:Giải phương trình sau :

a) (KA-2008) 

 

 

 

   

 



 x

x

x

7 sin sin

1 sin

1 



b) (KB-2008) sin3x 3cos3x sinxcos2 x 3sin2xcosx

 



c) (KD-2008) 2sinx(1cos2x)sin2x12cosx

a) (KA-2009) Giải phương trình 1 2sin x sinx1 2sin x cos x    

 

b) (KB-2009) Giải phương trình sin x cos x sin 2x 3 cos3x 2(cos 4x sin x)3

   

c) (KD-2009) Giải phương trình cos5x 2sin 3x cos 2x sin x 0  

F MỤC THAM KHẢO THÊM VỀ CÁCH GIẢI PH.TRÌNH LƯỢNG GIÁC. * Việc giải PTLG vấn đề thường gặp đề thi đại học Phương pháp thường sử dụng giải phương trình lượng giác thực số phép biến đổi lượng giác thích hợp kể việc biến đổi đại số để đưa PTLG dạng phương trình lượng giác hay các phương trình lượng giác thường gặp đưa dạng phương trình tích đặt ẩn phụ để đưa phương trình đại số bậc hai,bậc ba…;hoặc đơi cịn phải sử dụng đến phương pháp đánh giá hai vế phương trình Để đạt kết cao việc giải PTLG yêu cầu học sinh cần nắm vững yêu cầu tối thiểu sau :

1)Học thuộc (hoặc thông qua suy luận) công thức lượng giác,các cung, góc có liên quan đặc biệt,giá trị lượng giác cung(góc) đặc biệt

2)Cần nắm vững cách giải PTLG trường hợp đặc biệt.Cách giải phương trình lượng giác thường gặp

3)Phải có thói quen đề cập đến TXĐ phương trình (lấy điều kiện) trước tiến hành phép biến đổi đối chiếu điều kiện có kết quả.

* Tại đề cập đến việc biến đổi thích hợp:Vì đồng thức lượng giác thường rất đa dạng.Chẳng hạn :

-Nếu cần biến đổi cos2x tuỳ theo đầu ta sử dụng đồng sau: Cos2x = cos2x – sin2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.

Ví dụ : Giải phương trình :

a) cos2x = sinx- cosx → biến đổi Cos2x = cos2x – sin2x

b) cos2x = cosx → biến đổi Cos2x = 2cos2x -1

c) cos2x = sinx → biến đổi Cos2x = 1-2sin2x

-Nếu cần biến đổi cos4x-sin4x tuỳ theo đầu ta sử dụng đồng nhất

sau:

cos4 x-sin4x = cos2x – sin2x = Cos2x = 2cos2x -1 = 1-2sin2x.

*Cần ý đến đồng lượng giác thường gặp giải toán như: 1 sin2x = (sinx  cosx)2

Cos3x.sin3x+sin3x.cos3x =

4

sin4x

4 cos

2 cos sin 1 sin cos

2

4

4 x x  x  x   x

8 cos

2 cos sin sin

cos6 x x x x  x

 

 

 

*Cần ý đến số hạng có chứa thừa số (cosx+sinx) là: cos2x ; cos3x+sin3x ;

Cos4x-sin4x ; cos3x-sin3x ; 1+tanx ; cotx-tanx ; 

    



4 sin

số hạng có chứa thừ số cosx-sinx.

*Các phép biến đổi lượng giác thường tiến hành theo hướng sau: +Hạ bậc phương trình(nếu có).

+Đưa cung:

-Nếu hàm cung tiến hành đặt ẩn phụ.

-Nếu cung hai hàm sin cơsin thường biến đổi ph trình tích

(Sử dụng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử như: đặt nhân tử chung,dùng đẳng thức,nhóm hạng tử,nghiệm tam thức bậc hai)

-Nếu cung hai hàm sin ; côsin với bậc hạng tử hơn,kém 2n (với n số tự nhiên) ta chia hai vế phương trình cho coskx sinkx (k bậc lớn phương trình) để đưa phương trình cho dạng cịn chứa hàm tang cơtang cung tiến hành đặt ẩn phụ *Khi đánh giá hai vế phương trình bất đẳng thức thường dùng để ước lượng như: sinx 1 ; cosx 1 ; asinxbcosx  a2b2 ;

sinm xcosnxsin2xcos2x1 (với m,nN;m,n3)

-Đối với phương trình sinaxsinbx = 2

  

  

  

1 sin

1 sin

bx ax

(dấu  lấy tương ứng)

Tương tự phương trình : cosaxcosbx =1 ; sinaxcosbx =2