ÔN TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN,CHIA HẾT. 1) Chứng minh rằng :[r]
(1)ƠN TẬP SỐ CHÍNH PHƯƠNG, PHƯƠNG TRÌNH NGHIỆM NGUYÊN,CHIA HẾT
1) Chứng minh :
là số nguyên Bài tập nhà:
( Tìm tất số tự nhiên có chữ số cho :
với n số nguyên lớn hn ) Bài toán 4.
Chứng minh số có tổng chữ số 2006 số phơng LG.
- õy ta khơng gặp trờng hợp nh tốn nên ta phải nghĩ đến phơng pháp khác. Ta thấy chắn số chia cho d nên ta có lời giải sau:
- Vì số chíng phơng chia cho d mà thơi ( kết tốn mà ta dễ dàng chứng minh đợc).
- Do tổng chữ số số 2006 nên số chia cho d Nên số khụng phi l s chớnh phng.
VD: Bài toán 7.
Chøng minh sè: n = 44 + 444 + 4444 + 44444 + 15 không số ph¬ng.
NhËn xÐt:
- Nếu chia n cho số d Vậy không giải đợc theo cách toán 3,4,5,6.
- Nếu xét chữ số tận ta thấy chữ số tận n nên không giải đợc theo cách
của toán 1,2.
Vậy ta phải dựa vào nhận xét sau (ta cm):
Một số phơng chia cho số d Lúc ta giải đợc tốn này.
Bài toán
Chứng minh số 4014025 số phơng Nhận xét:
Số có hai chữ số tận 25 nên chia cho d vµ chia cho cịng d 1, nên áp dụng cách
LG
Ta thÊy: 20032 = 401209; 20042= 4016016 Nªn 20032< 4014025 < 20042 Chứng tỏ số 4014025 không
phải số phơng Bài toán 9.
Chứng minh:
A = n(n+1)(n +2)(n+3) không số phơng víi mäi nN, n0
Nhận xét: Nếu quen dạng ta thấy A+1 phải số phơng ( tốn lớp 8) nhng lớp 6,7 giải theo cách sau
LG
Ta cã: A+1 = n(n + 1)(n +2)(n + 3) + = (n2 + 3n)(n2 + 3n + 2) + 1
= (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) + 1
(2)MỈt kh¸c (n2 + 3n)2 < (n2 + 3n)2 + 2(n2 + 3n) = A
Điều hiển nhiên vì: n > Chứng tỏ
(n2 + 3n)2 < A < A+1= (n2+3n +1)2 Suy A số phơng.
Ví dụ 3: Chøng minh r»ng nÕu n3 th× 32n3n 1 13
Giải:
Vì n3 nên n = 3k + hc n = 3k + 1) NÕu n = 3k + th×
2
3 n 3n 3k 3k 9.27 k 3.27k 0(mod13)
V× 27 1(mod13)
2) NÕu n = 3k + th× 32n 3n 1 36k4 33k2 1 81.272k 9.27k 1 81 19 mod13)
VËy n3 th× 32n 3n 13
VÝ dô 4: Chøng minh r»ng
a) tìm đợc số có dạng 19911991 19910 chia hết cho 1992
b) Trong số tự nhiên số có chữ số, chọn đợc số mà viết liền ta đợc số có chữ số chia hết cho
Gi¶i:
a) LÊy 1992 sè 1991; 19911991 ; ;
1992 1991
1991 1991 so
chia cho 1992 Vì dãy số lẻ nên khơng có số chia hết cho 1992, d phép chia số cho 1992 thể 1; 2; ; 1991 Vậy phải có số có d chia cho 1992, hiệu số có dạng 19911991 19910 chia hết cho 1992
b) Lấy số cho chia cho có số có số d, giả sử abc def chia cho có số d r Khi : abcdef 1000abc def
=1000(7k r ) 7 l r
=7(1000k 1 143 ) 7r (®pcm) a) DÊu hiƯu chia hÕt cho 11:
Cho A a a a a a a5 0
A11 a0a2a4 a1a3a5 11 Ví dụ Tìm chữ số x, y để N 7 36 1375x y
Gi¶i: Ta cã: 1375 = 11.125
125 125
7 3625 11 12 11
N y y
N x x x x
B i 4à : Cho dãy số 49; 4489; 444889; 44448889; …
Dãy số được xây dựng cách thêm số 48 v o già ữa sốđứng trước Chứng minh tất số dãy đều l sà ố phương.
Ta có 44…488…89 = 44…488 + = 44…4 10n + 11…1 + 1
n chữ số n-1 chữ số n chữ số n chữ số n chữ số n chữ số
=
9 10n
10n +
9 10n
+ =
9
9 10 10 10
4
n n
n
=
9
1 10 10
4
n
n
=
3 10
2 n
Ta thấy 2.10n +1=200…01 có tổng chữ số chia hết chia hết cho
(3)n-1 chữ số
3 10
2 n
Z hay số có dạng 44…488…89 l sà ố phương
Bài1: Tìm số tự nhiên n cho số sau số phương: a n2 + 2n + 12 b n ( n+3 )
c 13n + d n2 + n + 1589
Giải
a Vì n2 + 2n + 12là số phương nên đặt n2 + 2n + 12 = k2 (k N)
(n2 + 2n + 1) + 11 = k2 k2 – (n+1)2 = 11 (k+n+1)(k-n-1) = 11
Nhận xét thấy k+n+1 > k-n-1 chúng số nguyên dương, nên ta viết (k+n+1)(k-n-1) = 11.1 k+n+1 = 11 k = 6
k – n - = n =
b Đặt n(n+3) = a2 (n N) n2 + 3n = a2 4n2 + 12n = 4a2 (4n2 + 12n + 9) – = 4a2 (2n + 3)2 - 4a2 = 9
(2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9
Nhận xét thấy 2n + + 2a > 2n + – 2a chúng số nguyên dương, nên ta viết (2n + + 2a)(2n + – 2a) = 9.1 2n + + 2a = n = 1
2n + – 2a = a = c Đặt 13n + = y2 ( y N) 13(n – 1) = y2 – 16
13(n – 1) = (y + 4)(y – 4)
(y + 4)(y – 4) 13 mà 13 số nguyên tố nên y + 13 y – 13 y = 13k (Với k N)
13(n – 1) = (13k )2 – 16 = 13k.(13k 8)
n = 13k2 8k + 1
Vậy n = 13k2 8k + (Với k N) 13n + số phương.
a Đặt n2 + n + 1589 = m2 (m N) (4n2 + 1)2 + 6355 = 4m2
(2m + 2n +1)(2m – 2n -1) = 6355
Nhận xét thấy 2m + 2n +1> 2m – 2n -1 > chúng số lẻ, nên ta viết (2m + 2n +1) (2m – 2n -1) = 6355.1 = 1271.5 = 205.31 = 155.41
Suy n có giá trị sau: 1588; 316; 43; 28
Ví dụ 1: Tìm nghiệm nguyên dơng phơng trình: 2(x y ) 16 xy Giải:
Ta cã: 2(x y ) 16 3 xy 3xy 2x 2y16
2
(3 2) (3 2) 16 (3 2)(3 2) 52
3
y x x x y
(4)Giả sử:x y 3 x 3 y 52 = 1.52 = 2.26 = 4.13 ta có hệ sau:
; 52
x y
3 2
; 26
x y
3
; 13
x y
Giải hệ ta đợc nghiệm nguyên dơng phơng trình là: ( 1, 18); ( 18, 1); ( 2, 5); ( 5, 2);
VÝ dô 1: Tìm nghiệm nguyên phơng trình: x y z xyz (1)
Giải:
Vì x, y ,z có vai trò nh nên ta giả sử x y z Tõ (1) suy ra:
2
1 1
1 x
xy yz zx x
Víi x = ta cã ( 1)( 1) 1
1
y y
y z yz y z
z z
Vậy (1) có nghiệm nguyên dơng ( x, y, z ) = ( 1, 2, ) hoán vị
Vớ d 2: Tìm nghiệm nguyên phương trình: x2 – (y + 5)x + 5y + = 0 (2) Giải: Giả sử phương trình ẩn x có nghiệm ngun x1, x2 theo định lý Viet ta có:
2
5
2
2
y x x
y x x
=>
2
25 5
2
2
y x x
y x x
=> (x1 – 5)(x2 – 5) = = 1.2 = (-1).(-2)