Dang 2. Khối cầu ngoại tiếp khối đa diện(VDT

Câu [2H2-2.2-3] (Chuyên Quốc Học Huế Lần1) Cho mặt cầu tâm O tam giác ABC có ba đỉnh � nằm mặt cầu với góc BAC  30 BC  a Gọi S điểm nằm mặt cầu, không  ABC  thỏa mãn SA  SB  SC , góc đường thẳng SA mặt phẳng thuộc mặt phẳng  ABC  600 Tính thể tích V khối cầu tâm O theo a 3 3 32 3 15 3 V a V a V a V a 27 27 27 A B C D Lời giải Tác giả: Lê Đức Lộc; Fb: Lê Đức Lộc Chọn B SH   ABC  Gọi H tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC , SH trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy �  600  ABC  SAH Góc đường thẳng SA mặt phẳng Gọi N trung điểm SA , mặt phẳng trung trực cạnh SA cắt SH O Khi OS  OA  OB  OC nên O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC Khi bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC AH  BC  a 2sin 300 SH  AH tan 600  a , SA  SH  AH  2a Bán kính mặt cầu R  SO  SN SA SA2   a SH 2SH 32 3 V   R3  a 27 Thể tích khối cầu tâm O Câu ABCD [2H2-2.2-3] (Hàm Rồng ) Cho tứ diện có � � � BC  a, CD  a 3, BCD  ABC  ADC  90� Góc đường thẳng AD BC 60� Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD a A a C B a Lời giải D a Tác giả: Hà Khánh Huyền; Fb: Hà Khánh Huyền Chọn A Gọi H hình chiếu A mặt phẳng ( BCD ) �BC  AB �BC  HB �� � CD  AD � CD  HD Theo định lý đường vng góc ta có: � Do đó, BCDH hình chữ nhật Ta có: �, BC  AD �  60�  AD   �, HD   ADH B, D nhìn AC góc vng Nên tứ diện ABCD nội tiếp mặt cầu đường kính AC 2 Có: AH  HD tan 60� a 3; HC  2a ; AC  3a  4a  a Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: Câu R a AC  2 [2H2-2.2-3] (Chuyên Hưng Yên Lần 3) Cho hình hop S ABCD có ABCD hình chữ nhật  ABCD  trung điểm tâm I cạnh AB  3a , BC  4a Hình chiếu S mặt phẳng ID Biết SB tạo với mặt phẳng  ABCD  góc 45� Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 25 125 125 a a a A B C D 4 a Lời giải Tác giả: Phạm An Bình ; Fb: Phạm An Bình Chọn B  SBD  , vẽ IT song Gọi E trung điểm ID , F trung điểm SB Trong mặt phẳng song với SE cắt EF T � � SBE SB;  ABCD  � SE   ABCD  � � 45� Suy VSBE vng cân E Suy Ta có , suy ra EF trung trực SB Suy TS  TB (1) IT   ABCD  Ta có IT PSE , suy Suy IT trục đường trịn ngoại tiếp hình chữ nhật ABCD Suy TA  TB  TC  TD (2) Từ (1) (2) suy T tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Do ABCD hình chữ nhật nên BD  AB  BC  5a , suy Do E trung điểm ID nên IE  IB  ID  a ID  a �  45� VBEF vng F có EBF nên VBEF vuông cân F IT  IE  a � VEIT vng I có IET  45�nên VEIT vuông cân I Suy Do VBIT vuông I nên TB  IB  IT  5 a Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Câu S  4 TB  125 a [2H2-2.2-3] (KIM LIÊN HÀ NỘI NĂM 2018-2019 LẦN 03) Cho hình hộp chữ nhật ABCD A���� B C D có AB  a, AD  2a, AA '  3a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A���� B C D A V 28 14 a B V  6 a C Lờigiải V 14 a 3 D V  6 a Tácgiả: Lê Cảnh Dương; FB: Cảnh Dương Lê Chọn C B C D Khi đó, đường thẳng OO ' Gọi O, O�lần lượt tâm hình chữ nhật ABCD, A���� ���� trục đường trịn ngoại tiếp đáy hình chữ nhật ABCD, A B C D Gọi I trung điểm đoạn thẳng OO ' , ta có IA  IB  IC  ID  IA '  IB '  IC '  ID '  R B C D có tâm I bán kính R  IA Suy mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật ABCD A���� OO� AA� 3a AC AB  AD a IO    , OA    2 2 2 Ta có Trong tam giác vng AOI ta có R  OI  AO  a 14 14 a V   R3  3 Vậy thể tích khối cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật Câu [2H2-2.2-3] (Chuyên Hạ Long lần 2-2019) Cho tứ diện ABCD có AB  CD  , AD  BC  , AC  BD  Tính thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A 35  ( đvtt) B 35 ( đvtt) 35 35  C ( đvtt) D 35 35  ( đvtt) Lời giải Tác giả:Lê thị Ngọc Thúy; Fb: Lê Thị Ngọc Thúy Chọn C Gọi M , N , I trung điểm AB , CD MN Ta có ACD  BCD � AN  BN � ABN cân N , mà AM đường trung tuyến � AM đường trung trực AB Chứng minh tương tự ta có � IA  IB  � IC  ID  MN (1) MN (2) Từ (1) (2) suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Áp dụng công thức trung tuyến cho tam giác ACD ta có AN  36  25 113   4 MN MN 2  AN  MN  2 4 Xét tam giác vuông AMI có: AI  AM  MI 1� 113 � 35 3MN  AN   AN  AM    AN  AM   �  �  AN  �4 4� 4  AM  Suy bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD R  AI  35 35 35 V   R3   Vậy thê tích khối cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: Câu [2H2-2.2-3] (Sở Ninh Bình Lần1) Khẳng định đúng? A Hình chóp có đáy hình thang vng có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải Tác giả: Nguyễn Ngọc Tâm; Fb:Nguyễn Ngọc Tâm Chọn C Hình thang cân tứ giác nội tiếp đường tròn ( tâm đường tròn giao điểm đường thẳng qua trung điểm đáy với đường trung trực cạnh bên hình thang) nên hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp miudan0411@gmail.com Câu [2H2-2.2-3] (THPT-Gia-Lộc-Hải-Dương-Lần-1-2018-2019-Thi-tháng-3)Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật có đường chéo 2a , cạnh SA có độ dài 2a vng góc với mặt phẳng đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD ? a A a B 2a C a D 12 Lời giải Tác giả: Phương Thúy; Fb: Phương Thúy Chọn A  1 *) Ta có SAC vng A ) CM  SDC vng D Ta có: AD  CD ( ABCD hình chữ nhật) SA  CD (vì cạnh SA vng góc với mặt phẳng đáy) Ta suy ra: CD   SAD   CD  SD  SDC vuông D  2  3 *) Chứng minh tương tự, ta  SBC vuông B Từ  1 ,   ,  3 : Ta suy ra: mặt cầu  S  ngoại tiếp hình chóp S ABCD có đường kính SC 2 2 Ta có: SC  SA  AC  4a  2a  a Vậy mặt cầu Câu  S ngoại tiếp hình chóp S ABCD có bán kính R SC a  2 [2H2-2.2-3] (THPT-Yên-Khánh-Ninh-Bình-lần-4-2018-2019-Thi-tháng-4)Cho hình chóp S ABC , đáy ABC tam giác cạnh a ; SA   ABC  Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB ; SC Diện tích mặt cầu qua điểm A , B , C , K , H 4 a 4 a  a2 A B 3 a C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Dung; Fb: Nguyễn Dung Chọn C Gọi AD đường kính đường trịn ngoại tiếp ABC (1) �DB  AB � DB   SAB  � DB  AH � DB  SA � Ta có �AH  SB ( gt ) � AH   SBD  � AH  HD (2) � AH  DB � Từ suy Chứng minh tương tự ta AK  KD (3) Từ (1), (2), (3) ta suy điểm A, B, C , H , K nằm mặt cầu đường kính AD Gọi O trung điểm AD , ta có R  AO  a 3 (Vì ABC tam giác cạnh a ) �a � 4 a S  4 R  4 � �3 � � A , B , C , H , K � � Vậy diện tích mặt cầu qua điểm là: Câu [2H2-2.2-3] (CHUYÊN NGUYỄN DU ĐĂK LĂK LẦN X NĂM 2019) Cho tứ diện ABCD cạnh a Gọi K trung điểm AB , M , N hình chiều K lên AD AC Tính theo a bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp K CDMN ? a A 3a B a C 3a D Lời giải Tác giả: Nguyễn Quang Dương; Fb: Nguyễn Quang Dương Chọn D Tứ diện ABCD đều, có độ dài cạnh BH   ACD  Gọi H trọng tâm tam giác ABC Gọi E trung điểm AH , suy KE   ACD  Từ E hạ EN vng góc xuống AC, N �AC , suy KN  AC Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác NCD O �AH Ta tính ON  OC  OD  39 12 Dựng đường thẳng d qua O , vng góc với  ACD  IF  KE   F  Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp K MNCD , (Với IF đường trung trực KE ) suy OEFI hình chữ nhật 1 3 NE   OE  KE  12 ; ; Ta tính được: Đặt OI  x ta có 2 2 � �IC  IO  OC  x  OC � 2 2 �IK  IF  KF  OE   KE  x  � 39 �6 x   �  x � x �6 � 144 16 � � suy 24 Mà IC  IK nên Vậy Rmc  IK  Chọn D gv.nguyenduytan@gmail.com Câu 10 [2H2-2.2-3] (CỤM TRẦN KIM HƯNG HƯNG N NĂM 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh 3a Hình chiếu vng góc S mặt phẳng đáy ABCD điểm H thuộc cạnh AB cho HB  HA Cạnh SA hợp với mặt phẳng đáy góc 60o Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD 475 a A 55 a C B 21 a D 22 a Lời giải Tác giả: Minh Hạnh ; Fb: fb.com/meocon2809 Chọn C Do HB  HA AB  3a nên HA  a Trong SHA vng H ta có SH  HA.tan 60� a Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ, chọn a  ta tọa độ điểm sau:   H  0;0;0  , B  2;0;0  , A  1;0;0  , C  2;3;0  , S 0;0; Phương trình mặt cầu ngoại tiếp khối chóp có dạng: x  y  z  Ax  By  2Cz  D  A  B2  C  D  0 � Ax  By  2Cz  D  x  y  z  * Vì A, B, C , S thuộc mặt cầu nên ta có hệ phương trình: � �A  2 A  B  0C  D  � � � � A  B  0C  D  � �B  �� � A  B  0C  D  13 � � C � � A  B  C  D  � � � D   � Bán kính mặt cầu ngoại tiếp là: � � 2 � � 3 165 � � � � 2 � R  A  B  C  D a  � � � � �  �a  a � � � � � �2 � �2 � �6 � � � � �   � 165 � 55 a S  4 R  4 � � a� � � � Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là: Cách ( Dùng cơng thức tính nhanh giải trắc nghiệm) Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt đáy Nên ta có cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD là: 2 R  Rday  Rben  AB , R với R bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD , day bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy hình chóp S ABCD , Rben bán kính đường trịn ngoại tiếp tam giác SAB Ta có: Do HB  HA AB  3a nên HA  a Trong SHA vuông H ta có SH  HA.tan 60� a SB  SH  HB  a SB 21  Rben � Rben  a � sin SAB , AC Rday   a 2 Vậy R2  165 a 36 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp là: nguyenminh78vn@gmail.com S  4 R  55 a Câu 11 [2H2-2.2-3] (Cụm trường chun lần1) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vng cạnh a Cạnh bên SA  a vng góc với đáy  ABCD  Tính theo a diện tích mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD 2 2 A 2 a B 8 a C 2a D a Lờigiải Tác giả: Trần Mạnh Tường; Fb: Trần Mạnh Tường Chọn B � � � Dễ thấy góc SAC , SBC , SDC 90�nên mặt cầu ngoại tiếp khối chóp S ABCD 1 R SA2  AC  6a  2a  a SC 2 I có tâm trung điểm có bán kính nên diện tích mặt cầu : S  4 R  8 a (đvdt) Câu 12 [2H2-2.2-3] (KINH MÔN HẢI DƯƠNG 2019) Cho hình chóp S ABCD có đáy hình vuông, cạnh 4cm Biết SAB tam giác nằm mặt phẳng vng góc với mặt đáy Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp có diện tích 112 8  5 (cm ) (cm ) (cm ) (cm ) A B C D Lời giải Tác giả:Đoàn Văn Điền ; Fb:Điền Đoàn Chọn A Cách 1: Câu 16 [2H2-2.2-3] (THPT Nghèn Lần1) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 2 a 2 a 2 a 2 a A B 12 C D Lời giải Tác giả: Dương Thị Bích Hịa; Fb: Dương Thị Bích Hịa Chọn C Gọi I tâm hình vng ABCD Dễ thấy tam giác ABC , ADC , ASC , BSD tam giác vng cân có I trung điểm cạnh huyền nên I cách tất đỉnh hình chóp S ABCD Vậy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABCD bằng: Vậy thể tích khối cầu cần tìm là: V R AC a  2 2 a  R3  3 Câu 17 [2H2-2.2-3] (Chun Vinh Lần 3) Cho hình chóp S ABC có đáy tam giác vng A , AB  1cm , AC  cm Tam giác SAB SAC vuông B C Khối cầu ngoại tiếp 5  SAB  hình chóp S ABC tích cm Tính khoảng cách từ C tới cm A cm B cm C Lời giải cm D Tác giả : Nguyễn Thị Thu Hằng ; Fb: Nguyễn Thu Hằng Chọn D � � Cách 1: Vì SBA  SCA  90�suy trung điểm I cạnh SA tâm mặt cầu ngoại tiếp hình SA R chóp S ABC với bán kính Thể tích khối cầu V 5 5 �  R3  �R 6 � SA  Gọi O trung điểm BC , điểm D đối xứng với A qua O nên tứ giác ABDC hình chữ nhật  1 Dễ thấy CD  SB , CD  DB � CD  SD SC  DB , CD  DB � DB  SD   Từ (1) (2) � SD   ABDC  � SD  SA2  AD    Gọi H chân đường vng góc D lên cạnh SB d  C ,  SAB    d  D,  SAB    DH � AB   SDB  � AB  DH DH  SB � DH   SAB  Thật AB  BD ; AB  SD ; 1 1 1   �    � DH  2 2 DH SD DB DH 3 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  cm � � Cách 2: Vì SBA  SCA  90�suy trung điểm I cạnh SA tâm mặt cầu ngoại tiếp hình SA R chóp S ABC với bán kính Thể tích khối cầu V 5 5 �  R3  �R 6 � SA  Gọi O trung điểm BC , BIC cân nên OI  BC ; OI  IC  OC  � OI   ABC  � d  C ,  SAB    2d  O,  ABI   Mà O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC � AB   ONI  Gọi N trung điểm AB nên ON  AB , OI  AB �  ABI    ONI  theo giao tuyến IN � OH   ABI  � d  C ,  SAB    2d  O,  ABI    2OH Kẻ OH  IN 1 16      � OH  2 OH ON OI 3 Vậy khoảng cách từ C đến mặt phẳng  SAB  cm Câu 18 [2H2-2.2-3] (SGD-Nam-Định-2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với mặp phẳng  ABC  , tam giác ABC vuông B Biết SA  2a, AB  a, BC  a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp cho A R  a B R  2a C R  2a D R  a Lời giải Tác giả: Hồng Phúc ; Fb:Hồng Phúc Chọn A Vì tam giác ABC tam giác vuông B nên tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC D ( với D trung điểm AC ) 2 Theo pitago ta có: AC  a  3a  2a Suy AD  a Vậy tâm cầu ngoại tiếp hình chóp giao đường trung trực AC , SA điểm G Gọi E trung điểm SA nên AE  a  GD Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp R  a  a  a Câu 19 [2H2-2.2-3] (Chuyên Ngoại Ngữ Hà Nội) Cho tam giác ABC vuông B nằm mặt phẳng ( P ) có AB  2a , BC  3a Một điểm S thay đổi đường thẳng vng góc với  P  A (S �A) Gọi H , K hình chiếu vng góc A lên SB, SC Biết S thay đổi điểm A, B, H , K thuộc mặt cầu cố định Tính bán kính R mặt cầu A R  2a B R  2a C R  a D R  3a Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Hồng Hợp; Fb: Nguyễn Thị Hồng Hợp Chọn A Ta có: SA  BC ( Vì SA  ( ABC ) ) AB  BC (gt) � BC  ( SAB) Ta lại có: AH �(SAB ) � AH  BC (1) Và AH  SB (2) Từ (1) (2) suy AH  ( SBC ) Khi AHC vng H Lại có AKC vng K ABC vng B Suy B, H , K dều nhìn AC góc vng Vậy bốn điểm A, B, H , K thuộc mặt cầu đường kính AC Trong tam giác vng ABC có: AC  AB  BC  4a 2 �R AC  2a Câu 20 [2H2-2.2-3] ( Sở Phú Thọ) Cho tứ diện ABCD có AB  BC  AC  BD  2a , AD  a ; hai  ACD  mặt phẳng ABCD 64 a A 27  BCD  vng góc với Diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện 4 a B 27 16 a C 64 a D Lời giải Tác giả: Đinh Thanh ; Fb: An Nhiên Chọn D � BM   ACD  Ta có: VBCD cân B Gọi M trung điểm CD � BM  CD  ACD  tâm đường tròn ngoại tiếp VACD Vì BC  BD  BA � Hình chiếu B lên � M tâm đường tròn ngoại tiếp VACD 2 Do VACD vng A � CD  AC  AD  a � CM  a 3a � BM  2 M tâm đường tròn ngoại tiếp VACD  ABM  , qua N kẻ đường vng góc với AB cắt BM Gọi N trung điểm AB Trong O � OA  OB , � OA  OB , mặt khác O �trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy � OA  OC  OD  OB � O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD VBMA đồng dạng VBNO � BO  BA.BN 4a  BM Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: S  4 BO  64 a  ABC  , Câu 21 [2H2-2.2-3] (Sở Bắc Ninh 2019) Cho hình chóp S ABC có SA vng góc với �  450 AB  a, AC  a 2, BAC Gọi B ', C ' hình chiếu vng góc A lên SB, SC Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B '  a3 A B  a a C  a3 D Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Trà My ; Fb: Nguyễn My Phản biện: Nguyễn Trần Tuấn Minh ; Fb: Tuấn Minh Chọn D � Tam giác ABC có AB  a, AC  a 2, BAC  45 � BC  a suy tam giác ABC tam giác vuông cân B Vậy điểm B nhìn AC góc vng (1) BC   SAB  � BC  AB ' � � AB '  SB � �� AB '   BCC ' B ' � AB '  B ' C SB �BC  B � SB � BCC ' B ' , BC � BCC ' B '  � � Suy B ' nhìn AC góc vng (2) Do AC '  SC nên C ' nhìn AC góc vng (3) A BCC ' B ' mặt cầu đường kính AC Từ (1), (2), (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AC a R  2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B ' là:  a3 V   R3  3 Suy thể tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC ' B ' là: SA  Câu 22 [2H2-2.2-3] (Chuyên Bắc Giang) Cho hình chóp S ABC có a Bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC là: A R a 13 Chọn D Cách 1: B R a R a 13 a , cạnh lại R a 13 C D Lời giải Tác giả: Trương Hồng Hà: ; Fb: Trương Hồng Hà Gọi M , N trung điểm BC AD Ta có: ABC SBC tam giác cạnh a a � SAM tam giác cạnh � AM  SM  a  1 Gọi F trung điểm AM � SF  AM Mặt khác ABC � AM  BC SBC � SM  BC � BC   SAM  � BC  SF    1   � SF   ABC  Từ Gọi E trọng tâm ABC , ABC � E tâm đường trịn ngoại tiếp ABC  d  vng góc với mp  ABC  Qua E kẻ đường thẳng �  d  trục đường tròn ngoại tiếp ABC SF   ABC  �  d  // SF Vì Mặt khác SAM nên đường thẳng MN đường trung trực đoạn SA mp  SAM  O   d  �MN Trong , gọi O � d  � OA  OB  OC + O � MN � OS  OA + 2 Vậy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC , bán kính R  OA  OE  EA 2 a a a AE  AM   EM  AM  3 , Trong ABC : � � OME �  30� SAM � MN đường phân giác góc SMA OE � OE  a  a tan 30� 6 EM Xét OME vuông E : a a a 13 R  OE  EA    36 Vậy Cách 2: 2 Gọi H tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB , E trung điểm SA SAB cân B nên H �BE Vì CA  CB  CS  a nên CH  ( SAB) � Đường thẳng CH trục đường tròn ngoại tiếp SAB  d  vng góc với BC Gọi M trung điểm CB , qua M dựng đường thẳng  d  �CH  O O � d  � OB  OC + O � CH � OS  OA  OB + Suy O tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp SABC , bán kính R  OC CM CB CB CM CO � CO   �  CH 2.CH CH CB Ta có CMO : CHB BE  SB  SE  a  3a a 13  16 Xét SBE ta có: 1 a 13 a a 39 S SAB  BE.SA   2 16 Ta có: a3 SA.SB AB 2a BH    4.S SAB a 39 13 16 Bán kính đường trịn ngoại tiếp SAB là: 4a 3a CH  CB  BH  a   13 13 Xét CHB ta có: R  CO  Vậy CB a2 a 13   a 2.CH 13 Câu 23 [2H2-2.2-3] (Gang Thép Thái Ngun) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABC tam giác vuông cân B , BC  2a , cạnh bên SA vng góc với đáy Gọi H , K hình chiếu A lên SB SC , thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB A 2 a  a3 B C Lời giải 2 a 2 a 3 D Tác giả: Hồ Thị Hoa Mai; Fb: Hồ Thị Hoa Mai Chọn D Gọi M trung điểm BC ABC vuông cân B � KAC vuông K MB  MA  MC  � MK  AC (1) AC (2) BC  AB � � �� BC   SAB  � BC  AH � BC  SA � �� AH   SBC  � AH  HC � AH  SB � � AHC vuông H Từ  1 �  3 � MH  AC (3) � M tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp AHKCB Bán kính khối cầu cần tìm: R 1 AC  AB  BC  a 2 2 a V   R3  3 Thể tích khối cầu: Câu 24 [2H2-2.2-3] (Chuyên Lê Quý Đôn Điện Biên Lần2) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật, AB  , AD  cạnh bên hình chóp tạo với mặt đáy góc 60� Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp cho 250 125 50 500 V  V  V  V  27 A B C D Lời giải Tác giả: Nguyễn Minh Tuân; Fb: Nguyễn Minh Tuân Chọn D SO   ABCD  Gọi O tâm đáy, cạnh bên tạo với đáy góc 60�nên Mặt phẳng trung trực cạnh SD qua trung điểm M SD cắt SO I Ta có I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp bán kính mặt cầu R  IS OD SM BD  � OD  � SD   � SM  IS   R cos 60� 2; sin 60� 500 V   R3   27 Thể tích khối cầu tương ứng ngoại tiếp hình chóp Câu 25 [2H2-2.2-3] (HSG Bắc Ninh) Cho tứ diện ABCD có AB  6a , CD  8a cạnh cịn lại a 74 Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD A S  25 a B S  100 a S 100 a C D S  96 a Lời giải Tác giả: Nguyễn Thị Lan, FB: Nguyen Thi Lan Chọn B Gọi E , F thứ tự trung điểm AB, CD Coi a  , từ giả thiết ta có AC  AD  BC  BD  74 nên AF  CD, BF  CD �  ABF   CD � EF  CD Chứng minh tương tự EF  AB Khi EF đường trung trực CD AB Gọi I tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD ta có IA = IB = IC = ID = R nên I thuộc đoạn thẳng EF EF  AF  AE  AD  DF  AE  74  16   Đặt EI  x � FI   x (với < x < ) �IA  EA2  EI  x  � � 2 2 � �ID  FI  FD  16    x   x  14 x  65 Ta có IA = ID � x + = x - 14 x + 65 � =- 14 x + 65 � x = Khi IA  x   Do bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện R = 5a =4 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện SπR π= 4a.25 = 100πa Câu 26 [2H2-2.2-3] (Chuyên Hà Nội Lần1) Cho hình chóp O ABC có OA  OB  OC  a , � �  90� � AOB  60�, BOC , AOC  120� Gọi S trung điểm cạnh OB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S ABC a A a B a C Lời giải a D Chọn C Xét AOB nên cạnh AB  a Xét VBOC vuông O nên BC  a 2 Xét VAOC có AC  AO  CO  AO.CO.cos120  a 2 Xét VABC có AB  BC  AC nên tam giác ABC vuông B � tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác trung điểm H cạnh AC Lại có hình chóp O ABC có OA  OB  OC  a nên OH  ( ABC ) Xét hình chóp S ABC có OH trục đường tròn ngoại tiếp đáy, tam giác OHB kẻ trung trực cạnh SB cắt OH I I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp, bán kính R  IS � Xét VOHB có HOB  60�,cạnh 3a � IE  OE.tan 60� OB  a � OE  3a 2 �3a � �a � a IS  IE  ES  � � � � � � � � �4 � Xét VIES vuông E : Tác giả: Đỗ Ngọc Tân; FB: Tân Ngọc Đỗ lethimai0108@gmail.com 2  P   Q  vng góc với Câu 27 [2H2-2.2-3] (THPT-Tồn-Thắng-Hải-Phịng) Cho hai mặt phẳng theo giao tuyến  Trên đường thẳng  lấy hai điểm A , B với AB  a Trong mặt  P  lấy điểm C mặt phẳng  Q  lấy điểm D cho AC , BD vuông phẳng góc với  AC  BD  AB Bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: a A a B 2a D C a Lời giải Tác giả: Nguyễn Mai; Fb:Mung Thai Chọn B Q D  P B A C �  P  � Q    � � CA   Q  � CA  AD  P   Q � � CA  , CA � P  Có � nên A nhìn DC góc vng �  P  � Q    � � DB   P  � DB  BC  P   Q � � DB  , DB � Q  Có � nên B nhìn DC góc vng Do đó, đường kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD DC 2 2 2 2 Có BC  AB  AC  a  a  a ; DC  BC  DB  2a  a  a a R  DC  2 Vậy, bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD là: Câu 28 [2H2-2.2-3] (CHUYÊN LÊ HỒNG PHONG – NAM ĐỊNH 2019 – LẦN 1) Trong không S  2;1;    S  : x  y  z  Từ điểm S kẻ ba gian Oxyz , cho điểm nằm mặt cầu dây cung SA , SB , SC với mặt cầu Dây cung AB có độ dài A B  S � có độ dài đơi tạo với góc 60 C D Lời giải Tác giả: Hoàng Vũ ; Fb: Hoàng Vũ GV phản biện: Ngô Ngọc Hà ; Fb: Hà Ngọc Ngô Chọn A �SA  SB  SC � �� � � ASB  BSC ASC  60� Theo đề ta có: � Vậy tứ diện S ABC tứ diện nội tiếp mặt cầu  S Đặt SC  AB  a � SO   ABC  Gọi O tâm đường tròn ngoại tiếp ABC  S Trong SOC , dựng đường trung trực SC M cắt SO I � I tâm mặt cầu � � a a SO  SC  OC  a  �a �  a CF  � OC  �3 � � � ABC nên: , 2 Chứng minh SMI ∽ SOC � SM SI SC SI  �  SO SC 2SO SC � SC  SO.SI � a  a 3 �a2 Câu 29 [2H2-2.2-3] (GIA LỘC TỈNH HẢI DƯƠNG 2019 lần 2) Cho hình chóp S ABCD có đáy    qua A hình vng cạnh 2 , cạnh bên SA vng góc với mặt phẳng đáy Mặt phẳng vng góc với SC cắt cạnh SB , SC , SD điểm M , N , P Thể tích V khối cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP 125 32 V V A B C V 108 D V 64 2 Lời giải Tác giả: Bui Bai; Fb: Bui Bai Chọn B Mặt phẳng  mặt phẳng  AMNP  Do SC     � � AM  SC , AN  SC , AP  SC � �AM , AN , AP �   Có �BC  AB �BC  SA � � BC   SAB  � BC  AM � �AB, SA � SAB  � �AB �SA  A �AM  BC �AM  SC � � AM   SBC  � AM  MC � �BC , SC � SBC  � Từ ta có �BC �SC  C �CD  AD �CD  SA � � CD   SAD  � CD  AP � AD , SA � SAD   � � Tương tự ta có �AD �SA  A �AP  CD �AP  SC � � AP   SCD  � AP  PC � CD , SC � SCD   � � Khi �CD �SC  C Nhận xét: AMC , ANC , APC tam giác vng có cạnh huyền AC Nên tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện CMNP trung điểm O AC � R  OA  AC AB  2 2 32 V   R3  3 Vậy ... vng có mặt cầu ngoại tiếp B Hình chóp có đáy tứ giác có mặt cầu ngoại tiếp C Hình chóp có đáy hình thang cân có mặt cầu ngoại tiếp D Hình chóp có đáy hình bình hành có mặt cầu ngoại tiếp Lời giải... mặt cầu đường kính AC Từ (1), (2), (3) suy mặt cầu ngoại tiếp hình chóp AC a R  2 Bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A.BCC '' B '' là:  a3 V   R3  3 Suy thể tích mặt cầu ngoại tiếp. .. kính mặt cầu : 2 Diện tích mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ cho bằng: S  4 R  6 a Câu 16 [2H2 -2.2 -3] (THPT Nghèn Lần1) Cho hình chóp tứ giác S ABCD có tất cạnh a Thể tích khối cầu ngoại tiếp hình