Cho hình chóp S.ABCD trên các cạnh SA,AB,BC lấy các điểm M, N, P.Dựng thiết diện của hình chóp với.. mặt phẳng (MNP).[r]
(1)BÀI TẬP HÌNH KHƠNG GIAN QUAN HỆ SONG SONG
I. CẦN NHỚ
1. Các đối tượng quan hệ thuộc không gian
Điểm Đường thẳng Mặt phẳng
A d
A mp (P)
A nằm d viết:A d B( )P , d( )P hay( )P d 2. Sự tương giao
STT Đường thẳng đường thẳng Mặt phẳng mặt phẳng Đường thẳng mặt phẳng
1
Trùng Trùng
Đường mặt (Mặt chứa đường)
2 Song song
(Cùng mặt phẳng khơng có điểm chung)
Song song (Khơng có điểm chung)
Song song (Khơng có điểm chung)
3 Cắt
(Cùng mặt phẳng có điểm chung)
Cắt (Có số điểm chung lập thành
một đường thẳng gọi giao
tuyến)
Cắt (có điểm chung)
4 Chéo
(Không nằm mặt phẳng)
3. Cách biểu diễn hình khơng gian
Nguyên tắc chung:
o Phần bị che khuất biểu diễn nét đứt
o Hai đường thẳng song song biểu diễn hai đường thẳng song song
Cụ thể:
o Hình thang biểu diễn hình thang
o Hình vng, hình chữ nhật, hình thoi, hình bình hành biểu diễn h.b.hành o Tam giác đều, vng, cân, biểu diễn tam giác
4. Một số hình bản:
Hình chóp tứ giác Hình chóp đáy hình thang
Hình chóp đáy hình bình hành Hình chóp đáy tam giác (Tứ diện)
P
(2)Hình lăng trụ (đáy tứ giác, tam giác, ) Hình hộp
Hình chóp cụt
5. Các qui tắc trình bày
1 2
( ) ( ) ( )
( )
A A
A
( ) ( )
A a A a
A
3 4
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
A AB
B
( ) ( ) ( )
( )
d d
d
II. BÀI TẬP
Dạng GIAO TUYẾN CỦA HAI MẶT PHẲNG:
Phương pháp: Tìm điểmA( ) ( )P Q , B( ) ( )P Q được giao tuyến AB
Tuy nhiên: Nếu mặt phẳng ( ),( ) có điểm chung A chứa đường thẳng a, b song song với nhau giao tuyến chúng đường thẳng Ax qua điểm A song song với a, b
Nhớ: Đi tìm giao tuyến em ơi/ Tìm giao điểm xong Cách sau dễ không / giao điểm với song song đường
1. (0k)Cho hình bình hành ABCD, điểm S khơng thuộc (ABCD) Tìm giao tuyến hai mặt phẳng
(SAC) (SBD)
2. (0k)Cho hình chóp S.ABCD có đáy tứ giác có cặp cạnh đối khơng song song M điểm thuộc
miền tam giác SCD Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng sau:
a.(SAD) (SBC); b (SAC) (SBD); c (SAB) (SBC)
d (SBM) (SCD); e (ABM) (SCD); f* (ABM) (SAC)
3. Cho tứ diện ABCD Gọi E, F hai điểm đoạn AB BC cho EA = EB, BF3FC Tìm giao
tuyến mp (DEF) với mp sau: (ABC), (BCD), (ABD), (ACD)
4. (0k)Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB CD cắt Gọi A’ điểm nằm
giữa hai điểm S A Hãy tìm giao tuyến của:
a (A’CD) (ABCD); b (A’CD) (SCD), c.(A’CD) (SDA), d (A’CD) (SAB), e*.(A’CD) (SBC)
5. (0k)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O, M trung điểm SB Tìm giao
tuyến cặp mặt phẳng sau:
a (SAB) (SDC); b (SAD) (SBC); c (DMC) (SAC),
d (DMC) (SDC); e (DMC) (SAB); f (DMC) (SAD)
6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Goi M, N trung điểm AD, SB Gọi K điểm thuộc SC cho SK>KC
a Tìm giao tuyến (MNK) với (ABCD); suy giao tuyến (MNK) với (SCD); b Tìm giao tuyến (MNK) với (SAB);
c Xác định thiết diện (MNK) với hình chóp
7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SB, SD
Gọi P điểm SC cho SP > PC Tìm giao tuyến (MNP) với mặt phẳng: (SAC), (SAB), (SAD), (ABCD)
8. Cho hình chóp S.ABCD, Tứ giác ABCD hình thang tâm I đáy lớn DC2AB, F trung điểm
SD Tìm giao tuyến mặt phẳng sau
(3)d (ABF) (SBC); e (ABF) (SDC); f.(SAD) (SBC)
9. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SAB)
và (SCD), (SAD) (SBC)
10.Cho tứ diện ABCD có M, N thuộc đoạn AB, AC cho AM AN
AB AC Xác định giao tuyến
(DBC) (DMN)
11.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD với hai đường thẳng AB CD cắt Gọi A’ điểm nằm
hai điểm S A, C’ điểm nằm S C cho SA' SC'
SA SC Hãy tìm giao tuyến của:
a (SAB) (SCD); b (A’C’D) (SDA), c.(A’C’D) (ACD);
d (A’C’D) (SBD), e.(A’C’D) (SBC)
12.Cho hình chóp S.ABCD, có đáy ABCD hình thang tâm I đáy lớn DC2AB Tìm giao tuyến
cặp mặt phẳng sau:(SAB) (SDC); (SAD) (SBC)
13.Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AD BC
a. Xác định giao tuyến (MBC) (NAD)
b. Cho I, J hai điểm nằm đoạn AB, AC Xác định giao tuyến (MBC) với (IJD)
14.Cho tứ diện ABCD Trên AB lấy điểm I lấy J, K thuộc miền tam giác BCD ACD
a. Gọi L giao điểm JK với (ABC) Tìm L
b. Tìm giao tuyến (IJK) với mặt tứ diện ABCD
15.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O M trung điểm SB Tìm thiết diện
của m.phẳng (DMC) hình chóp
16.Cho hình chóp S.ABCD, Tứ giác ABCD hình thang tâm I đáy lớn DC2AB F trung điểm
SD Tìm thiết diện mặt phẳng (ABF) với hình chóp
Dạng GIAO ĐIỂM CỦA ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Phương pháp: Để xác định giao điểm d với (Q)
1 Tìm mp (P) chứa đường d; Xác định giao tuyến ( )P ( )Q Xác định giao điểm M d thì M giao điểm cần tìm
Nhớ: Tìm giao điểm đường với mặt/ Ta tìm mặt khác chứa đường Rồi tìm giao tuyến bình thường/ Điểm giao điểm hai đường cắt
17.(0k)Cho tứ diện ABCD Gọi M, N trung điểm AC BC, K BD cho K không
trung điểm BD Tìm giao điểm của: a CD với (MNK); b AD với (MNK)
18.(0k)Cho tứ diện ABCD Trên AB, AC lấy điểm M, N cho MN không song song với BC Gọi O
một điểm tam giác BCD Xác định: a Giao tuyến (OMN) với (BCD); b Giao điểm BD với (OMN); c Giao điểm DC với (OMN)
19.(0k)Cho tứ diện SABC Gọi M SA , N(SBC), P(ABC)
a. Xác định giao điểm MN (ABC), suy giao tuyến (MNP) (ABC)
b. Tìm giao điểm AB (MNP); c Tìm giao điểm NP (SAB)
20.Cho hình chóp S.ABCD lấy M, N thuộc cạnh SC BC Tìm giao điểm SD (AMN),
biết AN không song song với CD
21.Cho tứ diện S.ABC, M SA , N SB cho MN cắt AB, O điểm thuộc miền (ABC) Tìm:
a Giao tuyến (MNO) (ABC); b Giao tuyến (MNO) (SBC);
c Giao điểm (MNO) với AB, BC, AC, SC; d Giao điểm MO (SBC)
22.Cho hình thang ABCD (AB CD// ), S(ABCD), O giao điểm hai đường chéo, M SB a Xác định giao tuyến của: (SAD) (SBC), (SAC) (SBD)
b Tìm giao điểm SO với (MDC), SA với (MDC)
23.Cho bốn điểm A, B, C, D không đồng phẳng Gọi M, N trung điểm AC, BC Trên BD lấy
P cho BP=2PD
a. Tìm giao điểm CD với (NMP)
b. Tìm giao tuyến (MNP) với (ABD)
24.Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD hình bình hành Gọi M điểm SB, N điểm
(SCD).Tìm giao điểm của:
a MN (ABCD); b SC (AMN) ; c SD (AMN); d SA (CMN)
25.Cho tứ giác ABCD nằm mặt phẳng (P) cho AB CD khơng song song S điểm nằm ngồi
(4)26.Cho tứ diện SABC có I, J, K ba điểm nằm ba mặt phẳng (SAB), (SBC), (ABC)
a.Tìm giao điểm IJ (ABC);
b Tìm giao tuyến (IJK) (ABC) suy giao điểm (IJK) với AC, AB, BC
27.Cho hình chóp S.ABCD có đáy h.h.hành tâm O Gọi M, N trung điểm cạnh SC, AB
a. Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SBD) (SAC); (AMN) (SCD)
b. Tìm giao điểm P AM (SBD); giao điểm Q MN (SBD) (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề A)
28.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm cạnh
SD, BC
a. Tìm giao tuyến cặp mặt phẳng (SBD) (SAC), (BMN) (SAD)
b. Tìm giao điểm P BM (SAC), giao điểm Q MN (SAC) (Thi HK1 năm 2007-2008/ đề B)
29.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm cạnh
SB, AB, K điểm cạnh CD (K không trung điểm CD)
a. Xác định giao tuyến (MNK) (SBD); (MNK) (SAC)
b. Tìm giao điểm (MNK) BC; (MNK) SC
c. Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD với (MNK) (Thi HK1 năm 2008-2009/ đề A)
30.Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang ( AD đáy lớn) Gọi M trung điểm SD Tìm:
a (SAB) (SCD) ; ( SAC) ( SBD); (SAD) (SBC); b BM ( SAC) ; SA ( BCM)
c Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD cắt mặt phẳng (BCM) (Thi HK1 năm 2009-2010/ đề A)
Dạng ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI ĐƯỜNG THẲNG Phương pháp: Để chứng minh a//b ta làm sau:
Cách 1. Chứng minh a, b thuộc mặt phẳng (một mặt phẳng tam giác đó) chứng minh a, b khơng cắt (dùng Talet đảo, đường trung bình, cặp cạnh đối hình bình hành,…);
Cách 2. Chứng minh chúng song song với đường thẳng thứ 3;
Cách 3: Dùng tính chất “Hai mặt phẳng phân biệt chứa hai đường thẳng song song giao tuyến của chúng (nếu có) song song với hai đường thẳng đó”;
Cách 4: Dùng định lí giao tuyến mặt phẳng (3 giao tuyến đôi song song đồng qui)
31.Cho tứ diện ABCD có I, J trọng tâm tam giác ABC, ABD Cmr: IJ//CD
32.Cho tứ diện ABCD Lấy I, J trung điểm BC, AC với M điểm tùy ý AD
a Xác định giao tuyến d (MIJ) (ABD)
b Gọi N giao điểm BD với d, K giao điểm IN với JM Tìm giao tuyến (ABK) (MIJ)
33.Cho tứ diện ABCD, gọi M, N theo thứ tự trung điểm AB, BC Q điểm AD,
( )
PCD MNQ CMR: PQ//MN, PQ//AC
34.Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có đáy tứ giác lồi Gọi M, N, E, F trung điểm cạnh
bên SA, SB, SC, SD CMR: ME//AC, NF// BD
Dạng ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG Phương pháp:Để chứng minh đường thẳng a// ( )
Cách 1: ta chứng minh a // b, b nằm mặt phẳng ( ) Bước 1: Chọn b
Bước 2: Chứng minh a//b
Cách 2: ta chứng minh a nằm mặt phẳng ( ) , ( ) // ( ) Bước 1: Chọn a
Bước 2: Chứng minh ( ) // ( )
35.Cho tứ diện ABCD, G trọng tâm tam giác ABD Trên đoạn BC lấy M cho MB=2MC Chứng minh
rằng MG//(ACD)
36.Cho tứ diện ABCD với G1, G2 trọng tâm tam giác ACD, BCD Cmr: G1G2// (ABC) G1G2// (ABD)
37.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, G trọng tâm SAB, I trung điểm AB Lấy
M đoạn AD cho AD=3AM
a Xác định giao tuyến (SAD) (SBC)
b Đường thẳng qua M song song với AB cắt CI N Chứng minh rằng: NG//(SCD), MG//(SCD)
38.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành, G trọng tâm SAB, I trung điểm AB Lấy
(5)c Chứng minh NG//(SBC); d.Xác định giao tuyến (MNG) (SAC); (MNG) (ABCD)
39.Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang, đáy lớn AD, đáy nhỏ BC AD=2BC Gọi O
là giao điểm AC BD, G trọng tâm tam giác SCD a Chứng minh OG//(SBC)
b Gọi M trung điểm SD Chứng minh CM//(SAB) c Gọi I điểm nằm SC cho IS=2IC Cmr: SA//(BDI)
40 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm thuộc đoạn SB cho MS=2MB, G trọng tâm tam giác SAC
a Chứng minh MG//(ABCD); b.Tìm giao tuyến (AMG) với (ABCD); b Tìm giao điểm SC với (AMG); d Xác định thiết diện (AMG) với hình chóp Dạng MẶT PHẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG
Phương pháp: Cách Để chứng minh ( ) //( ) ta chứng minh :
( ) ,
, caét // ( ) // ( )
a b a b a b
( ) // ( )
Cách 2. Chứng minh chúng song song với mặt phẳng thứ
41.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, J, K tâm hình bình hành ACC’A’,
BCC’B’; ABB’A’ Chứng minh rằng:
a IJ//(ABB’A’); b.JK//(ACC’A’); c IK//(BCC’B’); d (IJK)//(ABC);
42.Cho tứ diện ABCD có G1, G2, G3 trọng tâm tam giác ABC, ACD, ABD Chứng minh
rằng: (G1G2G3)//(BCD)
43.Cho hình chóp S.ABC có I, J, K trọng tâm SAB, SBC, SAC Chứng minh: (IJK)//(ABC)
44.Cho hình vng ABCD, ABEF hai mặt phẳng phân biệt Trên đường chéo AC BF lần
lượt lấy M, N cho AM=BN Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M, N cắt AD, AF M’, N’
Cmr: a (ADF)//(BCE); b M’N’//DF; c (DEF)//(MM’NN’); d MN//(DEF)
45.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi I, I’ trung điểm BC, B’C’
a Cmr: AI//A’I’; b giao điểm IA’ với (AB’C’);
c giao tuyến (AB’C’) (A’BC)
46.Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ Gọi H trung điểm A’B’
a Cmr: CB’//(AHC’); b giao tuyến (AB’C’) (ABC)
Dạng DỰNG THIẾT DIỆN CỦA HÌNH CHĨP VỚI MẶT PHẲNG
Thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( ) phần chung hình chóp với mặt phẳng ( ) Phương pháp: Để dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng ( ) ta làm sau Bước 1: Dựng giao tuyến ( ) với mặt hình chóp
Bước 2: Giới hạn đoạn giao tuyến phần giao tuyến nằm mặt xét hình chóp Tiếp tục hai bước với mặt khác hình chóp đoạn giao tuyến khép kín tạo thành đa giác, đa giác thiết diện
47.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh BC,CD,AD lấy điểm M,N,P.Dựng thiết diện ABCD với mặt
phẳng(MNP)
48.Cho hình chóp S.ABCD có AD khơng song song với BC.Trên cạnh SD lấy điểm M Dựng thiết diện
hình chóp với mặt phẳng (BCM)
49.Cho hình chóp S.ABCD có AD song song với BC.Trên cạnh SD lấy điểm M Dựng thiết diện hình
chóp với mặt phẳng (BCM)
50.Cho tứ diện ABCD.Trên cạnh AB,AC lấy điểm M, N; tam giác BCD lấy điểm I Dựng thiết
diện hình chóp với mặt phẳng (MNI)
51.Cho hình chóp S.ABCD cạnh SA,AB,BC lấy điểm M, N, P.Dựng thiết diện hình chóp với
mặt phẳng (MNP)
52.Cho hình chóp S.ABCD cạnh SA,SB,SC lấy điểm M,N,P
a.Tìm giao điểm MN (ABCD) ; b.Tìm giao điểm NP (ABCD)
c.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(MNP)
53.Cho tứ diện ABCD.Trong tam giác ABC ,ACD BCD lấy điểm M, N, P
a.Tìm giao điểm MN (BCD) ; b Dựng thiết diện tứ diện với mặt phẳng(MNP)
(6)a.Tìm giao tuyến (SAD) (SBC); b.Tìm giao điểm SD (AMN); c.Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN)
55.Cho hình chóp S.ABCD Trong tam giác SCD ta lấy điểm M
a Tìm giao tuyến (SBM) (SAC); b.Tìm giao điểm BM (SAC) c Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng(ABM)
56.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang ABCD với AB đáy lớn Gọi M N trung
điểm cạnh SB SC
a Tìm giao tuyến hai mặt phẳng (SAD) (SBC); b.Tìm giao điểm đường thẳng SD với mặt
phẳng (AMN); c Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (AMN)
57.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình bình hành ABCD Gọi H K trung điểm cạnh
CB CD, M điểm cạnh SA Dựng thiết diện hình chóp với mặt phẳng (MHK)
58.Cho tứ diện ABCD có cạnh a.Gọi I trung điểm AD, J điểm đối xứng với D qua C, K điểm đối xứng với D qua B
a Xác định thiết diện tứ diện với mặt phẳng (IJK); b Tính diện tích thiết diện
MỘT SỐ BÀI TỔNG HỢP
59.Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD h.bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SC
AB
a.Tìm giao tuyến (MNO) (SBC); (MNO) (SAB), (MNO) (SCD) b Xác định thiết diện (MNO) với hình chop S.ABCD
c.Tìm giao tuyến (AMB) (SBD), từ tìm giao điểm M N với (SBD); d Chứng minh SD//(MNO)
60.Cho tứ diện ABCD, M trọng tâm tam giác ABC, N trung điểm AD, P trung điểm CD
a.Tìm giao tuyến (AMN) (BCD) b Tìm giao tuyến (ABC) (MNP) c Tìm giao tuyến (AMP) và(BCD)
d.Tìm giao điểm AB mp(MNP) Suy thiết diện (MNP) với tứ diện ABCD e Gọi I, J trung điểm AB, BC Chứng minh IJ//(MNP)
61.Cho hình chóp S.ABCD đáy hình thang, đáy lớn AD AD=2 BC Gọi O giao điểm AC
BD, G trọng tâm tam giác SDC, N trung điểm SC, M trung điểm SD,O’ giao điểm AB CD
a.Tìm giao tuyến (SAB) và(SCD) (SAD) (SBC) b Chứng minh:OG//BN suy OG//(SBC)
c Chứng minh C trung điểm O’D Từ chứng minh CM//(SAB)
62 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành Gọi M, N trung điểm SB AB, K điểm cạnh CD (K không trung điểm CD)
a.Xác định giao tuyến của: (MNK) (SBD); (MNK) (SAC); b Tìm giao điểm (MNK) BC; (MNK) SC;
c Xác định thiết diện hình chóp S.ABCD (MNK)
63 Bài 5: Cho hình chóp SABCD, đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M, N trung điểm SC AB a.Chứng minh NO// (SBC); suy (MNO)(SBC); b.Tìm(AMB)(SBD)
c Tìm giao điểm MN với (SBD), SD với (AMB); d Xác định thiết diện (AMB) với h.chóp S.ABCD
64 Cho tứ diện ABCD, M điểm thuộc miền tam giác BCD, N trung điểm AD, K trung điểm CD a.Tìm giao tuyến (BCN) (ADM); b Tìm giao tuyến (ABC) (MNK)
c Tìm giao điểm AM mp(BCN); d Xác định thiết diện (CMN) với tứ diện
65 Cho tứ diện ABCD, M, N trung điểm CD, BC G trọng tâm tam giác ABC a Chứng minh NM// BD tìm giao tuyến (AMG) (ABD); b Tìm giao tuyến (ADG) (BCD)
c Tìm giao điểm DG mp(ABM); d Xác định thiết diện (DGM) với tứ diện ABCD 66 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình bình hành tâm O Gọi M điểm thuộc đoạn SB cho MS=2MB, G
trọng tâm tam giác SAC
a.Chứng minh MG//(ABCD); b.Tìm giao tuyến (AMG) với (ABCD); c.Tìm giao điểm SC với (AMG); d.Xác định thiết diện (AMG) với hình chóp
67 Cho hình chóp SABCD, có đáy ABCD hình thang, AB đáy lớn Gọi M, N trung điểm SB SC a Tìm giao tuyến (SAD) (SBC); (SAB) (SCD); b Tìm giao điểm SD (AMN)
c Giao tuyến (BCD) (AMN); d Xác định thiết diện (AMN) với hình chóp Thiết diện hình gì?