50 bài tập trắc nghiệm về Ứng dụng thực tế của hình học Toán 12 có đáp án chi tiết

Muốn thể tích của khối trụ đó bằng 2 và diện tích toàn phần hình trụ nhỏ nhất thì bán kính đáy gần số nào nhất.. Hình vẽ dưới mô tả cấu trúc của hộp mì tôm.[r]

Trang | 50 BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM VỀ ỨNG DỤNG THỰC TẾ CỦA

HÌNH HỌC TỐN 12 CĨ ĐÁP ÁN CHI TIẾT

Câu 1: Người ta bỏ bóng bàn kích thước vào hộp hình trụ có đáy hình trịn

trịn lớn bóng bàn chiều cao lần đường kính bóng bàn Gọi S1

tổng diện tích bóng bàn, S2 diện tích xung quanh hình trụ Tỉ số

S S là:

A 2 B 6

5 C 1 D

3

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi bán kính bóng bàn R R0

Ta có chiều cao h hình trụ lần đường kính bóng bàn nghĩa là:

5.2 10

h R R

Khi đó: 2

1 5.4 20

S   R  R

Và S2 2R h 2R.10R20R2

Vậy:

2

1

S S 

Câu 2: Một công ty sản xuất loại cốc giấy hình nón tích 27cm3 với chiều cao h bán kính đáy r để lượng giấy tiêu thụ giá trị r là:

A

6

2

3

r



 B

8

2

3

r



 C

8

2

3

r



 D

6

2

3

r





Hướng dẫn giải: Chọn B

Thể tích cốc: V r h2 27 r h2 81 h 81 2

r



 

     



Lượng giấy tiêu thụ diện tích xung quanh nhỏ

2

2 2

2 2

81 81

2 2

xq

S rl r r h r r r

r r

   

 

      

2 2

4 3

2 2 2 2

81 81 81 81

2

2 2

r r

r r r r

 

   

   

4

4

81

4

 

Trang |

xq

S nhỏ

2 8

4 6

2 2

81 3

2 2

r r r

r

  

     

Câu 3: Một phễu đựng kem hình nón giấy bạc tích 12(cm3) chiều cao 4cm Muốn tăng thể tích kem phễu hình nón lên lần, chiều cao khơng thay đổi, diện tích miếng giấy bạc cần thêm

A (12 13 15)  cm2 B 12 13 cm2

C 12 13 2

15 cm D  

2

(12 13 15)  cm

Hướng dẫn giải:

Gọi R1 bán kính đường trịn đáy hình nón lúc đầu; h1 chiều cao hình nón lúc đầu

Gọi R2 bán kính đường trịn đáy hình nón sau tăng thể tích; h2 chiều cao hình nón

sau tăng thể tích

Ta có: 1 12 1 12 124 1

3

V  R h    R R 

2

1 1

2

2 2

2 2 2

1

2

1

4

3

V R h

V R

V R h R R

V R

h h

 



 

 

      



 



Diện tích xung quanh hình nón lúc đầu:  2

1 1 16 15

xp

S R l     cm

Diện tích xung quanh hình nón sau tăng thể tích:

 2

2 2 16 36 12 13

xp

S R l     cm

Diện tích phần giấy bạc cần tăng thêm là: S12 13 15  cm2 Chọn A

Câu 4: Một phễu có dạng hình nón, chiều cao phễu 20 cm( Hình 1) Người ta đổ lượng

nước vào phễu cho chiều cao cột nước phễu lả 10cm Nếu bịt kín miệng phễu lật ngược lên ( Hình 2) chiều cao cột nước phễu giá trị sau

A 10 cm B 0,87cm

C 1, 07 cm D 1,35cm

Hướng dẫn giải:

Trang | Ta có 2 2

8

V HM AH

V PN AP

V PN AP AP V

V HM AH AH V

                   

Khi lật ngược phễu ta có:

  3 0,87

V AK AK

V AH AH

AK AH HK cm

   

    

   

   

Câu 5: Cho đồng hồ cát hình vẽ ( gồm hai hình nón chung đỉnh ghép lại) đường sinh hình nón tạo với đáy góc

60 Biết chiều cao đồng hồ 30cm tổng thể tích đồng hồ 1000 cm3 Nếu cho đầy lượng cát vào phần chảy hết xuống tỷ lệ thể tích lượng cát chiếm chỗ thể tích phần phía

A 1

8 B

1 27

C

3 D

1 64

Đặt  

0

0 60

OE x

OH y x y

x y              Ta có 2 2 1

.HM y 1000

3

tan 60

HM y 3000

; 3 EL x x y EL HM EL x x y EL HM                        3 9000 x y

   Từ      

 

10 ,

20 x cm y cm     

 Khi cát chảy hết xuống

Trang | Câu 6: Tính thể tích thùng đựng nước có hình dạng kích thước

hình vẽ

A 0, 238  3

3 m



B 0, 238  3

2 m



C 0, 238  3

4 m



D 0, 238  3

3 m



Hướng dẫn giải:

Ta có        

2 2 0, 238 3

0,3 0, 0, 0,3 0, 0, 2.0,3

3

thung tru noncut

V V V        m

Câu 7: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm Hướng dẫn giải: :

Đặt a50cm Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có

2 2

SA SH AH  x y

Khi diện tích tồn phần hình nón

2 2

tp

S x x x y

Theo giả thiết ta có:

2 2 2 2

x x x y a x x y x a

       

   

2 2

4

2 2 4 2

2

2 , :

2

x x y a x

a

x x y a x a x DK x a x

y a

    

      



Khi thể tích khối nón là:

4

4

2 2

1

3

a y

V y a

y a y a

 

 

 

V đạt giá trị lớn

2

2

y a

y 

đạt giá trị nhỏ

Ta có

2 2

2 2

2 2

y a a a

y y a

y y y

    

I

H

J

O

A S

0,6 m

0,4 m

0,6 m

Trang |

Vậy V đạt giá trị lớn

2

2a y

y

 , tức 25

2

a

ya   x cm

Chọn D

Câu 8: Một kem ốc quế gồm hai phần, phần kem có dạng hình cầu, phần ốc quế có dạng hình nón, giả sử hình cầu hình nón có bán kính nhau, biết kem tan chảy hết làm đầy phần ốc quế Biết thể tích kem sau tan chảy 75% thể tích kem đóng băng ban đầu, gọi h r, chiều cao bán kính phần ốc quế Tính tỷ số h

r

A h

r  B

h r 

C

3

h

r  D

16

h r 

Hướng dẫn giải:

Thể tích kem ban đầu:  

3

kem bd

V  R

Thể tích phần ốc quế:

3

oc que

V   R h

Ta có   3

4

oc que kem bd

h

V V R h R

R

 

    

Câu 9: Một nhà sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Tính bán kính nắp đậy để tiết kiệm nguyên liệu

A 3 500 cm

 B  

5

10 cm

 C 500  cm

 D  

5

10 cm

 Hướng dẫn giải:

Ta có

   

2 2

2

3

2 2 3 3

min

2

2 2 2

500

2 3 2

2

tp

tp tp

V V

S R Rh R R R

R R

V V V V

S R V S V R R cm

R R R

    



   

 

     

          

Câu 10: Giả sử viên phấn viết bảng có dạng hình trụ trịn xoay đường kính đáy 1cm, chiều dài 6cm Người ta làm hộp carton đựng phấn dạng hình hộp chữ nhật có kích thước

6 6  cm Muốn xếp 350 viên phấn vào 12 hộp, ta kết khả sau:

R

h

h R

Trang |

A Vừa đủ B Thiếu 10 viên C Thừa 10 viên D Không xếp

Hướng dẫn giải:

Vì chiều cao viên phấn 6cm, nên chọn đáy hộp carton có kích thước 6. Mỗi viên phấn có đường kính 1cm nên hộp ta đựng 5.6=30 viên

Số phấn đựng 12 hộp là: 30 12 360 viên

Do ta có 350 viên phấn nên thiếu 10 viên, nghĩa đựng đầy 11 hộp, hộp 12 thiếu 10 viên

Chọn B

Câu 11: Cắt hình nón mặt phẳng song song với đáy phần hình nón nằm mặt phẳng đáy gọi hình nón cụt Một cốc có dạng hình nón cụt cao 9cm, bán kính đáy cốc miệng cốc 4cm Hỏi cốc chứa lượng nước tối đa số lựa chọn sau:

A 250ml B 300ml C 350ml D 400ml Hướng dẫn giải:

3

4

AG GC

AGC ABC AG AB

AB BD

      

3

27

9

AG

AG AG

   



Suy Vcoc VnonlonVnon nho

 

2

1

.4 27 27 111 348, 72

3 3  ml

    

Vậy lượng nước tối đa 300ml

Chọn B

Câu 12: Một mũ vải nhà ảo thuật với kích thước hình vẽ Hãy tính tổng diện tích vải cần có để làm nên mũ (không kể viền, mép, phần thừa)

A  2

700 cm B  2

754, 25 cm

C 750, 25 cm2 D 756, 25 cm2

Hướng dẫn giải:

2 35

2

hinhtron

S R    

  ;

35 20

2 30 450

2

xqlang tru

S  rl     

 

2

35

450 756, 25

2

S     

 

 

 

10cm

30cm

Trang | Chọn D

Câu 13: Khi sản xuất vỏ lon sữa bị hình trụ nhà thiết kế ln đặt mục tiêu cho chi phí ngun liệu làm vỏ lon nhất, tức diện tích tồn phần hình trụ nhỏ Muốn thể tích khối trụ diện tích tồn phần hình trụ nhỏ bán kính đáy gần số nhất?

A 0,68 B 0,6 C 0,12 D 0,52

Hướng dẫn giải:

Gọi x x0 bán kính đáy lon sữa

Khi

2

V

V x h h

x





  

Diện tích tồn phần lon sữa

2 2

2

2

( ) 2 2 V 2 ,

S x x xh x x x x x

x x x

     



        

Bài tốn quy tìm GTNN hàm số S x( ) x2 x



  , x0

   

2

3

4

1

0 0, 6827

S x x

x

S x x





  

    

Câu 14: Khi sản xuất hộp mì tơm, nhà sản xuất ln để khoảng trống đáy hộp để nước chảy xuống ngấm vào vắt mì, giúp mì chín Hình vẽ mơ tả cấu trúc hộp mì tơm Vắt mì tơm có hình khối trụ, hộp mì tơm có dạng hình nón cụt cắt hình nón có chiều cao 9cm bán kinh đáy 6cm Nhà sản xuất tìm cách để cho vắt mì tơm tích lớn hộp với mục đích thu hút khách hàng Thể tích lớn

A 36 cm3 B 54 cm3 C 48 cm3 D 81  3

2 cm

 Hướng dẫn giải:

Đặt HN x, 0  x 6 Suy MN  6 x

Ta có IN MN IN 1,5 6 x

OH  HM   

M x

N K I

O

Trang |

   

 

3

3

3

.1, 12

4

3 12

48

4

tru

V x x x x x

x x x

cm

 

 

   

  

 

   

 

Dấu '''' xảy x4 cm

Câu 15: Một ly có dạng hình nón rót nước vào với chiều cao mực nước chiều cao hình nón Hỏi bịch kính miệng ly úp ngược ly xuống tỷ số chiều cao mực nước chiều cao hình nón xấp xỉ bao nhiêu?

A B C D

Hướng dẫn giải: Chọn B

Gọi chiều cao bán kính đường trịn đáy ly Khi để cốc theo chiều xuôi lượng nước cốc hình nón có chiều cao bán kính đường trịn đáy

Do thể tích lượng nước bình Phần không chứa nước chiếm

Khi úp ngược ly lại phần thể tích nước ly khơng đổi lúc phần khơng chứa nước hình nón ta gọi

chiều cao bán kính đường trịn đáy phần hình nón khơng chứa nước

Ta có phần thể tích hình nón khơng chứa

nước

Do tỷ lệ chiều cao phần chứa nước chiều cao ly trường hợp úp ngược ly

Câu 16: Một nút chai thủy tinh khối tròn xoay  H , mặt phẳng chứa trục  H cắt  H

theo thiết diện hình vẽ bên Tính thể tích  H (đơn vị

cm )

0,33 0,11 0, 21 0, 08

h R

2

h

R

8 27

V

 19

27V

'

h R'

' '

R h

R  h

19 27V

3 3

2

' 19 ' 19 ' 19

'

3 27 27

h h h h

R R

h h

   

      

 

3

' 19

1

3

h h



Trang | A V H 23 B V H 13 C   41

3

H

V   D V H 17

Hướng dẫn giải: Chọn C

Thể tích khối trụ

1.5

tru

V Bh   Thể tích khối nón 42

3

6

non

V    

Thể tích phần giao là: .

3

2

3

p giao

V     Vậy   16 41

3 3

9

H

V        

Câu 17: Một bồn chứa xăng có cấu tạo gồm hình trụ nửa hình cầu đầu,

biết hình cầu có đường kính 1,8m chiều dài hình trụ 3, 62 m Hỏi bồn chứa tối đa lít xăng giá trị sau đây?

A 10905l B 23650l C 12265l D 20201l

Hướng dẫn giải:

Ta có:

tru

V R h

Vì thể tích nửa hình cầu nên tổng thể tích nửa hình cầu khối cầu có

3

4

c

V  R

Vậy 12, 265

3

H tru C

V V V R h R  m

Vậy bồn xăng chứa: 12265 l Chọn C

3,62m

Trang | 10 Câu 18: Một hình hộp chữ nhật kích thước 4 h chứa khối cầu lớn có bán kính tám

khối cầu nhỏ có bán kính cho khối lón tiếp xúc với tám khối cầu nhỏ khối cầu tiếp xúc với mặt hình hộp Thể tích khối hộp là:

A 32 32 7 B 48 32 5 C 64 32 7 D 64

Hướng dẫn giải:

Gọi tâm hình cầu lớn I tâm bốn hình cầu nhỏ tiếp xúc với đáy

ABCD Khi ta có

I ABCD hình chóp với cạnh bên IA3 cạnh đáy AB2 chiều cao hình chóp Suy khoảng cách từ tâm I đến mặt đáy 1 hay chiều cao hình hộp chữ nhật là:

 

2 1 suy thể tích hình hộp 32 1  

Chọn A

Câu 19: Một bang giấy dài cuộn chặt lại thành nhiều vịng xung quanh ống lõi

hình trụ rỗng có đường kính

12,5

C mm

Biết độ dày giấy cuộn 0, 6mm đường kính cuộn giấy B44,9mm Tính chiều dài l cuộn giấy

A L44m B L38m C L4m D L24m Hướng dẫn giải:

Gọi chiều rộng băng giấy r, chiều dài băng giấy L độ dày giấy m ta tích băng giấy: V r m L  1

Khi cuộn lại ta tích:    

2

2

2 24

B C

V    m  m r B C

   

Từ    1 , suy ra:  2  2

4

m r L r B C L B C

m

 

    

Câu 20: Cho khối cầu bán kính R Đâm thủng khối cầu khối trụ có trục qua tâm mặt cầu chiều dài hình trụ thu (xem hình vẽ) Tính thể tích vật thể cịn lại sau đục thủng

A 36 B 54 C 27 D 288

Hướng dẫn giải:

Trang | 11

Gọi bán kính khối trụ r

Khi

9

r R  hai chỏm

cầu có chiều cao h R Thể tích vật thể lại

       2

3 3

4

6 36

3

R R R

V r R



        

    

Nhận xét: Kết khơng phụ thuộc vào bán kính R mà phụ thuộc vào chiều dài hình trụ

Chọn A

Câu 21: Một thầy giáo dự định xây dựng bể bơi di động cho học sinh nghèo miền núi từ 15 tơn có kích thước 1m20cm (biết giá

1m tôn 90000 đồng) cách:

Cách 1: Gị tơn ban đầu thành hình trụ hình

Cách 2: Chia chiều dài tơn thành phần gị tơn thành hình hộp chữ nhật

hình

Biết sau xây xong bể theo dự định, mức nước đổ đến 0,8m giá nước cho đơn vị nghiệp 9955dong m/ Chi phí tay thầy hiệu trưởng triệu đồng Hỏi thầy giáo chọn cách làm để khơng vượt q kinh phí (giả sử tính đến chi phí theo kiện tốn)

Hình

Hình

A Cả cách B Không chọn cách

C Cách D Cách

Hướng dẫn giải:

Ở cách 2:

2

1m 90.000

2

20m 1.800.000

Ta có Vnuoc 0,8.6.4 19, 2 m3

1m

20m

1m

4m 4m

Trang | 12

Do tổng tiền phương án 19, 2.9955 20.90000 1.991.136. 

Ở cách 2:

2

20m 1.800.000

Ta có

2

2

10 10

20 2r r Vnuoc h r 0,8 . 25, 46m

  

        

 

Do tiền nước: 253.454 đồng Tổng tiền: 2.053.454 đồng Vậy thầy nên chọn cách

Chọn C

Câu 22: Một bình đựng nước dạng hình nón (khơng có nắp

đáy), đựng đầy nước Biết chiều cao bình gấp lần bán kính đáy Người ta thả vào bình khối trụ đo thể tích nước trào

3

16

( )

9 dm



Biết mặt khối trụ nằm mặt đáy hình nón khối trụ có chiều cao đường kính đáy hình nón (như hình vẽ dưới) Tính bán kính đáy R bình nước

A R3(dm) B R4(dm)

C R2(dm) D R5(dm)

Hướng dẫn giải: Chọn C

Gọi h h, ' chiều cao khối nón khối trụ ,

R r bán kính khối nón khối trụ Theo đề ta có: h3 , 'R h 2 R

Xét tam giác SOA ta có: '

3

r IM SI h h R R

R OA SO h R

 

    

1

r R

  Ta lại có:

2

2 trô

2 16

'

9 9

R R

V r h    R   

3

8

R R dm

   

Câu 23: Có miếng nhơm hình vng, cạnh 3dm, người dự định tính tạo thành hình trụ (khơng đáy) theo hai cách sau:

Cách 1: Gị hai mép hình vng để thành mặt xunng quanh hình trụ, gọi thể tích

Trang | 13

Cách 2: Cắt hình vng làm ba gị thành mặt xung quanh ba hình trụ, gọi tổng thể

tích chúng V2

Khi đó, tỉ số

V V là:

A 3 B 2 C 1

2 D

1

Hướng dẫn giải:

Gọi R1 bán kính đáy khối trụ thứ nhất, có:

1 1

3 27

2

2

R R V R h

 

 

     

Gọi R2 bán kính đáy khối trụ thứ hai, có:

2

2 2

1

2

2

R R V R h

 

 

     

Chọn A

Câu 24: Một hộp hình lập phương cạnh a bị khoét khoảng trống có dạng khối lăng trụ với hai đáy hai đường tròn nội tiếp hai mặt đối diện hình hộp Sau đó, người ta dùng bìa cứng dán kín hai mặt vừa bị cắt hộp lại cũ, chừa lại khoảng trống bên Tính thể tích khoảng trống tạo khối trụ

A a3 B 1

2a C

3

1

4a D

3

1 8a

Hướng dẫn giải:

Ta có

2

a OE BC ;

OO'a

Thể tích là:

C' D'

B'

C

D

O' O

E A

B

Trang | 14

2 3

2

.OO '

2

a a

V OE     a

  Chọn C

Câu 25: Người ta dùng loại vải vintage để bọc khối khí khinh khí cầu, biết khối

này có dạng hình cầu đường kính m Biết 1m2 vải có giá 200.000 đồng Hỏi cần tối thiểu tiền mua vải để làm khinh khí cầu này?

A 2.500.470 đồng B 3.150.342 đồng

C 2.513.274 đồng D 2.718.920 đồng

Hướng dẫn giải:

4

mat cau

S  R

Với 1 

2

d

R  m Vậy Smat cau 4 1 4 m2

Vậy cần tối thiểu số tiền: 200000 2.513.274 đồng

Chọn C

Câu 26: Cho biết hình chỏm cầu có cơng thức thể tích

 2

3

h r h

 

, h chiều cao chỏm cầu r bán kính đường trịn bề mặt chỏm cầu ( bán kính khác vớibán kính hình cầu ) Bài hỏi đặt với dưa hấu hình cầu, người ta dùng ống khoét thủng lỗ hình trụ chưa rõ bán kính xun qua trái dưa hình vẽ ( hình có AB đường kính trái dưa) Biết chiều cao lỗ 12cm ( hình trên, chiều cao độ dài HK ) Tính thể tích phần

dưa cịn lại

A

200cm B

96cm C

288cm D

144cm

Hướng dẫn giải:

Đặt r bán kính hình cầu

Chiều cao lỗ 12 nên chiều cao chỏm cầu lag r6

Bán kính chỏm cầu, bán kính đáy hình trụ là: r236 Thể tích hình trụ 12r236 

Thể tích chỏm cầu:           

2

2 2

2 36 6 4 12 72

6

r r r r r r

          

 

A

B K

Trang | 15

Thể tích lỗ là:     

2

2 12 72

12 36

3

r r r

r 

     

    12 72  4 24 144  63

6 12 288

3 3

r r r r

r r r

r r   

         

        

 

Thể tích hình cầu

3

4

r 

nên thể tích cần tìm là: V 288

Chọn C

Câu 27: người ta cần cắt tôn có hình dạng elip với độ dài trục lớn độ dài trục bé

bằng để tơn có dạng hình chữ nhật nội tiếp elíp Người ta gị tơn hình chữ nhật thu thành hình trụ khơng có đáy hình bên Tính thể tích lớn thu khối trụ

A 128 3 3

cm

 B  

3

64

3 2 cm C  

3

64

3 3 cm D  

3

128

3 2 cm

Hướng dẫn giải:

Ta có  

2

2

1

: 16

64 16

x y

E    y x Chu vi đáy hình trụ 2R 2x R x



  

Ta có

2

2 2 2

1

16 16 16 16

2 tru

x

AH x h x V  R h  x x x

  

            

 

Đặt        

3

2

2

0

32 32

16 4 ' ' 32

16

3

x

x x

f x x x x f x f x

x x                    

  max

32 128 128

max

3 9

f x f V



 

     

 

TỔNG QUÁT: Elip có độ dài trục lớn 2a, trục bé 2b  

2 max 3 tru a b V  

Câu 28: Từ khúc gỗ tròn hình trụ có đường kính 40 cm, cần xả thành xà có tiết diện ngang hình vuông bốn miếng phụ tô màu xám hình vẽ Tìm chiều rộng x miếng phụ để diện tích sử dụng theo tiết diện ngang lớn

Trang | 16

A 34 17 2 

2

x  cm B 34 19 2 

2

x  cm

C 34 15 2 

2

x  cm D 34 13 2 

2

x  cm

Hướng dẫn giải:

Diện tích sử dụng theo tiết diện ngang S SMNPQ4xy

Cạnh hình vng 40 20 2 

2

MP

MN    cm

 2

20 800

S xy xy

     (1)

Ta có 2x AB MN  AB20 2BD20 240 20 2   0 x 20 10 2

Lại có  

2

2 2 2

40 20 1600

AB AD BD   x y 

2 2

800 80 800 80

y x x y x x

       

Thế vào  1  S 800 4 x 800 80 x 24x2 800 800 x280x3 24x4

Xét hàm số f x 800x280x3 24x4, với x0; 20 10 2  có

   2

' 1600 240 16 16 100 15

f x  x x  x  x  x x

Ta có  

 

 

 2

0; 20 10

0; 20 10 5 34 15 2

2

' 16x 100 15x

x x

x

f x x

  

   

   

 

   

 

 

Khi 34 15

2

x  giá trị thỏa mãn toán

Chọn C

Trang | 17

của thùng (chi phí cho đơn vị diện tích) Gọi h chiều cao thùng bán kinh đáy

R Tính tỷ số h

R cho chi phí làm thùng nhỏ

A h

R  B

h

R  C

h

R D

h R 

Hướng dẫn giải:

Gọi V thể tích khối trụ, T giá tiền cho đơn vị Sxq

Ta có 2.h h tru2

tru V V R R      Ta có 2 2

2

day

tru tru xq

S R

V V

S R h R

R R             

Giá vật liệu để làm đáy là: 2

2d

G  R T  T R , Giá vật liệu làm xung quanh thùng

2 tru xq V G T R 

Giá vật liệu làm thùng là:

 

2 3

2

6

tru tru tru

thung tru

V T V T V T

G T R T R V T const

R  R R 

     

  3 2

min

3 tru 6

thung tru tru

V T h

G V T T R V R

R   R

       

Câu 30: Một nhà máy sản xuất cần thiết kế thùng sơn dạng hình trụ có nắp đậy với dung tích

1000cm Bán kính nắp đậy để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu A 3 500

 cm B

5 10

 cm C

500

 cm D

5 10

 cm Hướng dẫn giải:

Chọn A

Gọi h  cm chiều cao hình trụ R  cm bán kính nắp đậy Ta có: V R h2 1000 Suy h 10002

R





Để nhà sản xuất tiết kiệm nguyên vật liệu diện tích tồn phần Stp hình trụ nhỏ

Ta có: 2

2

1000

2 2

tp

S R Rh R R

R

   



   

3

2 1000 1000 3 1000 1000

2 R R 1000

R R R R

  

Trang | 18

Đẳng thức xảy 1000 3 500

2 R R

R





  

Câu 31: Một viên phấn bảng có dạng khối trụ với bán kính đáy 0,5cm, chiều dài 6cm Người

ta làm hình hộp chữ nhật carton đựng viên phấn với kích thước 6cm5cm6cm Hỏi cần hộp kích thước để xếp 460 viên phấn?

A 17 B 15 C 16 D 18

Hướng dẫn giải: Chọn C

Có cách xếp phấn theo hình vẽ đây:

Nếu xếp theo hình H1: đường kính viên phấn 2.0,5 1 cm nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 6.530

Nếu xếp theo hình H2: hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp n1,n 

Ta có ABC cạnh

2

CM

 

Ta phải có 2.0,5

2

n n

     xếp tối đa hàngmỗi hộp xếp tối đa số viên phấn là:3.6 2.5 28

Nếu xếp theo hình H3:hàng viên xen kẽ hàng viên Gọi số hàng xếp m1,m 

Ta phải có 2.0,5 10

2

m m

     xếp tối đa hàng nên hộp xếp tối đa số viên phấn là: 3.5 3.4 27

Vậy, xếp theo hình H1 xếp nhiều phấn nhất, nên cần hộp Ta có 460 : 30 15,3 cần 16 hộp để xếp hết 460 viên phấn

Câu 32: Một khối cầu có bán kính 5 dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng

song song vng góc đường kính cách tâm khoảng 3 dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa

được

A 100  3

3  dm B  

3

43

3  dm

M

A B

C

H 1

H 2

Trang | 19 C  3

41 dm D  3

132 dm

Hướng dẫn giải: Chọn D

Cách 1: Trên hệ trục tọa độ Oxy, xét đường tròn ( ) : (C x5)2y2 25 Ta thấy cho nửa

trên trục Ox  C quay quanh trục Ox ta mặt cầu bán kính Nếu cho hình phẳng  H giới hạn nửa trục Ox  C , trục Ox, hai đường thẳng x0, x2 quay xung quanh trục Ox ta khối trịn xoay phần cắt khối cầu đề

Ta có 2

(x5) y 25  y 25 ( x 5)

 Nửa trục Ox  C có phương trình 2

25 ( 5) 10

y  x  xx

 Thể tích vật thể tròn xoay cho  H quay quanh Ox là:

 

2

2

1

0 0

52

10 d

3

x

V  xx x x    

 



Thể tích khối cầu là:

2

4 500

V

3

 

 

Thể tích cần tìm:  3

500 52

2 132

3

V V  V       dm

Câu 33: Một tục lăn sơn nước có dạng hình trụ Đường kính đường trịn đáy 5cm, chiều dài lăn 23cm (hình bên) Sau lăn trọn 15 vịng trục lăn tạo nên sân phẳng diện diện tích

A 1725 cm2 B 3450 cm2

C 1725 cm2 D 862,5 cm2

Hướng dẫn giải: Chọn B

Diện tích xung quanh mặt trụ

2

2 5.23 230

xq

S  Rl   cm

Sau lăn 15 vịng diện tích phần sơn là:

230 15 3450

S    cm

23 cm

Trang | 20 Câu 34: Một bóng bàn chén hình trụ có chiều cao Người ta đặt bóng lên

chiếc chén thấy phần ngồi bóng có chiều cao

4 chiều cao Gọi V1, V2 thể tích bóng chén, đó:

A 9V18V2 B 3V12V2 C 16V19V2 D 27V18V2

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi r1 bán kính bóng, r2 bán kính chén, h chiều cao chén

Theo giả thiết ta có h2r1 r1 2h

1

2

r h OO  

Ta có

2

2

2

3

2 16

h h

r        h

   

Thể tích bóng

3

3

1

4

3

h

V  r      h

 

và thể tích chén nước

2

3

16

V B hr h h

8

V V

 

Câu 35: Phần không gian bên chai nước có hình dạng hình bên Biết bán kính đáy

bằng R5cm, bán kính cổ r2cm AB, 3cm, BC6cm,CD16cm Thể tích phần khơng gian bên chai nước bằng:

A  3

495 cm B  3

462 cm

C  3

490 cm D  3

412 cm

Hướng dẫn giải:

Thể tích khối trụ có đường cao CD: V1 R CD2 400 cm3

Thể tích khối trụ có đường cao AB:  3

2 12

V r AB  cm

Ta có

2

MC CF

MB MB  BE   

Thể tích phần giới hạn BC:

 2   3

3 78

3

V  R MCr MB   cm

Suy ra:  3

1 490

V   V V V   cm

Chọn C

Câu 36: Bạn A muốn làm thùng hình trụ khơng đáy từ ngun liệu mảnh tơn hình tam giác ABC có cạnh 90  cm Bạn muốn cắt mảnh tơn hình chữ nhật MNPQ từ mảnh tôn nguyên liệu (với M , N thuộc cạnh BC; P Q tương ứng thuộc cạnh AC AB) để tạo

R=5

r=2

M

C F

Trang | 21

thành hình trụ có chiều cao MQ Thể tích lớn thùng mà bạn A làm là:

A 91125 3

4 cm B  

3

91125

2 cm

C 108000 3 cm3

 D  

3

13500

cm



Hướng dẫn giải:

Gọi I trung điểm BC Suy I trung điểm MN Đặt MN=x ( 0 x 90 );

3

(90 )

2

MQ BM

MQ x

AI BI

    

Gọi R bán kính trụ

2

x R

  

2 3

( ) (90 ) ( 90 )

2

T

x

V  x x x

 

     

Xét ( ) 3( 90 2)

8

f x x x



   với 0 x 90 Khi đó:

(0;90)

13500 max ( )

x

f x



  x= 60

Câu 37: Nhà Nam có bàn trịn có bán kính m Nam muốn mắc bóng điện phía bàn cho mép bàn nhận nhiều ánh sáng Biết

cường độ sáng C bóng điện biểu thị cơng thức ( góc tạo tia

sáng tới mép bàn mặt bàn, c - số tỷ lệ phụ thuộc vào nguồn sáng, l khoảng cách từ mép bàn tới bóng điện) Khoảng cách nam cần treo bóng điện tính từ mặt bàn

A 1m B 1,2m C 1.5 m D 2m

Hướng dẫn giải:

2

2

sin

C c l



 

2

α l

N M

Đ

I

h

A

B M N C

Trang | 22

Gọi h độ cao bóng điện so với mặt bàn (h > 0); Đ bóng điện; I hình chiếu Đ lên mặt bàn MN đường kính mặt bàn.( hình vẽ)

Ta có , suy cường độ sáng là:

Lập bảng biến thiên ta thu kết C lớn ,

Câu 38: Với đĩa trịn thép tráng có bán kính R 6m phải làm phễu cách cắt hình quạt đĩa gấp phần cịn lại thành hình trịn Cung trịn hình quạt bị cắt phải độ để hình nón tích cực đại?

A  66 B 294 C 12,56 D 2,8

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta nhận thấy đường sinh hình nón bán kính đĩa trịn Cịn chu vi đáy hình nón chu vi đĩa trừ độ dài cung tròn cắt Như ta tiến hành giải chi tiết sau:

Gọi x m( ) độ dài đáy hình nón (phần cịn lại sau cắt cung hình quạt dĩa)

Khi

2

x x r r



  

Chiều cao hình nón tính theo định lí PITAGO

2

2 2

2

4

x

h R r R



   

Thể tích khối nón là:

2

2

2

1

3 4

x x

V r h  R

 

  

Đến em đạo hàm hàm V x( ) tìm GTLN V x( ) đạt

3

x  R  

sin h

l

  2

2

h  l

2

2

( ) l ( 2)

C l c l

l 

 

  46 2  

'

l

C l c l

l l



   



   

'

C l   l l

6

l

O

N

Trang | 23

Suy độ dài cung tròn bị cắt là: 2R4 0

360 66

2

  

 

  

Câu 39: Một công ty nhận làm thùng phi kín hay đáy với thể tích theo yêu cầu

2m

mỗi yêu cầu tiết kiệm vật liệu Hỏi thùng phải có bán kính đáy R chiều cao h bao nhiêu?

A ,

R m h m B ,

R m h m.C ,

R m h m D R1 ,m h2m

Hướng dẫn giải: Chọn A

Gọi R bán kính đáy thùng (m), h: chiều cao thùng (m) ĐK: R0,h0

Thể tích thùng là: V R2h R h2 h 22

R

 

     

Diện tích toàn phần thùng là:

 

2

2

2

2 R R R R

tp

S h h R R R

R R

       

          

   

Đặt   2  

2

f t t t

t

 

    

  với tR

     

2

4

1

' t , ' 1

f t t f t t

t t



  

        

 

Từ bảng biến thiên… ta cần chế tạo thùng với kích thước R1 ,m h2m

Câu 40: Có cốc làm giấy, úp ngược hình vẽ Chiều cao cốc 20cm, bán kính đáy cốc 4cm, bán kính miệng cốc 5cm Một kiến đứng điểm A miệng cốc dự định bò hai vòng quanh than cốc để lên đến đáy cốc điểm B Quãng đường

ngắn để kiến thực dự định gần với kết dước đây?

A 59,98cm B 59,93cm C 58, 67cm D 58,80cm

Trang | 24 Chọn D

Đặt b a h, , bán kính đáy cốc, miệng cốc chiều cao cốc,  góc kí hiệu hình vẽ Ta “trải” hai lần mặt xung quanh cốc lên mặt phẳng hình quạt khuyên với cung nhỏ BB"4b cung lớn AA"4a

Độ dài ngắn đường kiến độ dài đoạn thẳng BA” Áp dụng định lí hàm số cosin ta được:

2

2 cos (1)

l BO OA  BO OA  2

( )

B A  AB a b h ( ) 1

2

4 (AA )

a a l BB OA OB AB AB AB

b

b b l OB OB b

 



 



 

       



2

2 ( ) ( )

( )

( )

a b a b

a

AB a b h

 

  

  

 

2

( )

1 b a b h ( )

AB a a b

OB b

OB b b a b

 



    



2

2

( )

( ) ( )

b a b h

OA OB BA a b h c

a b

 

      



Thay (a), (b), (c) vào (1) ta tìm l

58, 79609 58,80

l cm

Ghi chú. Để tồn lời giải đoạn BA” phải khơng cắt cung BB điểm khác B,

tức BA” nằm tiếp tuyến BB B Điều tương đương với

2 cos b

a

   

    Tuy nhiên, lời giải thí sinh khơng u cầu phải trình bày điều kiện (và đề cũng cho thỏa mãn yêu cầu đó).

Câu 41: Gia đình An xây bể hình trụ tích 150 m3 Đáy bể làm bê tông giá 100000 đ m/ Phần thân làm tôn giá 90000 /đ m2, nắp nhôm giá 120000đ m/ Hỏi chi phí sản suất để bể đạt mức thấp tỷ số chiều cao bể bán kính đáy bao nhiêu?

A 22

9 B

9

22 C

31

22 D

21 32

A

B B

Trang | 25 Hướng dẫn giải: :

Chọn A

Ta có: V 150 R h2 150 h 1502

R





    

Mà ta có: f R 100000R2120000R2180000Rh

  2

2

150 27000000

220000 180000 220000

f R R R R

R R

  



   

Để chi phí thấp hàm số f R  đạt giá trị nhỏ với R0

 

27000000 440000 27000000

440000 R

f R R

R R



 

    , cho  

3

30

440

f R R



   

Lập BBT, từ BBT suy  

0

min

R f R

30 440

R

 

Nên 1503 22

9

h

RR 

Câu 42: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước. Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20000 đồng/

1 m (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)?

A 35279 đồng B 38905 đồng C 42116 đồng D 31835 đồng

Hướng dẫn giải: Chọn D

Ta xét hình nón đỉnh A, đường cao h80 cmđáy đường tròn tâm O, bán kính 30 cm Mặt phẳng   cách mặt đáy 80 cm cắt hình nón theo giao tuyến đường trịn tâm 'O

có bán kính 20 cm Mặt phẳng   chia hình nón thành phần Phần I phần chứa đỉnh A, phần II phần không chứa đỉnh A ( Như hình vẽ)

Ta có ' ' ' ' 160 cm

' '

O B AO AO

Trang | 26

Thể tích hình nón 302 72000 cm3

3

V  AO  

Thể tích phần I

1

1 64000

' .20 cm

3

V  AO   

Vậy thể tích xơ thể tích phần II  3

2

152000 19

cm m

3 375

V   V V   

Vậy số tiền phải trả 19 10.20000 31835

375

T    đồng

Câu 43: Một cốc nước hình trụ có chiều cao 9cm, đường kính 6cm Mặt đáy phẳng dày 1cm, thành cốc dày 0, 2cm Đổ vào cốc 120ml nước sau thả vào cốc viên bi có đường kính 2cm Hỏi mặt nước cốc cách mép cốc cm (Làm tròn đến hai chữ số sau dấu phẩy)

A 3, 67cm B 2, 67cm C 3, 28cm D 2, 28cm

Hướng dẫn giải: Chọn D

Thành cốc dày 0, 2cmnên bán kính đáy trụ 2,8cm Đáy cốc dày 1cmnên chiều cao hình trụ 8cm Thể tích khối trụ V  2,8 197, 04 2   cm3

Đổ 120ml vào cốc, thể tích lại  3

197, 04 120 77, 04 cm

Thả viên bi vào cốc, thể tích viên bi .14 20,94 ( 3)

bi

V    cm

Thể tích cốc cịn lại  3

77, 04 20,94 56,1 cm

Ta có 56,1h' 2,8  2 h' 2, 28cm

Cách khác: Dùng tỉ số thể tích

 2

8 2,8

5, 72

120

coc Tr

nuoc bi nuoc bi nuoc bi nuoc bi

h V

h

V V h h



 

 

    

 

Chiều cao lại trụ 5, 72 2, 28 Vậy mặt nước cốc cách mép cốc 2, 28cm

Câu 44: Người ta xếp hình trụ có bán kính đáy r chiều cao h vào lọ hình trụ

cũng có chiều cao h, cho tất hình trịn đáy hình trụ nhỏ tiếp xúc với đáy hình trụ lớn, hình trụ nằm tiếp xúc với sáu hình trụ xung quanh, hình trụ xung quanh tiếp xúc với đường sinh lọ hình trụ lớn Khi thể tích lọ hình trụ lớn là:

A 16r h2 B 18r h2 C 9r h2 D 36r h2

Trang | 27

Ta có hình vẽ minh họa mặt đáy hình cho trên, ta rõ ràng nhận ,

R r đề phức tạp, nhiên để ý kĩ lại đơn giản Vậy

 2 2

V B h r  h r h

Câu 45: Từ kim loại dẻo hình quạt hình vẽ có kích thước bán kính R5 chu vi hình quạt P810, người ta gò kim loại thành phễu theo hai cách: Gò kim loại ban đầu thành mặt xung quanh phễu

4 Chia đôi kim loại thành hai phần gò thành mặt xung quanh hai phễu

Gọi V1 thể tích phễu thứ nhất, V2 tổng thể tích hai phễu cách Tính

V V ?

A

21

V

V  B

1

2 21

V

V  C

1

2

V

V  D

1

6

V V 

Hướng dẫn giải:

Do chu vi hình quạt trịn P = độ dài cung + 2R Do độ dài cung trịn l8

Theo cách thứ nhất: 8 chu vi đường tròn đáy phễu Tức 2r8  r

Khi 2 2

5

h R r   

2

1

V 

 

Theo cách thứ hai: Thì tổng chu vi hai đường trịn đáy hai phễu 8  chu vi đường tròn đáy 442 r  r

Khi 2 2

5 21

Trang | 28

2

1

2 21.2

3

V 

 

Khi

2

4 21

7 21

3

V

V  

Câu 46: Cho miếng tơn hình trịn có bán kính 50cm Biết hình nón tích lớn diện tích tồn phần hình nón diện tích miếng tơn Khi hình nón có bán kính đáy

A 10 2cm B 20cm C 50 2cm D 25cm

Hướng dẫn giải:

Đặt a50cm

Gọi bán kính đáy chiều cao hình nón x y x y,  , 0 Ta có

2 2

   

SA SH AH x y

Khi diện tích tồn phần hình nón  2 2

tp

S x x x y

Theo giả thiết ta có

   

2 2 2 2

4

2 2 2 2 4 2

2

2 , :

2

      

           



x x x y a x x y x a

a

x x y a x x x y a x a x DK x a x

y a

  

Khi thể tích khối nón

4

4

2 2

1

3

 

 

a y

V y a

y a y a

 

V đạt giá trị lớn

2

2



y a

Trang | 29

Ta có

2 2

2 2

2 2

    

y a a a

y y a

y y y

Vậy V đạt giá trị lớn

2

2

 a y

y , tức  2  2 25

a

y a x cm

Lưu ý: Bài em xét hàm số lập bảng biến thiên

Câu 47: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R =10cm, đặt khung hình hộp chữ nhật (hình 1) Trong chậu có chứa sẵn khối nước hình chỏm cầu có chiều cao h = 4cm.

Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi (hình 2) Bán kính viên bi gần số nguyên sau (Cho biết thể tích khối chỏm

cầu

3

 

   

 

h

V h R )

A 2 B 4 C 7 D 10

Hướng dẫn giải:

Gọi x là bán kính viên bi hình cầu Điều kiện: < 2x <100 < x < 50

- Thể tích viên bi

3



bi

V x

- Thể tích khối nước hình chỏm cầu chưa thả viên bi vào

2

4 416

16 10

3 3

   

      

   

h

V h R  

- Khi thả viên bi vào khối chỏm cầu gồm khối nước viên bi có

thể tích là:

2

2

2 (30 )

(2 )

3



 

   

 

x x x

V  x R 

- Ta có phương trình:

2

3

2

3

4 (30 ) 416

4 (30 ) 416

3 3

3 30 104



        

   

bi

x x

V V V x x x x

x x

     

Trang | 30

x2 2,0940 < (thỏa mãn), x3 - 1,8197 (loại)

Vậy bán kính viên bi là: r  2,09 (cm)

Câu 48: Một người có dải băng dài 130 cm, người cần bọc dải băng đỏ quanh hộp quà hình trụ Khi bọc quà, người dùng 10 cm dải băng để thắt nơ nắp hộp (như hình vẽ minh họa) Hỏi dải băng bọc hộp quà tích lớn bao nhiêu?

A

4000  cm B

32000  cm C

1000  cm D

16000  cm

Hướng dẫn giải:

Một toán thực tế hay ứng dụng việc tìm giá trị lớn hàm số Ta nhận thấy, dải băng tạo thành hai hình chữ nhật quanh hộp, chiều dài dải băng tổng chu vi hai hình chữ nhật Tất nhiên chiều dài băng phải trừ phần băng dùng để thắt nơ, có nghĩa là: 22 2 rh120 h 30 2 r

Khi thể tích hộp q tính cơng thức:

   

2

30 2 30

V B h r  r   r  r

Xét hàm số f r  2r330r2 0;15 

    0 

' 60 ; '

10

r l

f r r r f r

r  

     

 

Khi vẽ BBT ta nhận

0;10    10

Max f r  f Khi thể tích hộp quà

2

.10 10 1000

V B h  

Câu 49: Một khối gạch hình lập phương (khơng thấm nước) có cạnh đặt vào chiếu phễu hình nón trịn xoay chứa đầy nước theo cách sau: Một cạnh viên gạch nằm mặt nước (nằm đường kính mặt này); đỉnh cịn lại nằm mặt nón; tâm viên gạch nằm trục hình nón Tính thể tích nước lại phễu (làm tròn chữ số thập phân)

Trang | 31 Hướng dẫn giải:

Gọi R h, bán kính chiều cao hình nón (phễu)

Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, qua tâm viên gạch hình trịn có

bán kính R1 thỏa mãn R1 h 2h 2.R 3 1 

R h h

Thiết diện hình nón song song với đáy hình nón, chứa cạnh đối diện với cạnh nằm đáy

của hình nón hình trịn có bán kính R2 1 thỏa mãn R2 h2 h2 2.R1 2 

R h h

Từ (1) (2) suy

2 2

    

 h

h

h R2 1

Thể tích lượng nước cịn lại phễu V Vnón - Vgạch 23 22, 2676

 R h 

Câu 50: Một nồi hiệu Happycook dạng hình trụ khơng nắp chiều cao nồi 11.4 cm, đường kính dáy 20.8 cm Hỏi nhà sản xuất cần miếng kim loại

hình trịn có bán kính Rtối thiểu để làm nồi (không kể quay nồi)

A R18.58cm B R19.58cm

C R13.13cm D R14.13cm

Hướng dẫn giải:

Diện tích xung quanh nồi

1

5928

2 10, 4.11,

25

     

S rl

Diện tích đáy nồi

2

2704 25

  

S r

Suy diện tích tối thiểu miếng kim loại hình trịn

2

8632

18.58 25

      

Trang | 33

Website HOC247 cung cấp môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thơng minh, nội dung giảng biên soạn công phu giảng dạy giáo viên nhiều năm kinh nghiệm,

giỏi kiến thức chuyên môn lẫn kỹ sư phạm đến từ trường Đại học trường chuyên

danh tiếng

I Luyện Thi Online

- Luyên thi ĐH, THPT QG: Đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ Trường ĐH THPT danh tiếng

xây dựng khóa luyện thi THPTQG các mơn: Tốn, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học

Sinh Học

- Luyện thi vào lớp 10 chun Tốn: Ơn thi HSG lớp 9 luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán

trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An trường

Chuyên khác TS.Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Trịnh Thanh Đèo Thầy Nguyễn Đức Tấn.

II Khoá Học Nâng Cao HSG

- Toán Nâng Cao THCS: Cung cấp chương trình Tốn Nâng Cao, Tốn Chun dành cho em HS

THCS lớp 6, 7, 8, yêu thích mơn Tốn phát triển tư duy, nâng cao thành tích học tập trường đạt điểm tốt kỳ thi HSG

- Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp

dành cho học sinh khối lớp 10, 11, 12 Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS Lê Bá Khánh Trình, TS Trần Nam Dũng, TS Phạm Sỹ Nam, TS Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn đơi HLV đạt thành tích cao HSG Quốc Gia

III Kênh học tập miễn phí

- HOC247 NET: Website hoc miễn phí học theo chương trình SGK từ lớp đến lớp 12 tất

các môn học với nội dung giảng chi tiết, sửa tập SGK, luyện tập trắc nghiệm mễn phí, kho tư liệu tham khảo phong phú cộng đồng hỏi đáp sôi động

- HOC247 TV: Kênh Youtube cung cấp Video giảng, chuyên đề, ôn tập, sửa tập, sửa đề thi miễn phí từ lớp đến lớp 12 tất mơn Tốn- Lý - Hố, Sinh- Sử - Địa, Ngữ Văn, Tin Học Tiếng Anh

Vững vàng tảng, Khai sáng tương lai

Học lúc, nơi, thiết bi – Tiết kiệm 90%

Học Toán Online Chuyên Gia