ToanTinHoc

ĐẠI HỌC QUẢNG NGÃI BỘ ĐỀ TOÁN RỜI RẠC Dùng cho sinh viên khoa Công nghệ thông tin cho thí sinh luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Biên soạn: BÙI TẤN NGỌC - 10/2011 - Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Bài tốn đếm Bài Đếm số n gồm chữ số, nếu: a n chẵn Gọi AB số thỏa mãn yêu cầu Vậy A có cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (khơng chọn 0, chọn số có chữ số) B có cách chọn {0, 2, 4, 6, 8} Theo nguyên lý nhân, ta có : x = 45 số b n lẻ gồm chữ số khác Gọi AB số thỏa mãn yêu cầu Vì số lẻ, nên B có cách chọn {1, 3, 5, 7, 9} Sau ta chọn B, A có cách chọn Theo nguyên lý nhân, ta có : x = 40 số c n chẵn gồm chữ số khác Gọi AB số thỏa mãn yêu cầu Khi B = {0} A có cách chọn {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} Số cách chọn trường hợp : cách Khi B = {2, 4, 6, 8} A có cách chọn Số cách chọn trường hợp : x = 32 cách Theo nguyên lý cộng, ta có : + 32 = 41 số Cách khác: Theo câu a ta có 45 số n chẵn Ta có chữ số chẵn gồm chữ số giống nhau: 22, 44, 66, 88 => 45 – = 41 số n chẵn gồm chữ số khác : {0, 1, 2, 3, 4, 5} a abc a ấn Ngọc {1, 2, 3, 4, 5} buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính a xong, b Sau k a, b a) c a, b) b abc c : {0, 2, 4} + Khi c b sau: a c =0, a a, c + Khi c {1, 2, 3, 4, 5} b c a b sau: c, a a, c c b c a) Bài Có xâu khác lập từ chữ từ MISSISSIPI, COMPUTER yêu cầu phải dùng tất chữ? Từ MISSISSIPI có chứa : từ M, từ I, từ S từ P Số xâu khác : 10! 1!.4!.4!.1! Xâu COMPUTER ấn Ngọc , nên lập 8! xâu buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Bài Có xâu nhị phân độ dài không chứa số liền? Gọi A số xâu nhị phân độ dài có chứa số liền B số xâu nhị phân độ dài => Số xâu cần đếm : N ( A) N ( B) N ( A) N(B) = 2.2.2.2.2.2.2.2 =28 = 256 N(A) = 10 (00x, 11x, 1x1, x11, x10 ,1x0, 10x, x01,0x1, 01x : x=000000) Vậy số xâu cần đếm : 256 – 10 = 246 Bài Đếm số byte a Bất kỳ Số byte dãy số có dạng: xxxxxxxx, x có cách chọn Theo nguyên lý nhân ta có : 2.2.2.2.2.2.2.2 = 28 = 256 b Có hai bít Có nghĩa chuỗi ln có bit bit cịn lại Bài tốn tương đương với tính số cách xếp xâu từ: 00111111 Đây hoán vị lặp phần tử với loại: số số  8!/2!.6! = 7.8/2 = 28 xâu c Có bit = Số xâu (a) – Số xâu khơng có bit - Số xâu có bit Số xâu khơng có bit = trường hợp (11111111) Số xâu có bit = 8!/1!7!=  256 – – = 247 d Bắt đầu 00 kết thúc 00 Xâu có dạng : 00xxxx00 Theo ngun lí nhân, ta có : 2.2.2.2 = 24 = 16 e Bắt đầu 11 kết thúc 11 ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Gọi A số xâu bắt đầu 11, có dạng 11xxxxxx Theo nguyên lý nhân, ta có : A= 1.1.2.2.2.2.2.2 = 26 = 64 Gọi B số xâu bắt đầu 11 kết thúc 11, có dạng 11xxxx11 Theo nguyên lý nhân, ta có : B= 1.1.2.2.2.2.1.1 = 24 = 16 Gọi C số xâu bắt đầu 11 kết thúc 11 => C = A – B = 64 – 16 = 48 Bài a Mật máy tính gồm chữ chữ số Tính số mật tối đa Dãy gồm chữ chữ số có dạng: LNNN, NLNN, NNLN, NNNL Trong L chữ có 26 cách chọn N chữ số có 10 cách chọn Vì theo ngun lý nhân, ta có : × 26 × 10 × 10 × 10 = 104000 Tương tự dãy có chữ chữ số : × 26 × 10 × 10 × 10 × 10 = 1300000 Theo nguyên lý cộng, ta có: 104000+ 1300000 = 1404000 (mật khẩu) b Như không lặp chữ số Số mật gồm chữ chữ số = × 26 × 10 × × = 74880 Số mật gồm chữ chữ số = × 26 × 10 × × × = 655200 Theo nguyên lý cộng, ta có: 74880 + 655200 = 730080 (mật khẩu) Bài Đội bóng đá ACB có 20 cầu thủ Cần chọn 11 cầu thủ, phân vào 11 vị trí sân để thi đấu thức Hỏi có cách chọn : a Ai chơi vị trí ? Chọn 11 cầu thủ 20 cầu thủ , xếp vào 11 vị trí sân Số cách chọn chỉnh hợp không lặp chập 11 20 phần tử : Ank n! (n k )! 20! (20 11)! 20! 9! 6704425728 000 caùch b Chỉ có cầu thủ định làm thủ môn, cầu thủ khác chơi vị trí ? ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com Tốn rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Một cầu thủ định làm thủ môn, ta cần chọn 10 cầu thủ 19 cầu thủ lại xếp vào 10 vị trí Số cách chọn chỉnh hợp không lặp chập 10 19 phần tử : Ank n! (n k )! 19! (19 10)! 19! 9! 3352212864 00 caùch c Có cầu thủ làm thủ môn được, cầu thủ khác chơi vị trí ? Có cách chọn cầu thủ để làm thủ môn từ cầu thủ Sau ta chọn thủ môn xong, chọn 10 cầu thủ 17 cầu thủ lại để xếp vào 10 vị trí, có: n! 17! 17! Ank 7057290240 cách (n k )! (17 10)! 7! Theo nguyên lý nhân, ta có: 7057290240 = 211718707200 cách Bài Có người vào thang máy tòa nhà 13 tầng Hỏi có cách để : a Mỗi người vào tầng khác Số cách vào tầng khác người số cách chọn số 13 tầng khác (mỗi tầng đánh số từ đến 13) Đó số chỉnh hợp không lặp chập 13 phần tử: n! 13! 13! Ank 51891840 (n k )! (13 8)! 5! b người này, người vào tầng Mỗi người có 13 cách lựa chọn từ tầng đến 13 Mà có người Vậy số cách chọn 813 Bài Có xâu có độ dài 10 tạo từ tập {a, b, c} thỏa mãn điều kiện: - Chứa chữ a & chúng phải đứng cạnh - Chứa chữ b & chúng phải đứng cạnh Gọi A số xâu có độ dài 10 có chứa chữ a đứng cạnh B số xâu có độ dài 10 có chứa chữ b đứng cạnh Như vậy: A B số xâu mà ta phải tìm ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Theo ngun lý bù trừ, ta có: N(AUB) = N(A) + N(B) - N(A∩B) Ta tính N(A) sau: Xét trường hợp aaa đầu: aaaX1X2X3X4X5X6X7 - Xi (i=1 7) có giá trị b, c, số trường hợp ký tự giống xâu nhị phân có độ dài 7, hay 27 trường hợp - Xâu aaa, xếp vào vị trí (aaaX1X2X3X4X5X6X7, X1aaaX2X3X4X5X6X7, X1X2aaaX3X4X5X6X7, X1X2X3aaaX4X5X6X7, X1X2X3X4aaaX5X6X7 X1X2X3X4X5aaaX6X7, X1X2X3X4X5X6aaaX7, X1X2X3X4X5X6X7aaa) Vì vậy: N(A) = 8.2 + Tương tự, số lượng xâu có chữ b đứng cạnh nhau, N(B) = 7.26 + N(A∩B) tính cách gộp aaa = X, bbbb = Y, lại chữ c Ta tính số xâu từ dãy: XcccY có: 5!/1!3!1! = 4.5 = 20 trường hợp Vậy số xâu cần tính là: 8.27 + 7.26 - 20 = 2476 Bài 10 (Đề thi cao học ĐH CNTT TP HCM-2010) Xét biển số xe: A1A2A3N1N2N3N4N5N6 Ai(i=1 3): A->Z; Nj(j=1 6): 0->9 a Hỏi có biển số khác nhau? b Hỏi có biển số thỏa điều kiện: ba mẫu tự khác đôi biển số có chữ số chữ số 5? c Hỏi có biển số thỏa điều kiện: biển số có chữ số chữ số 5? a Ai (i=1 3) có 26 cách chọn từ 26 chữ tiếng Anh từ A Z Nj(j=1 6) có 10 cách chọn từ 10 chữ số từ Theo nguyên lý nhân ta có: 26.26.26.10.10.10.10.10.10 = 26 3.106 biển số b Số cách chọn mẫu tự A1A2A3 khác nhau: A1 có 26, A2 có 25, A3 có 24 cách Số cách chọn chữ số N1N2N3N4 khơng có số số 5: 8.8.8.8 = 84 cách Số cách đặt số vào dãy chữ số N1N2N3N4 cách, là: 3N1N2N3N4, N13N2N3N4, N1N23N3N4, N1N2N33N4, N1N2N3N43 ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Tương tự số cách đặt số vào dãy có chữ số liệt kê : 5.6=30 Theo nguyên lý nhân, ta có : 24 84.30 cách c Gọi A số biển số chứa chữ số chữ số NA = 263.86 biển số Gọi B số số biển số có chứa chữ số khơng có chứa chữ số NB = 263.96 biển số Gọi C số số biển số có khơng chứa chữ số có chứa chữ số NC = 263.96 biển số Gọi D số biển số có chữ số chữ số Theo câu a: N= 263.106 ND = N – NA – NB - NC = 263.106 - 263.96 - 263.96 - 263.86 = 263(106 – 2.96 - 86 ) Bài 11 a Có số có n chữ số mà có m chữ số đầu m chữ số cuối tương ứng giống (n>2m>2, n,m N) Gọi A dãy số cần tìm, A có dạng: n xx…xbb…bxx…x m Số cách chọn m chữ số m chữ số cuối tương ứng giống chỉnh hợp lặp chập m 10 phần tử (0 9): 9.10m-1 (Chữ số đầu có cách chọn, bỏ số đứng đầu) Số cách chọn dãy số giữa: Dãy gồm có n-2m chữ số Số cách chọn là: 10n-2m Theo nguyên lý nhân, ta có: 10m-1.10n-2m chữ số b Ứng dụng tính số chữ số có 10 chữ số mà chữ số đầu chữ số cuối tương ứng giống Số chữ số thỏa mãn đề bằng: 9.102.1010-6 = 9.102.104 = 9000000 ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính Bài 12 (Đề thi cao học Đà Nẵng - 8/2008) a Trong lớp học có 30 người Cho biết có cách cử ban đại diện gồm lớp trưởng, lớp phó thủ quỹ Có 30 cách chọn lớp trưởng Sau chọn lớp trưởng xong, có 29 cách chọn lớp phó Sau chọn lớp trưởng, lớp phó xong, có 28 cách chọn 1thủ quĩ Theo nguyên lý nhân, ta có : 30.29.28 = 24360 cách chọn Cách khác: Số cách chọn số chỉnh hợp không lặp chập 30 phần tử : A(30,3) = 30!/(30-3)!= 24360 b Cho biết nhận xâu ký tự khác cách xếp lại chữ từ SUCCESS Từ SUCCESS có: chữ S, chữ C, chữ U chữ E 7! 2.5.6.7 420 xâu khác Vậy có : 3!.1!.2!.1! Bài 13 (Đề thi cao học Đà Nẵng - 2/2009) a Giả sử có viên bi giống túi khác màu xanh, vàng đỏ Cho biết có cách bỏ bi vào túi? Ví dụ: cách -> túi xanh viên, túi vàng túi đỏ khơng có bi; cách -> túi xanh viên, túi vàng túi đỏ túi viên, … Số cách bỏ bi tương ứng số tổ hợp lặp chập từ tập có phần tử là: C nn k C33 51 C 72 7! (7 2)!.2! 6.7 21 b Giả sử có viên bi (2 bi sắt, bi chai bi đất) túi màu xanh, vàng đỏ Cho biết có cách bỏ bi vào túi? Ví dụ: Cách túi xanh chứa bi sắt, túi vàng bi chai túi đỏ bi đất; cách -> túi xanh bi sắt, túi vàng bi chai + bi sắt túi đỏ bi đất, … Ta bỏ loại vào túi: + Bỏ viên bi sắt vào túi, có C nn k1 C33 21 C 42 ấn Ngọc 4! (2)!.2! buitanngocqn@gmail.com 3.4 cách bỏ Toán rời rạc - Tài liệu dùng để luyện thi cao học ngành Khoa học máy tính + Bỏ viên bi chai vào túi, có C nn k1 C33 21 C 42 4! (2)!.2! + Bỏ viên bi chai vào túi, có C nn k1 C 33 11 C 32 3! 1!.2! 3.4 cách bỏ bi cách bỏ bi Theo nguyên lý nhân, ta có: 6.6.3 = 108 cách bỏ bi c Giả sử có viên bi (2 bi sắt, bi chai bi đất Cho biết có cách chúng thành hàng? Ví dụ: sắt sắt chai chai đất, sắt chai sắt chai đất,… Cách viên bi thành hàng hốn vị lặp phần tử, 5! 3.4.5 30 cách bi bi sắt, bi chai bi đất, có: 2!.2!.1! 14 (Đề thi cao học ĐH CNTT TPHCM -5/2001) a Tìm số chuỗi bits thỏa mãn điều kiện: bit hay bit cuối Gọi A số chuỗi 8bits có bit B số chuỗi 8bits có bit cuối Theo nguyên lý bù trừ, ta có N(A B) = N(A) + N(B) – N(A B) Tính N(A): Gọi S=s1s2s3s4s5s6s7s8 chuỗi 8bits có bit Vậy s1 có trường hợp, si(i=2 8) có trường hợp Theo nguyên lý nhân, ta có: N(A) = 1.2.2.2.2.2.2.2 = 27 Tương tự: N(B) = 26 N(A B) = 25 Vậy: N(A B) = 27 + 26 – 25 = 160 b Mỗi người sử dụng hệ thống máy tính công ty X phải sử dụng password dài từ đến ký tự, ký tự chữ chữ s Mỗi password phải có chữ số Hỏi lập password khác nhau? n ấn Ngọc buitanngocqn@gmail.com