Đang tải... (xem toàn văn)
- Điều quan trọng ở đây là làm sao khi đọc đề bài, chúng ta biết được rằng bài đó phải dùng quy tắc cộng hay quy tắc nhân. Thông thường, nếu một bài toán mà công việc có thể giải quyết t[r]
(1)ĐẠI SỐ TỔ HỢP A QUY TẮC ĐẾM CƠ BẢN:
I Quy tắc cộng:
Quy tắc cộng cho công việc với hai phương án phát biểu sau:
Giả sử công việc thực theo phương án A phương án B Có n cách thực phương án A có m cách thực theo phương án B Khi cơng việc thực n + m cách
Quy tắc cộng cho công việc với nhiều phương án phát biểu sau:
Giả sử cơng việc thực theo k phương án A1, A2, …, Ak Có n1 cách thực phương án A1, n2 cách thực phương án A2, … nk cách thực phương án Ak Khi cơng việc thực n1 + n2 + … + nk cách
Ví dụ: Giả sử từ tỉnh A đến tỉnh B phương tiện: ô tô, tàu hỏa, tàu thủy máy bay Mỗi ngày có 10 chuyến ô tô, chuyến tàu hỏa, chuyến tàu thủy chuyến máy bay Hỏi có cách từ tỉnh A đến tỉnh B ngày?
Giải:
Người có bốn phương án chọn Phương án thứ ô tơ, mà ngày có 10 chuyến tơ nên phương án có 10 cách chọn Tương tự, phương án thứ hai tàu hỏa có cách chọn, phương án thứ ba tàu thủy có cách chọn, phương án thứ tư máy bay có cách chọn Vậy theo quy tắc cộng, ta có 10 + + + = 20 cách chọn
* Lưu ý
Quy tắc cộng thực chất quy tắc đếm số phần tử hợp hai tập hợp không giao nhau:
Nếu tập hợp hữu hạn A B khơng giao Khi số phần tử AB số phần tử A cộng với số phần tử B, tức là:
| AB| = |A| + |B|
Tuy nhiên nhiều tốn, phải tính số phần tử hai tập hợp A B có giao khác rỗng Nếu trường hợp ta lấy số phần tử tập A cộng với số phần tử tập B số phần tử AB tính hai lần Cho nên, trường hợp kết phải trừ số phần tử AB Vậy:
Nếu cho tập hợp hữu hạn A B giao khác rỗng Khi số phần tử AB số phần tử A cộng với số phần tử B trừ số phần tử AB, tức là:
| AB| = |A| + |B| - | AB| Quy tắc gọi quy tắc cộng mở rộng
II Quy tắc nhân:
Quy tắc nhân cho công việc với hai công đoạn phát biểu sau:
Giả sử cơng việc bao gồm hai cơng đoạn A B Cơng đoạn A làm theo n cách Với cách thực cơng đoạn A cơng đoạn B làm theo m cách Khi cơng việc thực theo nm cách
Quy tắc nhân cho công việc với nhiều công đoạn phát biểu sau:
Giả sử cơng việc bao gồm k công đoạn A1, A2, …, Ak Công đoạn A1 làm theo n1 cách, cơng đoạn A2 làm theo n2 cách, …,
cơng đoạn Ak làm theo nk cách Khi cơng việc thực theo n1n2…nk cách
Ví dụ: Nam đến văn phịng phẩm mua q tặng bạn Trong cửa hàng có ba mặt hàng: bút, thước, có loại bút, loại vở, loại thước Hỏi Nam có cách chọn quà gồm bút, thước?
Giải
(2)Một bút chọn từ loại bút nên có cách chọn
Ứng với cách chọn bút chọn từ loại nên có cách chọn
Ứng với cách chọn bút thước chọn từ loại thước nên có cách chọn Vậy theo quy tắc nhân ta có: 5.4.3 = 60 cách chọn mua quà
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1 Sử dụng quy tắc cộng để giải toán đếm.
Để sử dụng quy tắc cộng toán đếm, ta thực theo bước:
Bước 1: Phân tách cách giải công việc thành k phương án độc lập với nhau: A1,A2, … ,Ak Bước 2: Nếu:
A1 có n1 cách khác A2 có n2 cách khác ……
Ak có nk cách khác
Bước 3: Khi đó, ta có n1 + n2 + … + nk cách 2 Sử dụng quy tắc nhân để giải toán đếm
Để sử dụng quy tắc nhân toán đếm, ta thực theo bước: Bước 1: Phân tách công việc thành k công việc nhỏ liên tiếp: A1,A2, … ,Ak
Bước 2: Nếu:
A1 có n1 cách khác
Ứng với cách thực A1, A2 có n2 cách khác ……
Ứng với cách thực A1,…,Ak-1 Ak có nk cách khác Bước 3: Khi đó, ta có n1 n2 … nk cách
Chú ý:
- Điều quan trọng đọc đề bài, biết phải dùng quy tắc cộng hay quy tắc nhân Thơng thường, tốn mà cơng việc giải theo nhiều phương án hay có nhiều trường hợp xảy ta thường dùng quy tắc cộng, cịn tốn mà cơng việc thực công việc nhỏ liên tiếp, nhiều công đoạn trường hợp nhỏ liên kết với trường hợp nhỏ ta thường dùng quy tắc nhân
- Trong nhiều trường hợp cần kết hợp hai quy tắc để giải tốn đếm B HỐN VỊ, CHỈNH HỢP, TỔ HỢP:
I Khái niệm giai thừa:
1) Định nghĩa: Với n n1
Tích n số tự nhiên liên tiếp từ đến n gọi n giai thừa Ký hiệu: n! Ta có: n! = 1.2…n
Quy ước: 0!=1 1!=1 2) Một số công thức:
! !
* ! ( 1)!. * ( 1)( 2) ( ) * ( 1)( 2)
! ( )!
n n
n n n k k n n k n k n k n
k n k
II Hoán vị:
Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt (n0) Mỗi cách xếp n phần tử A theo thứ tự gọi hốn vị n phần tử Số hoán vị n phần tử kí hiệu là: Pn
Pn n! 1.2 n
Hốn vị * Nhóm có thứ tự
(3)Ví dụ 1: Sắp xếp người vào băng ghế có chỗ Hỏi có cách? Mỗi cách đổi chỗ người băng ghế hoán vị
Vậy có P5 5! 120 cách
Ví dụ 2: Một đồn khách du lịch dự định đến tham quan điểm du lịch A, B, C, D, E, G H Hà Nội Họ tham quan theo thứ tự đó, chẳng hạn A B C D E F G H Như cách họ chọn thứ tự tham quan hoán vị tập {A, B, C, D, E, G, H} Do đồn khách có tất P7 7! 5040 cách chọn
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1 Dạng 1: Hoán vị thẳng:
Ví dụ: Trên đường thẳng (d) cho ba điểm A, B, C Hỏi có cách ghi điểm A, B, C cho lên đoạn thẳng (d)
Giải:
Số cách ghi điểm A, B, C lên đường thẳng (d) số hoán vị tập {A, B, C} Ta có số hốn vị {A, B, C} là: P3 3! 6 cách
Vậy có cách ghi điểm A, B, C lên đường thẳng (d) 2 Dạng 2: Hốn vị trịn:
Mời n vị khách ngồi xung quanh bàn tròn có cách xếp chỗ ngồi?
Ví dụ 1: Một hội nghị bàn trịn có phái đồn nước Đài Loan: có người, Triều Tiên: có người, Nhật: có người, Singapo: có người Hỏi có cách xếp chỗ ngồi cho thành viên cho thành viên quốc tịch ngồi cạnh nhau?
Giải: Chọn phái đồn ngồi trước
3 phái đồn cịn lại ngồi sau có 3! = cách xếp Trong phái đồn:
Đài Loan có 3! = cách xếp chỗ ngồi Triều Tiên có 2! = cách xếp chỗ ngồi Nhật có 3! = cách xếp chỗ ngồi Singapo có 3! = cách xếp chỗ ngồi
Vậy có tất = 25292 cách xếp chỗ ngồi cho thành viên quốc tịch ngồi gần
Ví dụ 2: Trong buổi hợp mặt có bạn nam bạn nữ Có cách xếp chỗ ngồi quanh bàn tròn cho bạn nam, nữ ngồi xen kẽ
Giải: Sắp chỗ ngồi cho bạn nam có 10 cách Số cách xếp bạn nam lại 4! cách
Số cách xếp bạn nữ là: 5! cách
Vậy số cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn thoả yêu cầu toán là: 10 x 4! x 5! = 28 800 cách xếp
3 Dạng 3: Hốn vị có lặp lại
(4)n1 vật giống Có n2 vật giống …
Có nk vật k giống Số cách xếp n vật là: n!/(n1! nk!) cách xếp
Ví dụ 1: Xếp sách toán giống nhau, sách lý giống nhau, sách hố giống vào kệ sách hỏi có cách xếp
Giải:
Số cách xếp sách vào kệ số hoán vị tập gồm có phần tử Số hốn vị tập có phần tử là: 9! cách xếp
Vì có sách tốn giống nhau, sách lý giống nhau, sách hoá giống nên số cách xếp sách vào kệ là: 9!
1260 3!.4!.2! cách
Ví dụ 2: Cho chữ số 1, 2, 3, 4, Hỏi ta lập số có chữ số chữ số xuất lần, chữ số xuất lần
Giải: Xét tập A1,1,1, 2, 2,3, 4,5
Các số lập là: 8!/(3!.2!) = 3360 số
III Chỉnh hợp:
1 Định nghĩa:
Cho tập hợp A gồm n phần tử phân biệt (n1) Mỗi cách chọn k (1 k n)phần tử A xếp theo thứ tự gọi chỉnh hợp chập k n phần tử
2 Số chỉnh hợp:
Số chỉnh hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k n)được ký hiệu Ank )! k n (
! n ) k n ) ( n ( n Akn
Ví dụ: Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua đá luân lưu 11m Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách thứ tự cầu thủ số 11 cầu thủ đội để tham gia đá
Mỗi danh sách có xếp thứ tự cầu thủ gọi chỉnh hợp chập 11 cầu thủ
Huấn luyện viên đội chọn 11 cầu thủ để đá Tiếp theo có 10 cách chọn cầu thủ đá thứ hai, có cách chọn cầu thủ đá thứ 3, lại có cách chọn cầu thủ đá thứ tư cuối có cách chọn cầu thủ đá thứ năm
Theo quy tắc nhân, huấn luyện viên đội có 11.10.9.8.7 55440cách chọn Chú ý:
a) Hai chỉnh hợp khác có phần tử chỉnh hợp không phần tử chỉnh hợp phần tử chỉnh hợp giống xếp theo thứ tự khác
b) Với quy ước 0!=1 An0 1 ta có:
Chỉnh hợp
* Nhóm có thứ tự
* Gồm k phần tử lấy từ n phần tử A
(5)! ( )!
k n
n
A k n
n k
c) Mỗi hốn vị n phần tử chỉnh hợp chập n n phần tử Vì : Pn Ann
d) n k n k (1 )
n n n k
A A A k n
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: 1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức
* Phương pháp :
Để rút gọn biểu thức có chứa tốn tử chỉnh hợp, ta thường sử dụng cơng thức khai triển Ngồi ra, rút gọn biểu thức cịn cho phép ta tính giá trị biểu thức
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Rút gọn biểu thức:
6
4 ( 6, )
n n
n
A A
P n n
A
Giải : Ta có :
6
4
2
! !
( 6)! ( 5)! !
( 4)!
( 1)( 2)( 3)( 4)( 5) ( 10( 2)( 3)( 4) ( 1)( 2)( 3)
( 4)( 5) ( 4) ( 4)( 5 1) ( 4)
n n
n
n n
A A n n
P
n A
n
n n n n n n n n n n n
n n n n
n n n n n n
Vậy P (n 4)2
Ví dụ 2: Tính giá trị biểu thức:
12 11 10
49 49 17 17
10
49 17
A A A A
M
A A
Giải: Ta có:
12 11 10
49 49 17 17
10
49 17
49! 49! 17! 17!
(49 12)! (49 11)! (17 10)! (17 9)!
49! 17!
(49 12)! (17 8)!
49! 49! 17! 17!
39! 39! 9! 9! 37! 38! 7! 8!
49! 17! 37! 38! 7! 8!
39! 9!
(39.38 39) (9.8 9) 39.39 9.9 14
A A A A
M
A A
40
2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
(6)* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh rằng: An kn2 An kn1 k A2 n kn Giải: Ta có: 2 ( )! ( )! ( )! ( )!
( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)!
( )! ( )! ( )!
( 2)! ( 1)! ( 1)! ( )!
!
n n
n k n k
n n k
n k n k n k n k
A A
n k n n k n k k
n k k k n k k k n k
k k k k k
k n k
k A k
Vậy ta điều phải chứng minh Ví dụ 2: Chứng minh rằng:
2 n n n A P n P Giải: Ta có: 22
( 2)! ( 2)! !
! ( 2)!
( 2)! !
n n
n n n
A P n n
n n Khi 2
( 2)!
2 2
( 1)!
n n
n
A P n
n n P n Vậy 2 n n n A P n P
Ví dụ 3: Chứng minh rằng: k k1 k11
n n n
A A k A
Giải: Ta có: 1
( 1)! ( 1)! ( 1)! ( 1)!
( )! ( 1)! ( 1)! ( )!
( 1)! ( 1)! !
1
( 1)! ( 1)! ( )!
k k
n n
k n
n n n k n
A k A k
n k n k n k n k
n k n n n
A
n k n k n k n k n k
Vậy 11
k k k
n n n
A A k A
3 Dạng 3: Giải phương trình, bất phưong trình.
* Phương pháp: Để giải phương trình, bất phương trình chứa tốn tử chỉnh hợp, ta chọn hai cách sau:
Cách 1: Thực việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình, bất phương trình dạng đại số quen thuộc Cách 2: Đánh giá vế thông qua giá trị cận cận
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm n nguyên dương thoả điều kiện:
2
) n 20 ) n 18 n ) n n
a A n b A A c A A
Giải: a) Điều kiện n3, n
(7)
2 !
20 20 ( 1)( 2) 20 ( 1)( 2) 20 ( 3)
( 3)!
6 18
3
n
n
A n n n n n n n n do n
n
n
n n
n
Kết hợp điều kiện ta nhận n =
Vậy n = thoả yêu cầu toán b) Điều kiện n n
n n
Ta có:
5
2
2
! ( 2)! ( 2)!( 1) ( 2)!
18 18 18
( 5)! ( 6)! ( 6)!( 5) ( 6)! ( 1) 18( 5) 19 90
10
n n
n n n n n n
A A
n n n n n
n
n n n n n
n
Kết hợp điều kiện ta nhận hai nghiệm
Vậy n9 n10thoả yêu cầu toán c) Điều kiện n2, n
Ta có:
2
! ! ( 2)!( 1) ( 1)!
3 3
( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)!
1
( 1) 3
3
n n
n n n n n n n
A A
n n n n
n
n n n n n
n
Kết hợp điều kiện ta nhận n3
Vậy n3 thoả yêu cầu tốn Ví dụ 2: Giải phương trình: 3
x x
P A
Giải:
Điều kiện: 1 x *3 x
Ta có:
3!
3 3 ! !(3 )! (*)
(3 )!
x x
P A x x x
x
Với x1 (*)1!(3 1)! 2 (đúng) Với x2 (*) 2!(3 2)! 2 (đúng) Với x3 (*) 3!(3 3)! 2 (sai) Kết luận:
Nghiệm phương trình là: x1hoặc x2
Ví dụ 3: Giải bất phương trình:
4 15
( 2)! ( 1)!
n A
n n
(8)Điều kiện: n 2*
n
4
2
( 4)!
15 ! 15 ( 4)! 15
( 2)! ( 1)! ( 2)! ( 1)! ( 2)! ! ( 1)! ( 2)!( 3)( 4) 15 ( 3)( 4)
15 ( 2)!( 1)! ( 1)!
7 12 15 12
n
n
A n n
n n n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n n
Kết hợp điều kiện ta n3, 4,5
Vậy n3, 4,5là nghiệm bất phương trình cho 4 Dạng 4: Thực tốn đếm:
* Phương pháp:
Sử dụng kết hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng, hoán vị chỉnh hợp để giải tốn
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Có cách để chọn cầu thủ khác 10 cầu thủ đội bóng quần vợt để chơi trận đấu đơn, biết trận đấu có thứ tự
Giải:
Mỗi cách chọn có thứ tự cầu thủ đội bóng chỉnh hợp chập 10 Khi ta có 103
10!
7.8.9.10 5040 6!
A cách chọn
Vậy có 5040 cách chọn
Ví dụ 2: Với chữ số 1, 2, 3, 4, ta lập số gồm n chữ số khác nhau? (n, 2 n 5) Giải:
Mỗi số có n chữ số khác ứng với chỉnh hợp chập n phần tử cho Với n2: số số gồm chữ số lập từ số là: A52 20 số
Với n3: số số gồm chữ số lập từ số là: A5360 số
Với n4: số số gồm chữ số lập từ số là: A54 120 số
Với: n5: số số gồm chữ số lập từ số là: A55 120 số
Do đó, số lập là: 20 60 120 120 320 số
Ví dụ 3: Có số tự nhiên gồm chữ số khác tạo nên từ số 0, 1, 2, …, 8, (chú ý chữ số phải khác 0)
Giải:
Gọi số tự nhiên có chữ số abcd, với a1, 2, ,8,9 ; , , b c d0,1, 2, ,8,9 Vì chữ số khác 0, nên có cách chọn chữ số a
Sau chọn chữ số chữ số sau lập từ chữ số cịn lại, nên chỉnh hợp chập Suy có: 93
9! 9!
7.8.9 504 (9 3)! 6!
A
(9)Vậy có 9.504 4536 số tự nhiên gồm chữ số khác
IV.Tổ hợp: 1 Định nghĩa:
Cho tập A có n phần tử số nguyên k với (1 k n) Mỗi tập A có k phần tử gọi tổ hợp chập k n phần tử A (gọi tắt tổ hợp chập k A)
Như lập tổ hợp chập k A lấy k phần tử A (khơng quan tâm đến thứ tự)
Chú ý: Số k định nghĩa cần thoả mãn điều kiện (1 k n) Tuy vậy, tập hợp khơng có phần tử tập hợp rỗng nên ta quy ước gọi tập rỗng tổ hợp chập n phần tử
Ví dụ: Trên mặt phẳng, cho bốn điểm phân biệt A, B, C, D cho ba điểm thẳng hàng Hỏi tạo nên tam giác mà đỉnh thuộc tập bốn điểm cho?
Giải:
Mỗi tam giác ứng với tập gồm ba điểm từ tập bốn điểm cho Vậy ta có bốn tam giác ABC, ABD, ACD, BCD
2 Số tổ hợp:
Số tổ hợp chập k tập hợp có n phần tử (1 k n) kí hiệu Cnkhoặc
k n
( 2)( 3) ( 1) !
! 1.2.3 !( )!
k
k n
n
n n n n n k
A n
k k k n k
C
Chú ý: Ta quy ước Cn0 1( coi 1à tổ hợp chập tập hợp có n phần tử) Với quy ước công thức
cũng vớik 0 Vậy công thức với số nguyên k thoả mãn 0 k n
3 Tính chất:
a) Tính chất 1:
Cho số nguyên dương n số nguyên k với 0 k n Khi đó:Cnk Cnn k
b) Tính chất 2: (hằng đẳng thức Pa-xcan)
Cho số nguyên n k với 1 k n Khi đó: 1
k k k
n n n
C C C CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI:
1 Dạng 1: Rút gọn biểu thức:
Để thực việc rút gọn biểu thức chứa tốn tử tổ hợp, ta sử dụng cơng thức khai triển Ví dụ: Rút gọn biểu thức:
2
1
2
n
n n
n n
n n
C C
A C n
C C
Giải: Ta có:
Tổ hợp * Nhóm khơng có thứ tự * Gồm k phần tử lấy từ n phần tử A
n phần tử
Tổ hợp * Nhóm khơng có thứ tự * Gồm k phần tử lấy từ n phần tử A
(10)1 , ! 2!( 2)!
2. 2. 1
! ( 1)! 1 1 ! ( 1)!1! n n n n n n n C n n C n n n C n C n n C n Suy 1 ( 1)
2 ( 1) 1
2
n
n n
n n
n n
C C n n
A C n n n
C C
2 Dạng 2: Chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức:
Để chứng minh đẳng thức, bất đẳng thức chứa toán tử tổ hợp ta thường sử dụng công thức khai triển
Có trường hợp sử dụng tính đơn điệu dãy số để chứng minh, cụ thể với dãy số un để chứng minh
k
u u ta chứng minh dãy un đơn điệu giảm * Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Chứng minh với số k, n nguyên khơng âm cho 0 k n ta có: 1 k k n n nC C k Giải: Ta có:
1 . ( 1)! !
( 1)!( )! !( )!
k
k n k
n n
nC n n n
C C
k k k n k k n k
(điều phải chứng minh) Ví dụ 2: Chứng minh rằng: nn1 (n 1)n
với n,n3
Giải: Ta có:
1
( 1) 1 1 1
( 1) 1 . 1 1
n n
n
n n
n
n n
n n n
n n n n
Ta lại có:
2
0
1 1 1 1
1
! 1
1 1 1 1
2!( 2)!
n n
n
n n n n
n
C C C C
n n n n
n n n
Vậy 1 1
n n n
với n3 Nên bất đẳng thức nn1 (n 1)n
3 Dạng 3: Giải phương trình bất phương trình
Để giải phương trình, bất phương trình chứa toán tử tổ hợp, chọn hai cách sau:
Cách 1: Thực việc đơn giản biểu thức để chuyển phương trình bất phương trình dạng đại số quen thuộc Cách 2: Đánh giá thông qua giá trị cận cận
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm k biết rằng: 14 14 2 141
k k k
C C C
Giải: Điều kiện: k12, k (*)
Biến đổi phương trình dạng:
(11)2
14! 14! 2.14!
!(14 )! ( 2)!(12 )! ( 1)!(13 )!
1 1 2
(14 )(13 ) ( 2)( 1) ( 1)(13 ) 4
12 32 0
8
k k k k k k
k k k k k k
k k k k
Ví dụ 2: Tìm số x ngun dương thỏa mãn phương trình:
1 6 6 9 14 (1)
x x x
C C C x x
Giải: Điều kiện: 3 x (*)
x
Biến đổi vế trái phương trình ta có:
1
3
! ! !
6 6 6. 6.
1!( 1)! 2!( 2)! 3!( 3)!
( 1)! ( 1)( 2)! ( 1)( 2)( 3)!
( 1)! ( 2)! ( 3)!
3 ( 1) ( 1)( 2)
x x x
x x x
C C C
x x x
x x x x x x x x x
x x x
x x x x x x x
Khi phương trình (1) trở thành
3
0
9 14 9 14 0 7
2 x
x x x x x x x
x Vậy phương trình có nghiệm là: x7
Ví dụ 3: Định x, y cho: 1: 1: : :
y y y
x x x
C C C
Giải: Điều kiện: ,
1 x y y x
Ta có: y1: y 1: y : :
x x x
C C C
1 1
6 ( 1)( 1) 6
5 ( )( 1) 5
1
6 3
2 3 ( 1) 6
8 (2 1)2 5
3 3 1 y x y x y x y x
C x y
C x y x y
x C y C y y x y y y x y
Dạng 4: Thực tốn đếm:
Ví dụ 1: Trong mặt phẳng cho tập hợp P gồm điểm, khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác có đỉnh thuộc P?
Giải:
Với tập gồm điểm P, ta tạo tam giác với đỉnh điểm Ngược lại, tam giác có đỉnh thuộc P tương ứng với tập gồm điểm P
Vậy số tam giác có đỉnh thuộc P số tổ hợp chập tập P, tức bằng:
3
7! 7.6.5 35 3!(7 3)! 3.2.1
C
cách
thoả mãn điều kiện (*)
(12)Ví dụ 2: Trong lớp có 20 học sinh nam 15 học sinh nữ Thầy chủ nhiệm cần chọn học sinh nam học sinh nữ tham gia chiến dịch “Mùa hè xanh” Đoàn Thanh niên Cộng sản Hồ Chí Minh Hỏi có cách chọn?
Giải: Số cách chọn học sinh nam số 20 học sinh nam là: 204
20! 20.19.18.17
4 845 4!(20 4)! 1.2.3.4
C
cách
Số cách chọn học sinh nữ số 15 học sinh nữ là: 153
15! 15.14.13 455 3!(15 3)! 1.2.3
C
cách
Theo quy tắc nhân ta có số cách chọn là: 4845.455 2204475 cách chọn Phương pháp chung:
Dạng phương trình bất phương trình có chứa , k, k, !
n n n
P A C n * Phương pháp:
Đặt điều kiện: , 0 n k
k n
Áp dụng công thức, rút gọn kết C NHỊ THỨC NEWTON
I Công thức nhị thức Newton:
0 1
0
( )n n n k n k k n n n k n k k
n n n n n
k
a b C a C a b C a b C b C a b
* Nhận xét:
- Vế phải khai triển có n+1 số hạng - Số chập tăng dần từ 0 n
- Số mũ a giảm từ n 0, hiệu n số chập - Số mũ b tăng từ 0 n, số mũ b số chập - Tổng số mũ a b số hạng n - Số hạng tổng quát khai triển (số hạng thứ k+1)
1 k n k k ( 0, )
k n
T C a b k n
Chú ý:
a b ta có 2n Cn0C1nCn2 Cnk Cnn1Cnn 1;
(13)0
1
2 2
3 2
4 2
5 2
( ) 1 1
( ) 1 1
( ) 2 1 2 1
( ) 3 3 1 3 3 1
( ) 4 6 4 1 4 6 4 1
( ) 5 10 10 5 1 5 10 10 5 1
a b
a b a b
a b a ab b
a b a a b ab b
a b a a b a b ab b
a b a a b a b a b ab b
Các hệ số tam giác Pa-xcan hệ số khai triển nhị thức ( )n
a b
CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Dạng 1: Viết khai triển theo cơng thức nhị thức Newton: Ví dụ 1: Viết khai triển 1 ( 3 15)6
27 theo công thức nhị thức Newton Giải:
Ta có:
6 3
6 6
4 5 6
6 6
3 3 3 3
6 6 6 6
( 3 15) ( 3) ( 3) ( 15) ( 3) ( 15) ( 3) ( 15) ( 3) ( 15) ( 3)( 15) ( 15)
3 3 5 3 5 3 5 3 25 3 25 5 3 5
C C C C
C C C
C C C C C C C
Do ta được:
6
6 6 6 6
1
( 3 15) 5 5 5 5 25 25 5 5
27
64(9 5)
C C C C C C C
Ví dụ 2: Viết số hạng theo luỹ thừa tăng dần x đa thức sau:
10
8
) 1 ) (3 )
2 x
a b x
Giải:
10
0 2
10 10 10
8 2
8
45
) 1 5
2 2 2 4
) (3 ) 3 3 (2 ) 3 (2 ) 6561 349922 81648
x x x
a C C C x x
b x C x C x x x
Dạng 2: Dùng tam giác Pa-xcan để khai triển nhị thức
* Phương pháp:
- Viết tam giác Pa-xcan đến dòng n tương ứng - Viết khai triển nhị thức
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ:Dùng tam giác Pa-xcan để khai triển (3x 2 )y
(14)0 1
1 1 1
2 1 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 10 10 5 1
n n n n n n
Khi đó:
5 2
5 2
(3 2 ) (3 ) 5(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 10(3 ) ( ) 5(3 )( ) ( )
243 810 1080 720 240 32
x y x x y x y x y x y y
x x y x y x y xy y
Dạng 3: Rút gọn tính giá trị biểu thức Ví dụ 1: Tính: S C 502C5122C52 2 5C55
Giải: Ta có: (1x)5 C50C x C x51 52 2 C x55
Cho x2 ta được: 35 C502C5122C52 2 5C55 S 243
Ví dụ 2: Rút gọn biểu thức:
1
2 2
0
2 2
n
n n n n
n
n n n n
A C C C C
B C C C C
Giải: Ta có:
2 2 2 2
2 2 2
2 2 2 2
2 2 2
(1 ) (1)
(1 ) (2)
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
x C C x C x C x C x
Thay x1vào (1) (2) ta được:
2 2
2 2 2
0 2
2 2 2
2 (3)
0 (4)
n n n
n n n n n
n n
n n n n n
C C C C C
C C C C C
Khi đó:
Lấy (3) – (4) ta được:
2 12 23 25 22 1 22
n n n
n n n n
C C C C A
Lấy (3) + (4) ta được:
2 20 22 24 22 22
n n n
n n n n
C C C C B
Dạng 4: Giải phương trình:
Ví dụ: Giải phương trình: x x x x x x 10 1023
x x x x x x
C C C C C C
Giải: Điều kiện: 10 x
Biến đổi phương trình dạng:
1 10
1 10
0 10
1023
1023
1023 1
2 1024 10
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x
x x x x x x x
x
C C C C C C
C C C C C C
C C C C C C C
x
Dạng 5: Tìm số hạng hệ số khai triển nhị thức Newton: * Dạng tìm số hạng thứ k: Số hạng thứ k khai triển ( )n
a b Tk C ank n k( 1)bk
Dạng tìm số hạng (hoặc hệ số số hạng) chứa xm
* Phương pháp:
- Số hạng tổng quát (số hạng thứ k+1) khai triển ( )n
a b là:
(15)( )
1 ( ) ( 0, )
k n k k f k
k n
T C a b M k x k n
- Giải phương trình f k( )m tìm nghiệm k0
Khi số hạng cần tìm là: 0 0
k n k k
k n
T C a b
hệ số số hạng chứa
m
x M k( )0
Chú ý: Thông thường n cho sẵn Nếu n khơng cho sẵn ta tìm n theo kiện đề bài, sau áp dụng cơng thức số hạng tổng quát
* Ví dụ minh hoạ:
Ví dụ 1: Tìm hệ số x y5 khai triển (x y )13 Giải: Ta có số hạng tổng quát khai triển (x y)13
là:
13
1 13 0,13
k k k
k
T C x y k
Số hạng chứa x y5 8 nên: 13 5 8
8 k k k
Vậy hệ số x y5 8 khai triển (x y)13
là: C138 1 287 Ví dụ 3: Cho biết hệ số số hạng thứ khai triển
3 n x x x x
36 Tìm số hạng thứ Giải:
Ta có:
2
5
3
2 3
0
n n n k k
n k n k
x
x x x x C x x
x
Số hạng thứ khai triển Cn2 Theo đề ta có:
2 36 ! 36 72 0 9
8 2!( 2)! 9 n n n
C n n
n n n
Vậy số hạng thứ cho bởi:
6
3 2
5
6
9 84
C x x x
Ví dụ 4: Với n số nguyên dương Chứng minh rằng: 42 4n n 4n n 5n
n n n n
C C C C
Giải: Ta có khai triển theo nhị thức Newton:
(1 )n 2 n n n n
n n n n n
x C C x C x C x C x
Chọn x4khi
0 2 1
1 2 1
(1 4) 4 4 4 4
5 1 4 4 4 4
n n n n n
n n n n n
n n n n n
n n n n
C C C C C
C C C C
Ví dụ 5: Giả sử số hạng thứ k1 (a b )n C a bnk n k k
Tính số hạng thứ 13 khai triển (3 x)15
Giải: Ta có: (3 )15 150315 151314 15k315 k.( )k 1515 15
x C C x C x C x
Do k0 ứng với số hạng thứ nên k 12 ứng với số hạng thứ 13
Vậy số hạng thứ 13 khai triển là: 1512 12 12 12
15!
3 ( ) 27 . 12 285
12!3!
C x x x
Ví dụ : Tìm số hạng độc lập với x khai triển nhị thức
(16)Giải: Số hạng tổng quát khai triển nhị thức là:
18
18 18 18 18
1 18 18 18
4
. 2 .2 . 2 .
2
k k
k k k k k k k k k
k
x
T C C x x C x
x
Số hạng độc lập với x khai triển nhị thức có tính chất: 18 2 k 0 k 9
Vậy số hạng cần tìm là: C89.29
BÀI TẬP A Bài tập sách giáo khoa:
§1 Quy tắc đếm:
Bài 1: Từ chữ số 1, 2, 3, lập số tự nhiên gồm: a) Một chữ số? b) Hai chữ số? c) Hai chữ số khác nhau?
Giải: a) Có số có chữ số tạo thành từ số cho là: 1, 2, 3, b) Gọi số cần tìm có dạng: ab Trong a b, 1, 2,3, 4
Để tạo thành số ab ta phải thực hai công đoạn là: chọn a chọn b Chọn a có cách
Ứng với cách chọn a b có cách chọn (vì a không bắt buộc phải khác b) Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cần tìm là: = 16 (số)
c) Gọi số cần tìm có dạng: ab Trong a1, 2,3, , b1, 2,3, \ a Để tạo thành số ab ta phải thực hai cơng đoạn là: chọn a chọn b Chọn a có cách
Ứng với cách chọn a b có cách chọn (vì a phải khác b) Vậy theo quy tắc nhân, ta có số cần tìm là: = 12 (số)
Bài 2: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên bé 100? Giải:
Gọi A1; 2; 3; 4; 5; 6
Các số tự nhiên bé 100 gồm có chữ số hai chữ số Trường hợp 1: Có số tự nhiên có chữ số
Trường hợp 2: Giả sử số tự nhiên có hai chữ số có dạng ab với a, b thuộc A
a chọn từ tập A có phần tử nên có cách chọn
Ứng với cách chọn a b chọn từ tập A có phần tử nên có cách chọn Theo quy tắc nhân ta có: = 36 cách chọn số có hai chữ số
Vậy theo quy tắc cộng ta có: 36 + = 42 cách chọn
Bài 3: Các thành phố A, B, C, D nối với đường hình 26 Hỏi:
a) Có cách từ A đến D mà qua B C lần? b) Có cách từ A đến D quay lại A?
Giải:
Từ A đến B có đường, từ B đến C có đường, từ C đến D có đường a) Từ A muốn đến D bắt buộc phải qua B C
Có cách chọn đường từ A qua B
Ứng với cách chọn từ A qua B có cách chọn đường từ B đến C
Ứng với cách chọn đường từ B đến C có cách chọn đường từ C đến D
A B C D
(17)Vậy theo quy tắc nhân, số cách từ A đến D mà qua B C lần là: = 24 (cách)
b) Tương tự, ta có số cách từ A đến D trở A là: = 242 = 576 (cách)
Bài 4: Có ba kiểu mặt đồng hồ đeo tay (vng, trịn, elip) bốn kiểu dây (kim loại, da vải nhựa) Hỏi có cách chọn đồng hồ gồm mặt dây?
Giải: Để chọn đồng hồ, ta phải chọn mặt dây Một mặt đồng hồ chọn từ kiểu mặt nên có cách chọn
Ứng với cách chọn kiểu mặt đồng hồ dây chọn từ kiểu dây nên có cách chọn Vậy ta có: = 12 cách chọn mua đồng hồ
§2 Hốn vị - chỉnh hợp – tổ hợp:
Bài 1: Từ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên gồm sáu chữ số khác Hỏi: a) Có tất số?
b) Có số chẵn, số lẻ? c) Có số bé 432 000?
Giải:
a) Mỗi số gồm sáu chữ số khác đồng với hoán vị sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Vậy có 6! số b) Để tạo nên số chẵn, ta cần chọn chữ số hàng đơn vị số chẵn Có cách chọn
5 chữ số cịn lại (sau chọn chữ số hàng đơn vị) theo thứ tự tạo nên hoán vị phần tử Có 5! cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân có 5! = 360 số số chẵn có sáu số tạo nên từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, Tương tự, số số lẻ có sáu chữ số tạo nên từ sáu chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 360
c) Các số câu a) bé 432 000 bao gồm: * Các số có chữ số hàng trăm nghìn nhỏ 4:
- Có cách chọn chữ số hàng trăm nghìn, chữ số 1, 2,
- Sau chọn chữ số hàng trăm nghìn, ta phải chọn tiếp năm chữ số cịn lại thứ tự chúng để ghép với chữ số hàng trăm nghìn tạo thành số có sáu chữ số Mỗi lần chọn hoán vị phần tử (5 chữ số) Có 5! cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân, chữ số hàng trăm nghìn nhỏ là: 5! = 360 (số) * Các số có chữ số hàng nghìn chữ số hàng chục nghìn nhỏ 3
- Có cách chọn chữ số hàng chục nghìn, chữ số 1,
- Sau chọn chữ số hàng chục nghìn phải chọn tiếp bốn chữ số thứ tự chúng để ghép với hai chữ số hàng trăm nghìn hàng chục nghìn tạo thành số có sáu chữ số Có 4! cách chọn
Vậy theo quy tắc nhân có tất 4! = 48 số
* Các số có chữ số hàng trăm nghìn 4, hàng chục nghìn 3, hàng nghìn (nhỏ 2) Vậy có 3! = (số)
Từ theo quy tắc cộng, số số câu a) bé 432 000 là: 360 + 48 + = 414 (số)
Bài 2: Có cách xếp chỗ ngồi cho mười người khách vào mười ghế kê thành dãy? Giải:
Mỗi cách xếp chỗ ngồi 10 người khách theo hàng ngang cho hoán vị 10 ngược lại Vậy có 10! = 628 800 cách xếp
Bài 3: Giả sử có bảy bơng hoa màu khác ba lọ khác Hỏi có cách cắm ba bơng hoa vào ba lọ cho ( lọ cắm bơng)?
Giải:
(18)Dó đó, kết cần tìm 73 7! 210 4!
A (cách)
Bài 4: Có cách mắc nối tiếp bóng đèn chọn từ bóng đèn khác nhau? Giải:
Ta chọn bóng đèn từ bóng đèn để mắc nối tiếp Vì bóng đèn khác nên ta phải tính thứ tự Vậy có 64
6!
360 (6 4)!
A
cách mắc nối tiếp bốn bóng đèn chọn từ sáu bóng
Bài 5: Có cách cắm bơng hoa vào lọ khác (mỗi lọ cắm không bông) nếu: a) Các hoa khác nhau?
b) Các hoa nhau?
Giải:
a) Đánh số hoa 1, 2, Chọn lọ để cắm hoa Mỗi cách cắm chỉnh hợp chập Vậy số cách cắm A53 5.4.3 60 (cách)
b) Nếu bơng hoa cách cắm tổ hợp chập (lọ) Vậy số cách cắm là:
3
5.4.3 10 3!
C (cách)
Bài 6: Trong mặt phẳng cho sáu điểm phân biệt cho ba điểm thẳng hàng Hỏi lập tam giác mà đỉnh thuộc tập điểm cho?
Giải:
Số tam giác số tổ hợp chập (điểm) Từ đó, ta có số tam giác C6320
Bài 7: Trong mặt phẳng có hình chữ nhật tạo từ bốn đường thẳng song song với năm đường thẳng vng góc với bốn đường thẳng song song đó?
Giải:
Để tạo nên hình chữ nhật từ chín đường thẳng cho, ta tiến hành hai hành động:
- Hành động 1: Chọn hai đường thẳng từ bốn đường thẳng song song Vì đường thẳng cố định nên lần chọn cho ta tổ hợp chập phần tử (4 đường thẳng) Vậy có C42cách
- Hành động 2: Chọn hai năm đường thẳng vng góc với bốn đường thẳng song song với Tương tự, ta có
2
C cách
Từ theo quy tắc nhân, ta có số hình chữ nhật là: C C42 52 60 (hình chữ nhật)
§3 Nhị thức Newton
Bài 1:Viết khai triển theo công thức nhị thức Newton:
13
5 1
)( 2 ) ; ) ( 2) ; )
a a b b a c x
x
Giải:
5 3 4 5
5 5 5
5 2
6 3 4
6 6 6
5 6
6
6
) ( 2 ) .2 (2 ) (2 ) (2 ) (2 )
10 40 80 80 32
) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)
( 2) ( 2)
6 2 30 40 2 60
a a b C a C a b C a b C a b C a b C b
a a b a b a b ab b
b a C a C a C a C a C a
C a C
a a a a a
13 13
13 13
0
24 2 8. 1
) k.( 1) k k
k
a
c x C x
x
(19)Bài 2: Tìm hệ số x3 khai triển biểu thức:
6
2 x
x
Giải: Số hạng tổng quát khai triển là:
6
1
6
6
2
. 0, 6
.2 2
k
k k
k
k k k k k k k
T C x k
x
C x x C x
Số hạng chứa
x nên 3 k 3 k1 Vậy hệ số
x khai triển cho là: 2C16 12 Bài 3: Biết hệ số x2 khai triển (1 )n
x
90 Tìm n Giải: Số hạng tổng quát khai triển là:
1 1 ( ) ( 3) 0, 6
k n k k k k k
k n n
T C x C x k
Ta có hệ số x2 khai triển cho :
Cn2( 3) 90 (1) Điều kiện:
2 n n
2 5
9 ! .( 1)
(1) 90 10 20 0
4
( 2)!.2! 2
n
n n n
n n
n n
Vậy n = 5
Bài 4: Tìm số hạng không chứa x khai triển
8
3 1
x x
Giải: Số hạng tổng quát khai triển:
3 24 24
1 8
1
( ) . 0,8
k
k k k k k k k
k
T C x C x x C x k
x
Số hạng không chứa x nên 24 4 k 0 k 6 (nhận)
Số hạng không chứa x khai triển số hạng thứ 7: T7 C86 28
Bài 5: Từ khai triển biểu thức (3x 4)17
thành đa thức, tính tổng hệ số đa thức nhận
Giải: Số hạng tổng quát khai triển là:
17 17 17
1 17.(3 ) ( 4) 173 ( 4) 0,17
k k k k k k k
k
T C x C x k
Ta có hệ số đa thức là:
17
17 17 16 15 17 17 17 17
17 17 17 17 17
0
3 ( 4) 3 3 ( 4) 3 ( 4) ( 4) (3.1 4) ( 1) 1
k k k
k
C C C C C
Bài 6: Chứng minh rằng: a) 1110 1
chia hết cho 100;
b) 100
101 1chia hết cho 10 000;
(20)c) 10 (1 10)100 (1 10)100
số nguyên
Giải:
10 10 2 9 10
10 10 10
2 2 9 10
10 10
100 100 2 99 99 100
100 100 100
2 2 99 99
100 100
)11 1 (1 10) 1 (1 10 10 10 10 ) 1
(10 10 10 10 ) 100
)101 1 (1 100) 1 (1 100 100 100 100 ) 1
(100 100 100 100
a C C C
C C
b C C C
C C
00
100 2 99 99 100
100 100 100
100 2 99 99 100
100 100 100
100 100 99 99
100 100
1 50
100 100
) 10 000
) (1 10) 1 10 ( 10) ( 10) ( 10)
(1 10) 1 10 ( 10) ( 10) ( 10)
10 (1 10) (1 10) 2 10 10 ( 10)
2 10 10
c C C C
C C C
C C
C C
99
Tham khảo :
Bài Giả sử bạn muốn mua áo sơ mi cỡ 39 40 Áo cỡ 39 có màu khác nhau, áo cỡ 40 có màu khác Hỏi bạn có lựa chọn (về màu cỡ áo) ?
Bài Có số tự nhiên có hai chữ số mà hai chữ số chẵn ? Bài Trong trường THPT, khối 11 có 280 học sinh nam 325 học sinh nữ
a) Nhà trường cần chọn học sinh khối 11 dự hội học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ?
b) Nhà trường cần chọn hai học sinh nam nữ dự trại hè học sinh thành phố Hỏi nhà trường có cách chọn ?
Bài Từ chữ số 1, 5, 6, lập số tự nhiên a) Có chữ số (không thiết khác nhau) ?
b) Có chữ số khác ?
Bài Có khả xảy thứ tự đội giải bóng đá có đội bóng ? (Giả sử khơng có hai đội có điểm trùng nhau)
Bài Giả sử có vận động viên tham gia chạy thi Nếu khơng kể trường hợp có hai vận động viên đích lúc có kết xảy vị trí thứ nhất, thứ nhì thứ ba ?
Bài Trong Ban chấp hành đoàn gồm người, cần chọn người vào ban thường vụ
a) Nếu khơng có phân biệt chức vụ người ban thường vụ có cách chọn ?
b) Nếu cần chọn người vào ban thường vụ với chức vụ : Bí thư, Phó Bí Thư, Uỷ viên thường vụ có cách chọn ?
Bài Một thi có 15 người tham dự, giả thiết khơng có hai người có điểm a) Nếu kết thi việc chọn người điểm cao có kết có thể? b) Nếu kết thi việc chọn giải nhất, nhì, ba có kết có thể?
Bài Một tổ có em nam em nữ Người ta cần chọn em tổ tham gia thi học sinh lịch trường Yêu cầu em chọn phải có em nữ Hỏi có cách chọn?
Bài 10 Một nhóm học sinh có em nam em nữ Người ta cần chọn em nhóm tham gia đồng diễn thể dục Trong em chọn, u cầu khơng q em nữ Hỏi có cách chọn?
Bài 11 Từ 10 nam nữ người ta chọn ban đại diện gồm người có hai nam nữ , hỏi có cách chọn Nếu :
a) Mọi người vui vẽ tham gia
b) Cậu Tánh cô Nguyệt từ chối tham gia
Bài 12 một lớp học gồm 30 học sinh nam 15 học sinh nữ , chọn học sinh để lập đội tốp ca Hỏi có cách chọn
(21)Bài 13 Tìm hệ số x y101 99 khai triển (2x )y 200 Bài 14 Tính hệ số x y5 8 khai triển (x y)13
Bài 15 Tính hệ số
x khai triển (1 x)11
Bài 16 Tính hệ số x9 khai triển (2 x)19
Bài 17 Khai triển (3x1)10cho tới x3
Bài 18 Tìm hệ số x7trong khai triển (3 )x15
Bài 19 Tìm hệ số x y25 10trong khai triển (x3 xy) 15
Bài 20 Khai triển (3x 1)16
Bài 21 Chứng minh:
0 1 2
0 1 2
) 2 2 2 3
) 3 3 3 ( 1) 2
n n n n n
n n n n
n n n n n n
n n n n
a C C C C
b C C C C
Bài 22 Tìm số nguyên dương n cho: 2n n 243
n n n n
C C C C
Bài 23 Tìm hệ số x3 nhị thức sau :
6 1 x x , 1 x x , 1 x x
Bài 24 Tìm hệ số x5 nhị thức sau :
15 1 x x , 10 1 x x , 20 1 x x
Bài 25 Tìm hệ số x3 nhị thức sau :
15 2 x x , 2 x x
Bài 26 Biết hệ số x2 khai triển (1-3x)n 90 Tìm n ? Bài 27 Tìm hệ số khơng chứa x khai triển
20 2 x x Bài 28 Tìm hệ số khồng chứa x khai triển :
12 3 3 x x Bài 29 Tìm số hạng khơng chưa x khai triển sau :
15 3 3 x x Bài 30 Tìm hệ số x31 khai triển nhị thức