Đang tải... (xem toàn văn)
[r]
(1)đề thi học sinh giỏi
m«n thi : toán (Thời gian 150 phút )
Câu 1: (3®) a Rót gän biĨu thøc : A = 6 2 3 2 12 18 128 b T×m GTNN cđa A = 2
2 2 2006
x x x
c Gi¶ sử x, y số thực dơng thoả mÃn : x + y = Tìm giá trị nhỏ nhÊt cđa biĨu thøc: A =
xy y x
1
3
3
Câu 2: (2đ) a c/m : Với số dơng a
2
2
1 1
1
1 1
a a a a
b TÝnh S = 12 12 12 12 1 2 2
1 2 2008 2009
Câu 3: (3 đ)a) Tìm a , b , c biết a , b ,c số dơng
1
2
2 b c
a = abc
32
b) T×m a , b , c biÕt : a = 2
1
b b
; b = 2
1
c c
; c = 2
1
a a
c Cho a3 + b3 + c3 = 3abc với a,b,c khác a + b+ c
0
TÝnh P = (2008+ b a
)(2008 + c b
) ( 2008 + a c
)
C©u 4: (2 đ) Giải hệ phơng trình
3 1) -xy )( y x (
10 ) 1 y )( 1 x
( 2
Câu 5: (2đ)
Cho tam giác ABC, đờng phân giác BD, CE cắt I thỏa mãn BD.CE = 2BI.CI Chứng minh tam giác ABC tam giác vng
C©u 6: (2®)
Cho tam giác MNP có M N 2P , độ dài ba cạnh ba số tự nhiên liên tiếp Tính độ dài
các cạnh tam giác Câu 7: (3đ)
Cho tam giác ABC có BC = a, AC = b, AB = c Giọi (I) đờng tròn nội tiếp tam giác Đờng vng góc với CI I cắt AC, AB theo thứ tự M, N chứng minh rằng: a AM.BN = IM2 = IN2 ;
b
2 2
1
IA IB IC
bc ca ab
Câu 8: (2đ) Giải phơng trình sau
a) )
x x 10( x
48 x
2
; b) x -x 9-4
x2
- H
t -Đáp án Câu 1:( ®iĨm):
(2)= 6 2 3 2 12 4 2 = 6 2 3 4 3 (0,5 ®iĨm) = 6 2 2 3 = 6 3 = 1 = 3 1 (0,5 điểm) b (1 điểm) Tìm GTNN A = 2
2 2 2006
x x x
A = 2
2 2 2006
x x
x = - x
+ 20062
x (0.25®)
= 2006
2
2 2006
1 2006
2
x
x + - 2006
(0.25®)
= 2006
2
2006 1
x + 2006
2005
2006 2005
(0.25®) GTNN cđa P =
2006 2005
x = 2006 (0.25®)
c.(1 ®iĨm) Ta cã: (x + y)3 = x3 + y3 + 3xy( x + y ) = hay x3 + y3 + 3xy = Thay
vµo biĨu thc A ta cã: A =
xy xy y
x y
x
xy y
x 3 3
3
3
=
xy y x y x
xy 3
3
3
4
(0,5 điểm) áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
xy y x y x
xy 3
3
3
4
3 3
3
xy y x y x
xy
VËy A 42 (0,25 ®iĨm) minA = 42 x =
3 2
; y =
3 2
(0, 25 )điểm) x =
3 2
; y =
3 2 Câu 2 : (2 điểm )
a/ Ta cã:
2
2
1 1 1 1
1
1 1 1
a a a a a a a a
Mµ
1 1 1 1
0
1 1
a a a a a a a a Do
2
1 1
1
1
a a a a
b/ áp dụng c/m câu a ta có :
S = 1 1 1 1
2 2008 2009
= 2009 2009
Câu 3: (3đ)
a) T×m a , b , c biÕt a , b ,c số dơng
1
2
2 b c
a = abc
32
(Tổng đ ) áp dụng bất đẳng thức côsi 12 1
a 2
1 a = a
2
( 0.25đ) Vì a ; b ; c số dơng 12
b 2
2
b = b
2 ( 0.25®)
12 8
c 2
8
c = c
2
4 ( 0.25®)
1
2
2 b c
a a
2
b
2
c
2 =
abc 32
(3)
1
2
2 b c
a = abc
32 8 1 2 1 1 1 2 c b a
( 0.25®) 2 c b a ( 0.5đ)
b) Tìm a , b , c biÕt : a = 2
1
b b
; b = 2
1
c c
; c = 2
1
b a
( tỉng ® ) Nhận xét số a ; b ; c số dơng
ỏp dng bt ng thc cosi (0 25đ) 1+ b2
2b a = 2
1
b b
b
b 2
= b (0 5®) + c2
2c b = 2
1
c c
c c 2
= c (0 5®) + a2
2a c = 2
1
b a
a a 2
= a (0 5®)
Tõ ( ) ; ( ) ; (3 ) ta có a = b = c theo cosi a = b = c = (0 25®) c) Cho a3 + b3 + c3 = 3abc víi a,b,c khác a + b+ c 0 ( tổng 2® )
P = (2008+ b a
)(2008 + c b
) ( 2008 + a c
) a3 + b3 + c3 = 3abc
( a + b + c ) ( a2 + b2 + c2 - ab - bc - ac ) = (0.5 ®)
a2 + b2 + c2 - ab - bc -ac = ( v× a + b + c ) (0.25 ®)
( a- b )2 + ( b – c )2 + ( c – a )2 = ( 0.5 ® )
a = b = c (0.25 ®)
P = (2008+ b a
)(2008 + c b
) ( 2008 + a c
)
P = ( 2008 + ) ( 2008 + ) ( 2008 + ) (0.25 ®)
P = 20093 (0.25 đ)
Câu 4:( điểm )
Ta cã hÖ
3 1) -xy )( y x ( 10 ) 1 y )( 1 x
( 2
3 1) - xy )( y x ( 10 1 y x y
x2 2 3 1) - xy )( y x ( 10 1) - (xy y)
(x 2
Đặt u = x + y ; v = xy - hƯ trë thµnh :
3 u.v 10 v u2 3 u.v 16 v) u ( 3 u.v 4 v u
· NÕu
3 u.v 4 v u
th× ta cã
(4)c
b
a I
E D
C B
A
(x ; y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) * Víi
3 v
1 u
th×
3 1 - xy
1 y x
4 xy
1 y x
nên x , y nghiệm PT : t2 - t + = cã D < v« nghiƯm hƯ v« nghiƯm trờng hợp
này à Nếu
3 u.v
4 v u
th× ta cã
1 - v
3 - u
hc
3 - v
1 - u
* Víi
1 - v
3 - u
ta cã
1 - 1 - xy
3 - y x
0 xy
3 - y x
(x ; y) = (- 3; 0) ; (0 ; - 3) * Víi
3 - v
1 - u
ta cã
3 - 1 - xy
1 - y x
2 xy
1 - y x
(x ; y) = (-2 ; 1) ; (1; - 2) Tóm lại hệ cho có nghiệm
(x ;y) = (2 ;1) ; (1 ; 2) ; (- 3; 0) ; (0 ; - 3) ; (-2 ; 1) ; (1; - 2) B
i 5:
Ta cã: BD.CE = 2BI.CI (1)
2 BI CI BD CE
Trong tam giác BEC ta có BI phân giác cña B :
CI BC
EI BE
Theo tinh chÊt tØ lÖ thøc
CI BC
CI EI BC BE
Hay CI BC
CE BC BE (2) mµ
BE CB a BE a
AE CA b c BE b
ac
b BE ac a BE BE
b a
(*)
Thay (*) vào (2) ta đợc:
CI a a b
ac
CE a a b c
a b
(3)
Tơng tự tam giác ABD ta có AI phân giác A: (4)
BI AB BI AB BI c
ID AD BI CI AB AD BD c AD
ab AD
a c
(2*)
Thay (2*) vào (4) ta đợc:
BI c a c
ab
BD c a b c
a c
(5) Thay (3) (5) vào (1) ta đợc:
2 2
1
2 2 2
2
a b a c
a ab ac bc a b c ab ac bc
a b c a b c
2 2
a b c
(5)2
1
P
D N
M
N
M
c
b
a I
C B
A
Câu 6: Trên cạnh PM lÊy ®iĨm D cho
PD = PM
Ta cã: M M 1M 2 D 1M 2 N M 2M 2
(Vì D 1là góc ngồi tam giác MND) Do đó: M N2M 2
Theo bµi ra: M N 2P Suy P M 2
Do ta có: DMNPDDNM g g( ) MN NP
DN MN
đặt NP = a: MP b: MN = c: Với a,b,c N
Ta cã: c a c2 a a b( ) (1)
a b c
Do cạnh tam giác MNP ba số tự nhiên liên tiếp a > b nên a b = a – b =
NÕu: a – b = th× a – c =
Tõ (1) ta cã: c2 a c2 c (v× a = c + 2)
( 1)
1 c c c
c
c2
Nếu: a – b = a – c = ta có (1) 2( 1) ( 2) 2
1 c
c c c c
c
(Lo¹i) VËy MN = 2: MP = 3: NP =
Bµi 7:
a Ta cã:
900 ; 900 ; (1)
2
C C
AMI BNI AMI BNI
Ta l¹i cã:
3600 (1800 )
180 90 (2)
2 2
A B C C
AIB
Tõ (1) vµ (2) suy ra: AMI BNI = AIB (3)
Từ (3) giả thiết suy ra: DAIBDAMI DBNI
AM IN AM BN IM IN
IM BN (3)
Mà tam giác CMN cân C suy ra: IM=IN (4) (vì CI đờng cao đồng thời trung tuyến) Từ (3) (4) suy ra: AM BN. IM2 IN2
b Ta cã: DAIBDAMI
2
2 .
AI AB AI AB AM AM
AI AB AM
AM AI AB AC AB AC AC
Hay
AI b AM
bc c
(5)
T¬ng tù: DAIBDBNI
2
IB a CN
ca a
(6)
Trong tan giác vuông MIC (I 900
) IC2 CM2 MI2
Mµ AM BN. IM2
(c/m c©u a)
2 ( )2 . ( )( ) ( )( ) .
IC CA AM AM BN CA AM CA AM b AM a BN AM BN
(Vì CM = CN c/m trên)
2 . .
IC ab a AM b BN
2
IC BN AM
ab a b
(7)
(6)2 2
IA IB IC
bc ca ab Câu 8: (2 đ)
a Điều kiƯn x
Phơng trình cho tơng đơng với
)
x x 10( x
16 x
2
3
Đặt t =
x x
t2 =
3 -x 16 x
2
PT trë thµnh : 10t
3 t
3
3t2 - 10t + =
t = hc t = 4/3 * víi t = th×
x x
= x2 - 6x - 12 =
x = 3 21 * Víi t = 4/3 th×
x x
=
x2 - 4x - 12 =
x = ; x = - Vậy phơng trình cho có nghiệm :
x = ; x = - ; x = 3 21 b PT : x -x 9-4
4 x2
-x 2 2-1
x 2
-x 2-1
x
· NÕu
x
x - , PT trở thành x + - 2x = -
x = - thỏa mãn x - nên x = - nghiệm phơng trình cho ã Nếu
2 x
< x < - , PT trở thành -( x + 2) - 2x = -
- 3x =
x = - /3 , kh«ng tháa m·n x < -2 nên loại