Hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) lần lượt ñi qua hai ñường thẳng song song AB và CD nên giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là ñường thẳng ñi qua ñiểm S và song song với AB.. Mặt[r]
(1)KIỂM TRA HỌC KỲ I
Họ tên :……… Mơn : TỐN - LỚP 11 NÂNG CAO Lớp :……… Thời gian làm : 90 phút
……… ðỀ SỐ
Bài 1(2,5 ñiểm)
Giải phương trình :
1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = 2/ cos2x – 3cosx + = 3/
2
sin 2sin cos
0 sin
x x x
x
− −
= +
Bài (0,75điểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số : 3sin(3 ) cos(3 )
6
y = x+π + x+π
Bài ( 1, điểm )
1/ Tìm hệ số số hạng chứa x 31 khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15 2/ Từ chữ số , , , , , , lập ñược số chẵn có bốn chữ số khác
Bài ( 1,5 ñiểm ) Một hộp chứa 10 cầu trắng cầu ñỏ ,các cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu
1/ Có cách lấy cầu đỏ 2/ Tìm xác suất để lấy cầu ñỏ Bài ( 1,5 ñiểm )
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho hai ñiểm A(- ; 3) , B(1 ; - 4) ;
ñường thẳng d : 3x – 5y + = ; đường trịn (C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = Gọi B’ , (C’) ảnh B , (C ) qua phép ñối xứng tâm O Gọi d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
1/ Tìm toạ ñộ ñiểm B’ ; Tìm phương trình d’ (C ’ )
2/ Tìm phương trình ñường tròn (C”) ảnh (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2 Bài ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung ñiểm SA , SD P ñiểm thuộc ñoạn thẳng AB cho AP = 2PB
1/ Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABCD) 2/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD)
3/ Tìm giao điểm Q CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình ?
4/ Gọi K giao điểm PQ BD Chứng minh ba ñường thẳng NK , PM SB ñồng qui ñiểm
………
KIỂM TRA HỌC KỲ I
(2)Lớp :……… Thời gian làm : 90 phút ……… ðỀ SỐ
Bài 1(2,5 điểm)
Giải phương trình :
1/ 2sin( 3x + 250 ).cos( 3x + 250 ) = -1 2/ cos2x+ 3sinx - = 3/
2
sin sin 3cos
0
2 cos
x x x
x
+ −
= −
Bài (0,75điểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số :
5sin(2 ) 3cos(2 )
4 4
y = x+π + x+π
Bài ( 1, điểm )
1/ Tìm hệ số số hạng chứa x 33 khai triển biểu thức ( 3x3 – x)15 2/ Từ chữ số , , , , , ,8 lập số chẵn có bốn chữ số khác
Bài ( 1,5 ñiểm ) Một hộp chứa 12 cầu trắng cầu ñỏ ,các cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu
1/ Có cách lấy ñúng cầu ñỏ 2/ Tìm xác suất ñể lấy ñược cầu ñỏ Bài (1,5 ñiểm )
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho hai ñiểm A(- ; 2) , B(1 ; - 3) ;
ñường thẳng d : 2x – 3y + = ; ñường tròn (C ) : (x + 1)2 + (y – 4)2 = Gọi B’ , (C’) ảnh B , (C ) qua phép ñối xứng tâm O Gọi d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
1/ Tìm toạ đồ điểm B’ ; Tìm phương trình d’ (C ’ )
2/ Tìm phương trình đường trịn (C”) ảnh (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = Bài ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình bình hành Gọi E , F trung ñiểm SA , SD G ñiểm thuộc ñoạn thẳng AB cho AG = 2GB
1/ Chứng minh EF song song với mặt phẳng (ABCD) 2/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD)
3/ Tìm giao điểm H CD với mặt phẳng (EFG) Mặt phẳng (EFG) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình ?
4/ Gọi K giao ñiểm GH BD Chứng minh ba ñường thẳng FK , GE SB ñồng qui điểm
………
ðÁP ÁN ðỀ TỐN 11 NÂNG CAO
H ỌC KỲ I
(3)ðỀ SỐ
Bài câu Hướng dẫn ðiểm
1
1
Bài 1(2,5 ñiểm)
Giải phương trình :
1/ 2sin( 2x + 150 ).cos( 2x + 150 ) = <=> sin(4x +300) =1 <=>
Z k , 360 90 30
4x+ = +k ∈
Z k , 90
150+ ∈
=
⇔ x k
0,5
2/ cos2x – 3cosx + = <=> 2cos2x - - 3cosx + = <=> 2cos2x - 3cosx + =
<=> ,k Z 2 cos cos ∈ + ± = = ⇔ = = π π π k x k x x x 1 3/ 2
sin 2sin cos
0 sin
x x x
x
− −
=
+ (1)
ðK : ,k Z
2 2 sin ∈ + ≠ + − ≠ ⇔ − ≠ π π π π k x k x x
Với điều kiện phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
sin2x - 4sinx.cosx - 5cos2x =
Ta có cosx = khơng thoả mãn phương trình (1) Do , cosx ≠ , chia hai vế phương trình (1) ta phương trình tan2x - 4tanx - =
Giải phương trình ta có : Z k ,
tanx=− ⇔x=−π +kπ ∈
hoặc tanx = <=> x=arctan5+kπ ,k∈Z
Kết hợp với ñiều kiện , ta ñược nghiệm phương trình cho :
Z k , arctan x , ) (
4 + + = + ∈
−
= π k π kπ
x
1
2 Bài (0,75ñiểm )
(4)3sin(3 ) cos(3 )
6
y= x+π + x+π
+ +
= π) α
6 ( sin
5 x
y với cosα =
5
3 sinα = Hàm số có giá trị nhỏ -
khi )
6 (
sin =−
+π +α
x
Hàm số có giá trị lớn
) (
sin =
+π +α
x
3 1
Bài ( 1, ñiểm )
1/ Tìm hệ số chứa x 31 khai triển biểu thức ( 3x – x3 )15
Số hạng tổng quát khai :
k k
k k
k k
k
x C
x x
C
T = 15.(3 )15− .(− 3) = 15.(−1) .315− . 15+2
với ≤ k ≤ 15 , k ∈Z
Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x31 nên 15 + 2k = 31 <=> k = ( thoả mãn)
Hệ số số hạng cần tìm : C158.(−1)8.37 = 14073345
3 .
15 =
C
0,75
2
2/ Từ chữ số , , , , , , lập số chẵn có bốn chữ số khác
Số cần tìm có dạng abcd ,trong a , b , c , d thuộc tập hợp {1 ,2 ,3 ,4 ,5 ,6, 7} đơi khác
Vì số cần lập số chẵn nên d ∈{2 ,4 ,6} Do chữ số d có cách chọn Có A63 cách chọn ba chữ số a ,b ,c
Vậy có 3.A36 =360 số thoả yêu câu toán
0,75
4 1
Bài ( 1,5 ñiểm ) Một hộp chứa 10 cầu trắng cầu ñỏ ,các cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu
1/ Có cách lấy cầu đỏ
Số cách lấy ñúng cầu màu ñỏ . 102 2520
8 C =
C
0,5
Không gia mẫu ,(của phép thử ngẫu nhiên lấy cầu từ 18 cầu khác màu ) có số phần tử : C185 =8568
Gọi A biến cố lấy ñược cầu màu ñỏ
(5)-Số cách lấy ñược ñúng cầu màu ñỏ : 2520 - Số cách lấy ñược cầu ñỏ . 101 700
4
8 C =
C
-Số cách lấy ñược cầu ñều màu ñỏ : C85 = 56
Xác suất biến cố lấy cầu màu đỏ : 38
, 8568
56 700 2520 )
(A = + + ≈
P
5 1
Bài ( 1,5 ñiểm )
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho hai ñiểm A(- ; 3) , B(1 ; - 4) ;
ñường thẳng d : 3x – 5y + = ; đường trịn
(C ) : (x + 4)2 + (y – 1)2 = Gọi B’ , (C’) ảnh B , (C ) qua phép ñối xứng tâm O Gọi d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
1/ Tìm toạ đồ điểm B’ ; Tìm phương trình d’ , (C ’ )
Ta có : B’ = (-1 ; ) d’: -3x + 5y + =
ðường trịn (C ) có tâm I(-4 ; 1) bán kính R = ðường trịn (C’) có tâm I’(4 ; - 1) R’ =
(C’) : (x – 4)2 + (y + 1)2 =
0,75
2
2/ Tìm phương trình đường trịn (C”) ảnh (C )qua phép vị tâm O tỉ số k = -2
Gọi I’’ tâm đường trịn (C’’) ,khi ñó
OI
OI '' = −2 mà OI = (−4;1) Suy OI '' = (8;−2) => I ''=(8;−2) Và R’’ = 2R =
Vậy (C’’) : (x – 8)2 + (y + 2)2 = 16
0,75
6 1
Bài ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có ñáy ABCD hình bình hành Gọi M , N trung ñiểm SA , SD P ñiểm thuộc ñoạn thẳng AB cho AP = 2PB
(6)K
Q
I
P
N M
D A
B
C S
1/ Chứng minh MN song song với mặt phẳng (ABCD)
MN đường trung bình tam giác SAD
Vì MN nằm ngồi mặt phẳng (ABCD) MN // AD nên MN // (ABCD)
2 Giao tuyến hai mặt phẳng (SBC) (SAD)là
ñường thẳng ñi qua S song song với AD 0,25
3
3/ Tìm giao điểm Q CD với mặt phẳng (MNP) Mặt phẳng (MNP) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình ?
Ba mặt phẳng (MNP) ,(SAD) (ABCD) cắt theo ba giao tuyến MN , PQ , AD , ñồng thời MN //AD nên ba ñường thẳng PQ , MN AD đơi song song Trong mặt phẳng (ABCD) , qua ñiểm P kẻ ñường thẳng song song với AD ,cắt CD Q ðiểm Q giao điểm cần tìm
0,75
4
4/ Gọi K giao ñiểm PQ BD Chứng minh ba ñường thẳng NK , PM SB ñồng qui ñiểm Trong mặt phẳng (SAB) , hai ñường thẳng SB PM không song song nên chúng cắt I
Suy I ñiểm chung hai mặt phẳng (MNP) (SBD)
Lại có (SBD) (MNP) cắt theo giao tuyến KN nên ñiểm I phải thuộc ñường thẳng NK
Vậy ba ñường thẳng SB , MP , NK ñồng qui I
0,5
ðÁP ÁN TOÁN L ỚP 11 NÂNG CAO
HỌC KÌ I
- ðỀ SỐ
(7)1 1
Bài 1(2,5 ñiểm)
Giải phương trình :
1/ 2sin( 3x + 250 ).cos( 3x + 250 ) = -1 <=> sin(6x +500) = -1 <=>
Z k k x k x k x ∈ + − = ⇔ + − = ⇔ + − = + , 60 70 360 140 360 90 50 0 0 0 0,5 2
2/ cos2x+ 3sinx - = <= > 1-2sin2x +3sinx – =
<=> 2sin2x – 3sinx + =
<=> + = + = + = ⇔ = = π π π π π π 6 2 sin sin k x k x k x x x 1 3 3/ 2
sin sin 3cos
0
2 cos
x x x
x
+ −
= −
ðK : ,k Z
2 4 2 cos ∈ + − ≠ + ≠ ⇔ ≠ π π π π k x k x x
Với điều kiện phương trình (1) tương đương với phương trình sau:
sin2x +2sinx.cosx - 3cos2x =
Ta có cosx = khơng thoả mãn phương trình (1) Do ñó , cosx ≠ , chia hai vế phương trình (1) ta phương trình tan2x +2tanx - =
Giải phương trình ta có : Z k ,
tanx= ⇔ x=π +kπ ∈
hoặc tanx = -3 <=> x=arctan(−3)+kπ ,k∈Z Kết hợp với ñiều kiện , ta ñược nghiệm phương trình ñã cho :
Z k , ) arctan( x , ) (
4 + + = − + ∈
=π k π kπ
x
1
2
Bài (0,75ñiểm )
Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số
(8)5sin(2 ) 3cos(2 )
4 4
y = x+π + x+π + + = π) α ( sin 34 x
y với cosα =
34
sinα =
34
Hàm số có giá trị nhỏ − 34
khi )
4 (
sin =−
+π +α
x
Hàm số có giá trị lớn 34 ) ( sin = +π +α x
3 1
Bài ( 1, điểm )
1/ Tìm hệ số số hạng chứa x 33 khai triển biểu thức ( 3x3 – x)15
Số hạng tổng quát khai :
k k k k k k k k k k k k x C x x C x x C T 45 15 15 45 15 15 15 15 . 3 . ) 1 .( . . 3 . ) 1 .( ) .( ) 3 .( − − − − − − = − = − =
với ≤ k ≤ 15 , k ∈Z
Theo giả thiết số hạng cần tìm chứa x33 nên 45-2k = 33 <=>2k = 12 <=> k = ( thoả mãn) Hệ số số hạng cần tìm : C156 .(−1)6.39 =
9 15.3
C
0,75
2
2/ Từ chữ số , , , , , ,8 lập số chẵn có bốn chữ số khác
Giải
Số cần tìm có dạng abcd ,trong a , b , c , d thuộc tập hợp { ,3 ,4 ,5 ,6 ,7,8} đơi khác
Vì số cần lập số chẵn nên d ∈{2 ,4 ,6,8} Do ñó chữ số d có cách chọn
Có A63 cách chọn ba chữ số a ,b ,c
Vậy có 4.A36 số thoả yêu câu toán
0,75
4 1
Bài ( 1,5 ñiểm ) Một hộp chứa 12 cầu trắng cầu ñỏ ,các cầu khác màu Lấy ngẫu nhiên cầu
1/ Có cách lấy ñúng cầu ñỏ Số cách lấy ñược ñúng cầu màu ñỏ : 122
4 9.C
C
(9)2
2/ Tìm xác xuất để lấy ñược cầu ñỏ Số phần tử không gian mẫu : Lấy ngẫu nhiên cầu từ 21 cầu hộp nên số cách lấy : C216 Gọi A biển cố “ lấy qủa cầu đỏ” -Số cách lấy ñược ñúng qủa cầu màu ñỏ : 122
4 9.C C
-Số cách lấy ñược ñúng cầu màu ñỏ : 121 9.C C
-Số cách lấy ñược ñúng cầu màu ñỏ : C96
Xác suất biến cố A :
6 21
6 12 12
9. .
) (
C
C C C C C A
P = + +
1
5 1
Bài (1,5 ñiểm )
Trong mặt phẳng toạ ñộ Oxy cho hai ñiểm A(- ; 2) , B(1 ; - 3) ;
ñường thẳng d : 2x – 3y + = ; đường trịn (C ) : (x + 1)2 + (y – 4)2 = Gọi B’, (C’) ảnh B, (C) qua phép ñối xứng tâm O Gọi d’ ảnh d qua phép tịnh tiến theo vectơ AB
1/ Tìm toạ đồ ñiểm B’ ;
Tìm phương trình d’ , (C ’ )
Vì B’ ảnh B qua phép ñối xứng tâm O nên B’= (-1 ;3)
Phương trình d’ : -2x + 3y + = Phương trình (C’) : (x -1)2 + (y +4)2 =
0,75
2
2/ Tìm phương trình đường trịn (C”) ảnh (C )qua phép vị tâm O tỉ số k =
ðường trịn (C ) có tâm I(-1 ; 4) bán kính r = Gọi I’’ tâm đường trịn (C’’)
I’’ ảnh ñiểm I qua phép vị tự tâm O tỉ số k = Suy OI '' = 2OI
) 8 ; 2 ( '
' = −
OI , I ''= (−2 ;8)
Phương trình (C’’) : (x +2)2 + ( y -8)2 =
0,75
6 1 Bài ( 2,25 điểm ) Cho hình chóp S.ABCD có đáy
(10)ñiểm SA , SD G ñiểm thuộc ñoạn thẳng AB cho AG = 2GB
1/ Chứng minh EF song song với mặt phẳng (ABCD)
Vì EF đường trung bình tam giác SAD nên EF // AD
Như : // ( )
) (
) (
//
ABCD EF
ABCD EF
ABCD AD
AD EF
⇒
⊄ ⊂
2
2/ Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) ðiểm S ñiểm chung (SAB) (SCD)
Hai mặt phẳng (SAB) (SCD) ñi qua hai ñường thẳng song song AB CD nên giao tuyến hai mặt phẳng (SAB) (SCD) ñường thẳng ñi qua ñiểm S song song với AB
0,25
3
3/ Tìm giao điểm H CD với mặt phẳng (EFG) Mặt phẳng (EFG) cắt hình chóp S.ABCD theo thiết diện hình ?
Hai mặt phẳng (EFH) (ABCD) có điểm chung G Mặt phẳng (EFG) ñi qua EF mà EF // (ABCD) nên giao tuyến (EFG) (ABCD) ñường thẳng ñi qua G song song với EF , ñường thẳng cắt CD H Suy H giao ñiểm (EFG) với CD
Thiết diện cần tìm hình thang
0,75
4
4/ Gọi K giao ñiểm GH BD Chứng minh ba ñường thẳng FK , GE SB ñồng qui ñiểm
Ba mặt phẳng (SAB) , (SBD) (EFG) cắt theo ba giao tuyến phân biệt SB , EF FK
Mà mặt phẳng (SAB) có đường thẳng EF khơng song song với SB nên cắt ñường thẳng SB
Suy ba ñường thẳng SB , EG FK ñồng qui