Bài soạn Kinh nghiệm khi day PTDT thành NT

TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN BẢN TÓM TẮT SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM : NHỮNG KINH NGHIỆM KHI DẠY “ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” Họ và tên tác giả: HUỲNH THỊ TIÊN Đơn vị cơng tác: Trường Trung Học Cơ Sở Thị Trấn 1/.Lí do chọn đề tài: Hiện nay, một trong những nhiệm vụ hàng đầu được đặt ra trong đổi mới đối với mơn tốn là rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực suy luận, tìm tòi sáng tạo, đồng thời gắn việc dạy – học tốn với vấn đề giáo dục kỹ thuật tổng hợp và hướng nghiệp. Khi tính tốn các phép tính đối với đa thức, nhiều khi cần thiết phải biến đổi đa thức đó trở thành một tích như: rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức ngun, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…Vì vậy việc phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng trong chương trình đại số lớp 8. Xuất phát từ những u cầu này, tơi mới tiến hành nghiên cứu đề tài về giải pháp “Những kinh nghiệm khi phân tích đa thức thành nhân tử ”, nhằm nâng cao sự ham thích mơn tốn ở THCS, những kiến thức, phương pháp và kỹ năng cần thiết để giải các bài tốn đại số. Trên cơ sở đó học sinh được hiểu biết sâu sắc hơn về mơn đại số trong trường phổ thơng, mặt khác có khả năng vận dụng và bổ sung kiến thức cho những bộ mơn khác. Tơi khơng đưa ra tất cả các giải pháp về mơn đại số mà chỉ chọn ra một vấn đề để nhằm giúp học sinh vừa củng cố những kiến thức cơ bản và nâng cao cho học sinh những kiểu tư duy hay những kỹ năng khác. 2/.Đối tượng, phương pháp nghiên cứu: -Học sinh khối 8 trường THCS Thị Trấn -Nắm lại tình hình chất lượng mơn Tốn lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I . -Thơng qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp, các tiết dạy tự chọn. -Thơng qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. -Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến kết quả học kì một. 3/.Đề tài đưa ra giải pháp mới: -Phát huy tính tích cực,độc lập hoạt động của học sinh trong các tiết luyện tập. -Phát huy tính sáng tạo, khả năng suy luận của học sinh trong q trình giải bài tập Tốn. -Giáo dục tính cẩn thận của học sinh. -Thu hút sự chú ý của học sinh 4/.Hiệu quả áp dụng: Qua việc thực hiện sáng kiến kinh nghiệm trên, từ đầu năm đến nay tơi nhận thấy tinh thần học tập của các em được nâng cao, học sinh hứng thú học, tiếp thu tốt, kết quả học tập của học sinh được nâng lên. Khơng những học sinh lĩnh hội kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử mà còn vận dụng vào việc giải quyết các vấn đề khác của Tốn học cấp II như: cực trị, giải phương trình, rút gọn phân thức, quy đồng mẫu thức… GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 1 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN 5/.Phạm vi áp dụng: Đề tài được áp dụng cho tất cả các học sinh ở khối lớp 8, 9 trong trường Trung học cơ sở Thị Trấn Châu Thành. Nhưng cụ thể hơn là học sinh lớp 8A 5 được áp dụng, theo dõi và so sánh kết quả cụ thể. Thị Trấn, ngày 3 tháng 3 năm 2009 Người thực hiện HUỲNH THỊ TIÊN GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 2 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN A/. MỞ ĐẦU: SAÙNG KIEÁN KINH NGHIEÄM : NHỮNG KINH NGHIỆM KHI DẠY “ PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ” 1/. Lí do chọn đề tài: Toán học ngày nay giữ một vai trò quan trọng đối với cách mạng khoa học kỹ thuật. Nó ngày càng thu hút sự quan tâm của nhiều người đối với việc học toán ở trường phổ thông và kích thích sự ham muốn của học sinh ở mọi lứa tuổi. Một trong những nhiệm vụ hàng đầu được đặt ra trong đổi mới đối với môn toán là rèn luyện tư duy logic, phát triển năng lực suy luận, tìm tòi sáng tạo, đồng thời gắn việc dạy – học toán với vấn đề giáo dục kỹ thuật tổng hợp và hướng nghiệp. Khi tính toán các phép tính đối với đa thức, nhiều khi cần thiết phải biến đổi đa thức đó trở thành một tích như: rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồng mẫu thức các phân thức, biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất…Vì vậy việc phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng trong chương trình đại số lớp 8. Xuất phát từ những yêu cầu này, tôi mới nghiên cứu đề tài về giải pháp giải toán “ Phân tích đa thức thành nhân tử ”, nhằm nâng cao sự ham thích môn toán ở THCS, những kiến thức, phương pháp và kỹ năng cần thiết để giải các bài toán đại số. Trên cơ sở đó học sinh được hiểu biết sâu sắc hơn về môn đại số trong trường phổ thông, mặt khác có khả năng vận dụng và bổ sung kiến thức cho những bộ môn khác. Tôi không đưa ra tất cả các giải pháp về môn đại số mà chỉ chọn ra một vấn đề để nhằm giúp học sinh vừa củng cố những kiến thức cơ bản và nâng cao cho học sinh những kiểu tư duy hay những kỹ năng khác. Mục tiêu của đề tài này, tôi muốn đưa ra những ưu điểm và khuyết điểm (sai phạm) trong khi giải toán của học sinh, để học sinh nắm được chìa khoá của từng phương pháp, những biến đổi, phân tích, chứng minh hay tính toán đơn giản trong các bài giải được dành cho các học sinh tự luyện tập. Hy vọng rằng các giải pháp như vậy sẽ giúp cho học sinh phát triển được năng lực độc lập suy nghĩ và tìm tòi, nhờ đó mà xây dựng được khả năng tự học và nghiên cứu. Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy kiến thức về “ Biểu thức đại số” nói chung và kiến thức “ Phân tích đa thức thành nhân tử” nói riêng chiếm vị trí quan trọng trong chương trình Toán THCS, nó là tiền đề cho học sinh tiếp nhận những kiến thức tiếp theo. Mặt khác, phần kiến thức “ Phân tích đa thức thành nhân tử” là phần kiến thức tương đối khó nên bằng suy nghĩ của mình gắn liền với thực tiễn giảng dạy tôi xin mạnh dạn đưa ra một số giải pháp để học sinh tiếp thu kiến thức “ Phân tích đa thức thành nhân tử” đạt hiệu quả cao nhất. 2/.Đối tượng nghiên cứu: -Nắm lại tình hình chất lượng môn Toán lớp mình dạy trong năm học trước, theo dõi kết quả học tập của các em ở đầu năm học mới, giữa học kì I, kết quả học kì I . -Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 3 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN -Thông qua dự giờ, rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. -Triển khai nội dung đề tài và kiểm tra, đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm học đến kết quả học kì một. -Học sinh khối 8 trường THCS Thị Trấn. -Các phương pháp dạy học theo hướng đổi mới 3/.Phạm vi nghiên cứu: Tất cả học sinh khối 8 của trường THCS Thị Trấn Châu Thành nhưng đặc biệt là học sinh của lớp 8A2 , 8A5 trường THCS Thị Trấn. 4/.Phương pháp nghiên cứu: -Nghiên cứu tài liệu, sách tham khảo -Thông qua các tiết dạy trực tiếp trên lớp. -Thông qua dự giờ rút kinh nghiệm từ đồng nghiệp. -Hệ thống lý thuyết của từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, chốt lại các vấn đề cần lưu ý, đưa ra ví dụ đã được chọn lọc từ dễ đến khó, từ đơn giản đến phức tạp. -Triển khai nội dung đề tài, kiểm tra và đối chiếu kết quả học tập của học sinh từ đầu năm đến cuối học kì I. -Giả thiết khoa học đặt ra: Học sinh nắm chắc các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử, áp dụng làm tốt các dạng toán từ đơn giản đến phức tạp. Bên cạnh đó, học sinh có thể vận dụng kiến thức phân tích đa thức thành nhân tử để vận dụng giải các dạng toán khác(tính giá trị của biểu thức, giải phương trình tích…). Thông qua việc giải bài tập sẽ hình thành cho học sinh kĩ năng phân tích, kĩ năng quan sát, phán đoán, rèn tính cẩn thận, linh hoạt. B/.NỘI DUNG 1/.Cơ sở lý luận: Luật giáo dục 2005 (chương I, điều 3) có qui định “ học đi đôi với hành, giáo dục kết hợp với lao động sản xuất, lí luận gắn liền với thực tiễn, giáo dục nhà truờng kết hợp với giáo dục gia đình và xã hội”. Vì vậy, ngoài việc nắm vững lý thuyết trên lớp học sinh còn phải vận dụng lý thuyết đó một cách hợp lý, khoa học để giải bài tập.Bài tập Toán nhằm hình thành cho học sinh thế giới quan duy vật biện chứng, hứng thú học tập, có niềm tin, phẩm chất đạo đức của người lao động. Bài tập toán nhằm phát triển năng lực tư duy của học sinh đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất tư duy sáng tạo. Bài tập Toán nhằm đánh giá mức độ kết quả dạy và học, đánh giá khả năng độc lập và trình độ phát triển của học sinh. Dạy Toán, học Toán là quá trình tư duy liên tục, cho nên việc nghiên cứu, tìm tòi, đúc kết kinh nghiệm của người dạy Toán và học Toán là không thể thiếu được. Trong đó, việc chuyển tải kinh nghiệm để dạy tốt là điều trăn trở của nhiều giáo viên. Việc truyền thụ kiến thức sẽ trở nên hấp dẫn học sinh hơn nếu giáo viên hiểu ý đồ của sách giáo khoa, giúp học sinh nắm kiến thức một cách hệ thống, dẫn dắt học sinh đi từ điều đã biết đến điều chưa biết. Bên cạnh đó, việc khai thác, mở rộng kiến thức cũng giúp học sinh say mê học Toán, phát huy khả năng tư duy sáng tạo của học sinh. Chính suy nghĩ trên, bản thân tôi đã tìm tòi, sưu tập và hệ thống kiến thức, giúp học sinh tiếp thu các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử một cách nhẹ nhàng, sảng khoái. Trên bục giảng, ở mỗi tiết dạy, để tạo hứng thú cho học sinh, người giáo viên phải luôn tạo ra tình huống có vấn đề để học sinh so sánh, chọn lọc. Từ đó rút ra những kiến thức cần nhớ. 2/.Cơ sở thực tiễn: 2.1 Thực trạng giáo viên : 2.1.1 Thuận lợi : Hầu hết tất cả các giáo viên đều được đào tạo chính quy trong các trường CĐSP, ĐHSP nên có được nền tảng kiến thức, phương pháp giảng dạy vững chắc. GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 4 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN Được tham gia tập huấn chương trình thay sách với đặc thù bộ môn, tham gia lớp bồi dưỡng thường xuyên do Sở giáo dục tổ chức, được dự các chuyên đề thường xuyên để nâng cao kinh nghiệm và kiến thức. 2.1.2 Khó khăn : Do đây là năm đầu tiên dạy chương trình lớp 8 nên tôi chưa có nhiều kinh nghiệm và việc nghiên cứu đề tài này cũng gặp khó khăn không ít. 2.2 Thực trạng học sinh : 2.2.1 Thuận lợi : Học sinh lớp 8 khi học phân tích đa thức thành nhân tử là đã được học qua nghiệm đa thức, hằng đẳng thức đáng nhớ… Học sinh ở lứa tuổi thiếu niên, ở lứa tuổi này các em rất thích tìm tòi và khám phá những kiến thức khoa học tự nhiên, chúng ta phải biết tận dụng đặc điểm này để kích thích các em có hứng thú học tập, tạo cho các em có khả năng học tập chủ động, sáng tạo. Do sự bùng nổ của khoa học – kỹ thuật và công nghệ thông tin nên việc tham khảo, tra cứu, trao đổi kiến thức của học sinh cũng thuận tiện hơn. 2.2.2 Khó khăn : Phân tích đa thức thành nhân tử là một kiến thức quan trọng trong chương trình Toán 8, cũng là một trong những kiến thức khá khó đối với học sinh ở địa phương tôi giảng dạy. Thực tế bản thân tôi cảm thấy còn nhiều trăn trở, học sinh còn gặp nhiều khó khăn trong việc vận dụng kiến thức để giải loại toán này. Do sự đổi mới phương pháp và đổi mới nội dung SGK cũng ảnh hưởng đến việc tiếp thu kiến thức của học sinh. Phương pháp học tập ở nhà của học sinh chưa hợp lý nên cũng ảnh hưởng không nhỏ đến vấn đề tiếp thu bài của học sinh. Khả năng vận dụng kiến thức đã học vào bài tập chưa đồng đều, chủ yếu mới dừng lại ở cấp độ nhận biết và thông hiểu. Một số học sinh chưa có ý thức về việc học tập, chưa biết được sự quan trọng của việc học tập của bản thân mình. Việc nghiên cứu giải pháp “Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử” giúp học sinh lớp 8 giải quyết tốt các bài toán chứng minh đẳng thức, quy đồng mẫu thức, giải các phương trình… 3/.Nội dung vấn đề: Để giải pháp có hiệu quả đương nhiên là tùy thuộc vào hai yếu tố : dạy của thầy và học của trò, một yếu tố nữa là sự ôn lại kiến thức đã học của học sinh, chẳng hạn : tính chất phân phối của phép nhân đối với phép cộng, những hằng đẳng thức đáng nhớ… Tuy nhiên, tôi chỉ đưa ra một số giải pháp để làm sao phát huy hết tính tích cực, chủ động, sáng tạo của học sinh khi học về phần “ Phân tích đa thức thành nhân tử” . Phép biến đổi một “Biểu thức đại số” về dạng tích là phép phân tích đa thức đó thành nhân tử, để nắm vững các phép phân tích đó ta có những phương pháp sau. Trước khi đi vào từng phương pháp này giáo viên nên giới thiệu cho học sinh biết thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử. Phân tích đa thức thành nhân tử (hay thành thừa số) là phép biến đổi một đa thức cho trước thành tích của những đơn thức hoặc đa thức. Ví dụ : x 2 – y 2 = (x – y)(x + y) x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) Có nhiều phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử. Dưới đây là một số phương pháp thường dùng để phân tích một đa thức thành nhân tử. 3.1 Đặt vấn đề: GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 5 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN Cho x và y là hai số khác nhau thỏa điều kiện: 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 0. Chứng minh rằng: x = 10y Để chứng minh x = 10y, ta phải chứng minh x – 10y = 0 hoặc –x + 10y = 0. Muốn vậy ta phải phân tích 9x(x – y) – 10(y – x) 2 thành nhân tử trong đó phải có chứa nhân tử x – 10y. Ta có : 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) – 10 (x –y) 2 = (x – y)[9x – 10(x – y)] = (x – y)( – x + 10y) Theo đề x khác y nên –x + 10y = 0 hay x = 10y Như vậy phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều ứng dụng để tính giá trị của biểu thức, chứng minh tính chia hết hoặc như trong ví dụ trên để tìm mối quan hệ giữa các biến . Một số kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử sẽ giải quyết các vấn đề trên. 3.2 Các giải pháp thực hiện: Phân tích đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đó thành một tích của những đa thức. Các phương pháp thông thường được sách giáo khoa Toán 8 trình bày là : 3.2.1. Phương pháp đặt nhân tử chung : AB + AC – AD = A(B + C – D) Ví dụ minh họa: -Khi hướng dẫn học sinh phương pháp này, giáo viên cần hướng dẫn học sinh hình thành từ từ bằng số. Ví dụ: 15.3 + 10.2 – 5.7 GV: Cho HS phân tích các thừa số có mặt trong biểu thức thành tích các thừa số nguyên tố. HS: 15.3 + 10.2 – 5.7 = 5 . 3 . 3 + 5 . 2 . 2 – 5 . 7 GV: Trong biểu thức trên có thừa số nào chung không? HS: Có thừa số 5 GV: Gọi HS áp dụng tính chất phân phối của phép nhân đối phép cộng để thực hiện đưa nhân tử chung ra ngoài ngoặc HS: 15.3 + 10.2 – 5.7 = 5 . 3 . 3 + 5 . 2 . 2 – 5 . 7 = 5 . 9 + 5 . 4 – 5 . 7 = 5 ( 9 + 4 – 7 ) GV: Nếu thay 5 bởi x, 9 bởi y, 4 bởi z thì ta có điều gì? HS: xy + xz – 7x = x( y + z – 7 ) GV: Cách thực hiện như trên gọi là phân tích đa thức thành nhân tử bằng phương pháp đặt nhân tử chung GV: Cho HS áp dụng làm các bài tập Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/. 9x 3 + 2x 2 – 4x b/. 12x 5 – 9x 4 + 3x 2 Giải a/. 9x 3 + 2x 2 – 4x = x(9x 2 + 2x – 4) b/. 12x 5 – 9x 4 + 3x 2 = 3x 2 (4x 3 – 3x 2 + 1) Đối với phương pháp này thì học sinh thường mắc sai lầm là chỉ thấy các nhân tử chung là biến số còn phần hệ số thì khó nhận ra Ví dụ: Khi phân tích đa thức 9x 3 – 6xy + 12x 2 thành nhân tử thì thường học sinh làm như sau: GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 6 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN 9x 3 y 2 – 6x 2 y + 12x 2 y 3 = x 2 y ( 9xy – 6 + 12y 2 ) Vì vậy, khi dạy phương pháp này giáo viên cần lưu ý học sinh thực hiện theo các bước sau: Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất của các hệ số. Bước 2: Tìm các nhân tử chung của biến. Đối với phương pháp này, tuy dễ nhưng giáo viên phải hướng dẫn học sinh thực hiện thật tốt. Vì đây là phương pháp xuyên suốt quá trình phân tích đa thức thành nhân tử. Khi HS nắm vững cách thực hiện các bài tập cơ bản, GV cho HS xét các ví dụ phức tạp hơn Ví dụ minh họa: GV nên hỏi : Hãy quan sát ví dụ, đa thức trên đã có nhân tử chung hay chưa? Làm thế nào để có nhân tử chung ? HS: Đa thức trên chưa có nhân tử chung GV: Đa thức trên có gì đặc biệt HS: Có x – y và y – x GV: Vậy ta có thể biến đổi y – x thành x – y được không? HS: Có y – x = –[– (y –x) ] = –(– y + x) = – ( x – y ) GV: Tương tự như vậy ta có biến đổi x – y thành y – x được không? HS: Làm tương tự Sau khi giải xong ví dụ này GV nhấn mạnh : Nhiều đa thức ban đầu chưa có nhân tử chung, để có nhân tử chung đôi khi ta phải đổi dấu của các hạng tử đó (lưu ý tới tính chất A = – (–A) ). Phân tích đa thức thành nhân tử ? ( ) ( ) 2 4 16x y y x- - - Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) 2 2 2 4 16 4 16 4 16 4 4 4 4 x y y x x y x y x y x y x y x y x y x y é ù - - - = - - - - ë û = - + - = - - + = - - + Ví dụ minh họa. GV cho học sinh thảo luận nhóm, rồi chỉ ra chỗ sai lầm mà nhiều HS mắc phải. Đừng mắc sai lầm khi biến đổi : 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) + 10(x – y) 2 (!) Sai lầm ở chỗ nào? Sai ở chỗ đã đổi dấu ba nhân tử của tích. Ta đã biết tích không đổi khi ta đổi dấu hai nhân tử ( tổng quát, số chẵn nhân tử). Vì thế. (y – x) 2 = (x – y) 2 và 9x(x – y) – 10(y – x) 2 = 9x(x – y) –10(x – y) 2 Lúc đó xuất hiện nhân tử chung là x – y. Phân tích đa thức 8x 2 (x – y) – 10(y – x) 2 thành nhân tử ? Giải ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 8x 10 8x 10 2 4 5 2 4 5 5 x y y x x y x y x y x x y x y x x y - - - = - + - é ù = - + - ê ú ë û = - + - Sau khi HS nắm được phương pháp và rút ra được những sai phạm đã mắc phải GV cho HS làm một số ví dụ tương tự. Ví dụ minh họa: GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 7 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN GV: Khi dạy phần này cần lấy ví dụ cụ thể cho HS 2 3 = 2 . 2 . 2 = 8 (–2) 3 = (–2)( –2)( –2) = –8 Từ đó rút ra bài học kinh nghiệm: Lũy thừa chẵn của một số âm là một số dương Lũy thừa lẻ của một số âm là một số âm GV lưu ý cho HS rằng : (y – x) 3 = – (x – y) 3 và x n + 2 = x n . x 2 Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/. 21(x – y) 2 – 7(y – x) 3 b/. x n + 2 - x n Giải a/. 21(x – y) 2 – 7(y – x) 3 = 21(x – y) 2 + 7(x –y) 3 = 7 (x – y) 2 (3 + x – y ) b/. x n + 2 – x n = x n . x 2 – x n = x n (x 2 – 1) = x n (x – 1) (x + 1) 3.2.2. Phương pháp dùng hằng đẳng thức: A 2 ± 2AB + B 2 = (A ± B) 2 A 3 ± 3A 2 B + 3AB 2 ± B 3 = (A ± B) 3 A 2 – B 2 = (A – B)(A + B) A 3 – B 3 = (A – B)(A 2 + AB + B 2 ) A 3 + B 3 = (A + B)(A 2 – AB + B 2 ) Qua những năm giảng dạy tôi nhận thấy hầu hết học sinh không nhận thấy đa thức có dạng hằng đẳng thức nên còn lúng túng khi phân tích. Vì vậy, khi dạy bài những hằng đẳng thức đáng nhớ giáo viên phải chỉ cho HS cách để nhớ và ghi nhanh hằng đẳng thức. GV cho học sinh làm một số ví dụ đơn giản để nắm vững phương pháp dùng hằng đẳng thức. Ví dụ minh họa: Ví dụ 1. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/. 4x 2 + 4x + 1 b/. 9x 2 – 1 Trước khi làm bài toán này GV cho HS nhận dạng bài toán xem phải áp dụng hằng đẳng thức nào? GV nên cho HS phân tích các hạng tử để cho đa thức giống hằng đẳng thức. Chẳng hạn : a/. 4x 2 + 4x + 1 = (2x) 2 + 2.2x.1 + 1 2 = (2x + 1) 2 b/. 9x 2 – 1 = (3x) 2 – 1 2 = (3x – 1)(3x + 1) Qua ví dụ 1, nếu ta thấy HS đã nắm được cách giải thì có thể cho HS làm những bài toán có mức độ cao hơn. Ví dụ 2. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/. x 4 y 4 – z 4 b/. x 2 + 2x + 1 – y 2 + 2y – 1. c/. 1 + 125x 3 y 6 Mục đích của ví dụ này tôi muốn HS nhận dạng và áp dụng hằng đẳng thức nào, HS sử dụng nhiều lần hằng đẳng thức để phân tích tiếp. Lời giải minh hoạ : a/. x 4 y 4 – z 4 = (x 2 y 2 ) 2 – (z 2 ) 2 = (x 2 y 2 + z 2 )( x 2 y 2 – z 2 ) = (x 2 y 2 + z 2 )(xy – z)(xy + z) b/. x 2 + 2x + 1 – y 2 + 2y – 1 = (x 2 + 2x + 1) – (y 2 – 2y + 1) = (x +1) 2 – (y – 1) 2 = (x + y)(x – y + 2) c/. 1 + 125x 3 y 6 = 1 3 + (5xy 2 ) 3 = (1 + 5xy 2 )[1 2 – 1.(5xy 2 ) + (5xy 2 ) 2 ] = (1 + 5xy 2 )(1 – 5xy 2 + 25x 2 y 4 ) (GV lưu ý cho HS về dấu khi bỏ dấu ngoặc hoặc sử dụng dấu ngoặc) GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 8 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN 3.2.3. Phương pháp nhóm hạng tử: AC – AD + BC – BD = AC – AD + BC – BD = A(C – D) + B(C – D) = (C – D)(A + B) GV cho HS nhận xét hạng tử AC và AD có gì đặc biệt? (HS trả lời có A là nhân tử chung) GV: vậy muốn nhóm hai hay nhiều hạng tử với nhau thì trước hết chúng phải có điều kiện gì? (HS: chúng có nhân tử chung) Ví dụ : GV:cho HS suy nghĩ, thực hiện nhóm các hạng tử bằng cách nào là thích hợp và có mấy cách nhóm có thể phân tích được. GV: cho HS nhận xét xem có bao nhiêu hạng tử có nhân tử chung HS: xy và 2x có nhân tử chung là x 5y và 10 có nhân tử chung là 5 xy và 5y có nhân tử chung là y 2x và 10 có nhân tử chung là 2 GV: vậy bài tập này có mấy cách thực hiện? HS: Đối với đa thức này có 2 cách thực hiện GV: cho hai HS lên bảng làm, mỗi HS làm một cách và cho các HS khác so sánh kết quả. Bài tập: Phân tích đa thức xy + 2x + 5y + 10 thành nhân tử. HS1: Cách 1. Nhóm hai hạng tử đầu và hai hạng tử cuối lại với nhau, ta có : xy + 2x + 5y + 10 = (xy + 2x) + (5y + 10) = x(y + 2) + 5(y + 2) = (y + 2)(x + 5 HS2: Cách 2. Có thể nhóm hạng tử một với hạng tử ba, hạng tử hai với hạng tử cuối, ta có : xy + 2x + 5y + 10 = (xy + 5y) + (2x + 10) = y(x + 5) + 2(x + 5) = (x + 5)(y + 2) GV rèn luyện cho HS biết nhóm các hạng tử một cách thích hợp để phân tích đa thức thành nhân tử. GV lưu ý cho HS cụm từ “thích hợp” mang ý nghĩa : - Mỗi nhóm có thể phân tích được. - Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích phải tiếp tục được. GV cho HS làm một vài ví dụ để làm quen Phân tích đa thức x 2 + 6x + 9 – y 2 thành nhân tử. GV cho HS tìm cách giải rồi cho một HS lên bảng làm. GV lưu ý HS rằng nếu ta nhóm thành các nhóm như sau : x 2 + 6x + 9 – y 2 = (x 2 + 6x) +( 9 – y 2 ) = x(x + 6) + (3 – y)(3 + y) (!) thì việc phân tích tiếp là không thực hiện được. Như vậy, ta phải thực hiện nhóm bằng cách nào là phù hợp. GV nhấn mạnh : Nhiều đa thức nếu ta nhóm hai thì không thể phân tích tiếp được mà phải nhóm nhiều hơn hai hạng tử thì mới phân tích được. Chẳng hạn, ở ví dụ trên : x 2 + 6x + 9 – y 2 = (x 2 + 6x + 9) – y 2 = (x + 3) 2 – y 2 = (x + 3 + y)(x + 3 – y) Qua những bài toán trên, từ đó HS thấy được nếu nhóm thích hợp các hạng tử thì phân tích được, nếu nhóm không thích hợp thì có thể sẽ không phân tích tiếp được. Khi HS đã nắm vững các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử thì HS có thể tự học, tự làm các bài toán phân tích đa thức thành nhân tử khó và phức tạp hơn. GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 9 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TOÁN 3.2.4. Phối hợp nhiều phương pháp : Đối với phần này HS cần biết phối hợp các phương pháp phân tích đã học vào giải loại toán phân tích đa thức thành nhân tử. Vì vậy GV cần lưu ý cho HS nêu nhận xét các đa thức và tìm hướng giải thích hợp trước khi giải. Khi phân tích đa thức thành nhân tử theo phương pháp này, GV hướng HS vào việc trả lời 3 câu hỏi sau: + Đa thức có nhân tử nào chung không? + Đa thức có dạng hằng đẳng thức nào không? + Có thể nhóm những hạng tử để xuất hiện nhân tử chung hoặc dạng hằng đẳng thức không? Ví dụ minh họa:. GV: Đa thức trên có nhân tử chung không? HS: Có nhân tử chung là x GV: Đa thức 4x 3 + 4x 2 – x – 1 có dạng hằng đẳng thức không? HS: Không GV: Vậy nhóm hạng tử như thế nào? HS: 4x 3 + 4x 2 – x – 1 = (4x 3 + 4x 2 ) – (x + 1) = (x + 1)(4x 2 – 1) GV: 4x 2 – 1 có dạng gì? HS: Hằng đẳng thức a 2 – b 2 GV: Cho HS trả lời các câu hỏi để làm câu b. GV: Lưu ý cho HS sau mỗi bước phải kiểm tra xem từng ngoặc có là nhân tử chưa, nếu chưa thì ta tiếp tục phân tích tiếp. Phân tích các đa thức sau thành nhân tử : a/. 4x 4 + 4x 3 – x 2 – x b/. (xy + 4) 2 – 4(x + y) 2 Giải a/. 4x 4 + 4x 3 – x 2 – x = x(4x 3 + 4x 2 – x – 1) (Đặt nhân tử chung) = x[(4x 3 + 4x 2 ) – (x + 1)] ( Nhóm các hạng tử) = x[4x 2 (x + 1) – (x + 1)] (Đặt nhân tử chung) = x[(x + 1)(4x 2 – 1)] (Đặt nhân tử chung) = x(x +1)(2x + 1)(2x – 1)( Dùng hằng đẳng thức) b/. (xy + 4) 2 – 4(x + y) 2 = (xy + 4) 2 – [2(x + y)] 2 = [(xy + 4) + 2(x + y)] [(xy + 4) - 2(x + y)] ( Dùng hằng đẳng thức) = (xy + 2x + 2y + 4)(xy – 2x – 2y + 4) Ngoài các phương pháp thông thường trên còn có những phương pháp khác để phân tích đa thức thành nhân tử như sau: 3.2.5. Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử. Đối với phương pháp này có hai cách tách cơ bản: Một là tách hạng tử bậc nhất thành hai hạng tử Hai là tách hạng tử tự do thành hai hạng tử Ví dụ 1 : Phân tích đa thức A thành nhân tử : x 3 – 7x – 6 Đối với loại toán này, GV cho HS sử dụng các cách trên để thử phân tích đa thức thành nhân tử. Nếu không thực hiện được GV mới cho HS nhận xét về hệ số của các lũy thừa. HS: –7 = –1 + (–6) GV: Vậy –7x tôi có thể tách thành – x – 6x được không? Khi đó: x 3 – 7x – 6 = x 3 – x – 6x – 6 GV: Cho HS nhận xét đa thức có gì đặc biệt và sử dụng phương pháp nào? HS: Phương pháp nhóm hạng tử. Giải x 3 – 7x – 6 = x 3 – x – 6x – 6 = (x 3 – x) – 6(x + 1) GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 10 [...]... kiến kinh nghiệm “Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử ” tơi nhận thấy kết quả học tập của học sinh có sự chuyển biến theo chiều hướng tốt Cụ thể là : Lớp 8A5 TSHS Giỏi SL % 10,3 4 Khá SL 7 % 17,9 Trung bình SL % 56,4 22 Yếu SL 5 % 12,8 Đầu năm 39 Giữa HKI 39 6 15,4 10 25,6 18 46,2 4 10,3 HKI 39 6 15,4 14 35,9 14 35,9 4 10,3 Kém SL % 2, 1 6 2, 1 6 2, 1 6 C/ KẾT LUẬN 1/ .Bài học kinh. .. LUẬN 1/ .Bài học kinh nghiệm: GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 15 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN Ưu điểm: Sáng kiến kinh nghiệm “ Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử”, tơi nhận thấy học sinh nắm vững kiến thức phân tích, vận dụng chúng vào việc quy đồng mẫu thức, rút gọn phân thức, giải phương trình tích Qua đó rèn luyện tư duy sáng tạo, linh hoạt đối với những bài tập phù hợp kiến thức... mơn +Khi giảng dạy, giáo viên cố gắng lựa chọn các bài tập có nội dung lồng ghép kiến thức để kích thích tính tò mò, muốn khám phá những điều chưa biết trong chương trình Tốn 8 Sau khi thực hiện đề tài “Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử” tơi nhận thấy học sinh hứng thú học, tiếp thu tốt, kết quả học sinh học tốt hơn Khơng những học sinh lĩnh hội kiến thức phân tích đa thức thành. .. thức thành nhân tử, tơi nhận thấy còn chưa đủ đối với các dạng tốn khó và việc vận dụng phân tích đa thức thành nhân tử Cho nên, đây là vấn đề hết sức thú vị mà tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu sâu hơn trong năm học tới Với năng lực còn hạn chế trong việc nghiên cứu và đầu tư, hạn chế về thời gian khi thực hiện giải pháp này, tơi chỉ ghi lại những kinh nghiệm của bản thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham... là nghiệm của đa thức f(x) thì f(a) = 0 Vì vậy, nếu f(x) có chứa thừa số (x – a) thì a phải là nghiệm của đa thức Ta thường dự đốn nghiệm của đa thức là các ước của hạng tử tự do Đặc biệt: Nếu đa thức f(x) có tổng các hệ số của lũy thừa bậc chẵn bằng tổng các hệ số của lũy thừa bậc lẻ thì f(x) chứa một thừa số là (x + 1) hay f(x) có nghiệm là x = – 1 Ví dụ: Phân tích f(x) = x3 + 9x2 + 11x – 21 thành. .. luyện tập cho học sinh Phân tích đa thức thành nhân tử là một vấn đề khó, nếu ta nghiên cứu sâu hơn đối với đa thức bậc cao, đa thức nhiều biến Do đó, giáo viên còn phải tiếp tục nghiên cứu, đó là một phần hạn chế mà đề tài chưa đề cập đến 2/.Hướng phổ biến áp dụng đề tài: Tuy có những hạn chế nhưng nhìn chung giải pháp “Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử” trang bị cho học sinh kiến... thân, những vấn đề tiếp thu được khi tham khảo sách nên việc trình bày sáng kiến kinh nghiệm của tơi khơng tránh khỏi những sai sót nhất định Rất mong sự góp ý chân thành của Hội đồng khoa học các cấp Thị Trấn, ngày 3 tháng 3 năm 2009 Người thực hiện HUỲNH THỊ TIÊN NỘI DUNG M Ụ C L Ụ C TRANG Bản tóm tắt sáng kiến kinh nghiệm 1 GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 16 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN A/.MỞ... 2x – 6x Ta thấy (– 2).( –6) = 12 Trong khi đó tích các hệ số đầu và cuối là 4.3 = 12 Hai tích này đúng bằng nhau Một cách tổng qt, để phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử, ta tách hạng tử bậc nhất bx thành b1x + b2x sao cho b1.b2 = ac sau đó đặt nhân tử chung theo từng nhóm GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 11 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN 2 Như vậy, khi phân tích tam thức bậc hai ax + bx... + 1)[x(x – 1) – 6] = (x + 1)(x2 – x – 6) 2 Để phân tích x – x – 6 thành nhân tử, ta lại tách số hạng – 6 thành – 2 – 4 Khi đó: x3 – 7x – 6= (x + 1) (x2 – x – 2 – 4) = (x + 1) (x2 – 4– x – 2) = (x + 1)[(x2 – 4) – (x + 2)] = (x + 1)[(x – 2)(x + 2) – (x + 2)] = (x + 1)(x + 2)(x – 2 – 1) = (x + 1)(x + 2)(x – 3) Cách 2: Tách hạng tử –7x thành – 4x – 3x, ta có: x3 – 7x – 6 = x3 – 4x – 3x – 6 = (x3 – 4x)... phương thì mới làm tiếp bài tốn được GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 12 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN Ví dụ 2: (Bài 43d trang 20 / SGK) Phân tích đa thức Q = 1 2 x − 64 y 2 25 2 1  1  1  =  x  − (8 y ) 2 =  x − 8 y  x + 8 y  5  5  5  3.2.6.2 Đa thức có dạng như: a3k+2 + a3k + 11, a7 + a5 +1, a8 + a4 +1 vv… Đối với những đa thức như trên khi chúng ta muốn phân tích đa thức thành nhân tử thì . LUẬN 1/ .Bài học kinh nghiệm: GV: HUỲNH THỊ TIÊN Trang 15 TRƯỜNG THCS THỊ TRẤN TỔ TỐN Ưu điểm : Sáng kiến kinh nghiệm “ Những kinh nghiệm khi dạy. trình tìm hiểu, nghiên cứu và áp dụng sáng kiến kinh nghiệm “Những kinh nghiệm khi dạy phân tích đa thức thành nhân tử ” tơi nhận thấy kết quả học tập của