Luận án tiến sĩ cấu trúc pha của ngưng tụ bose einstein trong khí bose ở nhiệt độ cực thấp

LUẬN ÁN TIẾN SĨ CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP Nghiên cứu sinh: Đặng Thị Minh Huệ Chuyên ngành Vật lý lý thuyết Vật lý toán, Mã số: 62 44 01 03 Đơn vị đào tạo: Trung tâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng Lượng Nguyên tử Việt Nam Người hướng dẫn: GS.TSKH Trần Hữu Phát, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam; PGS TS Lê Viết Hòa, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội HÀ NỘI, 2016 LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu hướng dẫn khoa học GS.TSKH Trần Hữu Phát PGS.TS Lê Viết Hoà Các kết nghiên cứu nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Hà Nội, tháng năm 2016 Tác giả luận án Đặng Thị Minh Huệ LỜI CẢM ƠN Trong q trình nghiên cứu để hồn thành luận án, bên cạnh cố gắng thân, tơi nhận hướng dẫn tận tình Thầy hướng dẫn giúp đỡ nhiệt tình quan chủ quản đơn vị đào tạo Lời tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến GS TSKH Trần Hữu Phát tận tình hướng dẫn tơi nghiên cứu khoa học để hồn thành luận án Đối với tơi, Thầy cịn người cha với tất kính trọng ngưỡng mộ sâu sắc Tôi thực vinh dự tự hào làm học trị Thầy Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến PGS TS Lê Viết Hoà PGS TS Nguyễn Tuấn Anh hết lịng hướng dẫn, động viên tơi q trình nghiên cứu hồn thành luận án Tôi xin trân trọng cảm ơn Trường Đại Học Thuỷ Lợi; Trung tâm Đào tạo hạt nhân, Viện Năng lượng Nguyên tử Việt Nam tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập, nghiên cứu Hơn nữa, tơi xin dành tất tình cảm biết ơn sâu nặng đến gia đình, người thân đồng nghiệp động viên, ủng hộ công việc Cuối cùng, muốn khẳng định luận án hoàn thành nỗ lực thân hướng dẫn tận tình Thầy giúp đỡ nhiệt tình gia đình, người thân, quan cơng tác đơn vị đào tạo Tác giả luận án Mục lục Danh sách hình vẽ v MỞ ĐẦU I II TỔNG QUAN I.1 Giới thiệu chuyển pha I.2 Ngưng tụ Bose - Einstein 11 I.3 Sự phá vỡ đối xứng tự phát Định lý Goldstone 16 I.4 Tác dụng hiệu dụng Cornwall - Jackiw - Tombolis 19 I.5 Kết luận chương I 24 CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP 25 II.1 Thế hiệu dụng gần bong bóng kép 26 II.1.1 Phương trình khe 28 II.1.2 Phương trình SD hàm truyền 28 II.1.3 Phương trình khe 29 II.1.4 Phương trình SD 30 II.2 Các phương trình trạng thái 31 II.2.1 Ở nhiệt độ cao, nhiệt độ tới hạn 32 II.2.2 Ở nhiệt độ cực thấp 32 II.3 Cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein khí Bose thành phần nhiệt độ cực thấp 33 II.3.1 Giản đồ pha 34 II.3.2 Chuyển pha nhiệt 34 II.3.3 Chuyển pha lượng tử 35 i II.4 Kết luận chương II 37 III CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE-EINSTEINS TRONG KHÍ BOSE HAI THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP 39 III.1 Thế hiệu dụng gần bong bóng kép 40 III.1.1 Các phương trình khe 43 III.1.2 Các phương trình SD cho hàm truyền 44 III.1.3 Các phương trình khe 46 III.1.4 Các phương trình SD 47 III.2 Các phương trình trạng thái 48 III.2.1 Ở nhiệt độ cao, nhiệt độ tới hạn 49 III.2.2 Ở nhiệt độ cực thấp 50 III.3 Cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein khí bose hai thành phần nhiệt độ cực thấp 51 III.3.1 Đối với hệ khí Bose hai thành phần hoà tan 52 III.3.2 Đối với hệ khí Bose hai thành phần khơng hồ tan 63 III.4 Kết luận chương III 73 KẾT LUẬN 75 Danh sách cơng trình cơng bố 77 Tài liệu tham khảo 78 PHỤ LỤC 87 A ĐỐI VỚI KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN 88 A.1 Lagrangian hệ khí Bose thành phần 88 A.2 Khai triển nhiệt độ cao 89 A.3 Khai triển nhiệt độ cực thấp 89 B ĐỐI VỚI KHÍ BOSE HAI THÀNH PHẦN 91 B.1 Lagrangian hệ khí Bose hai thành phần 91 B.2 Các biểu thức tích phân lượng riêng 93 B.3 Khai triển nhiệt độ cao 94 B.4 Khai triển nhiệt độ cực thấp 96 ii Danh sách hình vẽ I.1 Năng lượng tự gián đoạn điểm tới hạn, tương ứng với chuyển pha xảy loại I.2 Sự phụ thuộc nhiệt độ T tham số trật tự Φ: (a) đối xứng bị phá vỡ T = phục hồi T = Tc > gọi kịch pha ứng với tượng SR; (b) đối xứng bị phá vỡ T = không được phục hồi T tăng gọi kịch pha ứng với tượng SNR; (c) đối xứng bị phá vỡ T = Tc > gọi kịch pha ứng với tượng ISB I.3 Hình ảnh thực nghiệm thu BEC Rubidium nhóm Carl Wieman, Eric Cornell Wolfgang Ketterle - Mỹ thực kỹ thuật làm lạnh, bẫy từ trường bay lạnh [5, 99] 13 II.1 Các đỉnh tương tác ba đường (a); Các đỉnh tương tác bốn đường (b) 26 II.2 Giản đồ loop gần bong bóng kép 26 II.3 Giản đồ pha mặt phẳng (T, µ) 34 II.4 a Sự phụ thuộc tham số trật tự φ0 vào nhiệt độ ứng với vài giá trị µ λ = 10−11 eV −2 ; b Sự phụ thuộc hoá hiệu dụng M vào nhiệt độ ứng với vài giá trị µ λ = 10−11 eV −2 35 II.5 Sự phụ thuộc nhiệt độ tham số trật tự φ0 (a); Sự phụ thuộc nhiệt độ M (b) µ = 10−11 eV ; λ = 10−11 eV −2 ; Sự phụ thuộc hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 quanh nhiệt độ tới hạn Tc = 303nK (c) 36 II.6 Sự phụ thuộc tham số trật tự φ0 vào hoá (a); Sự phụ thuộc M vào µ (b) λ = 10−11 eV −2 ứng với số giá trị xác định nhiệt độ T 37 iii II.7 Sự phụ thuộc hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 xung quanh giá trị tới hạn hố µc = 0.66 × 10−11 eV λ = 10−11 eV −2 T = 232nK 37 III.1 Giản đồ pha tồn ba pha sa mạc TCP điểm tới hạn bốn 53 III.2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ M1 ; M2 (b); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ mật độ ngưng tụ mật độ hạt (c) µ2 = 1.5 × 10−12 eV 54 III.3 Sự phụ thuộc hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 xung quanh giá trị Tcφ = 163 nK (a) tham số trật tự ψ0 xung quanh Tcψ = 1975 nK (b) 55 III.4 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ M1 , M2 (b); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ mật độ hạt mật độ ngưng tụ (c) giá trị µ2 = 0.8 × 10−12 eV III.5 56 Sự phụ thuộc nhiệt độ T tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào nhiệt độ M1 , M2 (b); Sự phụ thuộc mật độ hạt vào nhiệt độ (c) giá trị µ2 = 2.3 × 10−12 eV 57 III.6 Sự phụ thuộc nhiệt dung đẳng tích vào nhiệt độ gái trị µ2 = 0.8 ì 1012 eV (a) v à2 = 2.3 ì 10−12 eV (b) 58 III.7 Sự phụ thuộc vào µ2 tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào µ2 M1 , M2 (b) mật độ hạt (c) T = nK 59 III.8 Sự phụ thuộc hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 quanh giá trị µ2φ = 2.01 × 10−12 eV (a) ψ0 quanh giỏ tr à2 = 0.93 ì 1012 eV (b) T = nK 60 III.9 Sự phụ thuộc vào µ2 nhiệt dung đẳng tích T = nK 60 III.10 Sự phụ thuộc vào µ2 tham số trật tự (a); Sự phụ thuộc vào µ2 M1 , M2 (b) mật độ hạt (c) T = 500 nK 61 III.11 Sự phụ thuộc nhiệt dung đẳng tích vào µ2 với T = 500 nK 62 III.12 Giản đồ pha ứng với ba pha (φ0 = 0, ψ0 = 0), (φ0 = 0, ψ0 = 0), (φ0 = 0, ψ0 = 0) sa mạc (φ0 = 0, ψ0 = 0) TCP điểm tới hạn bốn 64 iv III.13 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ tham số trật tự φ0 , ψ0 (a) hoá hiệu dụng M1 , M2 (b) vi à2 = 1.5 ì 1012 eV , Tc φ = 589nK nhiệt độ tới hạn thành phần thứ nhất; Tc ψ = 162nK nhiệt độ tới hạn thành phần ngưng tụ thứ hai 65 III.14 Sự phụ thuộc hiệu dụng vào tham số trật tự φ0 , ψ0 xung quanh nhiệt độ tới hạn Tc φ = 589nK Tc ψ = 162nK ứng với giá trị xác định µ2 = 1.5 × 10−12 eV 66 III.15 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt dung đẳng tích tương ứng với mơ hình tham số hình III.13 66 III.16 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ hai tham số trật tự ca M1 , M2 ng vi à2 = 0.8 ì 10−12 eV 67 III.17 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt dung đẳng tích tương ứng với mơ hình tham số hình III.16 67 III.18 Sự phụ thuộc hai tham số trật tự M1 ; M2 vào nhit T ng vi à2 = 2.3 ì 1012 eV 68 III.19 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt dung đẳng tích tương ứng với tham số hình III.18 69 III.20 Sự phụ thuộc tham số trật tự φ0 ; ψ0 hiệu dụng hiệu dụng M1 ; M2 vào µ2 nhiệt độ T = 5nK 70 III.21 Sự phụ thuộc hiệu dụng vào hai tham số trật tự xung quanh giá trị tới hạn µ2φ µ2φ T = 5nK 70 III.22 Sự phụ thuộc Cv vào µ2 với T = 5nK 71 III.23 Sự phụ thuộc tham số trật tự M1 ; M2 vào µ2 T = 650nK 72 III.24 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ nhiệt dung đẳng tích vào µ2 nhiệt độ T = 650nK 72 v DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT BEC Bose - Einstein Condensate Ngưng tụ Bose - Einstein SR Symmetry Restoration Phục hồi đối xứng SNR Symmetry Non - Restoration Không phục hồi đối xứng ISB Inverse Symmetry Breaking Phá vỡ đối xứng nghịch đảo DS Dynamical Stability Ổn định động lực SD Schwinger-Dyson CJT Cornwall-Jackiw-Tombolis vi [59] Mariano Quirós (1999), Finite Temperature Field Theory and Phase Transition, IEM - FT - 187/99 [60] Marte A, Volz T, Schuster J, Drurr S, Rempe G, E G M van Kempen, and Verhaar B J (2002), Feshbach resonances in Rubidium 87: Precision measurement and Analysis, Phys Rev Lett 89, 283202 [61] Marzlin K P., Weiping Zhang, and Ewan M Wright (1997), Vortex couple for atomic Bose - Einstein condensates, Phys Rev Lett 79, 4728 [62] Matthews M R , J R Ensher, D S Hall, C E Weiman, and E A Cornell (1998), Dynamics of Component Separation in a binary mixture of Bose - Einstein condensate, Phys Rev Lett 81, 1539 [63] Matthews M R , B P Anderson, P C Haljan, D S Hall, C E Weiman, and E A Cornell (1999), Vortices in a Bose - Einstein condensate, Phys Rev Lett 83, 2498 [64] Matthews M R (1999), Two - Compnent Bose - Einstein Condensation, PhD thesis, University Colorado [65] Mc Carron D J., Cho H W., Jenkin D L., Koppinger M P., and Cornish S L (2011), Dual-species Bose-Einstein condensate of 87 Rb and 133 Cs, Phys Rev A84, 011603 (R) [66] Mertes K M., Merril J W., Carretero - Gonza’lez R , Frantzeskakis D J , and Hall D S (2007), Nonequilibrium dynamics and superfluid ring excitations in binary Bose - Einstein condensates, Phys Rev Lett 99, 190402 [67] Mewes M -O et al.(1996), Bose-Einstein Condensation in a Tightly Confining dc Magnetic Trap, Phys Rev Lett 77 416 [68] Miesner H J., Stamper - Kurn D M., Stenger J., Inouye S., Chikkatur A P., and Ketterle W (1999), Observation of Metastable States in Spinor Bose-Einstein Condensates, Phys Rev Lett 82, 2228 [69] Myatt C J , Burt E A., Ghrist R W., Cornell E, A., and Weiman C E (1997), Production of two overlapping Bose - Einstein condensates by sympathetic cooling, Phys Rev Lett 78, 586 83 [70] Modugno G., Modugno M., Riboli F., Roati G., and Inguscio M (2002), Two Atomic Species Superfluid, Phys Rev Lett 89, 190404 [71] Moshe Gitterman (2014), Phase Transitions Modern Application, World Scientific, Singapore [72] Nambu, Y and Jona - Lasinio, G (1961), Dynamical Model of elementary partical base on an anology with superconductivity, I and II, Phys Rev 122, 235 and Phys Rev 124, 246 [73] Napoli, E D (1999), The Nambu - Jona Lasinio mechanism and the electroweak symmetry breaking in the Standard Model, help - ph/9902367 [74] Ngyen Van Thu, Tran Huu Phat, and Pham The Song (2016), Wetting phase transition of two segregated Bose–Einstein condensates restricted by a hard wall, Phys Lett A 380, 1487 [75] Onsager L (1944), Crystal Statistics I A Two-Dimensional Model with an OrderDisorder Transition, Phys Rev 65, 117 and Onsager L (1949), Discussion remark (Spontaneous magnetisation of the twodimensional Ising model), Nuovo Cimento, Suppl 6, pp 261-262 [76] Papp S B , J M Pino, and C E Wieman (2008), Tunable Miscibility in a dual species Bose - Einstein condensates, Phys Rev Lett 101, 040402 [77] Papp S B , C E Wieman (2006), Observation of Heteronuclear Feshbach Molecules from a 85 Rb - 87 Rb Gas, Phys Rev Lett 97, 180404 [78] Pepe F V., Facchi P., Florio G., and Pascazio S (2012), Domain wall suppression in trapped mixtures of Bose-Einstein condensates, Phys Rev A86, 023629 [79] Pethick C J and Smith H (2008), Bose - Einstein Condensation in Dilute Gases, second Edition, Cambridge University Press [80] Phillips W D (1998), Nobel Lecture: Laser cooling and traping of neutral atoms, Rev Mod Phys, 70, 721 [81] Pitaevskii L and Stringari S (2003), Bose Einstein Condensation, Clarendon Press, Oxford 84 [82] Pu H., Bigelow N P (1998), Properties of Two - Species Bose Condensate, Phys Rev Lett 80, 1130 [83] Pu H., Bigelow N P (1998), Collective excitations, metastability, and nonlinear response of a trapped two - species Bose - Einstein condensate, Phys Rev Lett 80, 1134 [84] Roth R (2002), Structure and stability of trapped atomic Boson - Fermion mixtures, Phys Rev A66, [85] Roy A., Gautam S., and Angom D (2014), Goldstone modes and bifurcations in phase-separated binary condensates at finite temperature, Phys Rev A89, 013617 [86] Roy A., Angom D (2015), Thermal suppression of phase separation in condensate mixtures, Phys Rev A92, 011601 (R) [87] Sachdev S (1999), Quantum Phase Transitions, Cambridge University Press [88] Sasaki K., Suzuki N., and Saito H (2011), Dynamics of bubbles in a two-component Bose-Einstein condensate, Phys Rev A83, 033602; Capillary instability in a twocomponent Bose-Einstein condensate, 83, 053606 [89] Schupper N and Shnerb N M (2005), Inverse melting and inverse freezing: A spin model, Phys Rev E 72, 046107 [90] Senjanovic G., Rochelle salt: a prototype of particle physics Available from hepph/9805361 [91] Shi H., Zheng W M., and Chui S T (2000), Phase separation of Bose gases at finite temperature, Phys Rev A61, 063613 [92] Son D and M Stephanov (2002), Domain walls of relative phase in two - component Bose - Einstein condensates, Phys Rev Lett A 65, 063621 [93] Sinatra A and Castin Y (2000), Binary mixture of Bose - Einstein condensates: Phase dynamics and spatial dynamics, Euro Phys Journal D 8, 319 [94] Takahashi D A., Kobayashi M., and Nitta M (2015), Nambu-Goldstone modes propagating along topological defects: Kelvin and ripple modes from small to large systems, Phys Rev B 91, 184501 85 [95] Takeuchi H and Kasamatsu K (2013), Nambu-Goldstone modes in segregated BoseEinstein condensates, Phys Rev A88, 043612 [96] Thalhammer G., Barontini G., De Sario L., Catani J., Minardi F and Inguscio M (2008), Double species condensate with tunable interspecies interactions, Phys Rev Lett 100, 210402 [97] Ticknor C (2014), Dispersion relation and excitation character of a two-component Bose-Einstein condensate, Phys.Rev A89, 053601 [98] Timmermans E (1998), Phase separation of Bose - Einstein condensate, Phys Rev Lett 81, 5718 [99] The Nobel Prize in Physics 2001, The Royal Swedish Academy of Sciences, 2011 [100] Tran Huu Phat, Nguyen Van Long, Nguyen Tuan Anh, and Le Viet Hoa (2008), Bose-Einstein Condensation in Binary Mixture of Bose Gases, Phys Rev D78 105016 [101] Tran Huu Phat, Le Viet Hoa, Nguyen Tuan Anh, and Nguyen Van Long (2009), Bose - Einstein condensation in binary mixtures of Bose gases, Ann Phys (NY) 324, 2074 [102] Trippenbach M., Goral K., Rzazewski K., Malomed B., and Band Y B (2000), Structure of binary Bose-Einstein condensates, J Phys B33, 4017 [103] Van Schaeybroeck B (2008), Interface tension of Bose-Einstein condensates, Phys Rev A78, 023624; Addendum to “Interface tension of Bose-Einstein condensates”, 80, (2009) 065601 (addendum) [104] Van Schaeybroeck B (2013), Weakly interacting Bose mixtures at finite temperature, Physica A 392, 3806 [105] Van Schaeybroeck B and Indekeu J O (2015), Critical wetting, first-order wetting, and prewetting phase transitions in binary mixtures of Bose-Einstein condensates, Phys Rev A91, 013626 [106] Volovikc G E (1992), Exotic prorerties of superfluid He, Word Scientific, p 86 [107] Wang F., Xiong D., Li X., Wang D., and Tiemann E (2013), Observation of Feshbach resonances between ultracold N a and Rb atoms, Phys Rev A 87, 050702 [108] Wilson K G.(1971), Renormalization Group and Critical Phenomena I Renormalization Group and the Kadanoff Scaling Picture, Phys Rev B 4, 3174 [109] Yue Hu (1996), An Effective Potential for Composite Operators, Phys Rev D54, R765 [110] Yurovsky V A., Ben - Reuven A., Julienne P S., and Williams C J (1999), Atom loss from Bose - Einstein condensates due to Feshbach resonance, Phys Rev A, 60, R765 87 Phụ lục A ĐỐI VỚI KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN A.1 Lagrangian hệ khí Bose thành phần Thay (II.3) vào (II.1) thu ∇2 ∇2 φ0 iφ0 ∂ ∂ φ → √ −i − φ1 + √ −i − φ2 ∂t 2m ∂t 2m 2 ∇2 ∇2 φ1 ∂ φ2 ∂ + −i − φ1 + −i − φ2 ∂t 2m ∂t 2m ∇2 ∇2 iφ1 ∂ iφ2 ∂ + −i − φ2 − −i − φ1 ∂t 2m ∂t 2m √ λ φ2 λ µφ∗ φ + (φ∗ φ)2 → µφ20 + φ40 + 2(µ + λφ20 )φ0 φ1 + (µ + 3λφ20 ) 2 2 φ λ λ + √2 (µ +λφ20 )+ √ (φ21 + φ22 )φ0 φ1 + (φ21 + φ22 )2 2 φ∗ −i ∇2 ∂ − ∂t 2m Khi đó, viết lại Lagrangian (II.1) dạng: £ = £0 + £1 + £2 , λ £0 = −µφ20 + φ40 , φ0 ∂ ∇2 iφ0 ∂ ∇2 £1 = √ −i − φ1 + √ −i − φ2 ∂t 2m ∂t 2m 2 iφ1 ∂ ∇2 iφ2 ∂ ∇2 + −i − φ2 − −i − φ1 ∂t 2m ∂t 2m ∂ ∇2 + φ1 −i − − µ + 3λφ20 φ1 ∂t 2m ∂ ∇2 + φ2 −i − − µ + λφ20 φ2 , ∂t 2m √ λ λ £2 = 2(−µ + λφ20 )φ0 φ1 + √ φ0 φ1 (φ21 + φ22 ) + (φ21 + φ22 )2 88 Lagrangian tương tác là: λ λ £int = √ φ0 φ1 (φ21 + φ22 ) + (φ21 + φ22 )2 A.2 Khai triển nhiệt độ cao Các tích phân hiệu dụng hàm truyền nhiệt độ cao (2mφ )3/2 (2m3/2 Γ(3/2) ζ(3/2)T 3/2 − ζ(1/2)M12 T 1/2 M1 + 2 6π 4π β − ζ(−1/2)M14 T −1/2 ; 3/2 3/2 (2m) (2m) Γ(3/2) D22 (k) = − M13 + ζ(3/2)T 3/2 + ζ(1/2)M12 T 1/2 2 12π 4π β + ζ(−1/2)M14 T −1/2 D11 (k) = Thế hiệu dụng CJT nhiệt độ cao λ V˜βCJT = −µφ20 + φ40 3/2 (2m) Γ(3/2) + −ζ(5/2)T 5/2 + ζ(3/2)M12 T 3/2 − ζ(1/2)M14 T 1/2 4π m3 λ [ζ(3/2)]2 T − ζ(1/2)ζ(3/2)M12 T 8π m3 λ 2ζ(3/2) 3/2 [ζ(1/2)]2 + M1 T + M1 T 8π 3π 1/2 − A.3 Khai triển nhiệt độ cực thấp Sử dụng tích phân ∞ z x−1 dz = Γ(x)ζ(x); ez − ∞ z x−1 dz = (1 − 21−x )Γ(x)ζ(x), ez + thu ∞ I1 [M, T ] = p3 dp 2π √ p2 + M ep p2 +M /T − T4 π2T = Γ(4)ζ(4) = , 2π M 30M 89 ∞ dp p p2 + M T2 T2 √ = Γ(2)ζ(2) = , 2π ep p2 +M /T − 2π M 12M √ ∞ p dp π2T −p p2 +M /T = − ln − e , I3 [M, T ] = T 2π 90M I2 [M, T ] = λ1 λ π2λ T + T , M + 24π 60M1 8M1 5λ λ π2λ T + T2 , M + 24π 20M1 24M1 Σ1 = (2m)3/2 − Σ2 = (2m)3/2 D11 (k) = β (2m)3/2 (2m)3/2 π T , M1 + 6π 30M15 D22 (k) = − β (2m)3/2 (2m)3/2 M1 + T 12π 12M1 Do thay tích phân vào biểu thức mật độ ngưng tụ phương trình khe nhận được: ρ = − ∂ V˜βCJT = φ20 + ∂µ √ µ = λρ + 3/2 D11 + β 2mφ λ M1 + 3π √ D22 ; β 2m3/2 λπ T 15M15 (A.1) Thay tích phân (A.1) vào (II.35) thu biểu thức gần M nhiệt độ cực thấp M √ √ 3/2 2M1 m3/2 λ 2m3 λπ 2λρ − − ∗5/2 3π 15M1 Rõ ràng M hàm mật độ nhiệt độ Trong gần bậc nhất, M 90 (A.2) 2λρ Phụ lục B ĐỐI VỚI KHÍ BOSE HAI THÀNH PHẦN B.1 Lagrangian hệ khí Bose hai thành phần Từ tốn tử trường 1 φ ⇒ φ0 + √ (φ1 + iφ2 ), ψ ⇒ ψ0 + √ (ψ1 + iψ2 ) 2 Thay (B.1) vào Lagrangian (III.1) ta có φ∗ −i ψ ∗ −i ∂ ∇2 φ0 ∇2 iφ0 ∇2 ∂ ∂ − φ → √ −i − φ1 + √ −i − φ2 ∂t 2mφ ∂t 2mφ ∂t 2mφ 2 φ1 ∇2 ∇2 ∂ φ2 ∂ + −i − φ1 + −i − φ2 ∂t 2mφ ∂t 2mφ ∂ iφ2 ∂ iφ1 ∇2 ∇2 + −i − φ2 − −i − φ1 , ∂t 2mφ ∂t 2mφ ∂ ∇2 − ∂t 2mψ µ1 φ∗ φ+ ψ0 ∂ ∇2 iψ0 ∂ ∇2 ψ → √ −i − ψ1 + √ −i − ψ2 ∂t 2mψ ∂t 2mψ 2 ∂ ∇2 ψ2 ∂ ∇2 ψ1 + −i − ψ1 + −i − ψ2 ∂t 2mψ ∂t 2mψ iψ1 ∂ ∇2 iψ2 ∂ ∇2 + −i − ψ2 − −i − ψ1 , ∂t 2mψ ∂t 2mψ √ λ1 ∗ λ1 φ1 (φ φ) → µ1 φ20 + φ40 + 2(µ1 +λ1 φ20 )φ0 φ1 + (µ1 +3λ1 φ20 )φ1 2 φ2 λ λ1 + (µ1 +λ1 φ20 )φ2 + √ (φ21 +φ22 )φ0 φ1 + (φ21 +φ22 )2 , µ2 ψ ∗ ψ + √ λ2 ∗ λ2 (ψ ψ) → µ2 ψ02 + ψ04 + 2(µ2 + λ2 ψ02 )ψ0 ψ1 2 ψ1 ψ2 + (µ2 + 3λ2 ψ02 )ψ1 + (µ2 + λ2 ψ02 )ψ2 2 λ2 λ + √ (ψ1 + ψ22 )ψ0 ψ1 + (ψ12 + ψ22 )2 , 91 (B.1) λ ∗ λ 2 λ λ λ (φ φ)(ψ ∗ ψ) → φ0 ψ0 + √ φ0 ψ0 ψ1 + √ φ0 ψ02 φ1 + φ20 (ψ12 + ψ22 ) 2 2 λ λ 2 + ψ0 (φ1 +φ2 ) + λφ0 ψ0 φ1 ψ1 + √ (ψ12 + ψ22 )φ0 φ1 2 λ λ + √ (φ21 +φ22 )ψ0 ψ1 + (φ21 +φ22 )(ψ12 +ψ22 ) 2 Lagrangian (III.1) viết là: £ = £0 + £1 + £2 , £0 = −µ1 φ20 + φ0 £1 = √ ψ0 + √ iφ1 + iψ1 + φ1 + φ2 + ψ1 + + ψ2 λ2 λ λ1 φ0 − µ2 ψ02 + ψ04 + φ20 ψ02 , 2 (B.2) ∂ ∇2 iφ0 ∂ ∇2 − φ1 + √ −i − φ2 ∂t 2mφ ∂t 2mφ ∂ ∇2 iψ0 ∂ ∇2 −i − ψ1 + √ −i − ψ2 ∂t 2mψ ∂t 2mψ ∇2 ∇2 ∂ iφ2 ∂ −i − φ2 − −i − φ1 ∂t 2mφ ∂t 2mφ ∇2 ∇2 ∂ iψ2 ∂ −i − ψ2 − −i − ψ1 ∂t 2mψ ∂t 2mψ λ ∇2 ∂ − µ1 + 3λ1 φ20 + ψ02 φ1 −i − ∂t 2mφ 2 ∇ ∂ λ − µ1 + λ1 φ20 + ψ02 φ2 −i − ∂t 2mφ 2 ∇ λ ∂ − µ2 + 3λ2 ψ02 + φ20 ψ1 −i − ∂t 2mψ ∂ ∇2 λ −i − − µ2 + λ2 ψ02 + φ20 ψ2 , ∂t 2mψ −i √ λ 2 ψ0 )φ0 φ1 √ λ λ λ + 2(−µ2 +λ2 ψ02 + φ20 )ψ0 ψ1+ √ φ0 φ1 + √ ψ0 ψ1 (φ21 +φ22 ) 2 2 λ1 λ λ2 λ + (φ1 + φ22 )2+ ψ0 ψ1 + φ0 φ1 (ψ12 + ψ22 ) + (ψ12 + ψ22 )2 8 λ + (φ + φ22 )(ψ12 + ψ22 ) £2 = λφ0 ψ0 φ1 ψ1 + (−µ1 + λ1 φ20 + Như vậy, Lagrangian tương tác có dạng: £int = + + λ λ λ √1 φ0 φ1 + √ ψ0 ψ1 (φ21 + φ22 ) + (φ21 + φ22 )2 2 λ λ λ √2 ψ0 ψ1 + √ φ0 φ1 (ψ12 + ψ22 ) + (ψ12 + ψ22 )2 2 λ (φ + φ22 )(ψ12 + ψ22 ) 92 (B.3) B.2 Các biểu thức tích phân lượng riêng Các tích phân xung lượng D11 (k) = β (2mφ )3/2 M1 +(2mφ )3/2 I1 [M1 , T ]; 6π (2mφ )3/2 D22 (k) = − M1 + (2mφ )3/2 I2 [M1 , T ]; 12π β G11 (k) = β (2mψ )3/2 M2 + (2mψ )3/2 I1 [M2 , T ]; 6π G22 (k) = − β 2 (2mψ )3/2 M2 +(2mψ )3/2 I2 [M2 , T ]; 12π tr ln D−1 (k) = (2mφ )3/2 M1 + (2mφ )3/2 I3 [M1 , T ]; 30π tr ln G−1 (k) = (2mψ )3/2 M2 + (2mψ )3/2 I3 [M2 , T ] 30π β β ∞ I1 [M, T ] = ∞ I2 [M, T ] = dp p4 × n(E) = 2π E dp E × n(E) = 2π ∞ I3 [M, T ] = T ∞ ∞ p3 dp 2π p2 + M ep √ p2 +M /T dp p p2 + M √ ; 2π ep p2 +M /T − √ p dp −p p2 +M /T ln − e ; 2π 2 n(E) = eE/T − Từ suy lượng riêng λ1 λ1 3λ1 M13 + I1 [M1 , T ] + I2 [M1 , T ] 24π 2 λ λ λ +(2mψ )3/2 M23 + I1 [M2 , T ] + I2 [M2 , T ] , 48π 4 5λ1 3λ1 λ1 Σφ2 = (2mφ )3/2 M + I [M , T ] + I2 [M1 , T ] 1 24π 2 λ λ λ +(2mψ )3/2 M23 + I1 [M2 , T ] + I2 [M2 , T ] , 48π 4 λ2 λ2 3λ2 Σψ1 = (2mψ )3/2 − M23 + I1 [M2 , T ] + I2 [M2 , T ] 24π 2 λ λ λ +(2mφ )3/2 M13 + I1 [M1 , T ] + I2 [M1 , T ] , 48π 4 λ2 5λ2 3λ2 Σψ2 = (2mψ )3/2 M2 + I1 [M2 , T ] + I2 [M2 , T ] 24π 2 λ λ λ +(2mφ )3/2 M13 + I1 [M1 , T ] + I2 [M1 , T ] 48π 4 Σφ1 = (2mφ )3/2 − 93 ; −1 B.3 Khai triển nhiệt độ cao Các tích phân (2mφ )3/2 (2mφ )3/2 Γ(3/2) ζ(3/2)T 3/2 − ζ(1/2)M12 T 1/2 M1 + 2 6π 4π β − ζ(−1/2)M14 T −1/2 ; (2mφ )3/2 (2mφ )3/2 Γ(3/2) D22 (k) = − ζ(3/2)T 3/2 + ζ(1/2)M12 T 1/2 M1 + 2 12π 4π β + ζ(−1/2)M14 T −1/2 ; (2mψ )3/2 (2mψ )3/2 Γ(3/2) G11 (k) = ζ(3/2)T 3/2 − ζ(1/2)M22 T 1/2 M2 + 2 6π 4π β − ζ(−1/2)M24 T −1/2 ; D11 (k) = (2mψ )3/2 (2mψ )3/2 Γ(3/2) M2 + ζ(3/2)T 3/2 + ζ(1/2)M22 T 1/2 2 12π 4π + ζ(−1/2)M24 T −1/2 ; 3/2 3/2 (2mφ ) (2mφ ) Γ(3/2) tr ln D−1 (k) = M15 + − ζ(5/2)T 5/2 2 30π 4π β + ζ(3/2)M12 T 3/2 − ζ(1/2)M14 T 1/2 ; 3/2 3/2 (2mψ ) (2mψ ) Γ(3/2) tr ln G−1 (k) = M25 + − ζ(5/2)T 5/2 2 30π 4π β + ζ(3/2)M22 T 3/2 − ζ(1/2)M24 T 1/2 (B.4) G22 (k) = − β 2 Thế hiệu dụng CJT nhiệt độ cao là: λ2 λ (2mφ )3/2 Γ(3/2) λ1 V˜βCJT = −µ1 φ20 + φ40 − µ2 ψ02 + ψ04 + φ20 ψ02 + 2 4π m3φ λ1 −ζ(5/2)T 5/2 + ζ(3/2)M12 T 3/2 − ζ(1/2)M14 T 1/2 − ζ(3/2)]2 T 8π 3 mψ λ2 2ζ(3/2) 3/2 mφ λ1 2 − ζ(3/2)] T −ζ(1/2)ζ(3/2)M T − M2 T 8π 8π 3π 1/2 3/2 3/2 mφ mψ λ m3ψ λ2 [ζ(1/2)]2 ζ(1/2)ζ(3/2) 2 + M T − ζ(3/2)]2 T 3− M1 T 3 8π 16π ζ(1/2)ζ(3/2) 2 ζ(3/2) 3/2 ζ(3/2) 3/2 [ζ(1/2)]2 2 − M2 T + 1/2 M1 T + 1/2 M2 T + M1 M2 T ( B.5) 3π 3π 94 Do ∂ V˜βCJT (2mφ )3/2 Γ(3/2) ρ1 = − = φ20 + D11 + D22 = φ20 + ∂µ1 β β 8π 2ζ(3/2)T 3/2 − ζ(1/2)M12 T 1/2 − ζ(−1/2)M14 T −1/2 (2mφ )3/2 Γ(3/2) + ζ(1/2)M12 T 1/2 + ζ(−1/2)M14 T −1/2 , 8π ∂ V˜βCJT (2mψ )3/2 Γ(3/2) = ψ02 + G11 + G22 = ψ02 + ∂µ2 β β 8π ζ(3/2)T 3/2 − ζ(1/2)M22 T 1/2 − ζ(−1/2)M24 T−1/2 3/2 (2mψ ) Γ(3/2) + ζ(3/2)T 3/2 + ζ(1/2)M22 T 1/2 + ζ(−1/2)M24 T−1/2 8π ρ2 = − (B.6) Thay giá trị mật độ ngưng tụ nhiệt độ cao vào biểu thức M1 ; M2 , nhận 3/2 M12 M22 λ1 mφ ζ(3/2) 3/2 λ √ = −µ1 + 3λ1 ρ1 + ρ2 − T 2 2π 3/2 3/2 λ2 mψ ζ(3/2) 3/2 λ √ T = −µ2 + 3λ2 ρ2 + ρ1 − 2 2π 3/2 (B.7) Tương tự, thu biểu thức áp suất lượng tự nhiệt độ cao lấy gần bậc là: P [µ1 , µ2 , ρ1 , ρ2 , T ] = λ1 ρ21 + λ2 ρ22 + λρ1 ρ2 9(m6φ λ31 + m6ψ λ32 )[ζ(1/2)]2 [ζ(3/2)]2 + T 512π 9/2 9/2 3(mφ λ21 +mψ λ22 )ζ(1/2)[ζ(3/2)]2 7/2 (m3φ λ1 + m3ψ λ2 )[ζ(3/2)]2 √ + T + T 8π 32 2π 9/2 9/2 9/2 mφ λ1 (2µ1 − 6λ1 ρ1 − λρ2 ) + mψ 2λ22 µ2 [ζ(1/2)]2 ζ(3/2)T 5/2 √ + 128 2π 9/2 9/2 9mψ λ22 (6λ2 ρ2 +λρ1) [ζ(1/2)]2 ζ(3/2)T5/2 3/2 3/2 (mφ +mψ )ζ(5/2) 5/2 √ √ − + T 128 2π 9/2 2π 3/2 m3φ λ1(2µ1 −6λ1 ρ1 −λρ2)+m3ψ λ2 (2µ2 −6λ2 ρ2 −λρ1) ζ(1/2)ζ(3/2) + 32π 3/2 3/2 T2 mφ (2µ1 − 6λ1 ρ1 − λρ2 ) + mψ (2µ2 − 6λ2 ρ2 − λρ1 ) ζ(3/2) √ + T 3/2 2π 3/2 95 m3φ λ1 (2µ1 −6λ1 ρ1 −λρ2 )2 +m3ψ λ2 (2µ2 −6λ2 ρ2 −λρ1 )2 [ζ(1/2)]2 + 256π T, (B.8) λ1 ρ2 +λ2 ρ22 +λρ1 ρ2 27(m6φ λ31 +m6ψ λ32 )[ζ(1/2)]2 [ζ(3/2)]2 ∂ + E = − (βP )= − T ∂β 512π 9/2 9/2 15(mφ λ21 +mψ λ22 )ζ(1/2)[ζ(3/2)]2 7/2 (m3φ λ1 +m3ψ λ2 )[ζ(3/2)]2 √ + T + T 4π 64 2π 9/2 9/2 9/2 27 mφ λ21 (2µ1−6λ1ρ1−λρ2)+mψ λ22 (2µ2−6λ2 ρ2−λρ1) [ζ(1/2)]2 ζ(3/2) √ T 5/2 + 9/2 256 2π 3/2 3/2 3(mφ + mψ )ζ(5/2) 5/2 √ + T 2π 3/2 m3φ λ1 (2µ1−6λ1 ρ1−λρ2 )+m3ψ λ2 (2µ2−6λ2 ρ2−λρ1 ) ζ(1/2)ζ(3/2) + 32π 3/2 T2 3/2 mφ (2µ1 −6λ1 ρ1 −λρ2 )+mψ (2µ2−6λ2 ρ2−λρ1 ) ζ(3/2) √ + T 3/2 16 2π 3/2 B.4 (B.9) Khai triển nhiệt độ cực thấp ∞ ∞ z x−1 z x−1 dz = Γ(x)ζ(x); dz = (1 − 21−x )Γ(x)ζ(x), z +1 ez − e ∞ dp p3 √ I1 [M, T ] = 2 p2 + M ep p +M /T − 2π T4 π2T = Γ(4)ζ(4) = , 2π M 30M ∞ dp p p2 + M T2 T2 √ I2 [M, T ] = = Γ(2)ζ(2) = , 2 2 12M 2π ep p +M /T − 2π M √ ∞ p dp π2T −p p2 +M /T ln 1−e , I3 [M, T ] = T = − 2π 90M thu λ1 π λ1 λ1 M + T + T , 24π 60M1 8M1 π2λ λ λ +(2mψ )3/2 M + T + T2 , 48π 120M2 48M2 5λ1 π λ1 λ1 3/2 = (2mφ ) M1 + T + T2 , 24π 20M1 24M1 λ π λ λ +(2mψ )3/2 M23 + T + T2 , 48π 120M2 48M2 Σφ1 = (2mφ )3/2 − Σφ2 96 (B.10) λ2 λ2 π λ2 T + T , M + 24π 60M2 8M2 λ λ π2λ +(2mφ )3/2 T + T2 , M + 48π 120M1 48M1 5λ2 λ2 π λ2 Σψ2 = (2mψ )3/2 T + T2 M + 24π 20M2 24M2 λ λ π2λ +(2mφ )3/2 T + T2 , M + 48π 120M1 48M1 3/2 3/2 (2mφ ) π (2mφ ) T ; D11 (k) = M13 + 6π 30M15 β Σψ1 = (2mψ )3/2 − D22 (k) = − β G11 (k) = β (2mψ )3/2 (2mψ )3/2 π T ; M2 + 6π 30M25 G22 (k) = − β tr ln D−1 (k) = β (2mφ )3/2 (2mφ )3/2 T ; M1 + 12π 12M1 (2mψ )3/2 (2mψ )3/2 T ; M2 + 12π 12M2 (2mφ )3/2 (2mφ )3/2 π M1 − T 30π 90M13 tr ln G−1 (k) β (2mψ )3/2 (2mψ )3/2 π T , = M2 − 30π 90M23 M1 M2 √ √ 3/2 3/2 2M1 mφ λ1 2m3φ λ1 π = 2λ1 ρ1 − T , − 5/2 3π 15M1 √ √ 3/2 3/2 2M2 mψ λ2 2m3ψ λ2 π T , = 2λ2 ρ2 − − 5/2 3π 15M2 (B.11) Lấy gần bậc M1 ; M2 , nhận M1 2λ1 ρ1 , M2 2λ2 ρ2 97 (B.12) ... Chương II CẤU TRÚC PHA CỦA NGƯNG TỤ BOSE- EINSTEIN TRONG KHÍ BOSE MỘT THÀNH PHẦN Ở NHIỆT ĐỘ CỰC THẤP Chương dành cho nghiên cứu cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein thành phần nhiệt độ cực thấp mô... [58] để nghiên cứu cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein khí Bose nhiệt độ cực thấp Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận án Luận án phát hai tượng cấu trúc pha khí Bose nhiệt độ cực thấp có BEC Đó trình... (II.42) Cấu trúc pha ngưng tụ Bose - Einstein khí Bose thành phần nhiệt độ cực thấp Trong phần này, để có tranh đầy đủ cấu trúc pha, q trình chuyển pha BEC khí Bose thành phần nhiệt độ cực thấp,