[r]
(1)
Giải tích tốn học Tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khố: Giải tích tốn học, giải tích, tập hợp, số thực, ánh xạ.
Tài liệu Thư viện điện tửĐH Khoa học Tự nhiên sử dụng cho mục đích học tập nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm hình thức chép, in ấn phục vụ mục đích khác không chấp thuận nhà xuất tác giả Mục lục
Chương Tập hợp số thực
1.1 Khái niệm tập hợp
1.2 Số thực
1.3 Ánh xạ
1.4 Bài tập chương 11 Chương 1 Tập hợp số thực
(2)
Chương 1
Tập hợp số thực 1.1 Khái niệm về tập hợp 1.1.1 Tập hợp
Cho tập hợp M, để chỉx phần tử tập M ta viết x M∈ (đọc x thuộc M), để x phần tử tập M ta viết x M∉ (đọc x không thuộc M)
Tập hợp M có phần tửa, kí hiệu { }a
Tập hợp M khơng có phần tử gọi tập rỗng, ký hiệu ∅
Cho hai tập A và B Nếu phần tử Ađều phần tử B ta nói A tập
của B ta viết A⊆B
Nếu A tập B A B≠ ta nói A tập hợp thực tập hợp B và viết A⊂B Trong trường hợp tồn phần tử B mà phần tử A Ví dụ tập hợp số nguyên ] tập tập hợp số hữu tỷ _
Cho A, B, C ba tập hợp Khi có tính chất sau:
a) ∅ ∈A (1.1.1) )
)
⊆ ⊆ ⇒
⊂ ⊂ ⇒ ⊂
b c
vµ = (1.1.2)
vµ (1.1.3)
A B B A A B A B B C A C 1.1.2 Một số tập hợp thường gặp
Trong giáo trình đại sốở trường phổ thông trung học ta làm quen với tập hợp số tự nhiên `
`={ 0,1,2,…, n,…} (1.1.4)
`*={1,2,… n,…} (1.1.5)
Để xét nghiệm phương trình x+n = n∈` ta đưa thêm tập số nguyên ]:
{0, 1, 2, , , }
= ± ± ±
] n (1.1.6)
Để xét nghiệm phương trình mx + n = ,m n∈] ta đưa thêm tập số hữu tỷ _
| , 0,
⎧ ⎫
=⎨ = ≠ ∈ ⎬
⎩ ⎭
m
x x n m,n
n
(3)Ta biết bốn phép toán sở (cộng, trừ, nhân, chia) số hữu tỷ cách xếp chúng theo độ lớn (nếu a, b hai số hữu tỷ, chúng bé số thứ hai) Tổng a+b, hiệu a - b, tích a.b, thương a (b 0)
b ≠ hai số hữu tỷ a,b lại số hữu tỷ, với phép toán khác xét tập số hữu tỷ, ta thấy điều nêu khơng cịn
đúng Ví dụ phép lấy phép tốn Ta tìm bậc hai số 2, tức tìm số x mà bình phương Ta khẳng định khơng có số hữu tỷ mà bình phương Giả sử số hữu tỷ x tồn tại, ta viết dạng phân số tối giản p
q , p q có ước số chung 1± Khi
2
2
2 =2; 2=
p
p q
q cho
nên p2 số chẵn p số chẵn, p = 2m, m số nguyên, 4m2=2q2, 2m2=q2 q2 số chẵn q số chẵn Như p,q số chẵn,
điều mâu thuẫn với giả thiết p,q có ước chung 1± Mâu thuẫn nhận chứng minh khẳng định
Từ nguyên nhân này, toán học ta đưa thêm vào số mới, số vơ tỷ Ví dụ vể số vơ tỷ 2, 3, lg3, π, sin20o…
Tập số hữu tỷ số vô tỷđược gọi tập số thực kí hiệu \ Như ta có bao hàm thức:
⊂ ⊂ ⊂
` ] _ \ (1.1.8)
1.1.3 Các phép toán tập hợp
a) Hợp A B∪ tập hợp A tập hợp B, đọc “A hợp B” tập hợp định nghĩa bởi:
{ | }
∪ = ∈ ∈
A B x x Ahc x B (1.1.9)
b) GiaoA B∩ hai tập hợp A B, đọc “A giao B” tập hợp định nghĩa bởi:
{ | }
A B∩ = x x A∈ vµ x∈B (1.1.10) c) Hiệu A B| ={ |x x∈A vµ x∉B} (1.1.11) Ta nói tập A và B rời A B∩ = Φ
d) Bổ sung CAB B A (B⊆ A) tập hợp định nghĩa
={ | ∈ vµ ∉ } A
C B x x A x B (1.1.12) Phép giao, hợp bổ sung có tính chất sau:
i) (A∩B)∩ =C A∩(B∩C) (1.1.13)
ii) (A∪B)∪ =C A∪(B∪C) (1.1.14)
iii) (A∩B)∪ =C (A∪C)∩(B∪C) (1.1.15)
iv) (A∩B)∪ =C (A∩C)∪(B∩C) (1.1.16)
v) A\ ∅ = A, \ A=∅ ∅ (1.1.17)
(4)vii) CA(B1∩B2)=C BA 1∪C BA 2 (1.1.19)
1.1.4 Tích Đề
Cho hai tập hợp A,B khơng rỗng Tích Đề hai tập hợp A B, kí hiệu A×B tập hợp cặp (x,y) x∈A y, ∈B, đồng thời (x,y)= (a,b) x = a, y =
b
Như
A×B ={(x,y)| x∈A y, ∈B} (1.1.20) Thay cho A×A ta viết A2
Ví dụ: {1,2}×{2,3,4} = {(1,2); (1,3); (1,4); (2,2); (2,3); (2,4)} Ngoài {1,2}2 ={(1,1); (1,2); (2,1); (2,2)}
1.1.5 Các kí hiệu lơgic
Bây giả sửM tập hợp t tính chất phần tử tập M Nếu phần tử x∈M có tính chất t ta viết t(x) Gọi c(t) tập hợp tất phần tử tập M có tính chất t:
c(t) ={ x∈M|x có tính chất t} (1.1.21) hay
c(t) ={ x∈M|t(x)} (1.1.22)
c(t) = M
thì phần tử Mđều có tính chất t, ta nói “với x∈M , x có tính chất t” ta viết ∀ ∈x M : t(x) hay ( )
x M∈∀ t x
Ký hiệu ∀ gọi ký hiệu phổ biến
Nếu c t( )≠∅ , có phần tử x∈M , x có tính chất t” viết : ( ) hay ( )
x M
x M t x t x
∈
∃ ∈ ∃
Ký hiệu ∃ gọi ký hiệu tồn 1.2 Số thực
1.2.1 Phép cộng nhân số thực
Xét tập hợp số thực \ Ta xác định phép cộng nhân hai số thực a b Phép toán cộng cho tương ứng hai số thực a b với số thực ký hiệu a+b, phép nhân cho tương ứng hai số thực a b với số thực kí hiệu a.b cho thoả mãn tính chất sau: Với số thực a,b c
(5)b) a+(b+c) = (a+b)+c (tính chất kết hợp), c) a.b = b.a (tính chất giao hốn ),
d) a(b.c) = (a.b).c (tính chất kết hợp), e) (a+b).c = a.c+b.c (tính chất phân phối),
f) Tồn số cho a+0 = a ∀ ∈a \,
g) Với a, tồn số – a cho a + (−a) = 0, h) Tồn số 1≠0 cho a.1 = a ∀ ∈a \,
i) Với sốa≠0, tồn sốa-1 cho a.a-1= 1, sốa-1 cịn được kí hiệu 1
a
Chú ý: Số (−a) sốa-1 nói tính chất g) i) Thật vậy, ví dụ tồn
sốb≠−a thoả mãn điều kiện a+b =0, a+b+ (−a)= −a, từđây a+ (−a)+b=−a hay 0+b = − a b= −a, mâu thuẫn
1.2.2 So sánh hai số thực a b
Cho hai số thực a b Khi xảy ba trường hợp sau: a = b (a b), a > b (a lớn b) hay b > a (b lớn a)
Mệnh đề “=” có tính chất: a=b b=c a=c Mệnh đề “>” có tính chất sau: Với số thực a,b c a) Nếu a > b b > c a > c
b) Nếu a > b a+c > b+c c) Nếu a > 0, b > 0 ab >
Mệnh đềa≥b nghĩa a=b, a>b
Các mệnh đềa < b, a ≤ b, a > b, a ≥ bđược gọi bất đẳng thức Các bất đẳng thức a <b, a >bđược gọi bất đẳng thức thực
Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a>0 gọi số dương Số thực a thoả mãn bất đẳng thức a<0 gọi số âm 1.2.3 Tính liên tục tập hợp số thực
Định lí 1.2.1 Giả sử X Y hai tập hợp số thực thoả mãn điều kiện sau:
x≤y ∀ ∈x X,∀ ∈y Y (1.2.1) Khi tồn sốc cho
≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
x c y x X, y Y (1.2.2) Chú ý có tập hợp số thực có tính chất Ví dụ như, giả sử
(6)Y = {y hữu tỉ | y > 2}
Khi x∈X với y∈Y thoả mãn x≤y, không tồn số hữu tỉc cho x≤ ≤c y Thật vậy, số 2, số
hữu tỉ
Trong lý thuyết số vô tỉ người ta chứng minh với hai số thực α β, α < β ln ln tìm số thực đặc biệt số hữu tỉ r nằm hai sốđó (và có tập vô số số vô tỉ nằm α β)
1.2.4 Cận tập hợp số
Giả sửM tập hợp số (tức tập hợp mà phần tử số thực) Tập hợp M được gọi bị chặn tồn số thực k cho
x≤k ∀ ∈x M (1.2.3) Số k có tính chất gọi cận tập M Do tập hợp M bị
chặn có cận Nếu tập M có cận có vơ hạn cận trên, sốk là cận sốl lớn k là cận Một câu hỏi đặt liệu có tồn số nhỏ cận tập M Số nhỏ gọi cận tập M kí hiệu sup M
Cận tập M có tính chất sau:
∀ >ε 0, ∃ ∈x M xsao cho > supM -ε
Thật vậy, số x khơng tồn số supM−ε cận số
supM khơng phải cận tập M Nói cách khác, tính chất nói lên supM số nhỏ số cận M
Ví dụ 1: Tìm cận tập
1 1 {1, , , , , }
2
M
n =
Giải: Ta thấy < ≤ ∀ ∈`*
0 n
n , tập hợp M bị chặn trên, dễ thấy số cận Ta chứng minh số cận M Thật ∀ >ε 0, ta phải tìm số
tự nhiên n cho 1
n > −ε Số n này, ví dụ n = Ví dụ 2: sup(0,1) = sup[0,1] =
Bây ta có thểđịnh nghĩa cận tập M cách khác sau: Số supMđược gọi cận tập M bị chặn
a) x≤supM ∀ ∈x M (1.2.4)
b) ∀ >ε 0, ∃ ∈x M sao chox >supM -ε (1.2.5) Tập hợp sốMđược gọi bị chặn dưới, tồn sốg cho
(7)
Mọi sốg có tính chất gọi cận tập hợp M Do tập M bị chặn dưới, có cận
Số lớn cận tập M gọi cận M kí hiệu inf M
Ví dụ 3: Xét tập M=(a,b)
Hiển nhiên số a số bé a cận M Hiển nhiên số a cận
đúng tập M, tức a= inf M
Tương tự nhưđối với cận đúng, cận có tính chất sau:
∀ ∃ ∈ε, x M cho x < inf M +ε (1.2.7)
Ví dụ 4: Xét tập {1, , , ,1 1, }
M
n =
Ta chứng minh số cận tập M Thật vậy, ∀ >ε 0, ta phải tìm số tự nhiên n cho
< +ε
1
0 ,
n hay < ⇒ >ε ε
1
n
n
Điều nghĩa số cận tập M, tức inf M = Ví dụ 5: inf(0,1) = inf[0,1] =
Trong ví dụ trên, ta thấy sup M, inf M thuộc M, khơng thuộc M. Định lí 1.2.2Tập hợp số khơng rỗng bị chặn (dưới) có cận (dưới)
Chứng minh: Giả sửX tập hợp số khơng rỗng bị chặn Khi tập hợp Y số cận tập X không rỗng Theo định nghĩa cận suy x∈X y∈Y ta có bất đẳng thức
x≤ y
Dựa vào tính chất liên tục tập hợp số thực, tồn sốc cho ≤ ≤ ∀ ∈ ∀ ∈
x c y x X, y Y (1.2.8)
Từ bất đẳng thức thứ (1.2.8) suy số c chặn tập hợp X, từ bất đẳng thức thứ hai (1.2.8) suy c số bé cận X, tức cận tập X
Ví dụ 6: Chứng minh tập hợp số nguyên
X= {…,−3, −2, −1,0,1,2,3,…} không bị chặn trên, không bị chặn dưới, tức
supX= +∞ inf X= − ∞
Thật vậy, giả sử ngược lại, tập hợp X bị chặn Khi theo định lí trên, có cận
đúng
(8)Theo tính chất cận đúng, ε =1, ta tìm số nguyên x∈X cho
x > c –
nhưng x+1> c Bởi x+ ∈1 X, điều có nghĩa c khơng phải cận tập hợp X, mâu thuẫn với điều nói
Ví dụ 7: Giả sửX Y hai tập hợp số Hãy chứng minh Y ⊂ X supX ≥ supY Giải: Giả sử supX = A, supY = B Ta phải chứng minh B≤A Giả sử ngược lại B > A Khi
đó dựa vào tính chất cận đúng, ∀ > ∃ ∈ε 0, y Y cho > y B−ε
Bởi vì: B− A >0, nên ta lấy ε = B−A Ta nhận y >B−ε = B –B +A, tức y > A
Nhưng y∈Y Y ⊂ X nên y∈X , theo định nghĩa sup suy y≤ A Mâu thuẫn nhận
đựơc chứng tỏ B≤ A
Ta chứng minh khẳng định cách khác sau: Bởi Y ⊂ X nên ∀ ∈x X ∀ ∈y Y ta có
≤sup , ≤sup
x X y X y≤supY
Nhưng supY số thực nhỏ cận Y supX số cận Y nên
sup Y≤sup X.
Nếu tập Mđồng thời bị chặn bị chặn trên, ta gọi tập bị chặn
Cuối tập M khơng bị chặn trên, ta nói cận tập +∞, sup M = +∞ Tương tự tập M không bị chặn dưới, ta nói cận tập − ∞, inf M=− ∞
Ví dụ sup(0,+ ∞) = +∞, inf(− ∞,0)= − ∞
Giả sửM tập hợp số thực, tồn phần tử lớn phần tử tập M, ta kí hiệu phân tử maxM Tương tự ta kí hiệu phân tử nhỏ tập M minM
Ví dụ max{2, –3, –5,0} = 2, min{2,–3, –5,0}=–5, |x|=max {(–x,x)} ∀x
1.2.5 Trục số thực
Bây ta tìm cách biểu diễn hình học tập số thực
Ta lấy đường thẳng nằm ngang ta lấy điểm làm gốc Ta chon độ dài thích hợp làm đơn vị đặt độ dài liên tiếp từ điểm sang trái sang phải cho trải khắp đường thẳng Ví dụ số biểu diễn “điểm 2”, tức điểm
ở bên phải điểm với khoảng cách đơn vị
Ta gọi đường thẳng nói đường thẳng thực hay trục số Bất kỳ số thực ứng với điểm đường thẳng thực ngược lại, điểm
(9)gọi toạ độ điểm M Thông thường người ta không phân biệt “điểm a” nằm đường thẳng thực số thưc a (là toạđộ điểm đó)
Tập hợp \ khơng có phần tử cực đại phần tử cực tiểu, số thực x ln ln tồn hai số y z cho y< x< z (ví dụy = x −1, z = x+1) Vì ta bổ
sung vào tập \ hai phần tử mà ta ký hiệu +∞, − ∞ ta gọi chung điểm vô tận trục thực Ta ký hiệu tập xuất vật \* Như
\*= \∪ {− ∞, +∞} (1.4.2)
Tập hợp R* ta gọi trục thực mở rộng Cuối ta ý thêm
− ∞ < a < +∞, ∀ ∈a \ (1.4.3)
1.3 Ánh xạ
Trong phần trình bày vài khái niệm ánh xạ mà có ích cho việc nghiên cứu lý thuyết hàm số sau
1.3.1 Định nghĩa
Cho hai tập hợp A B Ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B là quy luật f cho tương
ứng phần tử x∈A với phần tử y∈B Ví dụ 1: Cho A =B =\.
Qui luật y = x3 cho tương ứng x∈\ với y∈\, nên qui luật ánh xạ từ \ tới \
Ví dụ 2: Cho A = B= {x |x∈\, x≥0}
Qui luật y= x cho tương ứng x∈A với y∈B, nên ánh xạ từA tới B
Để diễn tảf ánh xạ từ tập hợp A tới tập hợp B ta viết f: A→B hay ⎯⎯→f
A B gọi
A tập xác định ánh xạf.
Phần tử y∈B tương ứng với x∈A qui luật f gọi ảnh x x được gọi nghịch ảnh y ta viết:
( ) hay ( )
y= f x x6 y= f x Ta gọi tập
( )={ | = ( ), ∈ }
f A y y f x x A (1.3.1)
hay
( )={ | ∃ ∈ , = ( )}
f A y x A y f x (1.3.2)
là ánh xạ tập A qua ánh xạf
(10)Ví dụ 3: Ánh xạ cho qui luật f x( )=sin , x x∈\ ánh xạ tập \ tới tập \ đồng thời ánh xạ tập \ lên tập hợp tất số thực y cho − ≤ ≤1 y
Nếu M ⊂` ⊂ A f M( )⊆ f( )` (1.3.3)
1.3.2 Đơn ánh, song ánh
Ánh xạ f : A→B gọi ánh xạđơn ánh
1 2
( ) ( )
f x = f x ⇒ x = x (1.3.4) ví dụ ánh xạđược cho sinx đơn ánh từ tập hợp { | }
2
∈\ < <
x x π lên tập hợp
{y∈\| 0< <y 1} Ví dụ 4: Xét ánh xạ cho qui luật
y= x Vì phương trình y= x2, y∈\ có hai nghiệm khác x1 x2 y > 0, có nghĩa f(x1) = f(x2) x1 ≠ x2, ánh xạ không
phải đơn ánh
Ánh xạ f : A→B gọi song ánh vừa đơn ánh vừa tồn ánh Ví dụ 5: Ánh xạ f :\→\ cho qui luật y= x3 song ánh
Ví dụ 6: Ánh xạ f :\→\+ cho qui luật y=x2 song ánh, ánh xạ
:\+ →\+
f cho qui luật y=x2 song ánh
Ví dụ 7: Cho x∈\, [x] ký hiệu phần nguyên x (nghĩa [x] số nguyên lớn không lớn x chẳng hạn [−4,5] =−4; [2] = 2; [2,5] = 2; [2,7] = 2) Ta có [x]≤x≤[x]+1
Ánh xạ f :\→] cho qui luật y=[x] song ánh
1.3.3 Ánh xạ ngược
Giả sửf là ánh xạ tập hợp A lên tập hợp B Khi ứng với phần tử có
một x∈A choy= f x( ) Ánh xạ cho tương ứng phần tử y∈B với phần tử x∈A cho y= f x( ) gọi ánh xạ ngược ánh xạf kí hiệu f−1
Như f B A
:
− →
(11)Hình 1.3.1
Ví dụ 8: Nếu A tập hợp vòng tròn đồng tâm nằm phẳng f(x) bán kính vịng trịn x, f ánh xạđơn trị tập A lên tập số thực dương Khi ánh xạ
ngược f−1 tương ứng số thực dương x với vịng trịn nằm tập A mà bán kính x
1.3.4 Hợp (tích) hai ánh xạ Cho hai ánh xạ:
: vµ :
g M → A f A→B Xét ánh xạ từ tập M tới tập hợp Bđược xác định sau:
( ( ))
x∈M → =z f g x ∈B (1.3.6) Ánh xạ gọi hợp ánh xạ g ánh xạf (hay tích g f ), ký hiệu f D g
Như
:
f Dg M →B
( ) ( ( )),
f Dg x = f g x x∈M (1.3.7) Ví dụ 9: Ánh xạ cho qui luật sinx2, x∈R hợp ánh xạ cho qui luật x2,
∈\
x ánh xạ cho qui luật siny, y∈\
Ánh xạ sin2x, x∈\ hợp ánh xạ cho sinx, x∈\ ánh xạ cho y2, y∈\
1.4 Bài tập chương 1.1Cho a số vô tỉ, r số hữu tỉ
1) Hãy chứng minh a+r a− r số vô tỉ
2) Giả sử r ≠0 chứng minh số ar,a r,
r a số vô tỉ
(12)( , ) |= − |
d a b a b khoảng cách hai điểm a b trục số Hãy chứng minh
1) d(a,a) =
2) d(a,b)>0 a≠b 3) d(a,b) =d(b,a)
4) d(a,b) + d(b,c)≥d a c( , )
1.3Hãy chứng minh mệnh đề “tập hợp M ⊂\ bị chặn tồn số thực r>0
sao cho: |x|≤r ∀ ∈x M
1.4Cho X ⊂\ Định nghĩa: (−X) = {−x|x∈X} Hãy chứng minh:
1) inf(−X) = −sup X 2) sup(−X)= −inf X
1.5Cho X Y, ⊂\ Định nghĩa
X+Y = {a∈R| ∃ ∈x X,∃ ∈y Y a, = +x y}
{ R| , , }
XY = a∈ ∃ ∈x X ∃ ∈y Y a=xy
Nghĩa X+Y tập hợp số thực có dạng x+y với x∈X y, ∈Y , cịn XY tập hợp số thực có dạng xy với x∈X y, ∈Y
1) Giả sửX,Y bị chặn trên, chứng minh: sup(X+Y) = supX+ supY
2) Giả sửX, Y bị chặn dưới, chứng minh: inf(X+Y) = inf X + inf Y
3) Giả sửX, Y bị chặn trên, X ⊂\+,Y ⊂\+
Chứng minh: sup(XY)= (sup X)(sup Y) 4) Giả sửX,Y bị chặn dưới, X ⊂\+,Y ⊂\+ Chứng minh: inf(XY) = (inf X)(inf Y)
1.6Giả sửφ ≠`⊂M ⊂\* Chứng minh rằng:
infM ≤inf`≤sup`≤supM
1.7Cho A⊂\ F ={ |f f :A → A} Chứng minh f,g,h∈F i ánh xạ đồng tập A, tức i(x) =x, ∀x∈A thì:
1) (f D g)Dh = f D(g hD ), 2) f Di = f
(13)* { | :
F = f f A→ A f đơn ánh} Chứng minh f,g∈F* 1) f Dg∈F*