Xác định vị trí của điểm M để tổng thể tích của 2 khối chóp S.ABF và S.ACF đạt giá trị nhỏ nhất... - đẳng thức xẩy ra khi tam giác ABC đều.[r]
(1)Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN LỚP 12 HÀ NỘI
Năm học 2010 – 2011 Thời gian: 180 phút Ngày thi: 16 – 10 - 2010 Bài (6 đ):
1 Giải hệ phương trình:
1 y ) y x (
y x y x2
2 Tìm tất giá trị tham số a để hệ bất phương trình sau có nghiệm
2 x ) a ( x a
0 x x
2
Bài (4 đ):
1 Cho tam giác ABC có a, b, c độ dài cạnh; ha, hb, hc đường cao tương ứng R bán kính đường tròn ngoại tiếp Chứng minh
18R h
1 h
1 h
1 ca) bc (ab
c b a
2 Từ chữ số 1, 2, 3, 4, 5, lập số tự nhiên có chữ số khác mà số tổng chữ số thuộc hàng đơn vị, hàng chục, hàng trăm lớn tổng chữ số lại đơn vị
Bài (4 đ):
1 Chứng minh có điểm thuộc đồ thị (C) hàm số
2 x x
y mà qua điểm kẻ tiếp tuyến tới (C)
2 Tìm tất giá trị x cho ứng với giá trị hàm số sau đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất:
2 x cos x sin x cos x sin x sin x sin
y 2
Bài (2 đ): Cho dãy số (un) với n n
2 n
u
Dãy (Sn) cho
n
1 i
i
n u
S Tìm limSn
Bài (4 đ): Trong mặt phẳng (P) cho đoạn thẳng AB Gọi O trung điểm AB M điểm tùy ý đoạn OB (M B) Trên nửa mặt phẳng bờ AB (P), dựng hình vng AMCD, MBEF Điểm S thuộc đường thẳng vng góc với mặt phẳng (P) A (SA)
1 Xác định vị trí điểm M để tổng thể tích khối chóp S.ABF S.ACF đạt giá trị nhỏ
2 Đường thẳng AF cắt đường thẳng BC điểm N Điểm H hình chiếu vng góc điểm S đường thẳng MN Tìm quỹ tích H M di chuyển đoạn OM
(2)Nguyễn Văn Dũng – THPT Hai Bà Trưng HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN HSG TOÁN 12
Năm học 2010 – 2011 Bài1
1) Hệ có nghiệm (x; y) = (2; 1) 2) – BPT (1) có nghiệm x (-1; 8)
- Hệ có nghiệm BPT (2) có nghiệm tập nghiệm giao với tập nghiệm (1) khác rỗng
- Đáp số a )
2 ; ( Bài
1) - Sử dụng cơng thức tính diện tích: S = a b chc bh ah R abc
áp
dụng BĐT côsi cho hệ thức thu đpcm - đẳng thức xẩy tam giác ABC
2) – Gọi số cần tìm abcdef , từ giả thiết ta có hệ phương trình
3 ) c b a ( ) f e d (
21 f e d c b a
Giải hệ a +b+c = d+e+f = 12
Bài toán xẩy trường hợp: ………….Đáp số: 108 (số) Bài
1) Gọi M(a, a3 -3a+2) viết ptđt qua M có hệ số góc k - sử dụng điều kiện tiếp xúc a = M(1; 0)
(Nhận xét: M điểm uốn ĐTHS)
2) – đặt t = sinx y=f(t) = t3 – 3t2 + 2, t [-1; 1] - Ta có: maxy = t = sinx = x =k Và miny = -2 t = -1 sinx = - x = k2
2
Bài
- Ta có: un = 4(un+1 – un+2)
- Suy ra: Sn = 4(u2 - un+2) = 4( )
9 n 4
2 n
limSn = Bài
1) - Ta có V = VS.ABF+VS.ACF = ….= SA(MA MB )
1 2
(1)
- Áp dụng BdT bunhiacopxi, ta có: AB2 = (MA + MB)2 2(MA2 + MB2) (2) - Từ (1) (2), suy V SA.AB2
12
, đẳng thức xẩy M trung điểm AB 2) Quỹ tích H cung nhỏ OK đường trịn đường kính AK, K điểm (P) nằm nửa mặt phẳng lại có bờ AB cho tam giác AKO vng cân O( hay nói khác K giao điểm đường trịn đường kính AB
với đường trung trực AB, K không thuộc nửa mặt phẳng chứa hình vng AMCD))