[r]
(1)- ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN – TIN -
ĐỀ THI THỬĐẠI HỌC- CAO ĐẲNG 2010 MƠN TỐN
Thời gian: 180’, khơng kể giao đề
- Câu I : (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) hệ tọa độ Oxy Khảo sát vẽđồ thị hàm số
2 Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB
Câu II : (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 2cosx + sin2x [0; 2π] Tính tích phân
( ) ( )
3
2
0 1
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
Câu III : (1,0 điểm)
Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, biết khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) Góc mặt bên mặt đáy 600 Tính thể tích hình chóp S.ABCD
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
4 2
1 2
2
x x y x y x y x xy
e − + − + e − + + = x + x y + xy − x +
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) hai đường thẳng
1 :
1 2 3
x y z
d = + =
− −
1 4
:
1 2 5
x y z
d = − = −
Chứng minh điểm M đường thẳng d1 d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng
Gọi A, B, C hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (ABC) cho ∆ cắt đường thẳng (d2) đồng thời ∆ vng góc với (d1)
Câu VI : (1,0 điểm)
Giải phương trình sau tập số phức biết có nghiệm thực: z3−(5+i z) 2+4(i−1)z−12 12+ i =0
-HẾT -
(2)ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI
KHOA TOÁN TIN Đ
ÁP ÁN THI TH
môn : Toán
hớng dẫn chấm biểu điểm
Nội dung Điểm
Cõu I : (3,0 điểm)
Cho hàm số y = x3 - 3x2 +2 có đồ thị (C) hệ tọa độ Oxy Khảo sát vẽđồ thị hàm số
2 Gọi E tâm đối xứng đồ thị (C).Viết phương trình đường thẳng qua E cắt (C) ba điểm E, A, B phân biệt cho diện tích tam giác OAB
a) Tập xác định : R 0,25
b) Sự biến thiên * Giới hạn
x
-, limy x
Limy
→+∞ → ∞
= +∞ = −∞ 0,25
(2,0)
* Bảng biến thiên
y’ = 3x2-6x , y’= ⇔
2 x x
=
=
x -∞ +∞
y’ + - +
y +
∞
-∞ -2
Hµm sè ng biến khoảng (- ;0) ( ; +∞)
Nghịch biến (0; 2) Hàm sốđạt cực đại x = 0, ycđ =
Đạt cực tiểu x =2, yct = -2
0,25
0,5
0,25
c Đồ thị
+ im cc i, cc tiu :(0;2), (2;-2)
+ Giao víi Oy : (0;2) + Giao víi Ox : NX :
0,5
1
E
O x
(3)-
+E (1;0)
0,25
(1,0)
+ PT đường thẳng ∆ qua E, thỏa mãn yêu cầu toán phải có dạng y = k(x-1) ( Do trường hợp x =1 khơng thỏa mãn)
Hồng độ giao điểm (C ) ∆ nghiệm PT: (x-1)(x2-2x-2-k)=0
+ Để∆ cắt (C ) điểm phân biệt PT x2-2x-2-k = phải có hai nghiệm phân
biệt khác ⇔ k>-3 0,25
+ Tính dt∆OAB =12d O( , ).∆ AB= k k+3
0,25
+ Từ giả thiết suy k có giá trị -1; -1±
KL : Có đường thẳng thỏa mãn yêu cầu y = -x +1 ; y = (− ±1 3)(x−1) 0,25
Câu II : (2,0 điểm)
1 Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số y = 2cosx + sin2x [0; 2π] Tính tích phân
( ) ( )
3
2
0 1
x
I dx
x x
=
+ + + +
∫
+ Hàm số liên tục [0;2π]
+ Tính y’ = 2cos2x - 2sinx, x∈[0; 2π] y’= ⇔ ;5 ;3
6
x∈π π π
0,5
(1,0)
+) y(0)=2, ( ) 3; (5 ) 3; (3 ) 0; (2 )
6 2
y π = y π = − y π = y π =
0,25
Suy
[0;2 ] [0;2 ]
3 3
ax ,
2
m y y
π π
= = −
0,25
+ Đặt 2+ 1+x=t⇒ x =(t-2)2 -1, dx = 2(t-2)dt ; x =0⇒ t =3, x = 3⇒ t =
0,25
(1,0) + Đưa
4
2
42 36 16
I t dt
t t
= − + −
∫ 0,25
+ Tính I = -12+ 42ln4
3 0,5
Câu III : (1,0 điểm)
(4)+ Goij I, J trung điểm AB CD, H hình chiếu I SJ Chứng tỏđược IH =
gócSJI =600
+ Gọi O tâm đáy, chứng minh SO = 2, IJ=
3
+ Tính VS.ABCD = 32
9 ( Đvtt)
0,5
0,25
0,25
Câu IV : (1,0 điểm)
Tìm cặp số thực (x ; y) thỏa mãn phương trình sau:
4 2
1 2
2
x x y x y x y x xy
e − + − +e − + + = x + x y + xy − x + + Đặt x4−x y3 +x y2 2− =1 u, x3y−x2+xy+ =1 v
PT trở thành eu +ev =u+ +v (2)
+ Xét f(t)=et - t - Chứng tỏđược ( ) 0,
( ) 0
f t t
f t t
≥ ∀
= ⇔ =
Từđó PT (2) ⇔ u = v =
0,25
0,25
+ Giải hệ
4 2
3
1
1
x x y x y
x y x xy
− + − =
− + + =
( )2
2
1
x xy x y x xy x y
− = − ⇔ − = + Đặt
x xy a
x y b
− =
=
, giải ta
1 a b = =
2 a b = − = −
+ Thay trở lại tìm hai cặp (x;y) (1;0) (-1;0) Kết luận
0,25
0,25
Câu V : (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M( 1; -1; 1) hai đường thẳng 1:
1
x y z
d = + =
− −
1
:
1
x y z
d = − = −
Chứng minh điểm M đường thẳng d1 d2 nằm mặt phẳng Viết phương trình mặt phẳng
Gọi A, B, C hình chiếu điểm M Ox, Oy, Oz Viết phương trình đường thẳng ∆ nằm mặt phẳng (ABC) cho ∆ cắt đường thẳng (d2) đồng thời ∆ vng góc với (d1)
d
1qua M1(0;-1;0), véc tơ phương u1(1; 2; 3)− −
d2 qua M2(0;1;-4), u2(1; 2;5)
0,25
(1,0)
+ Chứng tỏ d1 d2 đồng phẳng viết PT mp(d1,d2) : - x - 2y + z -2 =
+ Chứng tỏ M∈mp(d1,d2) Kết luận
(5)-
(1,0)
+ A(1;0;0), B(0; -1;0), C(0;0;1); mp(ABC): x - y + z -1 = + d2cắt (ABC) H(
1
; 0;
2
−
+ Đường thẳng ∆ cần tìm có véc tơ phương u∆ =u n1, (ABC)
=(-5;-4;1) , đồng thời qua H
Suy PT ∆:
1
x t
y t
z t
= − −
= −
= +
0,25
0,25
0,25
0,25
Câu VI : (1,0 điểm)
Giải phương trình sau tập số phức biết có nghiệm thực: z3−(5+i z) 2+4(i−1)z−12 12+ i =0
+ Gọi nghiệm thực a thay vào pt suy hệ
3
2
5 12
6
4 12
a a a
a
a a
− − − =
⇔ =
− + + =
0,25
+ Khi đó PT đã cho tương đương với
( )( )
2
6 (1 ) 2
6
(1 ) 2
z z i z i
z
z i z i
− + − − + =
=
⇔
+ − − + =
0,25
+ Giải nghiệm 6, 2i -1-i Kết luận
0,5
- Trên h−ớng dẫn làm bài; phải lý luận hợp lý cho điểm - Những cách giải khác đ−ợc điểm tối đa
- Điểm tồn đ−ợc làm trịn đến 0,5