Toan 9 Chuan KNKT 20102011

b ) Töø O keõ ñöôøng thaúng vuoâng goùc vôùi BC caét ñöôøng CA ôû D. Chöùng minh MD = OC.. c ) Xaùc ñònh vò trí cuûa ñieåm M treân d ñeå tam giaùc MAB laø tam giaùc ñeàu. Trong tröôøng h[r]

(1)

RÚT GỌN BIỂU THỨC - CĂN THỨC BẬC HAI Ví dụ 1.Tìm điều kiện xác định phân thức sau

3

2

x 30

a) b)

x 4x xy



 

Giải

a) Phân thức

x

x 

 không xác định x – =  x = Vậy ĐKXĐ: x 

b) Phân thức 30

4x  xy không xác định 4x

2 – xy =  x(4x – y) =  x = 4x – y =

 x = y = 4x Vậy ĐKXĐ: x 0; y 4x  .

Ví dụ 2.Rút gọn biểu thức sau

2

4x x x 20

A B

2x x 5x

  

 

 

Giải







 







2

2 2x 1 2x 2x 1

4x 1

A 2x 1; x

2x 2x 2x

  

  

       

    



 











2

x x

x x 20 x

B ; x

x 5x x x x

 

  

   

 

Ví dụ 3.Thực phép tính

2

x x x

a) b)

x 1 x x 3x x

 

 

   

Giải



 











2 2 x x 1

x x x

a) x 1; x

x 1 x x x x x

 



       

     



 





 





 





 





 









 











2

x x x x

b)

x 3x x x x x x x x

2 x

x 3x 2x x x 2x

x x x x x x x x x x x

x 3; x

   

   

   

      

 

       

   

      

 

(2)





 







2

A 3 3

3 2

B

3

C 2

D 3

    

 

   



   

   

Giải

A6 27 34    









3 2

B 3 2

3

 

         











C 2 1   2   1  2  2   1













D 2 3 4 3

D 3 D

           

       

VD5: Cho biểu thức

2

x x 2x x

y

x x x

 

  

  a)Rút gọn y Tìm x để y = 2.

b)Cho x > Chứng minh y y 0 c)Tìm giá trị nhỏ y

Giải a)

 









3

x x x x 1

y x x 1 x x x

x x x

  



 

 

         

 



 



y x x x x x x

x x x

           

      

(Ở ta áp dụng giải phương trình bậc hai cách đặt ẩn phụ)

b) Có y y  x x  x x

Do x x x x x x x x x

y y

         

   c) Có:

 

2

2 1 1 1

y x x x x x x x

2 4 4

 

            

(3)

Vậy Min y x x x

4 2

     

VD6:.So sánh hai số sau

a  1997 1999 b 1998 Giải

Có





2

a 1998 1998 1998 1998

2.1998 1998 2.1998 1998 1998

       

     

Vậy a < b

VD7: Cho biÓu thøc:

b ab a

b a a b a

1 b

b a a

a b

ab a

a M

 

 

  

  

( ):( )( )

a, Rót gän

b, Tìm giá trị a để M nguyên Giải a, Rút gọn

M =

1 a

2



b, Để M nguyên a-1 phải ớc cña a – = => a =

a – = -1 => a = ( lo¹i ) a – = => a =

a – = -2 => a = -1 ( loại ) Vậy M nguyên a = hc a =

VD8:

Cho biÓu thøc:

1 a

1

A 

   

Tìm giá trị nguyên a để A nguyên

Gi¶i

1 a

2 1

a

1 a a 1

a

1 a a

A 

   

     

  

 ( )

Để A nguyên a ớc

Tổng qt : Để giảI tốn tìm điều kiện để biểu thức nguyên ta làm theo bớc sau:

Bớc 1: Đặt điều kiện Bíc 2: Rót gän vỊ d¹ng

) ( )

(

x f

a hay a

x f

NÕu a

x f( )

f(x) bội a NÕu

) (x f

a

th× f(x) lµ íc cđa a

Bíc 3: Căn vào điều kiện loại giá trị ngoại lai

(4)

Ta cã : 18 128 42  22 (4 2)2 4 4

1 3

3 3 6 A

1 3

3 12

4 12

2

       

     



   

    

  

) ( )

(

) (

*MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Tìm điều kiện xác định phân thức sau





2

x 2xy y x 2y 2x

a) b) c) d)

x y x y 3x x x x

   

    

2.Các biểu thức sau có phụ thuộc vào giá trị biến hay không?

2

4x 4xy 2y 2x 1

A ; x , y

2x 2y 2

x

B ; x

x x 2 x

   

    

 

    

  

3.Chứng minh 2 x y x y :x y 2x

3x x y 3x x x y

    

     

   

 

 

4.Cho biểu thức

2

6x 2x 3xy y A

6x 3y

  





a)Tìm ĐKXĐ biểu thức A

b)Rút gọn A tính giá trị với x = - 0,5; y = c)Tìm điều kiện x, y để A =

d)Tìm x, y để biểu thức A có giá trị âm 5.Thực phép tính, rút gọn biểu thức

A 2   57 40 2

B 1100 44 176   1331





C 1 2002 2003 2002

1

D 72 4,5 2 27

3

   





3

E 12

2 3

   

        

   

F 15  15 G 4  4 H 8 60  45 12 I 5  5



 



(5)

2 14 L

12   



 



75

 





3 5

N

3 5

 

 

 

3 12 20 P

3 18 27 45

 



 





2

1 5

Q

2

  

   



 



R  3 13 48 6.Tính giá trị biểu thức

1 1

A a ; b

a b 7

   

   

2

B 5x 5x x 5

    

1 2x 2x

C x

4

1 2x 1 2x

 

  

   

7 Chứng minh

a) 1

12

3 2    b) 2 5 2 5 1

   

c) 3

2 2

 

 

   

d) S 1

1 2 99 100

   

   số nguyên

8 Cho

 

3

x x 2x

2x x

A ; B

x x

  

 

 

 

a) Rút gọn A B b) Tìm x để A = B Cho A x

x  

(6)





a) x 81 36 b) c)

x x

  

   

Phơng trình vô tỷ - PHƯƠNG TRìNH CHøA DÊU GTT®

VÝ dơ 1:

Giải phơng trình: x5x7 (1) Cách 1: Bình phơng hai vÕ

x – = x2 – 14x + 49

x2 – 14x – x + 49 + = 0

x2 – 15x + 54 = 0

x1 = ; x2 =

Lu ý :

* Nhận định kết : x1 = loại thay vào phơng trình (1) khụng phi l

nghiệm Vậy phơng trình cã nghiƯm x =

* Có thể đặt điều kiện phơng trình trớc giải : Để phơng trình có nghiệm :

7

5

0

7

0

5





























x

kết hợp

Sau giải ta loại điều kiện không thích hợp

Cách 2Đặt ẩn phụ

Đa phơng trình dạng : x x

Đặt y x phơng trình có d¹ng y = y2 –

y2 – y – =

Giải ta đợc y1 = - ( loại) y2=2

VÝ dụ 2:

Giải phơng trình 3x7 x12

Giải: Đặt điều kiện để thức có nghĩa:

1

01

07

3



















x

Chó ý : Kh«ng nên bình phơng hai vế phức tạp mà ta nên chuyển vế

2

3x  x 

9

2

  

  

x x

(7)

Bình phơng hai vế ta đợc :

2 1 

x

Bình phơng hai vế (x + 1) 2 = 4( x+ 1)

x2- 2x – =0 cã nghiÖm x

1 = -1; x2 =

Cả hai giá trị thoả m·n ®iỊu kiƯn

VÝ dơ 3:

Giải phơng trình 2

x

x Đặt điều kiện

* NÕu 2x + ta cã ph≥ ¬ng tr×nh x2 – ( 2x + ) + = 0

x2 – 2x – + = 0

x2 – 2x +1 = 0

=> x1 = x2 =

* NÕu 2x + ta có ph ơng trình x2 – ( -2x -1 ) + =0

x2 + 2x + = 0

Phơng trình vô nghiệm Vậy phơng trình ( 1) có nghiệm x=

PHƯƠNG TRÌNH- H Ệ PHƯƠNG TRÌNH VD1.Giải phương trình sau

a) 2 x 3









b)





8



  

c) 2 13 26

2x x 21 2x 7   x  9 d) x 3 x 10    (*) Giải









a) x 3  1 x 1  9 2x 2x 7     5 7(Vơ lý) Vậy phương trình vơ nghệm





7x 20x 1,5

b) x 21x 120x 1080 80x 179x 1074 x

8



            

Vậy phương trình có nghiệm x =

c) 2 13 26

2x x 21 2x 7   x 



 





 



13

x 2x 2x x x

  

    

(8)



 







13 x x x 2x 13x 39 x 12x 42

            



 



2 x DKXD

x x 12 x x

x DKXD

  

         

  

Vậy phương trình có nghiệm x = - d) Lập bảng xét dấu

x

x – - + + x - - - + -Xét x < 3:

(*) x x





             (loại)

-Xét x 7  :

(*)  x 3 x 





(*) x 3 x 7





            (loại)

Vậy phương trình có nghiệm x = VD2.Giải biện luận phương trình sau

a)

2

x a b x b a b a

a b ab

    

  (1)

b)





2 a x

ax

x x x

 

 

  

(2) Giải

a) ĐK: a ≠ 0; b ≠















 



2

2 2

(1) b x a b a x b a b a

bx ab b ax ab a b a

b a x b a b a

       

       

    

-Nếu b – a ≠  b a x b a b a



 







 

  



-Nếu b – a =  b a phương trình có vơ số nghiệm Vậy:

-Với b ≠ a, phương trình có nghiệm x = 2(b + a) -Với b = a, phương trình có vô số nghiệm

(9)



 















2

(2) ax-1 x x a x ax ax x 2x ax a

a x a

     

       

   

-Nếu a + ≠  a 1 x a a

 



-Nếu a + =  a 1 phương trình vơ nghiệm Vậy:

-Với a ≠ -1 a ≠ -2 phương trình có nghiệm x a a

 

 -Với a = -1 a = -2 phương trình vơ nghiệm

VD3.Giải hệ phương trình sau

1

x 2y 3z

x 5y x y x y

a) b) c) x 3y z

3x 2y 1

x 5y x y x y



  

  



   

  

  

  

 

      



  

 Giải





x 5y

x 5y x 5y x 5y x

a)

3 5y 2y

3x 2y 21 17y y y

  

      

   

   

    

  

     

    

hoặc x 5y 3x 15y 21 17y 17 y

3x 2y 3x 2y 3x 2y x

     

   

  

   

      

   

b) ĐK: x y

đặt u; v

x y  x y 

Khi đó, có hệ

5 2v 1

u v v

8

5

1

3 u v

u

u v 8

8

 



   

 

  

 

  

 

     



 



Thay trở lại, ta được: x y x

x y y

  

 



 

  

(10)

c)

x 2y 3z x 5y x 5y x

x 3y z 5y 2y 3z 7y 3z y

x 5y 1 5y 3y z 2y z z

       

   

   

            

   

            

   

VÝ dơ 4: Gi¶i hệ phơng trình















1

y

10

x

6

36

13

y

3

x

4

Giải :

Đặt Èn phô : Y y

x

X  ;  Ta cã hÖ :



















36

10

6

36

13

3

4

Y

X

Y

X

Ví dụ 5: Giải hệ phơng trình :

























)3

(

2

3

2

)2

(

3

2

3

)1(

11

3

2

z

y

x

z

y

x

z

y

x

Híng dÉn: Rót z tõ (1) thay vµo (2); (3)

VÝ dơ 6: Giải hệ phơng trình:









)2

(

12

)1(

6

2 2

y

z

x

z

y

x

Híng dÉn: Nh©n (1) víi råi trõ cho (2)

=> (x2 + y 2 + z2 ) – 4( x+ y + z ) = 12 – 24

x2 – 4x + y2 -4y + z2 - 4z + 12 = 0

( x2 – 4x + ) + ( y 2 – 4y + ) + ( z2 – 4z -4 ) = 0

( x – )2 + ( y – )2 + ( z – )2 =

=> x = y = z =

(11)



















 



2

a) x x 3x 82 x 17 3x

b)

5

x x x x

c)

65 64 63 62

x x 7x

d)

x x x

x 2

e)

x x x x

f ) x

g) 3x 2x h) x 2x i) x x 2x

k) 3x x 3x x 4x x 2x x l)

3

     

 

 

   

  

 

 

  



 

 

    

   

   

    

   

  

2.Giải biện luận phương trình sau





2

x a x b

a) b a

a b

b) a x 3a x ax-1 x a a c)

a+1 a a

a a a

d)

x a x x a x

 

  

  

 

 

 

 

  

   

3.Giải hệ phương trình

2

m n p 21 x y 24

3x 4y 2u v n p q 24

a) x y 8 b) c) d)

2x 5y 12 p q m 23

2 u 2v 66

9

q m n 22    

 

          



  

   

     

     

 



    

4.Cho hệ phương trình





   



  

a) Giải hệ với m = -

(12)

PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI

VD1.Giải phương trình sau

2 2

a) 3x 2x b) x c) x 3x 10

2

       







 



2

d) 2x  x 2 0    e) x x f ) x x x x 4       3 Giải





2

x

a) 3x 2x x 3x 2

x   

     

  

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt …

2

1

b) x x 16 x

2

      

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt …





2

1

c) a 1; b 3; c 10

b 4ac 4.1 10 49

b b

x 2; x

2a 2.1 2a 2.1

  

       

         

     

Vậy phương trình có nghiệm phân biệt … d) a  2; b 1; c 2  

Có a b c    1 2 0   

Theo hệ thức Viet, có: x1 1; x2 c 2

a 2

 

   

e) Đặt t x 0 , ta có pt mới: t2 – 4t + = Có a + b + c = + (-4) + =

Vậy t1 = 1; t2 = Suy ra: x1 = 1; x2 =

f)



 





 



t (t + 2) = t2 2t



 



t

           

  Suy ra:

2

1

2

x 5x x 5x 5 13 5 13

x ; x

2

x 5x x 5x

            

   

  

      

 

(13)

VD2.Cho phương trình x2 + 3x – m = (1)

a) Giải phương trình với m =

b) Giải biện luận theo m số nghiệm phương trình (1) c) Tìm m để (1) có nghiệm x= -2 Tìm nghiệm cịn lại

d) Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:

1 2x1 + 3x2 = 13

2 Nghiệm lớn nghiệm ba đơn vị x12 + x22 = 11.

e) Chứng tỏ

1 1

;

x x nghiệm phương trình mx2 – 3x – = Trong x1, x2 hai nghiệm (1)

f) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm dấu Em có nhận xét hai nghiệm

Giải

a) Với m = ta có: x2 + 3x – = (a = 1; b = 3; c = -4) Nhận thấy: a + b + c = + + (-4) =

Theo hệ thức Viet, có: x1 = 1; x2 = c a  b) có: b2 4ac 4m

    

1

9

0 4m m

4

b 4m b 4m

x ; x

2a 2a

       

           

   

1

9

0 4m m

4

b

x x

2a

       

  

9

0 4m m

4

        phương trình vơ nghiệm c) Phương trình (1) có nghiệm x = -2, đó:

(-2)2 + 3(-2) – m =  m = -2 -Tìm nghiệm thứ hai

cách 1: Thay m = -2 vào phương trình cho: x2 + 3x + = 0 có a – b + c = – + = nên x1 = -1; x2 = c

a 

 Vậy nghiệm lại x = -

Cách 2: Ta có x1 + x2 = b a

 x2 b x1





       Cách 3: Ta có x1x2 = c

a

c m

x : x

a



   

(14)

d) Phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2x1 + 3x2 = 13

1

0

b

x x

a c x x

a 2x 3x 13  

 

   

 

 



  



1

9 m

4

x x

x x m

2x 3x 13 

  

    

  

 

 

giải hệ tìm x1 = -22; x2 = 19; m = 418

-Tương tự ta tìm (x1 = -2; x2 = -3; m = -6); (m=1)

e) Ta có

1

1 2

1 x x

x x x x m

1 1

x x x x m

 

  

  

  

 

mà

2

3 9 4m

4

m m m m m



   

     

   

   

Vậy

1 1

;

x x hai nghiệm phương trình

2

x x mx 3m

m m

      

f) Phương trình có hai nghiệm dấu

0 m

m

P m 0



  

 

       



  



Hai nghiệm ln âm Vì S = - 3.\

VÝ dô 3

Cho phơng trình: x2 ( m + )x + m + = ( x lµ ẩn )

a, Giải phơng trình

2 m

b, Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu c, Gọi x1 , x2 hai nghiệm phơng trình Tìm giá trị m để :

x1( – 2x2 ) + x2( – 2x1 ) = m2

Gi¶i a, Thay

2

(15)

x x 2 x 2 x 2         ( )

Phơng trình có hai nghiệm :

2 x

x1 , 2

b, Phơng trình có hai nghiƯm tr¸i dÊu x1x2 = a c



hay a.c <

 1(m + 1) <  m < -1 c, x1( – 2x2) + x2 ( – 2x1) = m2

 

( 1 2 1 2

2 2 1 m x x x x m x x x x x x         

Theo viet ta cã :

    m a c x x m 2 m a b x x 2            

Thay vµo (*) ta cã :

2(m + ) – ( m + ) = m2

2m + – 4m – = m2

m2 + 2m = 0

m ( m + ) =           m m m

VÝ dơ

Cho ph¬ng tr×nh : x2 – 2mx + 2m – = 0

1, Chng tỏ phơng trình có hai nghiệm với m 2, Đặt A2

a Chøng minh A = 8m2 – 18m + 9

b T×m m cho A = 27

3, Tìm m cho nghiệm hai lần nghiệm Gi¶i

1 XÐt  m2 2m 1 m2 2m m 12 m

           '

=> Phơng trình có nghiệm với m a A2





2

1 2x 5x x

x

2  









2 2 2 2 2 2 x x x x x x x x x x x x x x x x           

Theo viet ta cã :

2

  

2

m

9

2

m

1



2

 

4

m

18

m

9

8

m

18

m

9

a

c

x

a

b

x



































=> ®iỊu ph¶i

(16)

b, Tìm m để A = 27 giảI phơng trình 8m2 – 18m + = 27

8m2 – 18m – 18 =

4m2 – 9m – = 0

Phơng trình có hai nghiệm : m1 = , m2 = -3/4

2.Tìm m để x1 = 2x2

Theo viet ta cã : x1 + x2 = -b/a = 2m

Hay 2x2 + x2 = 2m

3x2 = 2m

 x2 = 2m/3

 x1 = 4m/3

Theo viet:

0 m 18 m

9 m 18 m

1 m m

1 m

m

1 m a c x x

2 2

  



  

  

  

Phơng trình có hai nghiệm : m1 = 3/2; m2 = 3/4

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN 1.Giải phương trình sau





2 2

a) x  5x b) 2x  3 c) x  11x 30 d) x   1 x 0





4

e) x  7x 12 0 f ) x 2  x 0  











 



2

2 x

g) h) x x x x 20

x x x x x



       

  

2 2

2

1

i) 2x 8x 2x 4x 12 k) x 4,5 x

x x

 

          

 

2.Cho phương trình x2 2 3x 0

   , có hai nghiệm x1, x2 Khơng giải phương trình Hãy tính giá trị biểu thức sau:

2

2 3 1 2

1 2 3

1 2

3x 5x x 3x

A x x ; B x x ; C

4x x 4x x

 

    

 3.Cho phương trình x2 + mx + m+3 = 0.

a) Giải phương trình với m = -2

b) Giải biện luận số nghiệm phương trình c) Tính x12 + x22 ; x13 + x23 theo m.

d) Xác định giá trị m để x12 + x22 = 10. e) Tìm m để 2x1 + 3x2 =

f) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -3 Tính nghiệm cịn lại g) Tìm m để phương trình có nghiệm dấu dương

(17)

a) Giải phương trình với m =

b) Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt c) Tìm m để phương trình có nghiệm đối

d) Tìm m để phương trình có nghiệm nghịch đảo e) Tìm m để phương trình có nghiệm x = Tìm nghiệm cịn lại f) Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

5.Cho phương trình x2 – mx + m – = 0, ẩn x, tam số m.

a) Chứng tỏ phương trình có hai nghiệm x1, x2 với m Tính nghiệm kép (nếu có) giá trị tương ứng m

b) Đặt A = x12 + x22 – 6x1x2.

+) Chứng minh A = m2 – 8m + 8. +) Tìm m để A =

+) Tìm giá trị nhỏ A giá trị tương ứng m 6*.Cho phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = với abc ≠ 0.

a) Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2

b) Lập phương trình nhận hai số



 



d) Lập phương trình nhận hai số

1 1

;

x x làm nghiệm e) Lập phương trình nhận hai số

2

x x

;

x x làm nghiệm

GIẢI BÀI TỐN

BẰNG CÁCH LẬP PHƯƠNG TRÌNH - HỆ PHƯƠNG TRÌNH A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp giải

Bước Gọi ẩn đặt điều kiện: Gọi (hai) số điều chưa biết làm ẩn đặt điều kiện cho ẩn

Bước Biểu diễn đại lượng chưa biết lại qua ẩn

Bước Lập phương trình (hệ phương trình): Dựa vào mối quan hệ đại lượng biết chưa biết

Bước Giải phương trình (hệ phương trình) vừa lập

Bước Kết luận: Kiểm tra giá trị tìm với điều kiện kết luận *Chú ý việc tóm tắt tốn trước làm

(18)

1.Để đoạn đường từ A đến B, xe máy hết 3h20 phút, cịn ơtơ hết 2h30phút Tính chiều dài quãng đường AB biết vận tốc ôtô lớn vận tốc xe máy 20km/h

Quãng đường (km)

Thời gian (h) Vận tốc (km/h)

Xe máy x 3h20ph = 10

3 h

10 3x x :

3 10

Ơtơ x 2h30ph =

2 h

5 2x x :

2 Từ có phương trình 2x 3x 20

5  10  , giải x = 200 km

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy x - 20 3h20ph = 10

3 h





10

x 20

3 

Ơtơ x 2h30ph =

2h

5 x Từ có phương trình 5x 10





2 3  , giải x = 80 km/h

Vận tốc (km/h) Thời gian (h) Quãng đường (km)

Xe máy x 3h20ph = 10

3 h

10 x

Ơtơ x + 20 2h30ph =

2h





5

x 20

2 

Từ có phương trình 10x 5





3 2  , giải x = 60 km/h

*Nhận xét: Trong cách làm cách thứ ngắn gọn nhất. C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho 200g dung dịch có nồng độ muối 10% Phải pha thêm vào dung dịch lượng nước để dung dịch có nồng độ muối 8%

2.Có hai vòi nước, vòi chảy đầy bể 1,5 giờ, vòi chảy đầy bể Người ta cho vòi chảy thời gian, khóa lại cho vịi chảy tiếp, tổng cộng 1,8 đầy bể Hỏi vịi chảy bao lâu? 3.Tổng chữ số hàng chục hai lần chữ số hàng đơn vị số có hai chữ số 18 Nếu đổi chỗ hai chữ số cho số lớn số ban đầu 54 Tìm số ban đầu

(19)

5.Một cửa hàng ngày bán số xe đạp xe máy Biết số xe đạp bán nhiều số xe máy tổng bình phương hai số 97 Hỏi cửa hàng bán xe loại

6.Dân số địa phương 41618 người Cách năm dân số địa phương 40000 người Hỏi trung bình năm dân số địa phương tăng phần trăm

-HÀM SỐ - ĐỒ THỊ

VD1.Cho (P): y = x2

1 Vẽ (P) hệ trục Oxy

2 Trên (P) lấy hai điểm A B có hồnh độ Hãy viết phương trình đường thẳng qua A B

3 Lập phương trình đường trung trực (d) AB Tìm tọa độ giao điểm (d) (P)

5.Tính diện tích tứ giác có đỉnh A, B điểm 1; trục hoành

VD2.Trong hệ trục tọa độ, gọi (P), (d) đồ thị hàm số

2 x

y ; y x

4

   a) Vẽ (P) (d)

b) Dùng đồ thị để giải phương trình x2 4x 0

   kiểm tra lại phép tốn

Phương trình cho

2 x

x

    Nhận thấy đồ thị hai hàm số vừa vẽ đồ thị

2 x y

4

 y x 1  .

Mà đồ thị hai hàm số đo tiếp xúc A nên phương trình có nghiệm kép hoành độ điểm A.

c) Viết phương trình đường thẳng (d1) song song với (d) cắt (P) điểm có tung độ - Tìm giao điểm cịn lại (d1) với (P)

VD3.Cho (P): y = 1x2

4 đường thẳng (d) qua hai điểm A, B (P) có hồnh độ –

a) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (P) b) Viết phương trình đường thẳng (d)

c) Tìm M cung AB (P) tương ứng với hoành độ x chạy khoảng từ - đến cho tam giác MAB có diện tích lớn

Do đáy AB khơng đổi nên để diện tích lớn đường cao MH lớn nhất.

(20)

Tìm tọa độ M 1;1       MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho (P): y = ax2

a) Xác định a để đồ thị hàm số qua A(1; 1) Hàm số đồng biến, nghịch biến

b) Gọi (d) đường thẳng qua A cắt trục Ox điểm M có hồnh độ m ( m ≠ 1) Viết phương trình (d) tìm m để (d) (P) có điểm chung

2.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm A (-2; 2) đường thẳng (d1): y = -2(x+1)

a) Giải thích A nằm (d1)

b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A.

c) Viết phương trình đường thẳng (d2) qua A vng góc với (d1) d) Gọi A, B giao điểm (P) (d2); C giao điểm (d1) với trục tung Tìm tọa độ B C Tính diện tích tam giác ABC

3.Cho (P): y = x2 (d): y = 2x + m Tìm m để (P) (d): a) Cắt hai điểm phân biệt

b) Tiếp xúc c) Không giao

4.Trong hệ trục tọa độ Oxy gọi (P) đồ thị hàm số y = x2. a) Vẽ (P)

b) Gọi A, B hai điểm thuộc (P) có hồnh độ – Viết phương trình đường thẳng AB

c) Viết phương trình đường thẳng (d) song song với AB tiếp xúc với (P)

5.Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình là: y = (m-2)x + y = mx + m +

a) Tìm m để (d1) qua điểm A(1; 5) Vẽ đồ thị hai hàm số với m vừa tìm

b) Chứng tỏ (d1) qua điểm cố định với m ≠ c) Với giá trị m (d1) //(d2); (d1)  (d2)

d) Tính diện tích phần giới hạn hai đường thẳng (d1), (d2) trục hoành trường hợp (d1)  (d2)

CỰC TRỊ A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

(21)

Tìm giá trị lớn (max) hay giá trị nhỏ (min) biểu thức xác định giá trị biến để biểu thức đạt giá trị lớn hay nhỏ

-Giá trị lớn biểu thức A: maxA

Để tìm maxA cần A M , M số Khi maxA = M

-Giá trị nhỏ biểu thức A: minA

Để tìm minA cần A m , m số Khi minA = m 2.Các dạng tốn thường gặp

2.1 Biểu thức A có dạng đa thức bậc chẵn (thường bậc hai):

Nếu A = B2 + m (đa thức biến), A = B2 + C2 + m (đa thức hai biến), … A có giá trị nhỏ minA = m

Nếu A = - B2 + M (đa thức biến), A = - B2 – C2 + M (đa thức hai biến), … A có giá trị lớn maxA = M

2.2 Biểu thức A có dạng phân thức: 2.2.1 Phân thức A m

B

 , m số, B đa thức

-Nếu mB > A lớn B nhỏ nhất; A nhỏ B lớn -Nếu mB < (giả sử m < 0) A lớn B lớn nhất; A nhỏ B nhỏ

2.2.2 Phân thức A = B

C, B có bậc cao bậc C Khi ta dùng phương pháp tách giá trị nguyên để tách thành

m D

A n ; A n

C C

    m, n số; D đa thức có bậc nhỏ bậc C

2.2.3 Phân thức A = B

C, C có bậc cao bậc B Cần ý tính chất: A có giá trị lớn

A có giá trị nhỏ ngược lại

2.3 Biểu thức A có chứa dấu giá trị tuyệt đối, chứa thức bậc hai: -Chia khoảng giá trị để xét

-Đặt ẩn phụ đưa bậc hai

-Sử dụng tính chất giá trị tyệt đối:

a  b  a b ; a  b  a  b a,b Dấu “=” xảy ab 0 -Sử dụng số bất đẳng thức quen thuộc

Bất đẳng thức Côsi:





1 n n n

1

a ,a , ,a a a a a a a n

(22)

Bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski: a ,a , ,a ;b ,b , ,b1 n n có



 







1 n

a a a

b b  b B.MỘT SỐ VÍ DỤ

VD 1: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có biểu thức sau

2 2

A x  3x 3; B 2x 2y y  2x 2xy 2007 





2

3 x

C ; D x

4x 4x x

   

  

2

E x 1 x ; F2x 1  2x 2  G x  x; H x  x

Giải *

2 2

2 3 3 21 21

A x 2.x x x

2 2 4

       

               

     

 

 

Dấu “=” xảy x   Vậy maxA = 21

4 x = -

*



 











2 2

2

B x 2xy y 2y 2x x 4x 2002

x y x 2002 2002 x, y

         

       

Dấu “=” xảy x y x

x y

   

 



 

  

 

Vậy minB = 2002 x = y = - *





2x



  mà





2x 1   6 x C x

   

Dấu “=” xảy x

 Vậy maxC =

1 x

2 

*

2

x 1 1

D x x

x x x

 

       

  

Do x > nên x 0; x

  

 theo Bđt Cơsi có





1

x x 2

x x

 

       

(23)

D

  Dấu “=” xảy x 1 x 1 x

x x

        

 

Vậy minD = x =

x

x – - + + x - - - + Khi x < 1: E = – x + – x = – 2x > – 2.1 =

Khi x 3  : E = x – + – x =

Khi x > 3: E = x – + x – = 2x – > 2.3 – = Vậy minE = x 3 

* Đặt t2x 0 

2

2 1

F t 3t t t

2 4

 

        

 

Dấu “=” xảy

5 x

3 3

t 2x 2x

1

2 2

x 

          

   Vậy minF =

4

 x

 x  * ĐKXĐ:  x

Đặt t 2 x 0 t2 2 x x t2         

2

2 9

G t t t t

2 4

 

         

 

Dấu “=” t

 x x

2

    

Vậy maxG =

4 x = * ĐKXĐ:   1 x

2

H x  x  H  2 x Có 0 1 x2 1 0 x2 2

      

2

2 H H

     

(24)

Vậy minA = x = 1; maxA = x =

VÝ dơ 2:

Cho biĨu thøc:

x 1 x 1 x 1 : x 1 x 1 A                     

a Rót gän A

b Với giá trị x A nhỏ Giải: a Rút gọn đợc:





x x

1



b A nhá nhÊt nÕu mÉu x





-(K2- K) = -(K2 - 2K/2 +1/4 -1/4)

= -[(K-1/4)2 – 1/4]

MÉu nµy lín nhÊt khi: -[(K-1/4)2- 1/4] lµ nhá nhÊt

Vµ nã nhá nhÊt khi: K= 1/4 Hay x 1/4 x1/2 =>A nhá nhÊt =4

Ví dụ3:

Tìm giá trị lín nhÊt cđa biĨu thøc

1 x x

x M 4 2

2    Gi¶i:

Ta nhËn thÊy x = => M = VËy M lín nhÊt x Chia tử mẫu cho x2

1 x x M 2   

VËy M lín nhÊt mÉu nhá nhÊt MÉu nhá nhÊt 2

x

x  nhá nhÊt

0 x

1 x2 2



 VËy 2

x

x  nhá nhÊt x =1

VËy 1 M   Ví dụ 4:

Tìm giá trị nhá nhÊt cđa biĨu thøc :

1 x x x x

Y     

Gi¶i:   x 1 x x 1 x 1 x 1 x 1 x x 1 x x Y 2 2                             ) ( ) ( ) (

(25)

VËy Y nhá nhÊt lµ x 1

x  )(   )

(

2

x

1

0

1

x

1

x



















)

(

MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ có bểu thức sau

2 2

A x y  6x 2y 17;  B x  4xy 5y 10x 22y 28 





2

x x

C x ; D ; E

x 3x x

         





x x x x

F x ; G

x x x

   

  

  

Giải





2





2





2





2

A = x - + y - + 7; B = x - 2y + + y - + 2





 

2

5 1 1 1

C = x + + - - 4; D = -8 -4 ;

x + 2 3x + 2 3x + 2 2

2x

E = -1 + -1

x + 1









2

2 2 2

2

2x 2 2 1 2 2

F = - = - 1 - x + + 3

1 1

x + x + 1 x + + 1 3 x x + + 1 3

x x

x + x + 1

G = G x + = x + x + 1 G - x - x + G - = 0 x + 1

-Nếu G = x = ngược lại.

-Nếu G ≠ muốn có x thỏa mãn điều kiện cần có





2

1

3

Δ = - G - 1 0 4G - 8G + 0 G

2 2

Vậy minG = 1

2 x = -1; maxG =

2 x = 1.

(26)

HÌNH HỌC

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG TỈ SỐ LƯỢNG GIÁC CỦA GÓC NHỌN A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

1.Định lý Pitago ABC

(27)

B

H C

A

1) AB2 = BH.BC; AC2 = CH.BC 2) AB.AC = AH.BC

3) AH2 = BH.HC 4) 2 12 12

AH AB  AC Kết quả:

-Với tam giác cạnh a, ta có: h a 3; S a2

2

 

3.Tỉ số lượng giác góc nhọn

Đặt ACB ; ABC đó:

AB AH AC HC AB AH AC HC

sin ; cos ; tg ; cot g

BC AC BC AC AC HC AB AH

           

b a sin B acosC ctgB ccot gC c acosB asinC bctgB btgC

   

Kết suy ra:

1) sin cos ; cos sin ; tg cotg ; cot g  tg

sin cos

2) sin 1; cos <1; tg ; cot g

cos sin

 

        

 

2

1

3) sin cos 1; tg cot g 1; cot g ; tg

sin cos

            

 

4) Cho ABC nhọn, BC = a; AC = b; AB = c đó:

2 2

ABC

a b c 2bc.cosA; S bcsin A

2



   

B.MỘT SỐ VÍ DỤ

VD1.Cho tam giác ABC có AB>AC, kẻ trung tuyến AM đường cao AH Chứng minh:

2

2 2

2

BC

a) AB AC 2AM

2 b) AB AC 2BC.MH

  

 

VD2.Cho hình thang ABCD (AB//CD có AB = 3cm; CD = 14cm; AC = 15cm; BD = 8cm.

a) Chứng minh AC vng góc với BD. b) Tính diện tích hình thang.

(28)

C.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

1.Cho tam giác ABC vuông cân A, trung tuyến BD Gọi I hình chiếu C BD, H hình chiếu I AC

Chứng minh: AH = 3HI

2.Qua đỉnh A hình vng ABCD cạnh a, vẽ đường thẳng cắt BC E cắt đường thẳng DC F

Chứng minh: 12 12 12 AE AF a

3.Cho tam giác cân ABC có đáy BC = a; BAC = 2;  450 Kẻ đường cao AE, BF

a) Tính cạnh tam giác BFC theo a tỉ số lượng giác góc . b) Tính theo a, theo tỉ số lượng giác góc  2, cạnh tam giác ABF, BFC

c) Từ kết trên, chứng minh đẳng thức sau:

2

2 2tg 1) sin 2sin cos ; 2) cos2 =cos sin ; 3) tg2

1 tg 

         

  CHỨNG MINH

BẰNG NHAU – SONG SONG, VNG GĨC - ĐỒNG QUY, THẲNG HÀNG

1.Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đường tròn (O; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T.

a) Chứng minh OT//AB.(góc BAD = góc TOD)

b) Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng.(phân giác BOD; song song với AB)

c) Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R.(P = 3 3R; S =

2 3R

4 )

d) Tính theo R diện tích giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD. 2.Cho nửa đường tâm O đường kính AB = 2R, M trung điểm AO Các đường vuông góc với AB M O cắt nửa đường trịn D C.

a) Tính AD, AC, BD DM theo R.(AD = R; AC = R ; BD = R 3; DM = R

4 )

b) Tính góc tứ giác ABCD.(ABD = 300; ABC = 450; BCD =

(29)

c) Gọi H giao điểm AC BD; I giao điểm AD BC. Chứng minh IH vng góc với AB.(AC, BD đường cao tam giác IAB)

3.Cho tam giác ABC cạnh a Kéo dài BC đoạn CM = a.

a) Tính góc tam giác ACM.(ACM = 1020; CAM = CMA = 300)

b) Chứng minh Am vng góc với AB.(MAB = 900)

c) Kéo dài CA đoạn AN = a kéo dài AB đoạn BP = a Chứng tỏ tam giác MNP đều.(tgMCN = tgNAP = tgPBM)

4 Cho hình vng ABCD Lấy điểm M đường chéo BD Gọi E, F hình chiếu M lên AB AD

a) Chứng tỏ: CF = DE; CF vng góc với DE Từ tìm quỹ tích giao điểm N CF DE (tgCFD = tgDAE; quỹ tích N ¼ đường trịn-cung trịn DNO có đường kính CD)

b) Chứng tỏ: CM = EF CM vng góc với EF (tgCKM = tgFME, K là giao FM CB)

c) Chứng minh đường thẳng CM, BF, DE đồng quy.(CM, ED, FB ba đường cao tam giác CEF)

5.Cho tam giác ABC vng A Đường trịn qua tâm O qua A tiếp xúc với BC B đường tròn tâm I qua A tiếp xúc với BC C

a) Chứng minh hai đường tròn (O) (I) tiếp xúc A.(tgOAB; tgIAC cân; OAB + CAI + BAC = 1800; O, I, A thẳng hàng)

b) Từ O kẻ đường vng góc với AB từ I kẻ đường vng góc với AC Chứng minh chúng cắt trung điểm M BC.(MA = MB = MC)

c) Chứng minh MO vuông góc với MI.(OMI = 900)

d) Kéo dài BA cắt đường tròn tâm I P Chứng minh C, P, I thẳng hàng

(tính chất góc nội tiếp PIA + AIC = 1800)

6 .Cho hai đường tròn (O), (O’) cắt A B cho góc OAO’ 900 Qua A kẻ cát tuyến MAM’ vng góc với AP P trung điểm của OO’ M, M’ theo thứ tự giao điểm cát tuyến với hai đường tròn (O); (O’) Chứng minh:

a) AM = AM’.(A trung điểm DC; OC, O’D vng góc với MM’)

b) Tam giác ABM cân.(tgOAC = tgOHA)

c) BM vng góc với BM’.(AB = AM’; t/c trung tuyến tam giác vng)

d) Với vị trí cát tuyến MAM’ MM’có độ dài lớn

(MM’=2OO’; MM’//OO’)

§8.CHỨNG MINH HAI TAM GIÁC ĐỒNG DẠNG HỆ THỨC HÌNH HỌC

.MỘT SỐ BÀI TẬP CƠ BẢN

(30)

a) Các tam giác DAE BFE đồng dạng b) Các tam giác DGE BAE đồng dạng c) AE2 = EF.EG.

d) Tích BF.DG không đổi cát tuyến qua A thay đổi

2 Cho hình bình hành ABCD Từ C kẻ CM vng góc với AB, CN vng góc với AD Giả sử AC > BD Chứng minh rằng: AB.AM + AD.AN = AC2.

3 Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Các đường cao AD, BE, CF cắt H Gọi M trung điểm BC Đường thẳng qua H vng góc với MH cắt AB P, cắt AC Q Chứng minh:

a) AHP ~ CMH b) QHA ~ HMB c) HP = HQ

4.Cho tam giác ABC Gọi M trung điểm BC Lấy P cạnh AB, Q cạnh AC cho góc PMQ 600.

a) Chứng minh MBP ~ QCM Từ suy PB.CQ có giá trị khơng đổi

b) Kẻ MH vng góc với PQ, chứng minh MBP ~ QMP; QCM ~ QMP

    .

c) CHứng minh độ dài MH không đổi P, Q chạy AB, AC thỏa mãn điều kiện góc PMQ 600.

5.Cho tam giác ABC có BC = a; AC = b; AB = c (b > c) phân giác BD, CE

a) Tính độ dài CD, BE suy CD > BE

b) Vẽ hình bình hành BEKD, chứng minh CE > EK c) Chứng minh CE > BD

§10.CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP A.KIẾN THỨC CƠ BẢN

Phương pháp chứng minh

-Chứng minh bốn đỉnh tứ giác cách điểm -Chứng minh tứ giác có hai góc đối diện bù

-Chứng minh hai đỉnh nhìn đoạn thẳng tạo hai điểm cịn lại hai góc

-Chứng minh tổng góc ngồi đỉnh với góc đối diện bù

-Nếu MA.MB = MC.MD NA.ND = NC.NB tứ giác ABCD nột tiếp (Trong M AB CD; N AD   BC)

-Nếu PA.PC = PB.PD tứ giác ABCD nội tiếp (Trong P AC BD)

(31)

Nếu cần chứng minh cho nhiều điểm thuộc đường trịn ta có thể chứng minh điểm lúc Song cần ý tính chất “Qua điểm khơng thẳng hàng xác định đường tròn”

1.Cho nửa đường trịn (O) đường kính AB, có điểm M Trên đường kính AB lấy điểm C cho AC < CB Kẻ hai tiếp tuyến Ax By A B với (O) Đường thẳng qua M vng góc với MC cắt Ax P, đường thẳng qua C vng góc với CP cắt By Q Gọi D giao điểm CQ BM Chứng minh:

a) Các tứ giác ACMP, CDME nội tiếp b) AB//DE

c) Ba điểm P, M, Q thẳng hàng

2.Cho tam giác ABC nội tiếp đường trịn đường kính AA’, đường cao AM. a) Hai đường cao BN, CP cắt H PN cắt AA’ S Chứng minh tứ giác BPNC A’SNC nội tiếp

b) Chứng minh PN vng góc với AA’

3.Cho (O; R) dây cung AB ( AB < 2R) Trên tia AB lấy điểm C cho AC > AB Từ C kẻ hai tiếp tuyến với đường tròn P K Gọi I trung điểm AB

a) Chứng minh tứ giác CPIK nội tiếp

b) Chứng minh hai tam giác ACP PCB đồng dạng Từ suy CP2 = CB.CA.

c) Gọi H trực tâm tam giác CPK, tính PH theo R

d) Giả sử PA//CK, chứng minh tia đối tia BK tia phân giác góc CBP

4.Cho tam giác ABC cân A, cung trịn phía tam giác tiếp xúc với AB, AC B C Từ điểm D cung BC kẻ đường vng góc DE với BC, DF với AC DG với AB Gọi M giao điểm BD GE, N giao điểm EF DC Chứng minh:

a) Các tứ giác BEDG CEDF nội tiếp b) DE2 = DF.DG

c) Tứ giác EMDN nội tiếp, suy MN vng góc với DE d) Nếu GB = GE EF = EC

5.Từ điểm M đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, ta kẻ đường vuông góc hạ xuống ba cạnh tam giác MHAB; MI BC; MK AC Chứng minh:

a) Ba tứ giác AHMK, HBIM, ICKM nội tiếp

(32)

Tổng hợp dạng toán ôn thi vào 10

I Biến đổi đơn giản biểu thức chứa thức bậc hai :

Bµi 1 Cho biĨu thøc: 

                      1 a a a a a 2 1 a 1 : 1 a a 1 P

a Rót gän P b T×m a cho P>1 c Cho a19 8 3 TÝnh P

H

íng dÉn: a

1 a 1 a a P   

 ; b a1; c

3 3 3 9 24 P   

Bµi 2. Cho biĨu thøc

3 x 3 x 1 x x 2 3 x 2 x 19 x 26 x x P          

a Rót gän P b TÝnh gi¸ trÞ cđa P x7 4 3

c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ

H

íng dÉn: a

3 x 16 x P  

 b

22 3 3 103

P  c Pmin=4 x=4

Bµi 3. Cho biĨu thøc 

                           x x 2 3 x x 2 2 : 4 x 4 x 2 x 4 x 2 x x 2 x 2 P

a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P>0 c Tìm giá trị x để P= -1

d Với giá trị x P P

H

íng dÉn: a

3 x x 4 P 

 b x>9 c

16 9 x

                        1 x 3 2 x 3 1 : 1 x 9 x 8 1 x 3 1 1 x 3 1 x P

a Rút gọn P b Tìm giá trị x để

5 6

P H íng dÉn: a

1 x 3 x x P    b 25 9 ; 4 x

                      1 x x 1 : 1 x 1 1 x x x x x 2 P

a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P<0

H

íng dÉn: a

x x 1 x 1 P   

 b x>1

Bµi 6. Cho biÓu thøc 

                          6 x 5 x 2 x x 3 2 x 2 x 3 x : 1 x x 1 P

c Tìm số m để có giá trị x thỏa mãn: P



x

1



m(x

1)

2

d Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ nhất? Tìm giá trị nhỏ

H

íng dÉn: a

1 x 2 x P  

 b 0x4 c

2 1 m 0 

                          1 x x 1 1 x 1 x : x 1 x 1 x x 1 x 1 x P

a Rút gọn P b Tìm giá trị P

2 3 2

x  c So s¸nh P víi

2 1

d Tìm x để



P2

P

1



min

H

íng dÉn: a

x 4

1 x 2

P  c P>

2 1

(33)

Bµi 8. Cho biĨu thøc                       a a 1 a a 1 . a a 1 a a 1 P

a Rút gọn P b Tính a để P7 4 3

H

íng dÉn: a  2

a 1

P  b 3 1a 31; a1

Bµi 9. Cho biĨu thøc

x 3 1 x 2 2 x 3 x 6 x 5 x 9 x 2 P          

a Rút gọn P b Tìm giá trị x để P<1 c Tìm giá trị x để P có giá trị ngun

H

íng dÉn: a

3 x 1 x P  

 b 0x9; x4 c x=1;16;25;49

                         1 x 2 x 1 x 1 x 1 : 1 x 1 x 1 x 1 x P

a Rót gän P b T×m giá trị P

2 3 4 7

x c Tìm giá

tr ca x để

2 1 P

H

íng dÉn: a





2

1

x

4

P

 b P12 3 20 c x1712 2

                       a a 1 a 1 . 1 a a a 1 a 1 a 2 P 3 3

a Rót gän P b.XÐt dÊu biÓu thøc P 1 a

H

íng dÉn: a P a  1 b P 1 a<0

                        1 a a 2 1 a a 3 . a 1 a a a 1 a a a a 1 a a P

a Rót gän P b Víi gi¸ trị a P a7

c Chng minh với giá trị a (thỏa mãn điều kiện xác định) ta có P>6

H

íng dÉn: a

a 2 a 4 a 2

P   b a=4

                           3 x 2 x x 2 3 x 6 x x x 9 : 1 9 x x 3 x P

H

íng dÉn: a

2 x

3 P



 b 0x4

                        1 3 x 2 x 2 : 9 x 3 x 3 3 x x 3 x x 2 P

a Rút gọn P b Tìm x để

2 1

P c Tìm giá trị nhỏ cđa

P

H

íng dÉn: a

3 x 3 P  

 b 0x9 c Pmin= -1 x=0

               1 x 1 1 x x 1 x 1 x x 2 x : 1 P

a Rót gän P b H·y so s¸nh P víi

H

íng dÉn: a

x 1 x x

(34)

Bµi 16. Cho biÓu thøc                   1 x 1 1 x 2 x 2 x 1 x 2 x x 3 x 9 x 3 P

a Rút gọn P b Tìm giá trị nguyên x để P nguyên c Tìm giá trị x để P x

H

íng dÉn: a

1 x 1 x P  

 b x=4;9 c x32 2

Hệ ph ơng trình:

*Giải hệ ph ơng trình:

1/

2 x y x y      

 2/

5

2 x y x y      

 3/

3 x y x y      

 4/

12 7 12

x y y x      

 5/

2 x y y x        6/ 1 x y x y            7/

1 1 3

6 x y x y            8/ 2

1

2 15

x y x y

               9/





















4

1

2

1

5

7

1

2

y

x

y

x

10

x y x y x y x y                11)















8

4

2

y

x

y

x



















3

2

0

2

y

x

y

xy

x





















0

3

0

3

2

x

y

x

y

















3

)1

)(

(

10

)1

)(

1

(

xy

y

x

y

x



















2

)2

2(

2

y

x

y

x



















y

x

y

x

1















8

16

y

x

y

x















7

5

y

xy

x

xy

y

x

















0

4

3

2

5

xy

y

xy

x















9

.

3

4

1

y

x

y

(35)

23/

1

3 x y x y        

24/ 2





5

x y xy

x y          25/ 3

3 3

3

x y

x xy y

          26/ 2 13

u v uv u v uv

           27/ 2 3

2 2

8

y x xy y x

x y x y

              28/ 2 2

( )( ) ( )( )

x y x y x y x y

           29/ 2 2

2

4

x xy y x y

x y x y

               

*BiƯn ln hƯ PT:

Bµi 1 Cho hệ phơng trình:











m

y

m

x

m

y

x

m

)1

(

4

3

)1

(

b)Tỡm m hệ có nghiệm (x;y)thoả mãn x+y =3

Bài 2 Cho hệ phơng trình:









5

3

2

my

x

y

mx

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y)thoả mãn x + y =

3 2   m

m (m0)

Bµi 3 Cho hệ phơng trình:









10

)

1(

1

2

y

x

m

my

mx

a)Giải hệ phơng trình với m=-2 b)Tìm m để hệ có nghiệm nht

Bài 4 Cho hệ phơng trình:















5

3

2

my

x

y

mx

b)Tìm m để hệ có nghiệm (x;y) thoả mãn: x+y <1 (m0)

Bài 5Cho hệ phơng trình:









2

3

m

y

mx

m

my

x

(36)

Bài 6Cho hệ phơng tr×nh:

















0

)

1(

10

2

y

x

m

my

mx

a) Giải hệ phơng trình với m=-2 b)Tìm m để hệ có nghiệm

Bµi 7 Cho hệ phơng trình :











1

3

5

2

y

mx

y

mx

a) Giải hệ phơng trình m =

b) Giải biện luận hệ phơng trình theo tham số m c) Tìm m để x – y =

Bài 8 Cho hệ phơng trình :















6

4

3

y

mx

my

x

a) Gi¶i hƯ m =

b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x > , y >

Bµi 9 Cho hệ phơng trình :









2

5

3

2

y

x

a

y

x

Gọi nghiệm hệ ( x , y ) , tìm giá trị a để x2 + y2 đạt giỏ tr nh

nhất

Bài10Cho hệ phơng tr×nh : ( 1)

a x y

a x y a

  

 

 



a) Gi¶i hƯ víi a 2

b) Xác định giá trị a để hệ có nghiệm thoả mãn x + y >

Bµi11/ Cho hƯ PT:

3

mx y

x my

  



 



a) Tìm giá trị m để hệ có nghiệm x = 1, y = 3 1

Bài 12. Tìm m để hệ:



















2

y)

1

m

(

x

1

m

y

x)

1

m

(

cã nghiÖm thỏa mÃn điều kiện x+y nhỏ

Bài13/ Cho hÖ PT: ( 3)

( 2)

x m y

m x y m

  

 

   



a) Gi¶i hƯ m = -1

(37)

Bµi114 Cho hƯ PT:

2

x y

x y m

x my m



 



 



   



a) Gi¶i hƯ m = -1

b) Giải biện luận hệ PT cho theo m

Bµi15 Cho hƯ PT 2 2

2

x y

x y x y

  

 

    



Gäi (x1; y1) vµ (x2 ; y2) hai nghiệm hệ phơng trình HÃy tính giá trị

biểu thức M = (x1- x2)2 + (y1- y2)2

Ph ơng trình bậc hai

1/ Cho phơng trình : 2x2 ( m+ )x +m – =

a) Giải phơng trình m =

b) Tìm giá trị m để hiệu hai nghiệm tích chúng 2/ Cho phơng trình : x2 – ( m+2)x + m2 – = 0 (1)

a) Gäi x1, x2 lµ hai nghiƯm phơng trình Tìm m thoả mÃn x1 x2 =

b) Tìm giá trị nguyên nhỏ m để phơng trình có hai nghiệm khác

3/ Giả sử x1 x2 hai nghiệm phơng trình :

x2 (m+1)x +m2 – 2m +2 = (1)

a) Tìm giá trị m để phơng trình có nghiệm kép , hai nghiệm phân biệt

b) Tìm m để 2 x

x  đạt giá trị nhỏ , lớn 4/ Cho phơng trình : x2 – 4x + q =

a) Với giá trị q phơng trình có nghiệm

b) Tìm q để tổng bình phơng nghiệm phơng trình 16 5/ Cho phơng trình : 2x2 + ( 2m - 1)x + m - =

1) Tìm m để phơng trình có hai nghiệm x1 , x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11

2) Tìm đẳng thức liên hệ x1 x2 không phụ thuộc vào m

3) Với giá trị m x1 x2 dơng

7/ Cho phơng trình : x2 - ( m + 4)x + 3m + = ( m lµ tham sè )

a) Xác định m để phơng trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại

b) Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x1 ; x2 thoả mãn x13x32 0

9/Tìm giá trị m để phơng trình sau có nghiệm x  (m + 1) x2 - 2x + (m - 1) = 0

10/ Cho phơng trình (m-1)x2-2mx+m-2=0 (x ẩn)

a Tỡm m để phơng trình có nghiệm x 2 Tìm nghiệm cịn lại

b Tìm m để phơng trình có hai nghiệm phân biệt c Tính 2

2 2 1 x

x  ; x31x32 theo m

11/ Cho phơng trình x2-2(m+1)x+m-4=0 (x ẩn)

a Tìm m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu

b CMR phơng trình có hai nghiệm phân biệt víi mäi m c CM biĨu thøc Mx1.(1 x2)x2.(1 x1)kh«ng phụ thuộc m

(38)

a Giải phơng tr×nh p



3

2



q

3

2

b LËp phơng trình bậc hai có hai nghiệm là:

1 2 2 1

x x ; x x

(x1; x2 lµ nghiƯm cđa

PT cho)

13/ Tìm m để phơng trình:

a x2-x+2(m-1)=0 có hai nghiệm dơng phân biệt.

c (m2+1)x2-2(m+1)x+2m-1=0 cã hai nghiệm trái dấu.

14/ Cho phơng trình 2x2-2mx+m2-2=0.

a Tìm giá trị m để phơng trình có hai nghiệm dơng phân biệt b Giả sử phơng trình có hai nghiệm khơng âm, tìm nghiệm dơng lớn nht ca phng trỡnh

15/ Cho phơng trình : x2 – mx + m – =

1) Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 Tính giá trị biểu thức

2 2

1

x x x x

x x M

  

 Từ tìm m để M > 2) Tìm giá trị m để biểu thức P =

2 x 

x đạt giá trị nhỏ 16/ Cho phơng trình (m2 + m + )x2 - ( m2 + 8m + )x – = 0

a) Chøng minh x1x2 <

b) Gäi hai nghiệm phơng trình x1, x2 Tìm giá trÞ lín nhÊt , nhá

nhÊt cđa biĨu thøc : S = x1 + x2

17/ Cho phơng trình bậc hai : ax2 + bx + c = Gọi hai nghiệm phơng trình là

x1 , x2 Lập phơng trình bậc hai có hai nghiƯm lµ 2x1+ 3x2 vµ 3x1 + 2x2

18/ Tìm điều kiện tham số m để hai phơng trình sau có nghiệm chung x2 + (3m + )x – = x2 + (2m + )x +2 =0

19/ Cho phơng trình : 3x2 + 7x + =

Gọi hai nghiệm phơng trình x1 , x2 không giải phơng trình lập

ph-ơng trình bậc hai mà có hai nghiệm :

1

2



x x

vµ

1



x x

20/ Tìm m để phơng trình ( x2 + x + m) ( x2 + mx + ) = có nghiệm phõn

biệt

21/ a) Giải biện luận phơng trình : (m2 + m +1)x2 3m = ( m +2)x +3

b) Cho phơng trình x2 x = cã hai nghiƯm lµ x

1 , x2 HÃy lập phơng

trình bậc hai có hai nghiệm lµ :

2 2

1 ;

1 x

x x x

 

22/ Cho phơng trình bậc hai : x2 3x 5 0 gọi hai nghiệm phơng

(39)

a) 2

1

x x b)

2

1

x x c) 3

1

x  x d)

1

x  x

Hàm số - đồ thị

Bài 1. Cho hàm số: y=(m-2)x+n (d) Tìm giá trị m n để đồ th (d) ca hm s:

a Đi qua điểm A(-1;2) vµ B(3;-4)

b Cắt trục tung điểm có tung độ 1 2 cắt trục hồnh điểm có

hồnh độ 2 2

c Cắt đờng thẳng -2y+x-3=0

d Song song với đờng thẳng 3x+2y=1

Bài 2. Cho hàm số y=2x2 (P): a Vẽ đồ thị.

b Tìm (P) điểm cách hai trục tọa độ

c Tùy theo m, xét số giao điểm (P) với đờng thẳng y= mx-1 d Viết phơng trình đờng thẳng qua A(0;-2) tiếp xúc với (P)

Bài 3. Cho Parabol (P): y=x2 đờng thẳng (d): y=2x+m.: Xác định m để hai

đ-ờng đó:

a Tiếp xúc với Tìm hồnh độ tiếp điểm

b Cắt hai điểm, điểm có hồnh độ x=-1.Tìm tọa độ điểm cịn lại

c Giả sử (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A B Tìm quĩ tích trung điểm I AB m thay đổi

Bài 4. Cho đờng thẳng có phơng trình: 2(m-1)x+(m-2)y=2 (d)

a Tìm m để đờng thẳng (d) cắt (P); y=x2 hai điểm phân biệt A B.

b Tìm tọa độ trung điểm đoạn AB theo m

c Tìm m để (d) cách gốc tọa độ khoảng lớn d Tìm điểm cố định mà (d) qua m thay đổi

Bài Trong mặt phẳng toạ độ cho điểm A ( -2 , ) đờng thẳng (D) : y = - 2(x +1)

a) §iĨm A cã thc (D) hay kh«ng ?

b) Tìm a hàm số y = ax2 có đồ thị (P) qua A

c) Viết phơng trình đờng thẳng qua A vng góc với (D)

Bµi Cho hµm sè : y =

2

x

1) Nêu tập xác định , chiều biến thiên vẽ đồ thi hàm số

2) Lập phơng trình đờng thẳng qua điểm ( , -6 ) có hệ số góc a tiếp xúc với đồ thị hàm số

Bài Cho hàm số : y = ( 2m + )x – m + (1) a) Tìm m biết đồ thị hàm số (1) qua điểm A ( -2 ; )

b) Tìm điểm cố định mà đồ thị hàm số qua với giá trị m

Bµi Cho hµm sè : y = -

2

x a) T×m x biÕt f(x) = - ; -

8

(40)

b) Viết PT đờng thẳng qua hai điểm A B nằm đồ thị có hoành độ lần lợt -2

Bài 10 1)Vẽ đồ thị hàm số : y =

2

x

2)Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm (2; -2) (1 ; -4 ) 3) Tìm giao điểm đờng thẳng vừa tìm đợc với đồ thị

Bµi 11 Cho hµm sè :

4

2

x

y vµ y = - x –

a) Vẽ đồ thị hai hàm số hệ trục toạ độ

b) Viết phơng trình đờng thẳng song song với đờng thẳng y = - x – cắt đồ thị hàm số

4

2

x

y điểm có tung độ

Bài 12 Trong hệ trục toạ độ Oxy cho hàm số y = 3x + m (*)

1) Tính giá trị m để đồ thị hàm số qua : a) A( -1 ; ) ; b) B( - ; ) 2) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục hồnh điểm có hồnh độ - 3) Tìm m để đồ thị hàm số cắt trục tung điểm có tung độ -

Bài 13 Cho đờng thẳng (d) có phơng trình: y = mx -

m

- parabol (P) có

ph-ơng tr×nh y =

2

x .

a) Tìm m để (d) tiếp xúc với (P) b) Tính toạ độ tiếp điểm

Bµi 14 Cho parabol (P): y =

2

x

 đờng thẳng (d): y =

1

2



b) Tìm giá trị n để đờng thẳng (d) cắt (P) hai điểm

c) Xác định toạ độ giao điểm đờng thẳng (d) với (P) n =

Bµi 15 Cho Parabol y =

2x

2 (P) Viết phơng trình đờng thẳng qua điểm A(-1;

1) vµ tiÕp xóc víi (P)

Giải tốn cách lập ph ơng trình - Hệ ph ơng trình: Bài 1. Trong tháng đầu hai tổ sản xuất đợc 800 chi tiết máy Sang tháng thứ hai, tổ I vợt 15%, tổ II vợt mức 20% cuối tháng hai tổ sản xuất đợc 945 chi tiết máy Tính xem tháng đầu tổ sản xuất đợc chi tiết máy

Bài 2. Một ngời lái xe ôtô từ thành phố A đến thành phố B với vận tốc dự định 60km/h Sau đợc nửa quãng đờng AB với vận tốc ấy, ngời lái xe cho xe tăng vận tốc 5km, đến thành phố B sớm 30 phút so với dự định

(41)

Bài 4. Một ôtô xe đạp quãng đờng AB Vận tốc xe đạp 15km/h cịn vận tốc ơtơ 50km/h Biết ngời xe đạp đoạn đờng

3 1

đoạn đờng ôtô tổng thời gian hai xe 16 phút Tính chiều dài quãng đờng hai

Bài 5. Một ôtô từ A đến B với vận tốc ban đầu 40km/h Sau đợc 3

2

quãng đờng, ôtô tăng vận tốc lên 50km/h Tính quãng đờng AB biết thời gian ơtơ hết qng đờng

Bài Một canơ xi dịng từ bến A đến bến B giờ, ngợc dòng từ bến B bến A Tính khoảng cách hai bến A B, biết vận tốc dịng nớc 2km/h

Bµi 7. Mét canô xuôi dòng 44km ngợc dòng 27km hết 3h30' Biết vận tốc thực canô 20km/m.Tính vËn tèc cđa dßng níc

Bài 8. Hai canơ khởi hành từ hai bến A, B cách 85km ngợc chiều Sau 1h40 phút gặp Tính vận tốc riêng ca nơ biết vận tốc canô xuôi lớn vận tốc canô ngợc 9km/h vận tốc mảng bèo trơi tự sơng 3km/h

Bài Một công nhân đợc giao làm số sản phẩm thời gian định Khi cịn làm nốt 30 sản phẩm cuối ngời nhận thấy giữ nguyên suất cũ chậm 30 phút, tăng suất thêm sản phẩm xong sớm so với dự định 30 phút Tính suất ngời cơng nhân lúc đầu

Bài 10. Một ngời xe máy từ A đến B với vận tốc trung bình 30km/h Khi đến B ngời nghỉ 20 phút quay A với vận tốc trung bình 25km/h Tính qng đ-ờng AB biết tổng thời gian lẫn giò 50 phút

Bài 11. Lúc 6h ôtô xuất phát từ A đến B với vận tốc trung bình 40km/h Khi đến B ngời lái xe làm nhiệm vụ giao hàng 30 phút cho xe quay lại A với vận tốc trung bình 30km/h Tính qng đờng AB biết ơtơ đến A lúc 10h ngày

Bài 12. Hai địa điểm A, B cách 56km Lúc 6h45phút, ngời xe đạp từ A đến B với vận tốc 10km/h Sau ngời xe đạp từ B đến A với vận tốc 14km/h Hỏi đến họ gặp cách A km?

(42)

Bài 14. Một đội máy cày dự định ngày cày 40 Khi thực ngày cày 52 Vì đội khơng cày xong trớc thời hạn ngày mà cịn cày thêm đợc Tính diện tích ruộng mà đội phải cày theo kế hoạch ?

Bài 15. Một đồn đánh cá dự định trung bình tuần đánh bắt đợc 20 cá, nhng vợt mức tuần nên hoàn thành kế hoạch sớm tuần mà vợt kế hoạch 10 Tính mức kế hoạch định?

Bài 16. Một ôtô dự định từ A đến B với vận tốc 40km/h Lúc đầu ôtô với vận tốc dự định đó, nhng tới cịn 60km đợc nửa qng đờng AB ơtơ tăng vận tốc thêm 10km quãng đờng lại Do ơtơ tới B sớm dự định

Bài 17. Hai máy làm việc hai cánh đồng Nếu hai máy cày ngày xong việc Nhng thực tế hai máy làm việc với ngày đầu Sau máy I cày nơi khác, máy II cày nốt ngày xong Hỏi máy làm cày xong cánh đồng ?

Bµi 18 Hai công nhân làm công việc 12 ngµy hoµn thµnh Nhng sau lµm chung ngµy, ngời thứ làm việc khác, ngời thứ hai làm nốt công việc lại 15 ngày Hỏi ngời làm riêng sau hoàn thành c«ng viƯc ?

Bài 19 Hai ngời thợ làm cơng việc 16 xong Nếu ngời thứ làm 3h ngời hai làm 6h họ làm đợc 25% cơng việc Hỏi ngời làm cơng việc xong?

Bài 20 Nếu hai vòi nớc chảy vào bể chứa khơng có nớc sau 1h30' đầy bể Nếu mở vòi thứ 15 phút đóng lại mở vịi thứ hai chảy tiếp 20 phút đợc 1/5 bể Hỏi vịi chảy riêng sau đầy bể?

Bài 21 Một phịng họp có 360 ghế ngồi đợc xếp thành hàng số ghế hàng Nếu số hàng tăng thêm số ghế hàng tăng thêm phịng có 400 ghế Hỏi có ban đầu phịng họp có hàng, hàng có ghế?

Bài 22 Một ngời xe đạp từ A đến B thời gian định Khi cách B khoảng 30km, ngời nhận thấy đến B chậm nửa giữ nguyên vận tốc đi, nhng tăng vận tốc thêm 5km/h đến B sớm nửa Tính vận tốc xe đạp quãng đờng lúc đầu?

(43)

nên để đến nơi giờ, xe phải tăng vận tốc thêm 2km/h nửa lại quãng đờng Tính thời gian xe lăn bánh đờng?

IV H×nh häc:

đề thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt (Sở giáo dục đào tạo ninh bình)

Năm học: 1996- 1997

Cho tam giỏc u ABC Trên cạnh AB lấy điểm M, cạnh AC lấy điểm N cho BM = AN

1 Chøng minh BN = CM

2 BN cắt CM I Chứng minh AMIN tứ giác nội tiếp đợc đờng tròn Khi M N thay đổi cạnh AB AC (nhng ta ln có BM = AN) I thay đổi đờng nào?

4 Gi¶ sư AM CN AB

3



Tính góc AIC

Năm học: 1997- 1998

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính AC đoạn AC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BC Gọi M trung điểm AB, từ M kẻ dây cung DE vng góc với AC Nối D với C, DC cắt đờng tròn tâm I F (F  C)

1 Chøng minh tứ giác ADBE hình thoi Chứng minh ba điểm E, B, F thẳng hàng So sánh hai gãc EMF vµ DAE

4 Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MF vi ng trũn tõm I

Năm học: 1998- 1999

Cho đờng trịn tâm O, đờng kính EF, BC dây cung cố định vng góc với EF, A điểm cung BFC ( A B, A C)

1 Chøng minh AE lµ phân giác góc BAC

2 Trờn tia i ca tia AC lấy điểm D cho AD = AB Chứng minh BD song song với AE

3 Gäi I trung điểm BD Chứng minh I, A, F thẳng hàng M điểm cung AB cho k

MB MA

 ( k không đổi), qua M vẽ

đờng thẳng (d) vuông góc với AC Chứng minh A thay đổi cung BFC đờng thẳng (d) ln qua im c nh

Năm học 1999-2000

Trờn cnh AB tam giác ABC lấy điểm D cho hai đờng tròn nội tiếp tam giác ACD BCD bàng Gọi O, O1, O2 theo thứ tự tâm đờng trịn

néi tiÕp c¸c tam giác ABC, ACD BCD

a Chứng minh ba điểm A, O1, O thẳng hàng điểm B, O2, O thẳng

hàng

b Chứng minh OO1.OB = OO2.OA

c Đặt AB= c, AC= b, BC= a Tính độ dài CD theo a, b, c

Năm học: 2000- 2001

Cho tam giỏc u ABC, Gọi O trung điểm cạnh BC, vẽ góc xOy bng 600 sao

cho Ox cắt cạnh AB M, Oy cắt cạnh AC N Chứng minh

a Tam giác OBM đồng dạng với tam giác NCO, suy BC2 = 4.BM.CN

b MO lµ tia phân giác góc BMN

c ng thng MN ln ln tiếp xúc với đờng trịn cố định góc xOy bàng 600, quay quanh O cho tia Ox, Oy cắt hai cạnh AB,

AC tam giác ABC theo thứ tự M vµ N

(44)

Cho đờng trịn đờng kính AB, tia AB lấy điểm C cho B nằm AC, từ C kẻ đờng thẳng x vng góc với AB, x lấy điểm D( DC) Nối DA cắt đ-ờng tròn M, nối BD cắt đđ-ờng tròn N, nối CN cắt đđ-ờng tròn K

1) Chứng minh ADCN tứ giác nội tiếp đờng tròn 2) Chứng minh AC phân giác góc KAD

3) Kéo dài MB cắt đờng thẳng x S Chứng minh ba điểm S, A, N thng hng

Năm học: 2002- 2003

Cho đờng trịn tâm O, bán kính R Gọi d đờng thẳng cắt đờng tròn điểm phân biệt (d không qua O); M điểm nằm d nằm ngồi đờng trịn Từ M kẻ tiếp tuyến MA MB với đờng tròn; BC đờng kính đờng trịn

1) Chøng minh AC // M0

2) Từ O kẻ đờng thẳng vng góc với BC, đờng thẳng cắt đờng thẳng AC D Chứng minh điểm M, B, O, A, D nằm đ ờng trịn

3) Tìm M đờng thẳng d để tam giác AOC Hãy ch cỏch xỏc nh M

Năm học: 2003- 2004

Cho đờng trịn đờng kính AB = 2R Từ B kẻ tiếp tuyến (d) với đờng tròn Gọi C điểm cung AB, nối AC kéo dài ct (d) ti E

1) Giả sử C điểm cung AB, chứng minh tam giác ABE tam giác vuông, cân

2) Giả sử C điểm cung AB ( CA;C B); gọi D điểm cung nhỏ BC ( DC;D B), nối AD kéo dài cắt (d) F

a Chứng minh tứ giác CDFE nội tiếp đợc đờng tròn

b Chứng minh AC.AE = AD.AF v bng mt i lng khụng i

Năm häc: 2004- 2005

Cho tam giác ABC vuông A; đoạn AC lấy điểm D (D không trùng với điểm A C) Đờng trịn đờng kính DC cắt BC điểm thứ hai E; đờng thẳng BD cắt đờng trịn đờng kính DC F ( F không trùng với D )

Chøng minh :

1) Tam giác ABC đồng dạng với tam giác EDC 2) Tứ giác ABCF nội tiếp đợc đờng trịn 3) AC tia phân giác góc EAF

Năm học: 2005- 2006

Cho ng trũn tâm O, bán kính R Từ điểm P ngồi đờng trịn hai tiếp tuyến phân biệt PA, PC (A, C tiếp điểm; PA>R) với đờng tròn (O)

a Chứng minh tứ giác PAOC nội tiếp đợc đờng tròn

b Tia AO cắt đờng tròn (O) B; đờng thẳng qua P song song với AB cắt BC D Tứ giác AODP hình gì? chứng minh

c Gäi I giao điểm OC PD; J giao điểm PC DO; K trung điểm AD Chứng minh điểm I, J, K thẳng hàng

Năm học: 2006- 2007

Cho ng trũn (O; R), điểm M nằm ngồi đờng trịn Vẽ tiếp tuyến MC, MD (C, D tiếp điểm) cát tuyến MAB qua tâm O đờng tròn (A M B)

a Chøng minh: MC2 = MA.MB

b Gọi K giao điểm BD tia CA Chứng minh bốn điểm B, C, M, K nằm đờng tròn

c Tớnh di BK CMD 600

Năm häc: 2007- 2008

Cho nửa đờng tròn (O; R) đờng kính AB Trên nửa đờng trịn lấy hai điểm C, D (C thuộc cung AD) cho CD = R Qua C kẻ đờng thẳng vng góc với CD cắt AB M Tiếp tuyến (O; R) A B cắt CD lần lợt E F, AC cắt BD K

(45)

b Xác định tâm tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác KCD c Tìm vị trí dây CD cho diện tích tam giác KAB lớn nht

các tập khác

Bài 1. Đờng phân giác thuộc cạnh huyền chia cạnh huyền tam giác vuông thành hai đoạn theo tỉ số

4 3

Tìm độ dài cạnh góc vng biết cạnh huyền 10cm

Bài 2. Cho tam giác ABC vuông A, đờng cao AH=24cm Biết AB:AC=3:4 Tính độ dài cạnh tam giác

Bài 3. Cho tam giác ABC có B, C góc nhọn, đờng cao AH Biết AB=9cm, BH=1cm, HC=8cm.Tính AC

Bài 4. Cho tam giác ABC vuông cân A Một đờng thẳng d qua A Chứng minh tổng bình phơng khoảng cách từ B đến d từ C đến d số

Bài 5. Cho tam giác ABC vuông A Một đờng thẳng cắt hai cạnh AB, AC D E Chứng minh:

2 2 2 2

EB ED CB

CD   

Bµi 6. Cho hình chữ nhật ABCD điểm M bÊt k× Chøng minh

2 2

2

2 MC MB MD

MA   

Bài 7. Cho hình chữ nhật ABCD, AC=50cm, AC t¹o víi AB mét gãc 30O TÝnh

chu vi vµ diƯn tÝch cđa nã

Bài 8. Cho hình thang ABCD có cạnh bên AD BC nhau, đờng chéo AC vng góc với cạnh bên BC Biết AD=5a, AC=12a Tính:

a

B cos B sin

 

b TÝnh chiỊu cao cđa h×nh thang ABCD

Bài 9. Chứng minh hệ thức sau không phô thuéc 

          

sin cos 2 sin cos 2 B sin6 cos6 3sin2 .cos2

A

Bài 10. Cho tam giác ABC góc nhọn Vẽ đờng cao AH, BK, CL Chứng minh rằng:



cos

A

cos

B

cos

C



1 S S ) c A

cos S

S ) b BC

. AC

LK . AL AB

AK )

a 2 2 2

ABC HKL 2

ABC AKL 2

 

  

      

Bài 11. Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vng góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vng góc với tia CI C cắt By K Đờng trịn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh:

(46)

c  APB vu«ng

d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn

Bài 12. Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM<AN) Gọi E trung điểm dây MN, I giao điểm thứ hai đờng thẳng CE với (O)

a Chứng minh bốn điểm A, O, E, C nằm đờng trịn b Chứng minh góc AOC=góc BIC

c Chøng minh BI//MN

d Xác định ví trí cát tuyến AMN để diện tích tam giác AIN lớn

Bài 13. Cho tam giác ABC vuông A (AB<AC), đờng cao AH Trên đoạn thẳng HC lấy D cho HD=HB Vẽ CE vng góc với AD (EAD)

a Chøng minh tø gi¸c AHCE néi tiÕp

b Chứng minh AB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tứ giác AHCE c Chứng minh CH tia phân giác góc ACE

d Tính diện tích hình giới hạn đoạn thẳng CA, CH cung nhỏ AH đờng trịn nói biết AC=6cm; góc ACB = 30o.

Bài 14. Cho (O) có đờng kính BC Gọi A điểm thuộc cung BC (cung AB < cung AC) D điểm thuộc bán kính OC Đờng vng góc với BC D cắt AC E, cắt tia BA F

a Chøng minh tø gi¸c ADCF nội tiếp

b Gọi M trung điểm cña EF Chøng minh: gãc AME=2 gãc ACB c Chøng minh AM lµ tiÕp tun cđa (O)

d TÝnh diện tích hình giới hạn đoạn thẳng BC, BA vµ cung nhá AC cđa (O) biÕt BC=8cm; gãc ABC = 60o.

Bài 15 Cho đờng tròn (O) đờng kính AB=2R điểm M di chuyển nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm E tiếp xúc với (O) M tiếp xúc với AB N Đờng tròn cắt MA, MB lần lợt điểm thứ hai C, D

a Chøng minh CD//AB

b Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định

c Chứng minh tích KM.KN cố định

d Gọi giao điểm tia CN, DN với KB, KA lần lợt C', D' Tìm vị trí M để chu vi tam giác NC'D' đạt giá trị nhỏ đợc

(47)

b CM: tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH//AD c So sánh góc CAK với góc DAK

d Tìm hệ thức số đo AC, số đo AD điều kiện cần đủ để AK//ND

Bµi 17 Cho (O1) (O2) tiếp xúc với điểm A vµ tiÕp tuyÕn chung

Ax Một đờng thẳng d tiếp xúc với (O1), (O2) lần lợt B, C cắt Ax điểm

M Kẻ đờng kính BO1D, CO2E

a Chøng minh M lµ trung ®iĨm BC b Chøng minh O1MO2 vu«ng

c Chøng minh B, A, E thẳng hàng; C, A, D thẳng hµng

d Gọi I trung điểm DE CMrằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác IO1O2

tiÕp xóc víi d

Bài 18 Cho đường trịn tâm O đường kính AB = 2R Từ điểm M tia đối tia AB, kẽ hai tia tiếp tuyến MC MD đường trịn ( C D đường tròn ), dây CD cắt đường kính AB I Chứng minh

a ) Tứ giác OCMD nội tiếp

b ) CA tia phân giác góc MCD c ) IA2 IB2 IC2 ID2 4R

   

d ) Giả sử tam giác MCD đều, tính diện tích phần tam giác MCD ngồi đường tròn ( O ) theo R

Bài 19: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Dựng đường trịn tâm O đường kính BC cắt AB E cắt AC F Gọi I giao điểm CE BF Chứng minh rằng:

a ) AEIF tứ giác nội tiếp b ) AI vng góc với BC

c ) OEC BAI  Suy OE tiếp tuyến đường tròn ngoại tiếp tứ giác

AEIF

d ) Giả sử ABC tam giác đều, có cạnh a ( vẽ hình riêng ) Hãy tính theo a diện tích phần tam giác ABC nằm ngồi đường trịn đường kính BC

Bài 20: Cho đường tròn ( O ; R ) cát tuyến d không qua tâm O Từ điểm M nằm d đường tròn ta kẽ hai tiếp tuyến MA, MB ( A B hai tiếp điểm ) Đường BO cắt đường tròn C

a ) Chứng minh AC song song với MO

(48)

c ) Xác định vị trí điểm M d để tam giác MAB tam giác Trong trường hợp tính diện tích hình viên phân gới hạn dây AB cung nhỏ AB

Bài 21: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB = 2R, tia đối tia BA đặt đoạn BC = R Vẽ dây BD = R Đường thẳng d vng góc với Ab C điểm M

a ) Tính tích AD AM theo R

b ) Chứng minh tam giác ABM cân

c ) So sánh diện tích tam giác ABM với diện tích tam giác ABD

d ) Cung BD chia tam giác ABM thành hai phần Tính diện tích phần ngồi đường trịn

Bài 22: Từ điểm A ngồi đường trịn tâm O, kẽ tiếp tyuến AB, AC cát tuyến AMN với đường trịn Gọi I trung điểm dâyMN

a ) Chứng minh điểm A, B, C, I, O nằm đường tròn b ) Chứng minh tia IA phân giác góc BIC

c ) Cho AB = OB = a Tính diện tích tứ giác ABOC phần tứ giác phía ngồi hình trịn cho

Bài 23: Cho tam giác ABC Từ B C vẽ hai đường cao CC’ BB’ a ) Chứng minh tứ giác BC’B’C nội tiếp đường tròn b ) Chứng minh hai tam giác AB’C’ ABC đồng dạng với nhau c ) Biết B 60 ,0 A 450

  vaø BC = 2a

Hãy tính diện tích tam giác ABC, từ suy diện tích tam giác AB’C’

Bài 24: Cho điểm C thuộc đoạn thẳng AB cho AC = 10 cm, CB = 40cm.Vẽ phía AB nửa đường trịn có đường kính theo thứ tự AB, AC, CB có tâm theo thứ tự O, I, K Đường vng góc với AB C cắt nửa đường tròn ( O ) E Gọi M, N theo thứ tự giao điểm EA, EB với nửa đường tròn ( I ), ( K )

a ) Chứng minh EC = MN

b ) Chứng minh MN tiếp tuyến hai nửa đường tròn (I ), ( K )

c ) Tính độ dài MN

d ) Tính diện tích hình gới hạn bỡi ba nửa đường tròn

Bài 25: Cho hai đường tròn ( O, 3cm ) (O’, 1cm ) tiếp xúc A vẽ tiếp tuyến chung BC



B

 

O C

 

O



a ) Chứng minh góc O’OB = 600 b ) Tính độ dài BC

(49)

Bài 26: Cho đường tròn ;

 

 

 

AB

O Trên tia đối tia BA lấy điểm C cho

BC = R Vẽ dây cung BD cạnh lục giác nội tiếp đường tròn ( O, R ) Đường vng góc với AB điểm C cắt AD K

a ) Chứng minh AD.AK = 6R2 tam giác ABK tam giác cân b ) Tính chu vi diện tích tam giác ABD ACK

c ) Cung BD chia tam giác ACK thành hai phần, tính phần diện tích tam giác nằm ngồi đường trịn ( O, R )

Bài 27: Cho tam giác ABC vuông cân A Kẽ tia Bx nằm góc, cắt AC D Dựng tia Cy vng góc với Bx E cắt BA kéo dài F kéo dài FD cắt BC K

a ) Chứng minh FK vuông góc với BC Tính góc BFK ?

b ) Chứng minh tứ giác ADEF nội tiếp Từ chứng minh EA phân giác FED

c ) Cho góc ABx = 300 BC = a Tính độ dài đoạn thẳng AD diện tích hình trịn đường kính FD ?

Bài 28: Cho nửa đường trịn tâm O đường kính AB M điểm nằm cung AB Gọi C điểm cung AB D giao điểm hai tia AM OC a) Chứng minh bốn điểm O , B , M , D , nằm đường tròn

b)Trên tia AM lấy điểm N cho AN = BM Chứng minh tam giác CMN vuông cân

c) Khi M lưu động đường trịn đường kính AB Thì N lưu động đường

Bài 29: Cho đường tròn ( O ; R ) Từ điểm M ngồi đường trịn (O) cho OM = 2R , ta kẽ hai tiếp tuyến MA MB ( A B tiếp điểm ) Một cát tuyến qua M cắt đường tròn C D Kẽ tia phân giác góc CAD cắt dây CD E đường tròn N

a) Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp b) Chứng minh MA = ME

c) Tính tích số MC MD theo R

d) Gọi I giao điểm ON dây CD Khi cát tuyến MCD quay chung quanh M Thì I lưu động đường ? ?

Bài 30 : Cho tam giác ABC vuông cân A Trên cạnh AC ta lấy điểm M Từ C kẽ đường vuông góc với BM đường thẳng cắt đường thẳng BM BA theo thứ tự D E

a) Chứng minh ABCD tứ giác nội tiếp b) Chứng minh EA EB = ED EC

(50)

d) Khi M di chuyển cạnh AC Thì điểm D di chuyển đường ? ?

Bài 14 : Cho đường trịn tâm O đường kính AB điểm M cung AB ( M khác A B ) Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đường tròn , người ta vẽ hai tiếp tuyến Ax By nửa đường đường tròn (O) Tiếp tuyến M nửa (O) cắt Ax By tại C D

a) Chứng minh tứ giác OACM nội tiếp b) Tính góc COD

c) Chứng minh CD = AC + BD

d) Khi M di chuyển cung AB trung điểm I CD di chuyển đường ? ?

Bài 31: Cho đường trịn ( O; R ) Có hai đường kính cố định vng góc AB CD

a) Chứng minh ACBD hình vng

b) Lấy điểm E di chuyển cung nhỏ BC ( E khác B C ) tia đối tia EA lấy đoạn EM = EB ; Chứng tỏ ED phân giác góc AEB ED song song với MB

c) Suy CE đường trung trực BM M di chuyển đường tròn mà ta phải xác định tâm bán kính theo R

Bài 32 : Cho đường tròn ( O ; R ) có hai đường kính AB CD vng góc với Trên đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác O) Đường thẳng CM cắt đường tròn ( O ) điểm thứ hai N Đường thẳng vng góc với AB M cắt tiếp tuyến N đường tròn điểm P Chứng minh

a) Tứ giác OMNP nội tiếp b) Tứ giác CMPO hình bình hành

c) Tích CM CN không phụ thuộc vị trí điểm M

d) Khi M di động đoạn thẳng AB P chạy đoạn thẳng cố định

Bài 33: : Cho dây cung BC đường tròn tâm O, điểm A di động cung lớn BC Hai đường cao AE , BF tam giác BAC cắt H

a) chứng minh: CE.CB = CF.CA

b) AE kéo dài cắt đường tròn H/ Chứng minh H H/ đối xứng nhau qua BC

c) Gọi O/ điểm đối xứng O qua BC Chứng minh tứ giác AHO/O hình bình hành

d) Nếu A di động cung lớn BC điểm H di động đường ?

(51)

) cát tuyến di động MCD Kẽ dây cung AE song song với cát tuyến MCD Dây EB cắt dây CD I Tia OI cắt đường thẳng AB N

a) Chứng minh : BIM BOM 

b) Chứng minh điểm A , I , O , B , M nằm đường tròn c)Chứng minh I trung điểm CD

d) Khi cát tuyến MCD di động Chứng minh tích số OI ON khơng đổi

Bài 35 : Cho tam giác ABC có góc nhọn nội tiếp đường trịn tâm O bán kính R Kẽ đường cao AD, BE , CF

a) chứng minh EF song song với tiếp tuyến đường tròn tâm O tai A b) Chứng minh AB AC = AD 2R

c) Giả sử BC cố định A di động đường tròn O chứng minh bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác AEF khơng đổi

Bài 36: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường trịn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I dây BC PD kéo dài cắt K chứng minh a) CID CKD 

b) Tứ giác CDFE nội tiếp c) IK song song AB

d) Đường tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A e) Tìm điều kiện tứ giác ABCD để có FA = EB

Bài 37 : Cho tam giác nhon ABC nội tiếp đường tròn ( O ; R ) , đường cao AD, BE,CF gặp H Gọi K điểm đối xứng A qua O I trung điểm BC

a) Chứng minh ba điểm H, I ,K thẳng hàng

b) Tia AD gặp đường tròn N tứ giác BCKN hình ? Tại ? c) Tam giác ABC phải có thêm điều kiện để có HCHA BCAB

(52)