[r]
(1)Thân Văn Đảm - Tổ Toán - Tin *** Trờng THPT Việt Yên - Bắc Giang trờng thpt việt yên i
Đề thức
Đề thi ĐịNH Kỳ LầN - năm học 2010 - 2011 Môn thi: TOáN - khối A, B, D
Thời gian làm bài: 180 phút - Không kể thời gian giao đề Phần chung cho tất thí sinh (7,0 điểm):
Câu I (2,0 điểm)Cho hàm số y= −2x3+6x2−5 (1) 1.Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số (1)
2.Viết ph−ơng trình tiếp tuyến đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến qua diểm A(-1;-13)
C©u II (2,0 điểm)
1.Giải phơng trình sin(5 ) cos( ) cos3
2 4
x π x π x
− − − =
2.Tìm m để ph−ơng trình x4−13x+ + − =m x có nghiệm Câu III (1,0 điểm)
Giải hệ phơng trình
4 2
3
1
x x y x y
x y x xy
⎧ − + =
⎪ ⎨
− + = − ⎪⎩
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng tâm O, cạnh AB= a Đ−ờng cao SO vng góc với mặt phẳng (ABCD) SO =a Tính khoảng cách hai đ−ờng thẳng SC v AB theo a
Câu V (1,0 điểm)
Cho số thực dơng x y z, , tho¶ m·n: x2+ y2+z2 =3 Chøng minh r»ng: xy yz zx
z + x + y
Phần riêng (3,0 điểm): Thí sinh đợc làm hai phần (phần A B) A Theo chơng trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho ba đ−ờng thẳng có ph−ơng trình nh− sau:
1: 0; 2: 10
d x− y− = d x− y− = d3: 3x−2y+ =5 Viết phơng trình đờng tròn (C) có tâm nằm đờng thẳng d1 tiếp xúc với hai ®−êng th¼ng d2 , d3
2 Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho điểm A(2 ; 1). Lấy điểm B thuộc trục hồnh, có hồnh độ x≥0và điểm C thuộc trục tung, có tung độ y≥0 cho tam giác ABC vng A
Tìm toạ độ điểm B, C cho diện tích tam giác ABC lớn Câu VII.a (1,0 điểm)
T×m hƯ sè cđa x8 khai triĨn ( 2 n biÕt
x + ) An3 −8Cn2 +C1n =49
B Theo chơng trình nâng cao
Cõu VI.b (2,0 điểm) Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho tam giác ABC có trọng tâm G(-2 ; 0) Biết ph−ơng trình cạnh AB, AC theo thứ tự 4x+ +y 14 0, 2= x+5y− =2 Viết ph−ơng trình đ−ờng phân giác góc A
2 Trong mặt phẳng toạ độ 0xy, cho hai điểm A(3 ; 1), B(-1 ; 5) đ−ờng thẳng d có ph−ơng trình 3x−5y+ =6 Tìm toạ độ điểm P nằm đ−ờng thẳng d cho JJJG JJJGPA+PB
nhá
Câu VII.b (1,0 điểm)
Có số tự nhiên chẵn lớn 2010 mà số gồm 4 chữ số khác nhau? Hết
(2)Trờng thpt việt yên
Đáp án - thang ®iĨm
thi định kỳ lần nm hc 2010 - 2011
Môn thi:Toán - Khối A, B, C
(Đáp án có 05 trang)
Câu Nội dung Điểm
Câu I
1. (1,0 điểm)
ã TXĐ: \
ã Sự biến thiên: + chiều biến thiªn:
2
' 12 ; ' 12
2 x y x x y x x
x = ⎡
= − + = ⇔ − + = ⇔ ⎢ =
⎣
Hàm số đồng biến khoảng ; nghịch biến khoảng
(0;2) (−∞;0) (2;+∞)
+ Cực trị: hàm số đạt cực tiểu x=0; yCT = −5, đạt cực đại x
= 2; yCĐ =
+ Giới hạn: ;
xlim y→−∞ = +∞ xlim y→+∞ = −∞ + B¶ng biÕn thiªn:
x −∞ +∞
y’ - + -
y +∞ -5
ã Đồ thị
2. (1,0 điểm)
Gi M x y0( ; )0 0 toạ độ tiếp điểm, y0 = −2x03+6x02 −5 Ph−ơng trình tiếp tuyến M x y0( ; )0 0 có dạng:
3 2
0 0'( )(0 0) ( 12 )(0 0) (
y−y = y x x−x ⇔ = −y x + x − + − x + x x−x d
Vì A∈( )d thay toạ độ A vào ph−ơng trình đ−ờng thẳng (d) tìm
0,25
0,25
0,25
0,25
(3)đợc 0
1 x x
= ⎡ ⎢ = − ⎣
Víi x0 = ta có phơng trình tiếp tuyến có dạng: y = 6x – Víi x0 = -2 ta cã phơng trình tiếp tuyến có dạng: y = - 48x – 61 KÕt luËn
0,25
0,5
Câu II
1. (1,0 điểm)
Bin đổi ph−ơng trình dạng: 2cos( )cos3 cos3
4 2
x x
x π
− + =
2
3
cos
2 (
2
cos( ) 2
4
k x
x
x k k x
x k
π π
π π
π
π π
+ ⎡ = ⎢
⎡ = ⎢
⎢ ⎢
⎢
⇔ ⇔ = +
⎢
⎢ + = − ⎢
⎢ = − +
⎣ ⎢
⎢⎣
]) ∈
KÕt ln 2. (1,0 ®iĨm)
4
4
3
1
13
13 ( 1)
1
4 (2)
x
x x m x
x x m x
x
x x x m
≤ ⎧ − + + − = ⇔ ⎨
− + = −
⎩ ≤
⎧ ⇔ ⎨
− − = −
⎩
Bài tốn qui tìm m để ph−ơng trình (2) có nghiệm x≤1 Xét hàm số y= f x( ) 4= x3−6x2−9x
2
1 ' 12 12 9; '
3 x y x x y
x ⎡ = − ⎢
= − − = ⇔ ⎢
⎢ = Bảng biến thiên
x
2
−
2 +∞ y’ + - +
y
2 +∞
−∞ 27
2
−
y(1) = - 11 để ph−ơng trình (2) có nghiệm x≤1
5
1
2
1 11
m m
m m
⎡ − = ⎡ = −
⎢ ⇔⎢
⎢ ⎢
− < − >
⎣ ⎣
0,5
0,25
0,25
0,25
0,25
(4)KÕt luËn 0,25
Câu III đặt
2
3
x xy u x y v ⎧− − = ⎪
⎨ =
Hệ phơng trình trở thành
2
3
2
3
2
1
0
1
1:
0
1
1
2
2 :
3 3
u v
u v
u v u
v
u x xy
TH
v x y
x y x y
u x xy
TH
v x y
⎡⎧ = ⎨ ⎢ = − ⎧ + = ⇔⎢⎩
⎨ ⎢
+ = − ⎧ = −
⎩ ⎢⎨
= ⎢⎩ ⎣
⎧
= − − + = −
⎧ ⇔⎪
⎨ = ⎨
= ⎪
⎩ ⎩
⎡⎧ = ⎨ ⎢ =
⎩ ⎢
⇔ ⎢ = −⎧ ⎢⎨ = ⎢⎩ ⎣
⎧
= − + =
⎧ ⇔⎪
⎨ = − ⎨
=
Hệ phơng trình v« nghiƯm KÕt ln
0,25
0,25
0,25
0,25
C©u IV
Vì AB//CD nên AB//(SCD) Do khoảng cách hai đ−ờng thẳng SC AB khoảng cách AB mặt phẳng (SCD) Gọi I, K lần l−ợt trung điểm AB CD O trung điểm IK
IK⊥CD d[AB, (SCD)] = d[I, (SCD)] = d[[O, (SCD)] Vì CD⊥SO CD⊥OK nên CD⊥(SOK)⇒(SCD) ⊥(SOK) Mà (SCD)∩(SOK) = SK
Trong tam giác SOK gọi H hình chiếu vuông góc cđa S trªn SK
SH SK
⇒ ⊥
⇒OH⊥(SCD) OH = d[O, (SCD)] Mà ta có
2 2
2
1 1 1
( )
a
OH OS OK a a a
OH
= + = + =
⇒ =
2
KÕt luËn
0,25 0,25
0,25
0,25
C©u V Đặt
xy a
z yz b
x zx c
y ⎧
= ⎪ ⎪ ⎪ = ⎨ ⎪ ⎪ = ⎪⎩
(5)2 2 3
x + y + z = ⇔ab+bc+ca=3
Và BĐT cần CM ⇔CM BĐT a+ + ≥b c mặt khác ta có BĐT sau:
2 2 3( ) 3
a + + ≥b c ab+bc+ca⇔ + + ≥a b c ab bc+ +ca =
Vậy BĐT đuợc chứng minh Dấu “=” xảy ⇔ = = =x y z
0,25 0,25 0,25
C©u VI.a
1. (1,0 ®iĨm)
Gäi ®−êng tròn (C) có tâm I bán kính R I nằm đờng thẳng d1 I( ;4 3)
5
a
a −
⇒ v× (C) tiÕp xóc víi d2 vµ d3
2
( , ) ( , )
4
2 3( ) 10 2( )
5
13 13
4
2 3( ) 10 2( )
5
2
d I d d I d R
a a
a a
a a
a a
a a
⇒ = =
− −
− − −
⇔ =
− −
⇔ − − = − +
= ⎡ ⇔ ⎢ = −⎣
5 +
Với a = phơng trình (C) cã d¹ng: ( 2)2 ( 1)2 81 13
x− + y− =
Víi a = -8 ph−¬ng trình (C) có dạng: ( 8)2 ( 7)2 25 13
x+ + y+ =
KÕt luËn 2. (1,0 ®iĨm)
3 đỉnh A, B, C có toạ độ A(2 ; 1), B(x ; 0), C(0 ; y) với x y, ≥0 Vì tam giác ABC vng A
2 2
2( 2) ( 1) ( 1) 2( 2) (
1
( 2) ( 1) ( 2)
2
ABC
AB AC x y y x
S AB AC x y x
⇒ = ⇒ − − − − = ⇒ − = − −
= = − + − + = − +
JJJG JJJG
1) (2)
Tõ (1) ta cã 0
2
y = − + ≥ ⇒ ≤ ≤x x (3)
Với đk (3), biểu thức (2) có giá trị lớn x = y = Kết luận
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25
0,25 0,25
C©u VII.a
3 8 49 ( 1)( 2) ( 1)
n n n
A C C n n n n n n
n
− + = ⇔ − − − − + =
⇔ =
49 n k
Ta cã:
1
( 2)n n k k.2
n k
x C x −
=
+ =∑ hệ số số hạng chứa x8là Cn4.2n4 Vì n = nên hệ số x8là C74.23 =280
KÕt luËn
0,5 0,25 0,25
Câu VI.b
1. (1,0 điểm)
Tỡm đ−ợc toạ độ đỉnh A(-4 ; 2), B(-3 ; -2), C(1 ; 0) Ph−ơng trình đ−ờng phân giác góc A có dạng
(6)4 14
17 29
4 14
17 29
4 14
17 29
x y x y x y x y x y x y
+ + + −
=
+ + + −
⎡ = −
⎢ ⎢ ⇔
+ + + −
⎢ =
⎢⎣
2
Từ tìm đ−ợc ph−ơng trình đ−ờng phân giác góc A ca tam
giác ABC là: 14
17 29
x+ +y x+ y−
= −
KÕt ln 2. (1,0 ®iĨm)
Gọi I trung điểm AB nên I(1 ; 3) PA + PB = 2PI PA + PB 2PI 2PI ⇒JJJG JJJG JJG⇒ JJJG JJJG = JJG =
để PA PBJJJG JJJG+ nhỏ PI nhỏ ⇒P hình chiếu I đ−ờng thẳng d
Gọi đờng thẳng qua I vuông góc với d phơng trình đờng thẳng
⇒
∆ có dạng: 5x+3y+ =m 0vì I nằm ∆nên toạ độ điểm I thoả mãn ph−ơng trình đ−ờng thẳng ∆⇒m = -14 ⇒ ∆:
5x+3y−14 0=
⇒Toạ độ điểm P nghiệm cỉa hệ ph−ơng trình 14
3
x y x y
+ − = ⎧
⎨ − + = ⎩
0
Tìm đ−ợc toạ độ P kết luận
0,25
0,25
0,25 0,25
0,25
0,25
C©u VII.a
TËp số tự nhiên chẵn lớn 2010 gồm chữ số khác đợc phân làm loại:
+ Loại có chữ số cuối có số lợng là: A93 A82 (do phải loại bỏ số có chữ số đầu 1)
+ Loại 2, 3, 4, tơng ứng với chữ số tận 2, 4, 6, Mỗi loại gồm A93 2A82(do phải loại bỏ số có chữ số đầu 1)
Vậy tạo đợc tất cả: số
tho yêu cầu đặt
3 3
9 4( ) 58 9 2016
A −A + A − A = A − A =
KÕt luËn
0,25
0,25 0,25
0,25
Ghi chó:
- Học sinh làm cách khác đ−ợc điểm tối đa
- Đây lời giải vắn tắt, yêu cầu học sinh phải lý luận chặt chẽ bớc - HÕt -