Bài 14/ Trong mặ phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳng khác cũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho. Hãy tính tổng các hệ số của đa thức nhận đượ[r]
(1)CHƯƠNG I
HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
VÀ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC §1 HÀM SỐ LƯỢNG GIÁC
A Kiến thức cần nhớ
1. Công thức lượng giác bản
sin2 + cos2 = 1
1 + tan2 = cos Z k k ,
1 + cot2 = sin Z k k ,
tan .cot = k , kZ
2
Cung đối nhau
cos(- ) = cos sin(- ) = -sin
tan(- ) = -tan cot(- ) = -
Cung bù nhau
sin( )= sin cos( )= -cos
tan( )= -tan cot( )= -cot
Cung
sin( )= - sin cos( )= -cos tan( )= tan cot( )= cot
Cung phụ nhau
sin )
2
( = cos cos )
2
( = sin
tan )
2
( = cot cot )
2
( = tan
Công thức cộng
cos(a –b) = cosa cosb + sina sinb cos(a +b) = cosa cosb – sina sinb sin(a – b) = sina cosb – sinb cosa sin(a + b) = sina cosb + sinb cosa
tan(a – b) = 1tantanaatantanbb tan(a + b) = 1tan tanaatantanbb
Công thức nhân đôi
sin2a = 2sina cosa cos2a = cos2a – sin2a = 2cos2a – = – 2sin2a
tan2a = a a tan tan
Công thức hạ bậc
cos2a =
2 cos
1 a
sin2a =
2 cos
1 a
tan2a =
a a cos cos
Cơng thức biến đổi tích thành tổng
cosa cosb = cos( ) cos( )
2
b a b
(2)sina sinb = cos( ) cos( )
2
b a b
a sina cosb = sin( ) sin( )
2
b a b
a
Công thức biến đổi tổng thành tích
cosu + cosv = 2cos
2
v u
cos
2
v u
cosu - cosv = -2sin
2
v u
sin
2
v u sinu + sinv = 2sinu2vcosu2 v sinu - sinv = 2cosu2v sinu2 v
2 Hàm số sin
Hàm số y = sinx có tập xác định R -1 sinx 1, xR
Là hàm số lẻ
Tuần hồn với chu kì 2
Hàm số y = sinx nhận giá trị đặc biệt:
+ sinx = x = k , k Z + sinx = x = 2
2 k , k Z
+ sinx = -1 x = - 2
2 k , k Z
3 Hàm số côsin
Hàm số y = cosx có tập xác định R -1 cosx 1, xR
Là hàm số chẵn
Tuần hồn với chu kì 2
Hàm số y = cosx nhận giá trị đặc biệt:
+ cosx = x = k
2 , k Z
+ cosx = x = k2 , k Z + cosx = -1 x =(2k + 1) , k Z
4 Hàm số tang
Hàm số y = tanx = cossinxx có tập xác định D= R\
k ,k Z
2
Là hàm số lẻ
Tuần hồn với chu kì
Hàm số y = tanx nhận giá trị đặc biệt:
+ tanx = x = k , k Z + tanx = x = k
4 , k Z
+ tanx = -1 x = - k
4 , k Z
5 Hàm số côtang
Hàm số y = cotx =
x x
sin cos
có tập xác định D= R\ k, kZ
Là hàm số lẻ
Tuần hồn với chu kì
(3)+ cotx = x = k
2 , k Z
+ cotx = x = k
4 , k Z
+ cotx = -1 x = - k
4 , k Z
6 Xét tính chẵn, lẻ hàm số
Cho hàm số y = f(x) xác định D
f(x) hàm số chẵn D
) ( )
( x f x
f D x thì D x
f(x) hàm số lẻ D
) ( )
( x f x
f D x thì D x BÀI TẬP
Bài 1: Tìm tập xác định hàm số sau:
a y = sin x b y =
x x
sin cos 1
c y = 3tancosxx d y = sincot 1
x x
e y = cot( )
3x f y =
5 cos sin x x
g y =
1 sin cos x x
h y = tan( 3x
3
) i y = sin
1
2
x k y =
x x sin tan
l y = cos
1
x x
m y = 1cosx
n y = cosx 1cos3x
p y = tanx + cotx q y = x
x cos cos
Bài 2: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số sau:
a y = 5 2cosx b y = 1- 2sin22x c y = - cosx
d y =
x sin
e y =
cos
2 x
f y = 2 2sinx g y = – sin2x h y = 3sin(x-
4
) -1 i y = -2 + 1 cosx
k y = 2cos x l y = sinx + m y = 2- 3cosx
Bài 3: Xét tính chẵn, lẻ hàm số sau:
a y = sin2x b y = -2 +3cosx c y = cosx – sinx d y = tanx.sinx e y = cos2x + sin x f y = cotx. sinx
§2 PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CƠ BẢN
A Kiến thức cần nhớ
(4) Nếu a >1 phương trình (1) vơ nghiệm
Nếu a 1: gọi cung thoả mãn sin = a Khi
sinx = a sinx = sin ( )
2 Z k k x k x
Nếu thoả mãn điều kiện
-2
2
sin = a ta viết = arcsina Khi nghiệm phương
trình (1) ( ) arcsin arcsin Z k k a x k a x
sinx = sin
( ) 360 180 360 0 0 Z k k x k x
Chú ý: Trong công thức nghiệm, không dùng đồng thời hai đơn vị độ radian 2 Phương trình cosx = a (2)
Nếu a >1 phương trình (2) vơ nghiệm
Nếu a 1: gọi cung thoả mãn cos = a Khi
cosx = a cosx = cos ( )
2 Z k k x k x
Nếu thoả mãn điều kiện 0 cos = a ta viết = arccosa Khi nghiệm phương
trình (2)
( ) cos cos Z k k a arc x k a arc x
Phương trình cosx = cos0 ( )
360 360 0 0 Z k k x k x
3 Phương trình tanx = a (3) Điều kiện x k ,kZ
2
Gọi là cung thoả mãn tan = a Khi tanx = a tanxtan x k, (kZ) Nếu thoả mãn điều kiện
-2
< <
2
tan = a ta viết = arctana Lúc nghiệm
phương trình (3) là: x = arctana + k , (kZ) Phương trình tanx = tan0 x k1800 (k Z)
4 Phương trình cotx = a (4) Điều kiện xk, kZ
Gọi là cung thoả mãn cot = a Khi
cotx = a cotxcot xk, (kZ)
Nếu thoả mãn điều kiện 0< < cot = a ta viết = arccota Lúc nghiệm phương trình (4) là: x = arccota + k , (kZ)
Phương trình cotx = cot0 1800 ( )
Z k k
x
BÀI TẬP
Bài 1: Giải phương trình sau: a cos(3x -
6
)= -
2
2 b cos(x -2) =
5
c cos(2x + 500) =
2
d (1+ 2sinx)(3- cosx)= e tan2x = tan
6 5
f tan(3x -300) = -
3
g cot(4x -6 )= h sin(3x- 450) =
(5)k (cot 3x -1)(cot2x +1)= l cos2x.cotx = m cot(23x 5 )= -1 n sin(2x -150) = -
2
p sin4x =
3
q cos(x + 3) =
3
r cos2x cot(x -
4
)= s cos3x =
4 t tan( tan ) x u cos3x – sin2x = v sin3x + sin5x =
Bài 2: Giải phương trình sau:
a sin(2x -1) = sin(x+3) b sin3x= cos2x c sin4x + cos5x = d 2sinx + 2sin2x = e sin22x + cos23x = f sin3x + sin5x =
g sin(2x +500) = cos(x +1200) h cos3x – sin4x = 0 i tan(x -
5
) + cotx =
§3 MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG GẶP
A Kiến thức cần nhớ
1 Phương trình bậc hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at + b = 0 (a 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hàm số lượng giác
Sử dụng phép biến đổi lượng giác, đưa nhiều phương trình lượng giác phương trình bậc hàm số lượng giác
2 Phương trình bậc hai hàm số lượng giác.
Các phương trình dạng at2 + bt + c = 0 (a 0), với t hàm số lượng giác, phương trình bậc hai hàm số lượng giác
Có nhiều phương trình lượng giác đưa phương trình bậc hai hàm số lượng giác phép biến đổi lượng giác
3 Phương trình bậc sinx cosx Phương trình có dạng asinx + bcosx = c (1) Cách giải
Chia hai vế phương trình (1) cho a2 b2
ta 2sin 2 cos 2 b a c x b a b x b a a
(2)
(vì ( ) ( )2
2 2 2
a b
b b
a a
) Đặt cos a2 b2
a
; sin
2 b a b
Pt (2) trở thành: cos sinx + sin cosx = a2 b2 c
sin(x + ) = a2 b2
c
(3) Phương trình (3) phương trình lượng giác
(6) Pt (1) có nghiệm pt(3) có nghiệm 2 1
b a
c
a2 + b2
c2
Vậy phương trình (1) có nghiệm a2 + b2 c2 sinx cosx = 2sin(x
4
)
4 Phương trình asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
Cách giải
Cách 1: (áp dụng công thức hạ bậc)
asin2x + bsinx cosx + ccos2x = d
a.1 cos2 2x + b.sin22x + c.1cos2 2x= d
bsin2x + (c – a)cos2x = 2d – a – c Cách 2:
Nếu cosx = không nghiệm phương trình ta chia hai vế phương trình cho cos2x 0 ta
được phương trình bậc hai:
a.tan2x + btanx + c = d.(1 + tan2x)
(a – d).tan2x + btanx + c – d = 0 BÀI TẬP
Bài tập 1: Giải phương trình sau:
a 4sinx – = b 3cotx + 3= c - 3tan(5x + 200) =0
d 2cos3x + = e sin(3x + 1)=
4
f cos(x +
5 2
)=
3
g (2cosx + )(tan(x +100) - 3) = h sin2x.cos3x.(tan4x +1)=
i 8sinx.cosx.cos2x = j sin2x +2cox = k tan(x +1) – 2008=0
l 3tan2x + 3tanx = 0 m 4sin2x – sin22x = n 3- 2sin3x = 0
p cot(x + 4 ) = q cos2(x – 300) =
4
r 8cos3x – = 0 Bài tập 2: Giải phương trình sau:
a tan3x tanx = b cot2x cot(x + 4 ) = -1 c cos
2 sin
x
x
Bài tập 3: Giải phương trình sau:
a 3cos2x - 5cosx + = 0 b 4sin2x – 4sinx – = 0
c cot2x – 4cotx + = 0 d tan2x + (1 - 3)tanx - 3 = 0
e 5cos2x + 7sinx – = 0 f tan4x – 4tan2x + = 0
g sin3x + 3sin2x + 2sinx = 0 h cos2x + 9cosx + = 0
i sin22x – 2cos2x +
4
= j 4cos42x – 7cos22x + = 0 Bài tập 4: Giải phương trình sau:
a sinx + 3cosx = b 2sinx – 5cosx = c 2cosx – sinx =
d sin5x + cos5x = -1 e 3sinx – 4cosx = f 2sin2x + 3sin2x = 3
g sin5x + cos5x = 2cos13x h sinx = 2sin3x – cosx
Bài tập 5: Giải phương trình sau:
a 2sin2x – sinx cosx – cos2x = 2 b 4sin2x – 4sinx cosx + 3cos2x = 1
(7)e 4sin2x + 3 3sin2x – 2cos2x = 4 f sin3x + 2sin2x cosx – 3cos3x = 0
g 3sinx.cosx – sin2x =
1
2 i 3cos2x + 2sin2x – 5sinx.cosx = 0
Bài tập 6: Giải phương trình sau:
a cos3x – cos4x + cos5x = b sin7x – sin3x = cos5x c cos5x.cosx = cos4x d sinx + 2sin3x = - sin5x e 2tanx – 3cotx – = f sin2x – cos2x = cos4x
g 2tanx + 3cotx = h cosx.tan3x = sin5x
i 2sin2x + (3 + 3)sinx cosx + ( 3- 1)cos2x = -1 j tanx.tan5x = 1
CHƯƠNG II TỔ HỢP VÀ XÁC SUẤT
TỔ HỢP
A.Tóm tắt lí thuyết: I Qui tắc đếm: Qui tắc cộng:
Một công việc hoàn thành hai hành động Nếu hành động có m cách thực hiện, hành động có n cách thực khơng trùng với cách hành động thứ cơng việc có m + n cách thực
Chú ý: +) Nếu A B tập hợp hữu hạn khơng giao nhau, thì:
n(A B) = n(A) + n(B)
(8)Một hành động hoàn thành hành động liên tiếp Nếu có m cách thực hành động thứ ứng với cách có n cách thực hành động thứ hai có m.n cách hồn thành cơng việc
Chú ý:
Qui tắc nhân mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp II Hoán vị - chỉnh hợp - tổ hợp:
1 Hoán vị:
Cho tập A gồm n phần tử (n1)
Mỗi kết xếp theo thứ tự n phần tử tập hợp A gọi hốn vị n phần tử
Hai hoán vị n phần tử khác cách xếp.
*) Số hoán vị:
Kí hiệu Pn số hốn vị n phần tử.Ta có:
Pn = n(n-1)….2.1 = n! 2 Chỉnh hợp:
Cho tập hợp A gồm n phần tử (n 1)
Kết việc lấy k phần tử khác từ n phần tử tập hợp A xếp chúng theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử cho
*) Số chỉnh hợp: Kí hiệu Ak
n số chỉnh hợp chập k n phần tử ( 1k n) Ta có: Ak
n = n(n-1)(n-2)… (n-k+1)
Chú ý:
a) Với qui ước 0! = 1, ta có
Ak
n = ( )!
! k n
n
, k n
b ) Mỗi hoán vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì vậy: Pn = Ann
3 Tổ hợp:
Giả sử tập A có n phần tử (n 1) Mỗi tập gồm k phần tử A gọi tổ hợp chập k
của n phần tử cho
Chú ý:
Số k định nghĩa cần thoã mãn điều kiện k n tập hợp khơng có phần tử tập
rỗng nên ta gọi tập rỗng tổ hợp chập n phần tử *) Số tổ hợp:
Kí hiệu Ck
n số tổ hợp chập k n phần tử ( k n) Ck
n = !( )!
! k n k
n
*) Tính chất số Ck
n:
a)Tính chất 1:
Ck
n = Cn-kn ( k n) Ví dụ:
C3
7 = C47 = 35 b) Tính chất 2:
Ck -1
n - + Ckn - = Ckn ( k < n) I Công thức nhị thức Niu - tơn:
(a + b)n = C0
(9)Công thức (1) gọi công thức nhị thức Niu - tơn II Tam giác Pa- xcan:
* Định nghĩa:
Trong công thức nhị thức Niu - tơn mục I, cho n = 0, 1……và xếp hệ số thành dòng, ta nhận tam giác sau đây, gọi tam giác Pa-xcan
n = n = n = n = 3 n = n = 10 10 n = 15 20 15 n = 7 21 35 35 21 …
B Bài tập:
Bài 1/ Trong đội văn nghệ có 12 bạn nam 10 bạn nữ Hỏi có cách chọn: a) Một bạn hát đơn ca
b) Một đôi song ca nam - nữ
Bài 2/ Giữa hai thành phố A B có đường Hỏi có cách từ A đến B trở A mà khơng có đường lần?
Bài 3/ Từ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên : a) Có chữ số ( khơng thiết khác nhau)
b) Có chữ số khác
Bài 4/ Có số tự nhiên có tính chất:
a) Là số chẵn có hai chữ số ( không thiết khác nhau)? b) Là số lẻ có chữ số ( khơng thiết khác nhau)? c) Là số lẻ có chữ số khác nhau?
d) Là số chẵn có chữ số khác nhau?
Bài 5/ Có số tự nhiên có hai chữ số mà chữ số chẵn?
Bài 6/ Một lớp có 45 học sinh, dăng kí chơi hai mơn thể thao: bóng đá cầu lơng Có 30 em đăng kí mơn bóng đá, 25 em đăng kí mơn cầu lơng Hỏi có em đăng kí mơn thể thao? Bài 7/ Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ
a) Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn?
b) Nhà trường cần chọn học sinh có học sinh nam học sinh nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có ccáh chọn?
Bài 8/ từ số 1, 3, 5, 6, 7, 8, lập số tự nhiên gồm chữ số khác Hỏi: a) Có tất số?
b) Có số chẵn, số lẻ?
Bài 9/ Một khay tròn đựng bánh kẹo ngày tết có ngăn hình quạt màu khác Hỏi có cách bày loại bánh kẹo vào ngăn đó?
Bài 10/ Có số tự nhiên có chữ số chia hết cho 5?
Bài 11/ Trong Ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ
(10)Bài 12/ có tam giác lập từ điểm khác khơng thẳng hàng?
Bài 13/ Một đồn đại biểu gồm học sinh chọn từ tổ gômf nam nữ Hỏi có cách chọn cho có nam nữ?
Bài 14/ Trong mặ phẳng có đường thẳng song song với đường thẳng khác song song với đồng thời cắt đường thẳng cho Hỏi có hình bình hành tạo nên 14 đường thẳng cho?
Bài 15/ Có cách xếp chổ cho bạn nữ bạnk nam ngồi vào 10 ghế mà khơng có hai bạn nữ ngồi cạnh nhau, nếu:
a) Ghế thành hàng ngang? b) Ghế quanh bàn tròn?
Bài 16/ Viết khai triển theo công thức nhị thức Niu - tơn: a) ( 2a + b)5 b) ( x - y)6 c) ( x -
x
)11 Bài 17/ Tìm hệ số x7 khai triển (1 + x)11. Bài 18/ Tìm hệ số x9 khai triển ( - x)19.
Bài 19/ Biết hệ số x2 khai triển (1+ 3x)n 90 Hãy tìm n.
Bài 20/ Từ khai triển biểu thức ( 2x - )15 thành đa thức Hãy tính tổng hệ số đa thức nhận được. Bài 21/ Biết hệ số xn-2 khai triển (x -
4
)n 31 Tìm n. Bài 22/ Chứng minh rằng:
11 Cnm,(1 m n); n
m m n
C
III Trắc nghiệm:
Câu 1. Giả sử công việc thực theo hai phương án Phương án A thực theo n cách, phương án B thực theo m cách Khi đó:
A Công việc thực m.n cách B Công việc thuẹc 21 m.n cách C công việc thực m + n cách D Các câu sai
Câu 2. Giả sửmột công việc thực theo hai công đoạn A B Cơng đoạn A thực n ccáh, cơng đoạn B thực m cách Khi đó:
A Cơng việc thực m.n ccáh B Công việc thuẹc 21 m.n cách C công việc thực m + n cách D Các câu sai
Câu 3 Cho chữ số: 2, 3, 4, 5, 6,, Hỏi có số gồm chữ số thành lập từ chữ số đó: A 36 B 18 C 256 D 216
Câu 4. Cho chữ số 4, 5, 6, 7, 8, Hỏi có số gồm chữ số khác thành lập từ chữ số đó?
A 120 B 180 C 256 D 216
Câu Số số tự nhiên có chữ số mà hai chữ số chữ số chẵn là: A 15 B 16 C.18 D 20
(11)A 64 B 16 C 32 D 20
Câu 7 Số số tự nhiên có chữ số khác chia hết cho 10 là: A 3260 B 3168 C 5436 D 12070
Câu Có thể lập số tự nhiên gồm chữ số khác chữ số 0, 1, 2, 3, 4, A 60 B 80 C 240 D Một kết khác
Câu 9. Số hoán vị n phần tử là: A An
n B n! C (n - 1)! D Một kết khác Câu 10. Cơng thức tính số chỉnh hợp sau đúng: (1) Ak
n = n(n-1)… (n - k + 1)
(2) Ak
n = ( )!
! k n
n
, k n
A Chỉ có (1) B Chỉ có (2) C Cả câu D Một kết khác
Câu 11. Cho tập A có n phần tử số nguyên k thoả mãn k n Mỗi tập gồm k phần tử A
được gọi là:
A Một chỉnh hợp chập k n phần tử B tổ hợp chập k n phần tử
C Một hoán vị n phần tử D Một kết luận khác
Câu 12. Trong bình đựng viên bi đỏ viên bi xanh Lấy ngẫu nhiên viên bi Có cách lấy viên màu?
A 18 B C 22 D
Câu 13 Có cách xếp nguời vào bàn trịn có chổ ngồi? A 120 B 360 C 150 D Một kết khác
Câu 14. Một hội đồng gồm nam nữ tuyển vào ban quản trị gồm người Hoir có cách tuyển chọn?
A 240 B 260 C 126 D Một kết khác
Câu 15. Có têm thư khác bì thư khác Người ta muốn chọn từ tem thư bì thư dán tem thư lên bì thư khác nhau, bì thư dán tem thư Hỏi có cách vậy? A 200 B 30 C 300 D kết khác
Câu 16. Trong hàng thứ 6, số tam giác Paxcal là: A 1, 4, 6, 4, B 1, 9, 4, 6, 4, 9, C 1, 5, 10, 10, 5, D kết khác Câu 17 khai triển (x + y)25, hệ số x12y13 là:
A 5200300 B 8207300 C 15101019 D Một kết khác
XÁC SUẤT A Tóm tắt lí thuyết:
I Phép thử, khơng gian mẫu:
1 Phép thử:
Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta không đốn trước kết nó, biết tập hợp tất kết có phép thử
(12)a) Khái niệm:
Tập hợp kết xảy phép thử gọi không gian mẫu phép thử kí hiệu (
đọc ô - mê - ga)
2 Các khái niệm:
- Biến cố tập không gian mãu
- Tập gọi biến cố ( gọi tắt biến cố khơng) Cịn tậpđược gọi biến cố chắn + Ví dụ: Biến cố : “Cơn xúc sắc xuất mặt chấm” biến cố
3 Qui ước:
- Khi nói biến cố A, B, mà khơng nói thêm ta hiểu chung liên quan đến phép thử
- Ta nói biến cố A xảy phép thử kết phép thử phần tử A ( hay thuận lợi cho A)
* Các định nghĩa:
a) Giả sử A biến cố liên quan tới phép thử
Tập \ A gọi biến cố đối biến cố A, kí hiệu A
Do A A , nên A xảy A không xảy
b) giả sử A, B biến cố liên quan đến phép thử Tập A B : hợp biến cố A B
Tập A B : Giao biến cố A B
Nếu A B = ta Nói A B xung khắc c) Bảng tóm tắt:
Kí hiệu Ngơn ngữ biến cố A B A biến cố
A = A biến cố không A = A biến cố chắn
C = A B C biến cố : “ A B”
C = A B C biến cố : “ A B”
A B
=
A B xung khắc B = A A B đối
II Định nghĩa cổ điển xác suất: Định nghĩa:
Giả sử A biến cố liên quan đến phép thử với khơng gian mẫu có số hữu hạn kết đồng khả xuất Ta gọi tỷ số nn((A)) xác suất biến cố A, kí hiệu P(A)
P(A) = nn((A)) * Chú ý:
n(A) số phần tử A số kết thuận lợi cho biến cố A, cịn n( ) kết có
thể xảy cho phép thử 2 Tính chất xác suất: a Định lí:
a) P( ) = 0, P( ) =
b) P(A) 1, với biến cố A
(13)P( A B) = P(A) + P(B) ( công thức cộng xác suất)
b Hệ quả:
Với biến cố A ta có: P( A ) = - P(A)
A B biến cố độc lập P(A.B) = P(A).P(B) B Bài tập:
I Bài tập mẫu:
Bài 1/ Gieo súc sắc cân đối, đồmh chất quan sát số chẫmuất a) Mô tả không gian mẫu?
b) xác định biến cố sau: A: “ Xuất mặt chẵn chấm” B: “ Xuất mặt lẻ chấm”
C: “ Xuất mặt co số chấm không nhỏ 3” c) Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc
Giải:
a) Kí hiệu kết “ Con súc sắc xuất mặt k chấm” k ( k = 1, 2, 3,….6) Khi khơng gian mẫu là:
= {1, 2, 3, 4, 5, 6}
b) ta có:
A = {2, 4, 6} B = {1, 3, 5} C = {3, 4, 5, 6} c) biến cố A B xung khắc, A B =
Bài 2 Từ hộp chứa bi trắng, bi đỏ, lấy ngẫu nhiên đồng thời bi a) Xây dựng không gian mẫu
b) Xác định biến cố: A: “Hai bi màu” B: “ Hai bi màu đỏ” C “ Hai bi màu” D: “ Hai bi khác màu”
c) Trong biến cố trên, tìm biến cố xung khắc, biến cố đối
Giải:
a) Các bi trắng đánh số 1, 2, Các bi đỏ đánh số 4, Khi khơng gian mẫu gồm tổ hợp chập 5( số) Tức là:
= {{1,2}, {1,3}, {1,4}, {1,5},{2, 3},{2, 4}, {2, 5}, {3, 4}, {3, 5}, {4, 5}}
b) ta có:
A = {{1,2}, {1, 3}, {2, 3}} B = {{4, 5}, C = A B, D = C
c) ta có: A B = , A D = , B D = , C D =
Do đó: A B xung khắc; D xung khắc với biến cố A, B, C Vì D = C nên C D biến cố đối
nhau
Bài 3. Lấy ngẫu nhiên thẻ từ hộp chứa 20 thẻ đánh số từ dến 20 Tìm xác suất để thẻ lấy ghi số:
a) Chẵn
b) Chia hết cho 3; c) Lẻ chia hết cho
Giải:
Không gian mẫu = {1, 2,… , 20} Kí hiệu A, B, C biến cố tương ứng với câu a0, b) , c) Ta có:
a) A = {2, 4, 6, 8,…., 20} n(A) = 10, n( )= 20 => P(a) = 10/20 = 0,5
(14)P(B) = / 20 = 0,3
c) C = {3, 9, 15}, P(C) = 3/20 = 0,15 II Bài tập tự luyện:
Bài 1/ Gieo đồng tiền lần quan sát xuất mặt sấp (S), mặt ngửa (N) a) Xây dựng không gian mẫu
b) Xác định biến cố:
A: “Lần gieo đầu xuất mặt sấp” B: “Ba lần xuất mặt nhau” C: “ Đúng hai lần xuất mặt sấp” D: “ Ít lần xuất mặt sấp”
Bài 2/ Gieo súc sắc ba lần Tính xác suất cho mặt chấm xuất lần? Bài 3/ Gieo đồng thời hai súc sắc Tính xác suất cho:
a) Hai súc sắc xuất mặt lẻ
b) Tích số chấm hai súc sắc số lẻ
Bài 4/ súc sắc gieo lần Quan sát số chấm xuất a) Xây dựng không gian mẫu
b) Xác định biến cố sau:
A: “ Tổng số chấm lần gieo 6”
B: “ Số chấm lần gieo thứ tổng số chấm lần gieo thứ thứ 3”
Bài 5/ Một tổ có nam nữ Chọn ngẫu nhiên hai người Tìm xác suất cho người đó: a) hai nữ b) Khơng có nữ,
c) người nữ d) Có người nữ
Bài 6/ mọt hộp chứa 10 cầu đỏ đánh số từ đến 10, 20 cầu xanh đánh số từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên Tìm xác suất cho chọn:
a) Ghi số chẵn; b) màu đỏ;
c) màu đỏ ghi số chẵn; d) màu xanh ghi số lẻ
Bài 7. Có bạn nam bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn trịn Tính xác suất cho nam nữ ngồi xen kẽ
Bài 8. Một họp chứa 10 cầu đánh số từ đến 10, đồng thời từ đến ` sơn màu đỏ Lấy ngẫu nhiên Kí hiệu A biến cố: “Quả lất màu đỏ”, B biến cố: “Quả lấy ghi số chẵn” Hỏi A B có độc lập khơng?
Bài 9. Hai hộp chứa cầu Hộp thứ chứa đở xanh, hộp thứ chứa đỏ xanh Lấy ngẫu nhiên từ hộp Tính xác suất cho:
a) hai đỏ; b) Hai màu; c) hai khác màu
Bài 10/ Chọn ngẫu nhiên ba học sinh từ tổ gồm có nam nữ tính xác suất cho: a) Cả học sinh nam
b) Có nam
Bài 11/ Một tiểu đội 10 người xếp ngẫu nhiên thành hàng dọc, có anh A anh B tính xác suất cho:
a) A B đứng liền
(15)III Trắc nghiệm:
Bài 1. Gieo súc sắc cách ngẫu nhiên Tính xác suất biến cố “ Các mặt xuất có số chấm nhau”, ta được:
6
A
B 12
5
C 12
7 D
Bài 2. gieo lần liên tiếp súc sắc Tính xác suất biến cố “ Tổng số chấm không nhỏ 16” Kết tìm là:
A 5/118 B 5/106 C 5/108 D 5/107
Bài 3. Gieo ngẫu nhiên đồng thời đồng xu Tính xác suất để hai đồng xu lật ngửa, ta có kết quả:
A 10/9 B 11/12 C 11/16 D 11/15
Bài 4/ Một bình đựng viên bi xanh viên bi đỏ khác nhauvề màu sắc lấy ngẫu nhiên viên bi, lấy tiếp viên bi Xác suất biến cố: “ lấy lần thứ hai viên bi xanh” là:
A 5/8 B 5/9 C 5/7 D 4/7
Bài 5/ Gieo súc sắc hai lần Xác suất để lần xuất mặt chấm là: A 11/36 B 6/30 C 9/30 D 10/30
Bài 6 gieo súc sắc xác suất để số chấm xuất là: A 12/216 B 1/216 C 6/216 D 3/216
Bài 7 Gieo đồng tiền cân đối đồng chất bốn lần Xác suất để lần xuất mặt ngửa: A 4/16 B 2/ 16 C 1/16 D 6/16
Chương III
DÃY SỐ- CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN A Tóm tắt lí thuyết:
I Phương pháp qui nạp tốn hoc:
Để chứng minh mệnh đề với n N* phương pháp qui nạp toán học, ta tiến hành theo
bước:
+ Bước 1) Kiểm tra mệnh đề với n =
+ Bước 2: Giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k 1 ( gọi giả thiết qui nạp), chứng
minh với n = k +
Chú ý:
Nếu phải chứng minh mệnh đề với số tự nhiên n p ( p số tự nhiên) thì:
+ Ở bước , ta phải kiểm tra mệnh đề với n = p
+ Ở bước ta giả thiết mệnh đề với số tự nhiên n = k p phải chứng minh
đúng với n = k + II Định nghĩa dãy số:
Mỗi hàm số u xác định tập số nguyên dương N* gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số).
Kí hiệu: u : N* R
n u(n)
Thưòng viết dạng khai triển : u1, u2, , un,…
(16)Mỗi hàm số u xác định tập M = { 1, 2,3 ,…,m} với m N* gọi 1dãy số hữu hạn
Dạng khai triển: u1, u2, u3,…,un Trong u1 số hạng đầu, un số hạng couuí
* ví dụ: -5, -2, 1, 4, 7, 10, 13 dãy số hữu hạn có u1 = -5, u7 = 13 *Cách cho dãy số:
1 Dãy số cho công thức số hạng tổng quát:
Dãy số (un) hồn tồn xác định biết cơng thức số hạng tổng quát un 2 Dãy số cho phương pháp mô tả:
Cho mệnh đề mô tả cách xác định số hạng liên tiếp dãy số 3 Dãy số cho phương pháp truy hồi:
Các bước cho hệ thức truy hồi:
a) Cho số hạng đầu ( hay vài số hạng đầu)
b) Cho hệ thức truy hồi, tức hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng ( vài số hạng ) đứng trước
IV Dãy số tăng, dãy số giảm dáy số bị chặn: 1 Dãy số tăng, dãy số giảm:
a) Định nghĩa:
+)Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 > un với n N*
+) Dãy số (un) gọi dãy số tăng ta có un+1 < un với n N*
*) ví dụ:
Dãy số: (un) với un = n n
3 dãy số tăng vì:
Với n N* ta có hiệu:
Un+1 - un = 2(n+1) - -(2n - 1) =
Do un+1 - un > nên un+1 > un b) Chú ý:
Không phải dãy số tăng hoạc giảm Chẳng hạn, dãy số : (un) với: un = (-3)n , túc dãy:
-3, 9, -27, 81…
Không tăng không giảm 2 Dãy số bị chặn:
Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số M cho:
un M, Với n N*
Dãy số (un) gọi bị chặn tồn số m cho:
m un , Với n N*
dãy số (un) gọi bị chặn vùă bị chặn vừa bị chặn dưới, tức tồn số m, M cho:
m un M, Với n N* Ví dụ:
a) Dãy số Phi- bơ - na- xi bị chặn vì: un 1 với n N*
b) Dãy số (un) với un =
1 n
n
bị chặn vì: <
1 n
n
2
(17)Cấp số cộng dãy số ( hữu hạn vơ hạn ), kể từ số hạng thứ 2, số hạng số hạng đứng trước cộng với số khơng đổi d
số d gọi công sai cấp số cộng Công thức truy hồi:
Un+1 = un + d với n N* (1)
d= 0: Cấp số cộng dãy số không đổi 2 Số hạng tổng quát:
Định lí:
Nếu cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1 cơng sai d số hạng tổng quát un xác định công
thức:
Un = u1 +( n - 1) d với n 2 (2) 3 Tính chất số hạng cấp số cộng: Định lí:
Trong cấp số cộng, số hạng ( trừ số hạng dầu số hạng cuối) trung bình cộng cuả số hạng đứng liền kề nó, nghĩa là:
2 1 uk uk k
u , Với k 2
4 Tổng n số hạng đầu cấp số cộng: a Định lí:
Cho cấp số cộng (un) Đặt Sn = u1 + u2 + u3 + ….+ un Khi đó:
Sn =
) (u un n
(4)
b Chú ý:
Vì un = u1+ (n -1)d nên cơng thức (4) viết: Sn = nu1 + d n n
2 ) (
VI Định nghĩa cấp số nhân: Định nghĩa:
Cấp số nhân dãy số ( hữu hạn vơ hạn ), kể từ số hạn thứ 2, số hạn tích số hạng đứng trước với số khơng đổi q
Số q gọi công bội cấp số nhân
* (un) cấp số nhân với cơng bội q, ta có:
un+1= un.q, với n N*
* đặc biệt :
+ Khi q = 0, cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, 0,… ,0,0…
+ Khi q = 1, cấp số nhân có dạng: u1, u1, …., u1,…
+ Khi u1= với q, cấp số nhân có dạng 2 Số hạng tổng quát:
Định lí:
Nếu cấp số nhân có số hạng đầu u1, cơng bội q số hạng tổng quát un xác định công thức:
un = u1 qn -1 với n 2
(18)Định lí:
Trong cấp số nhân, bình phương số hạng ( trừ số hạng đầu cuối) tích cuả số hạng đứng liền kề với nó, nghĩa là:
uk2 = uk-1 uk+1, với k 2
Hay uk uk1 uk1
4 Tổng n số hạng đầu cấp số nhân: Định lí:
Cho cấp số nhân (un) với công bội q 1 Đặt Sn = u1 + u2 + …….+ un
Khi đó:
Sn u qqn
) (
* Chú ý:
Nếu q = cấp số nhân u1, u1, u1, … , u1 Khi Sn= n u1 B Bài tập:
I Bài tập mẫu:
Bài 1/ dãy số (un) cho công thức: ( *)
1 2 N n n n n u
Hãy viết số hạng đầu dãy số Khảo sát tính tăng giảm chúng
Giải:
Sáu số hạng đầu:
1/3; 3/5; 7/9; 15/17; 31/33; 63/65 Ta xét hiệu:
Un+ - un =
1 2 1 1 n n n n ) )( 1 ( ) )( 1 ( 2 2 2 2 ) )( 1 ( ) )( 1 ( ) )( 1 ( n n n n n n n n n n n n n n n n n
Suy un+1 > un Vậy dãy số (un) tăng
Bài 2/ chứng minh rằng:
1.2 +2.5 + 3.8 +………+ n(3n - 1) = n2(n+1) với n N* Giải:
Bước 1: Với n = 1, vế trái bằng: 1.2 = Vế phải bằng: 12(1+1) = 2.
Hệ thức (1) Bước 2:
Đặt vế trái Sn
Giả sử hệ thức (1) với n = k 1, tức là:
Sk= 1.2 + 2.5 + …….+k(3k-1) = k2(k+1) (giả thiết qui nạp)
Ta chứng minh (1) với n = k+1, tức là: Sk+1 = (k+1)2(k+2)
Thất vậy:
(19)= (k+1)(k2 +3k +2) = (k+1)2(k+2)
Vậy hệ thức (1) với n N*
Bài 3/ Cho dãy số: (un) với un = - 5n
a) Viết số hạng đầu dãy,
b) Chứng minh dãy số un cấp số cộng Chỉ rõ u1 d
c) Tính tổng 100 số hạng đầu
Giải
a) 4, -1, -6, -11, -16
b) xét hiệu: un+1 - un = - 5(n+1) - +5n = -5
Do đó: un+1 = un- 5, suy dãy số (un) cấp số cộng với u1 = 4; d = -5
c) Áp dụng công thức
2 ) (
( u n d n
n
S
Ta có: S100 = 100[2.4 +(100 -1)(-5)]/ 2= -24350 II Bài tập tự luyện:
Bài 1/ chứng minh đẳng thức sau:với n N*
a) +5 + +………+ (3n - 1) = n(3n21) b) + + 27 +…….+ 3n =
2
(3n+1 -3)
Bài 2/ chứng minh đẳng thức sau:với n N*
a) 12 + 32 + 52 + ……+ (2n - 1)2 =
) ( n n
b) 13 + 23 + 33 + ……+ n3 =
4 ) ( n n
Bài 3/ Chứng minh bất đẳng thức sau: với n N*
2n+2 > 2n +5
Bài 4/ Viết số hạng đầu khảo sát tính tăng giảm ccá dãy số ( un) biết:
a) un = 101-2n b) un = 3n -7 ; c) un = 2
1
n n Bài 5/ cho dãy số (un) với un= n2 - 4n +3
a) Viết số hạng đầu dãy; b) chứng minh dãy số bị chặn
c) tính tổng n số hạng đầu dãy cho
Bài 6/ Trong dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số cộng?
a) un = 3n - 1; b) un= 2n + c) un = (n+1)2 - n2 Bài 7/ Tính số hạng đầu u1 công sai d cầp số cộng (un), biết:
a) u1 + 2u5 = b) u4= 10
S4= 14; u7= 19 Bài 8/ Cấp số cộng (un) có S6= 18 S10= 110
(20)b) Tính S20
Bài 9/ Tìm cấp số cộng (un) biết:
u1 + u2 + u3 = 27
u2
1 + u22 + u23 = 275
Bài 10/ Các dãy số (un) sau đây, dãy số cấp số nhân?
a) un = (-5)2n+1 b) un = (-1)n 33n+1
c) u1 =
un+1 = u2n
Bài 11. cấp số nhân un có:
u1 + u5 = 51
u2 + u6 = 102
a) Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân
b) Hỏi ttổng số hạng dầu tiên 3069? c) số 12288 số hạng thứ mấy?
Bài 12/ tìm số số hạng cấp số nhân (un) biết:
q = 2, un = 96 , Sn = 189
Bài 13/ Tìm số hạng đầu công bội cấp số nhân biết: u5 - u1 = 15
u4 - u2 = III Trắc nghiệm:
Câu 1.Cho cấp số cộng: 6, x, -2, y Kết sau đúng?
A x = 2, y = 5; B x = 4, y = 6; C x = 2, y = -6; D x = 4, y = -6
Câu 2/ Cho cấp số nhân: -2, x, -18, y Hãy chọn kết đúng:
A x = , y = -54; B x = -10, y = -26; C x = -6, y = -54 D x = -6, y = 54
Câu 3 ba cạnh tam giác vng có độ dài số ngun dương lập thành cấp số cộng Thế cạnh cói độ dài bằng:
A 22 B 58 C 81 D 91
Câu 4. cho cáp số cộng có tổng 10 số hạng 100 số hạng S100= 100, S10 = 10 Khi
tổng 110 số hạng là:
A 90 B -90 C 110 D -110
Câu 5/ Cho cấp số nhân (un), biết u1= 3, u2= -6 Hãy chọn kết đúng:
A u5= -24 B u5= 48,
(21)PHẦN II HÌNH HỌC
CHƯƠNG I
PHÉP DỜI HÌNH VÀ PHÉP ĐỒNG DẠNG TRONG MẶT PHẲNG
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I/ PHÉP BIẾN HÌNH:
Định nghĩa : Quy tắc đặt tương ứng điểm M mặt phẳng với điểm xác định M’
của mặt phẳng gọi phép biến hình mặt phẳng.
Ta thường kí hiệu phép biến hình là F viết F(M) = M’ hay = F(M), điểm M’ được gọi là
ảnh điểm M qua phép biến hình F.
Nếu H là hình mặt phẳng ta ký hiệu H’ = F(H) tập hợp điểm M’= F (M), với điểm M thuộc H Khi ta nói F biến hình H thành hình H’ hay hình H’ hình ảnh cua hình
H qua phép biến hình F.
Để chứng minh hình H’ là ảnh hình hình H qua phép biến hình F ta chứng minh: Với điểm M tùy ý
M ∈ H M’= F (M) H’.
Phép biến hình biến điểm M mặt phẳng thành gọi phép đồng nhất.
II/ PHÉP TÍNH TIẾN: v
Định nghĩa : Trong mặt cho vectơ V
Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’
sao cho MM' = v gọi phép tịnh tiến M M’
theo vectơ v ( h1.1)
Phép tịnh tiến theo vectơ v thường kí hiệu Tv
Như Tv(M) = M MM' = v
Nhận xét : Phép tịnh tiến theo vectơ - khơng phép đồng nhất.
III/ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ CỦA PHÉP TÍNH TIẾN:
(22)x’ = x + a
Khi y’ = y + b
IV/ TÍNH CHẤT CỦA PHÉP TỊNH TIẾN : Phép tịnh tiến
1/ Bảo toàn khoảng cách hai điểm
2/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho 3/ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho
4/ Biến tam giác thành tam giác tam giác cho 5/ Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính C CÂU HỎI BÀI TẬP
1.1 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho v = ( -2 ;1), điểm M= ( -3; 2) Tìm tọa độ điểm A
cho :
a/ A = Tv ( M)
b/M = Tv(A)
1.2 Trong mặt phẳng Oxy cho v = ( -2;1), đường thẳng d có phương trình :
2x- 3y +3= 0, đường thẳng d1 có phương trình 2x – 3y – =
a/ Viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua Tv
b/ Tìm tọa độ w có giá trị vng góc đường thẳng d để d1 ảnh d qua Tv
1.3 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình 3x – y- = 0.Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox biến d thành đường thẳng d’đi qua gốc tọa độ viết phương trình
đường thẳng d’.
1.4 Trong mặt phẳng Oxy cho đường (C) có phương trình x2 + y2 – 2x + 4y – = Tìm ảnh ( C)
qua phép tịnh tiến theo vectơ v = (-2;5)
1.5 Cho đoạn thẳng AB đường tròn ( C) tâm O, bán kính r nằm phía đường thẳng AB Lấy điểm M ( C), dựng hình bình hành ABMM’ Tìm tập hợp điểm M’khi M di động ( C).
PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA :
Cho đường thẳng d Phép biến hình biến điểm M thuộc d thành nó, biến điểm M
khơng thuộc d thành điểm M’ cho d đường trung trực đoạn thẳng MM” gọi phép đối
xứng qua đường thẳng d hay phép đối xứng trục (h.1.5)
Phép đối xứng qua trục d thường kí hiệu Đđ Như M’ = Đđ (M)M0M’ =-M0M, với M0là hình
chiếu vng góc M d
Đường thẳng d gọi trục đối xứng hình H Đđ biến H thành Khi H gọi
(23)II/ BIỂU THỨC TỌA ĐỘ :
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, với điểm M= (x;y), gọi M’ = Đ
d( M)= (x’; y’)
Nếu chọn d trụ O x, thì x' = x
y’= - y
Nếu chọn d trụ O y, thì x' =- x
y’= y
III/ TÍNH CHẤT:
Phép đối xứng trục
1/ Bảo toàn khoảng cách hai điểm 2/ Biến đường thẳng thành đường thẳng
3/ Biến đường thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho 4/ Biến tam giác thành tam giác tam giác cho
5/ Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính C/ CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.6.Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M( 3;-5),đường thẳng d có phương trình : 3x + 2y – = đường trịn (C) có phường trình x2 + y2 – 2x – y – =0 Tìm ảnh M, d ( C) qua phép đối sứng trụ
Ox.
1.7 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x- 5x +7 = và đường thẳng d’ có
phường trình 5x- y – 13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến d thành d’
1.8 Tìm trục đối xứng hình vng
1.9 Cho hai đường thẳng c,d cắt hai điểm A,B khơng thuộc hai đường thẳng Hãy dựng điểm C c, điểm D d cho tứ giác ABCD hình cân nhận AB cạnh đáy ( không cần biện luận)
1.10 Cho đường thẳng d hai điểm A, B khơng thuộc d nằm phía d Tìm d điểm M cho tổng khoảng cách từ đến A B bé
PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM I/ ĐỊNH NGHĨA :
Cho điểm I Phép biến hình biến điểm I thành nó, biến điểm M khác I thành M’ cho
I trung điểm đoạn thẳng MM’được gọi phép đối xứng tâm I.
Phép đối xứng tâm I thường kí hiệu Đ1 M ‘
1/ M’ = Đ
1 ( M) IM’ = -IM
I
2/ Điểm I gọi tâm đối xứng hình H phép đối xứng tâm I biến hình H thành Khi H gọi hình có tâm đối xứng
(24)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho I = ( x0 ; y0), gọi M =(x ; y ) M’ = ( x’; y’) là ảnh M qua
phép đối xứng làm tâm I Khi x' = x 0 - x
y’ = 2 y 0 – y
III/ CÁC TÍNH CHẤT : Phép đối xứng tâm
1/ Bảo tồn khoảng cách hai điểm
2/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho 3/ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho
4/ Biến tam giác thành tam giác tam giác cho 5/ Biến đường tròn thành đường trịn có bán kính C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.11 Cho tứ giác ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép đối xứng tâmE
1.12.Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I ( ; 2), M ( -2; 3), đường thẳng d có phường trình 3x – y + = đường trịn ( C ) có phương trình:
x2 + y2 + 2x – 6y + = 0
Hãy xác định tọa độ điểm M’, phương trình đường thẳng d’ đường trịn (C) theo thứ tự là
ảnh M, d và (C ) qua
a/ Phép đối xứng qua gốc tọa độ b/ Phép đối xứng qua tâm I
1.13 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phương trình : x – 2y + = d’ có phương
trình : x – 2y – = Tìm phép đối xứng tâm biến d thành d’ biến trục Ox thành
1.14 Cho ba điểm khơng thẳng hàng I, J,K Hãy dựng tam giác ABC nhận I, J,K trung điểm cạnh BC, AB, AC.
PHÉP QUAY A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA :
Cho điểm O góc lượng giác Phép biến
hình biến O thành nó, biến điểm M M’
khác O thành điểm M’sao cho OM’ = OM góc
lượng giác (OM’) bằng gọi phép
quay tâm O góc ( h.1.13)
(25)góc quay Hình 1.13 Phép quay tâm O góc thường kí hiệu Q(O, )
Nhận xét :
-Phép quay tâm O góc quay =( 2k + 1) với k nguyên, phép đối xứng tân O
-Phép quay tâm O quay = 2k với k ngun, phép đồng nhất.
II/TÍNH CHẤT : Phép quay
1/ Bảo toàn khoảng cách hai điểm bất : 2/ Biến đường thẳng thành đường thẳng
3/ Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng đoạn thẳng cho 4/ Biến tam giác thành tam giác tam giác cho
5/Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.15 Cho lục giác ABCDEF, O là tâm đối xứng nó, I là trung điểm AB a/ Tìm ảnh tam giác AIF qua phép quay tâm O góc 1200
b/ Tìm ảnh tam giác AOF quay phép quay tâm E góc 600
1.16 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( ; 3), B ( 0; 5), C ( 1;1) đường thẳng d có phương trình x- y + 15 = O Hãy xác định tọa độ đỉnh tam giác A’B’C’ phương trình đường thẳng
d’ theo thứ tự ảnh tam giác ABC đường thẳng d qua phép quay tâm O, góc quay 900
1.17 Cho nửa đường trịn tâm O đường kính BC Điểm A chạy nửa đường trịn Dựng phía ngồi tam giác ABC hình vng ABEF Chứng minh E chạy nửa đường tròn cố định
1.18 Cho tam giác ABC Dựng phía ngồi tam giác hình vng BCIJ, ACMN,ABEF gọi O, P, Q tâm đối tâm xứng chúng
a/ Gọi D trung điểm AB Chứng minh DOP tam giác vuông cân đỉnh D b/ Chứng minh AO vng góc với PQ AO = PQ
KHÁI NIỆM VỀ PHÉP DỜI HÌNH VÀ HAI HÌNH BẰNG NHAU A.CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ
I/ ĐỊNH NGHĨA:
Phép dời hình là phép biến hình bảo tồn khoảng cách hai điểm
Nhận xét :
Các phép tịnh tiến, đối xnwg tâm quay phép dời hình Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình
(26)Phép dời hình
a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm b/ Biến đường thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn c/ Biến tam giác thành tam giác tam giác cho, biến góc thành góc góc cho d/ Biến đường trịn thành đường trịn có bán kính
III/ HAI HÌNH BẰNG NHAU:
Định nghĩa : Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình
C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP
1.19 Trong mặt phẳng Oxy, cho v( 2; 0) điểm M (1;1)
a/ Tìm tọa độ điểm M’là ảnh điểm M qua phép dời hình có cách thực liên
tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép tịnh tiến theo vectơ v
b/ Tìm tọa độ điểm M” ảnh điểm M qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo vectơ v phép đối xưng qua trục Oy.
1.20 Trong mặt phẳng Oxy, cho vectơ v = ( 3; 1) đường thẳng d có phương trình 2x y = Tìm ảnh d qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay tâm O góc 900 phép tịnh
tiến theo vectơ v.
1.21 Chứng minh phép quay xem kết việc thụ liên tiếp hai phép đối xứng trục
1.22 Cho hình vng ABCD có tâm I Trên tia BC lấy điểm E cho BE= AI
a/ Xác định phép dời hình biến A thành B I thành E
b/ Dựng hình vng ABCD qua phép dời hình
PHÉP VỊ TỰ
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I/ ĐỊNH NGHĨA:
Cho điểm I số k 0 Phép biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho IM’= k IK
được gọi phép vị trí tự tâm I, tỉ số k.
II/ TÍNH CHẤT :
1/ Giả sử M’, N’ theo thứ tự ảnh M, N qua phép vị trí tỉ số k Khi
a/ M’N’ = k.MN b/ M’N’ = / k/. MN
2/ Phép vị tự tỉ số k
a/ Biến ba điểm thẳng hàng ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm
b/ Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho, biến tia thành tia, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng
c/Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc III/ TÂM VỊ TỰ CỦA HAI ĐƯỜNG TRÒN:
Định lí : Với hai đường trịn ln có phép vị tự biến đường tròn thành đường tròn kia.
(27)C CÂU HỎI BÀI TẬP
1.23 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường thẳng d có phương trình 2x + y – = a/ Hãy viết phường trình đường thẳng d1là ảnh d qua phép vị tự tâm O tỉ số k =
b/Hãy viết phương trình đường thẳng d2 ảnh d qua phép vị tự tâm I ( -1, 2) tỉ số k = -2
1.24 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn ( C) có phường trình (x – 3) 2 + ( y + )2 = 9
Hãy viết phương trình đường trịn (C’) ảnh ( C) qua phép vị tâm I( 1; 2) tỉ số k = 2
1.25 Cho nửa đường tròn đường kính AB. Hãy dựng hình vng có hai đỉnh nằm nửa đường tròn, hai đỉnh lại nằm đường kính AB nửa đường trịn
1.26 Cho góc nhọn xOy điểm C nằm góc Tìm Oy điểm A cho khoảng cách từ A đến Ox AC
PHÉP ĐỒNG DẠNG
A CÁC KIẾN THỨC CẦN NHỚ I/ ĐỊNH NGHĨA :
Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k ( k >0) với hai điểm M, N bất kì ảnh M’, N’ tương ứng ln có M’N’ = k MN
Nhận xét :
-Phép dời hình phép đồng dạng tỉ số -Phép vị tự tỉ số k phép đồng dạng tỉ số / k/
-Nếu thực liên tiếp hai phép đồng dạng phép đồng dạng II/ TÍNH CHẤT:
Phép đồng dạng tỉ số k
a/ Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm b/ Biến đương thẳng thành đường thẳng, biến tia thành tia, biến đường thẳng thành đoạn thẳng
c/ Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với tam giác cho, biến góc thành góc
d/ Biến đường trịn bán kính R thành đường trịn bán kính kR.
C CÂU HỎI VÀ BÀI TẬP ƠN TẬP CHƯƠNG I
1.30 Cho hình thang ABCD có AB song song với CD, AD = a, DC = b hai đỉnh A,B cố định Gọi I giao điểm hai đường thẳng chéo
(28)1.33 Cho tam giác ABC Tìm điểm M cạnh AB điểm N cạnh AC cho MN song song với BC AM = CN
1.34 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phường trình :3x – 2y – = a/ Viết phương trình đường thẳng d1 ảnh d qua phép đối xứng qua trục Oy.
b/ Viết phương trình đường thẳng d2 ảnh d qua phép đối xứn qua đường thẳng có
phương trình : x = y – =0
1.35 Cho đường tròn ( C) hai điểm cố định phân biệt A, B thuộc ( C’) Một điểm M chạy trên
đường tròn ( trừ hai điểm A, B) Hãy xác định hình bình hành AMBN Chứng minh tập hợp điểm N nằm đường tròn xác định
1.36.Cho hai đường trịn có tâm O, bán kính R r , ( R >r) A điểm thuộc đường trịn bán kính r Hãy dựng đường thẳng qua A cắt đường tròn bán kính r B, cắt đường trịn bán kính R C, D cho CD = 3AB
1.37 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y – = Hãy viết phương trình đường thẳng d’ ảnh d qua phép quay tâm O góc 45o.
138 Qua tâm G tam giác ABC, kẻ đường thẳng a cắt BC M cắt AB N, kẻ đường thẳng b cắt AC P AB Q, đồng thời góc a b 60 0 Chứng minh tứ giác MPNQ là
một hình thang cân
1.39.Gọi A’, B’, C’ tương ứng ảnh ba điểm A,B,C qua phép đồng dạng tỉ số k
Chứng minh A'B'.A',C'= k2 AB.AC
1.40 Gọi A’, B’ C’ tương ứng lag ảnh ba điểm A, B và C qua phép đồng dạng Chứng minh
rằng AB=p AC A'B' =p A'C', p số từ chứng minh phép đồng
dạng biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng điểm B nằm hai điểm A và C điểm B’ nằm hai điểm A’ C’
1.41 Trong mặt phẳng Oxy xét phép biến hình F biến điểm M( x; y) thành M’( 2x- 1; -2y +3) Chứng minh F phép đồng dạng
1.42.Dựng tam giác BAC vng cân A có C điểm cho trước, hai đỉnh A,B thuộc hai đường thẳng a,b song song với cho trước
MỘT SỐ CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM
1.43 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 2,5).Phép tịnh tiến theo vectơ v (1;2) biến A thành điểm
nào điểm sau ?
(A) B( 3; 1) (B) C(1; 6) (C) D( 3; 7) (D) E(4; 7)
1.44 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm A( 4,5) Hỏi A ảnh điểm điểm sau qua phép tịnh tiến theo vectơ v (2;1)?
(A) B( 3; 1) (B) C(1; 6) (C) D( 4; 7) (D) E( ; 4)
1.45 Có phép tịnh tiến biến đường thẳng cho trước thành ? (A) Khơng có (B) Chỉ có
(29)1.46 Có phép tịnh tiến biến đường tròn cho trước thành (A) Khơng có (B) Một
( C) Hai ( D) Vô số
1.47 Có phép tịnh tiến biến hình vng thành ? (A) Khơng có (B) Một
( C) Bốn (D) Vô số
1.48 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;3), hỏi bốn điểm sau ảnh M phép đối xứng qua trục Ox ?
(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3) (C) C( 3;-2) (D) D(- ; 3)
1.49 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; 3), hỏi M ảnh điểm bốn điểm sau qua phép đối xứng qua trục Oy ?
(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3) (C) C( 3;-2) (D) D(- ; 3)
1.50.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M ( 2; 3), hỏi bốn điểm sau điểm ảnh M qua phép đối xứng qua đường thẳng x – y = ?
(A) A( 3; 2) (B) B( 2; -3) (C) C( 3;-2) (D) D(- ; 3)
1.51 Hình gồm hai đường trịn có tâm bán kính khác có trục đối xứng ? (A) Khơng có (B) Một
( C) Hai ( D) Vô số
1.52 Trong mệnh đề sau mệnh đề ? (A) Đường trịn hình có vơ số trục đối xứng
(B) Một hình có vơ số trục đối xưng hình phải đường trịn
(C) Một hình có vơ số trục đối xứng hình phải hình gồm đường trịn đồng tâm (D) Một hình có vơ số trục đối xứng hình phải gồm hai đường thẳng vng góc
1.53 Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm I( ; 2) M ( ; -1) Trong bốn điểm sau điểm ảnh M qua phép đối xứng tâm I ?
(A) A( 2;1) (B) B( -1; 5) (C) C( -1; 3) (D) D(5; -4)
1.54 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng có phương trình x = bốn đường thẳng
cho phương trình sau đường thẳng ảnh qua phép đối xứng O ?
1.55 Trong mệnh đề sau mệnh đề ?
(A) Phép đối xứng tâm khơng có điểm biến thành (B) Phép đối xứng tâm có điểm biến thành (C) Có phép đối xứng tâm có hai điểm biến thành (D) Có phép đối xứng tâm có vơ số điểm biến thành
(30)Hỏi bốn đường thẳng cho phương trình sau đường thẳng biến thành
qua phép đối xứng tâm ? ( A) 2x + y – = (B) x+ y – 1= (C) 2x –2y + 1= ( D) 2x + 2y – =0
1.57 Hình gồm hai đường trịn phân biệt có bán kính có tâm xứng ?
(A) Khơng có (B) Một ( C) Hai ( D) Vô số
1.58 Trong mặt Oxy cho điểm M( 1;1) Hỏi bốn điểm sau điểm ảnh M qua phép quay tâm O, hóc 450 ?
(A) A ( -1;1) (B) B ( 1;0) (C) C ( 2; 0) (D) D (0;
1.59 Cho tam giác tâm O Hỏi có phép quay tâm O góc , 0 < 2 , biến tam
giác thành ?
(A) Một (B) Hai
(C) Ba (D) Bốn
1.60 Cho hình vng tâm O Hỏi có phép quay tâm O góc ,
0 < 2 , biến hình vng thành ?
(A) Một (B) Hai
(C) Ba (D) Bốn
1.61.Cho hình chữ nhật có O là tâm đối xứng Hỏi có phép quay tâm O góc , 0 <
2 , biến hình chữ nhật thành ?
(A) Khơng có (B) Hai
(C) Ba (D) Bốn
1.62 Có điểm biến thành qua phép quay tâm O góc 2k, k số nguyên ?
(A) Không có (B) Hai
(C) Ba (D) Bốn
1.63.Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Hỏi phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v( 2; 30 biến M thành điểm accs
điểm sau ?
(A) A ( 1;3) (B) B ( 2; 0) (C) C( ; 2) (D) D( 4;4)
1.64 Trong mặt phẳng Oxy cho đường trịn ( C) có phường trình ( x- 1)2 + ( y + 2)2 = 4
Hỏi phép dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua trục Oy phép tịnh tiến theo vectơ v (2; 3) biến (C) thành đường trịn đường trịn có phương trình sau ?
(A) x2 + y 2 = 4
(B) ( x- 2)2 + ( y – )2 = 4
(31)(D) ( x – 1)2 + ( y –1 )2 = 4
1.65 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x + y – = Hỏi phép đối dời hình có cách thực liên tiếp phép đối xứng qua tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v( 3;
2) biến d thành đường thẳng đường thẳng có phương trình có phương trình sau ? (A) 3x + 3y - = (B) x - y + =
(C) x + y + = (C) x + y – = 1.66 Trong mệnh đề sau mệnh đề ?
(A) Thực liên tiếp hai phép tịnh tiến phép tịnh tiến
(B) Thực liên tiếp hai phép đối xứng trục phép đối xứngtrục
(C) Thực liên tiếp đối xứng qua tâm phép đối xứng trục phép đối xứng (D) Thực liên tiếp phép quay phép tịnh tiến phép tịnh tiến
1.67 Trong mệnh đề sau mệnh đề ?
(A)Có phép tịnh tiến tiến theo vectơ khác không biến điểm thành (B) Có phép đối xứng trục biến điểm thành
(C) Có phép đói xứng tâm biến điểm thành (D) Có quay biến điểm thành
1.68 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm m( -2; 4) Hỏi phép vị tự tâm tỉ số O tỉ số k = -2 biến M thành điểm điểm sau ?
(A)A ( - 8; 4) (B) B ( - 4; -8) (C) C ( ; -8) (D) D ( ;8)
1.69 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phường trình :2x + y – = (A) 2x + y + =
(B) 2x + y – =
(C)4x – 2y – = (D) 4x + 2y – =
1.70 Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình x + y –2 = 0.Hỏi phép vị tự tâm O
tỉ số k = m-2 biến d thành đường thẳng đường thẳng có phường trìn sau ? (A) 2x + 2y = (B) 2x + 2y – =
(C) x + y + = (D) x + y – =
1.71 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C) có phường trình ( x- 1)2 + ( y – 2)2 = Hỏi phép
vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến (C) thành đường trịn đường trịn có phương trình sau ? (A) ( x-2) 2 + ( y – 4)2 = 16
(B) (x – 4)2 + ( y –2 )2 = 4
(C) (x –4)2 + ( y –2 )2 = 16
(D) (x +2)2 + ) y + 4)2 = 16
1.72 Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm M( 2; 4) Hỏi phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tiếp phép vị tự tâm O i tỉ số k =
2
phép đối xứng qua trục Oy biến M thành điểm điểm sau ?
(32)(C) C ( -1; 2) (D) D ( 1; -2)
1.73 Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d có phường trình x y = Hỏi phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm Oi, tỉ số k = -2 phép đối xứng qua trục Oy biến d thành đường thẳng trịng đường thẳng có phường trình sau ?
(A) 2x – y = (B) 2x +y =
(C) 4x – y = (D) 2x + y – =
1.74 Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn ( C) có phường trình :
( x- 2)2 + ( y – 2)2 = Hỏi phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số k
=12 phép quay tâm O góc 900 biến ( C) thành đường tròn tròng đường tròn sau.
(A) (x-2)2 + ( y – 2)2 = 1
(B) ( x-1)2 + ( y –1)2 = 1
(C) (x + 2)2 +(y- 1)2 = 1
(D) ( x + 1)2 + ( y – 1) 2 = 1
(33)(34)(35)