Đề thi vào lớp 10 môn Toán năm 2020-2021 có đáp án – Trường Đại học KHTN ĐHQG Hà Nội

Chứng minh rằng các đường thẳng EQ FP ,.. và AD dồng quy.[r]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN TRƯỜNG THPT CHUN KHTN NĂM 2020 MƠN THI: TỐN (đề thi dành cho tất thí sinh)

Thời gian làm bài: 120 (không kể thời gian phát đề) Câu

a) Giải hệ phương trình:

 

2

3

7

9 70

x y xy

x xy x y

    

   



b) Giải phương trình: 11 5 x 2x 1 24 5  x2x1  Câu 2.

a) Tìm x y, nguyên dương thỏa mãn: x y2 216xy99 9 x236y213x26 y b) Với a b, số thực dương thỏa mãn:

2 2 a3b5 8a12b2a23b25ab10. Chứng minh rằng: 3a28b210ab21.

Câu

Cho tam giác ABC có BAC góc nhỏ ba góc tam giác nội tiếp đường trịn  O Điểm D

thuộc cạnh BC cho AD phân giác BAC Lấy điểm M N, thuoocj  O cho đường thẳng CM BN song song với đường thẳng AD

a) Chứng minh AM AN

b) Gọi giao điểm đường thẳng MN với đường thẳng AC AB, E F, Chứng minh bốn điểm B C E F, , , thuộc đường tròn

c) Gọi P Q, theo thứ tự trung điểm đoạn thẳng AM AN, Chứng minh đường thẳng EQ FP,

và AD dồng quy Câu

Với a b c, , số thực dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng:  

     

2 2

2 2

2 2

a a bc b b ca c c ab

b ab c c bc a a ca b

  

  

  

LỜI GIẢI CHI TIẾT Câu

a) Phương trình thứ hai hệ tương đương:

 

    

  

3

3 2

3

2

9 70

7 70

10

2

2

x xy x y

x xy x y x xy y

x xy y

x y x xy y

x y

x y

  

     

   

    

  

   

Ta có: x y 0 khơng thỏa hệ Với x2 ,y ta có: 7 7 .

1 y y

y   

    Với y1, ta có: x2

Với y 1, ta có: x 2

Vậy hệ cho có hai nghiệm x y;    2; , 2;1    b) Điều kiện:

2 x Đặt a 5x b,  2x1 với a b, 0 2a2b29

Khi phương trình cho trở thành:

   

      

  

2

11 24

3 15

3 15

2

2

3

a b ab

a b a b a b ab

a b a b a b a b

a b a b

a b a b

  

       

       

     

  



   

Trường hợp 2a b 5 kết hợp với 2a2b29, ta có: 2a2 5 2a2  9 a 2 3 a 4 0. Với a2, ta có: x1 Với ,

3

a ta có:

9

x

Trường hợp a b 3 kết hợp với 2a2b2 9, ta có: 2a2 3 a2 9 a a  2 0. Với a2, ta có: x1 Với a0, ta có: x5

Vậy phương trình cho có ba nghiệm , 1,

9

Câu 2.

a) Phương trình tương đương:

   

     

2 2

2

20 100 13

10 13

x y xy x xy y x y

xy x y x y

       

      

Đặt x2y a , ta có: 9a213a1 số phương với a0.

Mà  2 2  2

3a1 9a 13a 1 3a3 , 2  2

9a 13a 1 3a2  a Với a3, ta có

1

x y

x y xy

  

   

  

Vậy hệ cho có nghiệm x y;    1;1

b) Ta có: 8a12b2a23b25ab104 2 a3b  2a3b a b   10   Đặt x2a3 ,b y a b  với 2 x Ta có:  1 trở thành: 10

2 y x xy

x

    

Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành: x2y221x2 4 y225. Ta có:

2

2

2 2

25 4

25 25 25 25

4

y y

y

x x x x x

         

         

                  

Ta cần chứng minh:

2

4

8 25 x

x

 



     Thật bất đẳng thức cần chứng minh tương đương:

    

4 29 100 0 2 2 5 5 0.

x  x    x x x x 

Bất đẳng thức cuối 2 x

Đẳng thức xảy x5, y2 hay a b 1 Vậy ta có điều phải chứng minh

a) Do BN CM song song với AD kết hợp với AD phân giác BAC, ta có:

   .

NBC DAB DAC ACM   Suy ra: NBC ACM hay ANAM ANAM

b) Ta có:  sd sd sd sd sd 

2 2

AM BN AN BN AB

AFE     ACB

Do BCEF tứ giác nội tiếp

c) Gọi S giao điểm EQ AD, K giao điểm AD EF Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ANK có cát tuyến ESQ, ta có:

1 QA EN SK

QN EK SA   hay

EN SK

EK SA  Q trung điểm AN

Suy ra: EN SA

EK  SK

Gọi S giao điểm FP AD

Tương tự áp dụng định lý Menelaus cho tam giác AMK có cát tuyến PS F , ta được: S A FM

S K FK

  

Ta cần chứng minh EN FM

EK  FK hay

FM FK

EN EK Thật vậy, theo định lý Tales, ta có:

KM DC AC AF FK

KN  DB  AB  AE  EK

Suy ra: FK KM FK KM FM

EK KN EK KN EN



  

Do FM FK,

EN  EK hay

FM EN

FK  EK

Từ ta có: SA S A

SK S K

 



Suy S S  hay EQ FP, AD đồng quy Câu

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwars, ta có:  

         

2 2

2 2 2 2 2 2

2 2

3 3

2 2

a abc a b c abc

a a bc a b c abc

ab bc ca

b ab c ab ab c ab ab c

 

   

     

    

 

    

  

Ta cần chứng minh: a2 b2 c2 3abc

ab bc ca

  



 

Thật áp dụng dụng bất đẳng thức Schur kết hợp với a b c  3, ta có:

 

2 2 3 2 9abc 2 .

a b c abc a b c ab bc ca

a b c

         

 