8 CHUY~2

Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu CHUYÊN ĐỀ TỔ HỢP – XÁC SUẤT A KIẾN THỨC TRỌNG TÂM I PHÉP ĐẾM – HOÁN VỊ - CHỈNH HỢP – TỔ HỢP k * Chú ý: tính chất số Cn ) (1) Ank = k !Cnk ⇔ Cnk = Ank k! k n−k (2) Cho số nguyên dương n k với ≤ k ≤ n Khi Cn = Cn (3) Hằng đẳng thức Pascal: Cho số nguyên dương n k với ≤ k ≤ n Khi Cnk+1 = Cnk + Cnk −1 II NHỊ THỨC NEWTON Công thức nhị thức Newton Với a, b số thực n sơ ngun dương, ta có ( a + b) n n = ∑ Cnk a n− k b k = Cn0 a n + Cn1a n −1b + + Cnk a n − k b k + + Cnnb n ( 1) k =0 * Chú ý: 0 (1) Quy ước a = b = (2) Trong biểu thức VP cơng thức (1): + Gồm có n + số hạng; + Số mũ a giảm từ n đến số mũ b tăng từ đến n; + Tổng số mũ a b số hạng n; + Các hệ số có tính đối xứng: + Số hạng thứ k: C kn = Cnn− k Tk = T(k−1)+1 = C nk−1an−k+1bk−1 + Số hạng tổng quát : Hệ Tk+1 = C nk an−k bk n n Với a = b = 1, ta có = Cn + Cn + + Cn = Cn0 − Cn1 + + ( −1) Cnk + + ( −1) Cnn Với a = 1; b = −1 , ta có k n Tài liệu ơn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Các dạng khai triển nhị thức Newton ( x + 1) n = Cn0 x n + Cn1 x n −1 + Cn2 x n − + + Cnk x n− k + + Cnn−1 x + Cnn ( 1+ x) n = Cn0 + Cn1 x + Cn2 x + + Cnk x k + + Cnn−1 x n −1 + Cnn x n ( x − 1) n = Cn0 − Cn1 x + Cn2 x − + ( −1) Cnk x k + + ( −1) k m Chú ý: Xác định hệ số số hạng chứa x dạng 2n a0 + a1x + + a2n x ta biến đổi: n −1 Cnn−1 x n −1 + ( −1) Cnn x n n khai triển ( P ( x) = a + bxp + cxq ) n = ( P ( x) = a + bxp + cxq ∑ Cknan−k ( bxp + cxq ) n k=0 ) n viết k ; III XÁC SUẤT Một số khái niệm Kí hiệu Ngơn ngữ biến cố Mơ tả khái niệm Ω Ω Không gian mẫu Là tập kết xảy phép thử A∈Ω A biến cố ( A ⊂ Ω ) Là tập kết phép thử làm xảy A A=∅ A biến cố không Là biến cố không xảy thực phép thử T A=Ω A biến cố chắn Là biến cố xảy thực hiện phép thử T C = A∪ B C biến cố “ A B ” Là hợp biến cố A B C biến cố “ A B ” Là giao biến cố A B A B xung khắc Hai biến cố A B đồng thời xảy A B đối Nếu chúng tạo nên nhóm biến cố đầy đủ ( A xảy B = A không xảy ra) Hai biến cố độc lập Nếu việc xảy biến cố không ảnh hưởng đến việc xảy biến cố C = A ∩ B (h oặc C = A.B ) A∩ B = ∅ B = A=Ω\ A Xác suất Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Chú ý: (1) Từ định nghĩa cổ điển xác suất ta có bước để tính xác suất biến cố sau: Bước 1: Xác định không gian mẫu Ω tính số phần tử Ω , tức đếm số kết phép thử T Bước 2: Xác định tập A mô tả biến cố A tính số phần tử A , tứ đếm số kết thuận loại cho A Bước 3: Lấy kết bước chia cho bước (2) Nếu A B độc lập A B độc lập, B A độc lập, B A độc lập Do Nếu A B độc lập ta cịn có đẳng thức: ( ) ( ) P ( AB ) = P ( A) P ( B ) P ( AB ) = P ( A ) P ( B ) P AB = P ( A ) P B * Nếu đẳng thức bị vi phạm hai biến cố A B khơng độc lập với B BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM MỨC ĐỘ Câu Trong khẳng định sau đây, khẳng định sai? A Không gian mẫu tập hợp tất kết xảy phép thử P ( A) < P ( A) ≤ B Gọi xác suất biến cố A ta ln có C Biến cố tập không gian mẫu D Phép thử ngẫu nhiên phép thử mà ta khơng biết xác k ết qu ả c nh ưng ta biết tập hợp tất kết xảy phép thử Lời giải Chọn B P ( ∅) = 0 ≤ P ( A) ≤ “Biến cố khơng thể” ∅ có nên k n Câu Cơng thức tính số tổ hợp chập phần tử là: n! n! n! n! Ank = Ank = Cnk = Cnk = n−k)! n − k ) !k ! n − k ) !k ! n−k)! ( ( ( ( A B C D Lời giải Chọn C Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu Câu hỏi lí thuyết Câu Xét phép thử có khơng gian mẫu Ω A biến cố phép thử Phát biểu sai ? P ( A) = − P A P ( A) = A A chắn B n ( A) P ( A) = ≤ P ( A) ≤ n ( Ω) C Xác suất biến cố A D Lời giải Chọn A P ( A) = Khẳng định A sai A biến cố chắn Câu Cho A , B hai biến cố xung khắc Đẳng thức sau đúng? P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) P ( A ∪ B ) = P ( A ) P ( B ) A B P ( A ∪ B ) = P ( A) − P ( B ) P ( A ∩ B ) = P ( A) + P ( B ) C D Lời giải Chọn A P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) − P ( A ∩ B ) Ta có P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) Vì A , B hai biến cố xung khắc nên A ∩ B = ∅ Từ suy k ( ≤ k ≤ n ) Mệnh đề sau đúng? Câu Kí hiệu An số chỉnh hợp chập k n phần tử n! n! n! n! Ank = Ank = Ank = Ank = k !( n + k ) ! k !( n − k ) ! ( n+k)! ( n − k) ! A B C D Lời giải Chọn D Lý thuyết ( ) Câu Trong khai triển k −1 n +1 n − k +1 A Cn a b ( a + b) n , số hạng tổng quát khai triển? k n−k k k +1 n − k +1 k +1 b B Cn a b C Cn a Hướng dẫn giải k n−k n−k D Cn a b Chọn B n Ta có n ( a + b ) = ∑ Cnk a n−k b k k =0 k n −k k Vậy số hạng tổng quát khai triển Cn a b ( k < n ) số nguyên dương Mệnh đề sau sai? Câu Cho k , n n! Cnk = k k k n −k k ! ( n − k ) ! A An = k !.Cn B C Cn = Cn Chọn D k k D An = n !.Cn Lời giải Ank = n! n! = k !× = k !Cnk ≠ n !Cnk n − k ! k ! n − k ! ( ) ( ) Theo định nghĩa tổ hợp, chỉnh hợp hoán vị, Câu Một tổ có học sinh nữ học sinh nam Hỏi có cách chọn ngẫu nhiên học sinh tổ trực nhật 20 A B 11 C 30 D 10 Lời giải Chọn B Chọn ngẫu nhiên học sinh từ 11 học sinh, ta có 11 cách chọn Tài liệu ơn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Câu Trong đội văn nghệ lớp gồm nam nữ Họ chọn nam nữ diễn tập làm hai người dẫn chương trình (Gọi tắt MC) có cách chọn? A 14 B 48 C D Câu 10 Một nhóm học sinh gồm học sinh nam x học sinh nữ Biết có 15 cách chọn học sinh từ nhóm học sinh trên, giá trị x A 24 B 225 C 12 D Lời giải Chọn D Để chọn học sinh ta có phương án thực hiện: Phương án 1: Chọn học sinh nam, có cách chọn Phương án 2: Chọn học sinh nữ, có x cách chọn Theo quy tắc cộng, ta có: + x cách chọn học sinh Theo ra, ta có: + x = 15 ⇔ x = Câu 11 Tính số chỉnh hợp chập phần tử ? A 24 B 720 C 840 D 35 Lời giải Chọn C 7! A74 = = 840 3! Ta có: Câu 12 Các thành phố A , B , C nối với đường hình vẽ Hỏi có cách từ thành phố A đến thành phố C mà qua thành phố B lần? A A C B B 12 C Lời giải D Chọn A Hai giai đoạn - Chọn đường từ A đến B : có cách - Chọn đường từ B đến C : có cách KL: theo quy tắc nhân có tất × = cách Câu 13 Có số có bốn chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2,3, 4,5 ? 4 A A5 B P5 C C5 D P4 Chọn A Lời giải Số tự nhiên gồm bốn chữ số khác tạo thành từ chữ số 1, 2, 3, 4,5 chỉnh hợp chập phần tử Vậy có A5 số cần tìm Câu 14 Danh sách lớp bạn Nam đánh số từ đến 45 Nam có số thứ tự 21 Chọn ngẫu nhiên bạn lớp để trực nhật Tính xác suất để chọn đ ược bạn có s ố th ứ t ự l ớn h ơn s ố thứ tự Nam 24 A B 45 C D 45 Lời giải Chọn D n ( Ω ) = 45 Số phần tử không gian mẫu: Gọi A : “Bạn chọn có số thứ tự lớn 21 ” Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hồng Diệu Khi n ( A ) = 24 n ( A ) 24 p= = n ( Ω ) 45 Vậy Câu 15 Một tổ có học sịnh nam học sinh nữ Hỏi có cách chọn học sinh lao động, có học sinh nam? 4 4 A C6 + C9 B C6 C13 C A6 A9 D C6 C9 Lời giải Chọn D Chọn học sinh nam, có C6 cách Chọn học sinh nữ, có C9 cách Vậy có C6 C9 cách chọn thỏa yêu cầu toán Câu 16 Từ chữ số ; ; ; lập số tự nhiên có chữ số đôi khác nhau? A 12 B 24 C 42 D Lời giải Chọn B Mỗi số tự nhiên có chữ số đơi khác tạo thành từ chữ số ; ; ; hoán vị phần tử Vậy số số cần tìm là: 4! = 24 số Câu 17 Cho tập hợp M có 10 phần tử Số tập gồm phần tử M 2 A A10 B A10 C C10 D 10 Lời giải Chọn C Số tập gồm phần tử M số cách chọn phần tử 10 phần tử M Do số tập gồm phần tử M C10 Câu 18 Một hình lập phương có cạnh cm Người ta sơn đỏ mặt ngồi hình lập phương r ồi c hình lập phương mặt phẳng song song với m ặt c hình l ập ph ương thành 64 hình lập phương nhỏ có cạnh 1cm Có hình lập phương có mặt sơn đỏ? A 16 B 72 C 24 Lời giải D 96 Chọn C Mỗi mặt có hình sơn mặt Vậy, có: 6.4 = 24 (hình) Câu 19 Có cách xếp học sinh thành hàng dọc? A B 5! C 4! D Lời giải Chọn B Số cách xếp học sinh thành hàng dọc 5! Câu 20 Một người vào cửa hàng ăn, người chọn thực đơn gồm ăn món, loại tráng miệng loại tráng miệng nước uống loại nước uống Có cách chọn thực đơn 25 A B 75 C 100 D 15 Lời giải Chọn B Theo quy tắc nhân ta có: 5.5.3 = 75 cách chọn thực đơn Câu 21 Cn = 10 n có giá trị : Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu A B C Lời giải Chọn B Ta có C5 = 10 ( x − 3) Câu 22 Có số hạng khai triển nhị thức A 2021 B 2019 C 2018 Lời giải Chọn A ( a + b) Trong khai triển nhị thức n D 2020 D 2020 ( x − 3) số số hạng n + nên khai triển 2020 có 2021 số hạng Câu 23 Có 10 bút khác sách giáo khoa khác Một bạn học sinh cần chọn bút sách Hỏi bạn học sinh có cách chọn? A 80 B 60 C 90 D 70 Lời giải Chọn A Số cách chọn bút có 10 cách, số cách chọn sách có cách Vậy theo quy tắc nhân, số cách chọn bút sách là: 10.8 = 80 cách Câu 24 Số tập tập hợp gồm 2020 phần tử 2020 A 2020 B C 2020 D 2.2020 Lời giải Chọn B 2020 Số tập tập hợp có 2020 phần tử Câu 25 Số hoán vị n phần tử n A n ! B 2n C n D n Lời giải Chọn A Sơ hốn vị tập có n phần tử n ! Câu 26 Có số tự nhiên có chữ số, chữ số khác đôi khác nhau? A 5! B C C9 Lời giải D A9 Chọn D Mỗi số tự nhiên có chữ số, chữ số khác đôi khác chỉnh hợp chập phần tử Vậy số số tự nhiên thỏa đề A9 số Câu 27 Trong buổi khiêu vũ có 20 nam 18 nữ Hỏi có cách chọn đôi nam nữ để khiêu vũ? 2 1 A C38 B A38 C C20C18 D C20C18 Lời giải Chọn D Chọn nam 20 nam có C20 cách Chọn nữ 18 nữ có C18 cách 1 Theo quy tắc nhân, số cách chọn đôi nam nữ C20C18 Câu 28 Cho tập hợp A có 20 phần tử, số tập có hai phần tử A Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu A 2C20 B 2A20 C C20 Lời giải Chọn C D A20 Số tập có hai phần tử A C20 Câu 29 Cho điểm khơng có điểm thẳng hàng Hỏi có tam giác mà ba đ ỉnh chọn từ điểm trên? A 336 B 56 C 168 D 84 Lời giải Chọn B Có C8 = 56 tam giác Câu 30 Một hộp đựng hai viên bi màu vàng ba viên bi màu đ ỏ Có cách l hai viên bi hộp? 10 A B 20 C D Lời giải Chọn A Số cách lấy hai viên bi C5 = 10 Câu 31 Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt A 50 B 100 C 120 Lời giải Chọn D D 45 Số giao điểm tối đa 10 đường thẳng phân biệt C10 = 45 1 P ( A) = P ( B) = 3, Tính P ( A ∪ B ) Câu 32 Cho A , B hai biến cố xung khắc Biết 1 A 12 B 12 C D Lời giải Chọn A P ( A ∪ B ) = P ( A) + P ( B ) = 12 Câu 33 Cho đa giác có 20 đỉnh Số tam giác tạo nên từ đỉnh A A203 B Chọn D 3!C20 C 10 Lời giải D C20 C3 Số tam giác với số cách chọn phần tử 20 phần tử Do có 20 tam giác Câu 34 Cho tập hợp X gồm 10 phần tử Số hoán vị 10 phần tử tập hợp X 10 10 A 10! B 10 C D 10 Lời giải Chọn A Số hoán vị 10 phần tử: 10! Câu 35 Trong trận chung kết bóng đá phải phân định thắng thua đá luân l ưu 11 mét Huấn luyện viên đội cần trình với trọng tài danh sách s ắp th ứ t ự cầu thủ 11 cầu thủ để đá luân lưu 11 mét Hỏi huấn luyện viên đội có cách chọn? 55440 A B 120 C 462 D 39916800 Lời giải Chọn A Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Số cách chọn huấn luyện viên đội A11 = 55440 S = { 1; 2;3; 4;5;6} Câu 36 Cho tập hợp Có thể lập số tự nhiên gồm bốn chữ số khác lấy từ tập hợp S ? A 360 B 120 C 15 D 20 Lời giải Chọn A Từ tập S lập A6 = 360 số tự nhiên gồm bốn chữ số khác Câu 37 Phân cơng bạn từ có 10 bạn để làm trực nhật Hỏi có cách phân công khác nhau? A 720 B 10 C 120 D 210 Lời giải Chọn C Số cách phân công C10 = 120 Câu 38 Cho A tập hợp gồm 20 điểm phân biệt Số đoạn thẳng có hai đầu mút phân biệt thuộc tập A A 170 B 160 C 190 D 360 Hướng dẫn giải Chọn C Số đoạn thẳng C20 = 190 5 * Câu 39 Cho n ∈ ¥ thỏa mãn Cn = 2002 Tính An A 2007 B 10010 C 40040 Lời giải Chọn D 5 Ta có: An = Cn 5! = 240240 D 240240 Câu 40 Cho tập hợp gồm phần tử Mỗi tập hợp gồm phần tử tập hợp S A Số chỉnh hợp chập phần tử B Số tổ hợp chập phần tử C Một chỉnh hợp chập phần tử D Một tổ hợp chập phần tử Lời giải Chọn D Sử dụng định nghĩa tổ hợp MỨC ĐỘ 2, Câu Lớp 11B có 25 đồn viên 10 nam 15 nữ Chọn ngẫu nhiên đoàn viên lớp để tham dự hội trại ngày 26 tháng Tính xác suất để đồn viên chọn có nam nữ 27 A 115 B 920 C 92 D 92 Lời giải Chọn C n ( Ω ) = C25 Số phần tử không gian mẫu: n ( A ) = C102 C151 Gọi A biến cố: “ đồn viên chọn có = −7 nam nữ” n ( A) 27 P ( A) = = n ( Ω ) 92 Vậy 2 Câu Cho số tự nhiên n thỏa mãn Cn + An = 9n Mệnh đề sau đúng? A n chia hết cho B n chia hết cho C n chia hết cho D n chia hết cho Lời giải Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Chọn A Điều kiện: n ∈ ¥ , n ≥ n! n! ⇔ + = 9n ⇔ ( n − 1) n + ( n − 1) n = 9n 2 ⇔ ( n − 1) = 18 ⇔ n = 2!( n − ) ! ( n − ) ! Cn + An = 9n n Vậy chia hết cho Câu Hai bạn lớp A hai bạn lớp B xếp vào ghế thành hàng ngang Xác suất cho bạn lớp không ngồi cạnh 1 A B C D Lời giải Chọn D Có 4! cách xếp bạn thành hàng ngang Có 2.2!2! cách xếp bạn cho bạn lớp không ngồi cạnh 2.2!2! P= = 4! Xác suất cần tìm Câu Một tổ học sinh có nam nữ Chọn ngẫu nhiên người Tính xác suất cho hai người chọn nữ A 15 B 15 C 15 D Lời giải Chọn A Chọn ngẫu nhiên người 10 người có C10 cách chọn Hai người chọn nữ có C4 cách C42 = Xác suất để hai người chọn nữ là: C10 15 Câu Gieo súc sắc cân đối đồng chất, xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất 1 A B C D Lời giải Chọn B Ω = { 1,2,3, 4,5,6} n ( Ω) = Ta có: Khơng gian mẫu suy A = { 2; 4;6} n ( A) = Gọi biến cố A : “Con súc sắc có số chấm chẵn xuất hiện” hay suy n ( A) p ( A) = = = n( Ω) Từ suy Vậy xác suất để mặt có số chấm chẵn xuất Câu Có tất số tự nhiên có chữ số chữ số đơi khác nhau? 3 A A10 + A9 B A9 Chọn D C A10 Lời giải D × × Gọi số cần lập abc a ≠ nên a có cách chọn b ≠ a nên b có cách chọn c ≠ a c ≠ b nên c có cách chọn Vậy có × × cách chọn 10 Tài liệu ơn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ( 1+ x) Câu Hệ số x khai triển A 820 B 210 Chọn C 12 là: C 792 Lời giải D 220 k k Công thức số hạng tổng quát khai triển C12 x 5 Ta có x tương ứng với k = nên hệ số x C12 = 729 Câu Đội niên xung kích trường THPT Tân Phong có 12 học sinh gồm học sinh khối 12 , học sinh khối 11 học sinh khối 10 Chọn ngẫu nhiên học sinh để làm nhiệm vụ buổi sáng Tính xác suất cho học sinh chọn thuộc không hai khối 21 15 A 11 B 11 C 22 D 22 Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C124 = 495 Số phần tử không gian mẫu 1 1 Số cách chọn học sinh thuộc ba khối là: C5 C4 C3 + C5 C4 C3 + C5 C4 C3 = 270 Số cách chọn học sinh thuộc không hai khối C12 − 270 = 225 225 P= = 495 11 Xác suất để chọn học sinh thuộc không hai khối Câu Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phòng học c l ớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn nút liên tiếp khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B nhớ chi tiết nút tạo thành dãy số tăng Tính xác suất để B mở cửa phịng học bi ết r ằng đ ể n ếu b ấm sai lần liên tiếp cửa tự động khóa lại 631 189 1 A 3375 B 1003 C D 15 Hướng dẫn giải Chọn B n ( Ω ) = A103 = 720 Số phần tử không gian mẫu: Gọi A biến cố cần tính xác suất Khi đó: số có tổng 10 khác là: { ( 0;1;9 ) ; ( 0; 2;8 ) ; ( 0;3;7 ) ; ( 0; 4;6 ) ; ( 1; 2;7 ) ; ( 1;3; ) ; ( 1; 4; 5) ; ( 2;3;5) } 8 = TH1: Bấm lần thứ ln xác suất C10 120   1 − ÷ 120   119 ( trừ lần đâu bị sai nên TH2: Bấm đến lần thứ hai xác suất là: khơng gian mẫu 120 − = 119 )    1 − ÷1 − ÷ TH3: Bấm đến lần thứ ba xác suất là:  120  119  118      189 + 1 − + 1 − = ÷ ÷1 − ÷ Vậy xác suất cần tìm là: 120  120  119  120   119  118 1003 Câu 10 A −1 ( − 2x ) Tính tổng hệ số khai triển B 2020 C −2018 D 2018 11 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Lời giải Chọn B 2020 2020 = C2020 − x.C2020 + ( −2 x) C2020 + ( −2 x) C2020 + + ( −2 x) 2020 C2020 Xét khai triển (1 − 2x) 2 3 2020 2020 Tổng hệ số khai triển là: S = C2020 − 2.C2020 + (−2) C2020 + (−2) C2020 + + (−2) C2020 2020 = C2020 − 2.1.C2020 + ( −2.1) C2020 + ( −2.1)3 C32020 + + ( −2.1) 2020 C 2020 x = ta có: (1 − 2.1) 2020 Cho 2020 ⇔ ( −1) = S ⇔ S =1 Câu 11 Lớp 12C1 có 20 bạn nữ, lớp 12C2 có 16 bạn nam Có cách chọn bạn nữ l ớp 12C1 bạn nam lớp 12C2 để dẫn chương trình hoạt động ngoại khóa? A 36 B 320 C 1220 Lời giải D 630 Chọn B Số cách chọn bạn nữ từ 20 bạn nữ lớp 12A : 20 cách Số cách chọn bạn nam từ 16 bạn nam lớp 12B : 16 cách Theo quy tắc nhân, số cách chọn thỏa đề là: 20.16 = 320 Câu 12 Trong kho đèn trang trí cịn bóng đèn loại I, bóng đèn loại II, bóng đèn khác màu sắc hình dáng Lấy bóng đèn Hỏi có khả xảy số bóng đèn loại I nhiều số bóng đèn loại II? 246 A B 3480 C 245 D 3360 Lời giải Chọn A Có trường hợp xảy ra: TH1: Lấy bóng đèn loại I: có cách TH2: Lấy bóng đèn loại I, bóng đèn loại II: có C5 C7 cách TH3: Lấy bóng đèn loại I, bóng đèn loại II: có C5 C7 cách Theo quy tắc cộng, có + C5 C7 + C5 C7 = 246 cách Câu 13 Một lớp có 20 nam sinh 15 nữ sinh Giáo viên chọn ngẫu nhiên học sinh lên b ảng gi ải tập Tính xác suất để học sinh chọn có nam nữ 4615 4651 4615 4610 A 5236 B 5236 C 5263 D 5236 Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C354 Số cách chọn học sinh lên bảng: C + C154 Số cách chọn học sinh có nam có nữ: 20 4 C +C 4615 − 20 15 = C35 5236 Xác suất để học sinh gọi có nam nữ: x −2 Câu 14 Gọi a nghiệm phương trình Ax + C x = 14 x Tính giá trị biểu thức P = a − 3a + 2020 A P = 2023 B P = 2038 C P = 2030 D P = 2024 Lời giải Chọn C Cách 1: ĐK: x ∈ Z; x ≥ Có A + C x x −2 x = 14 x ⇔ x ( x − 1) ( x − ) + x ( x − 1) = 14 x ⇔ ( x − 1) ( x − ) + ( x − 1) = 28 12 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu ⇔ x − x − 25 = ⇔ x = 5; x = − Kết hợp điều kiện x = Câu 15 Một hộp chứa viên bi đỏ viên bi xanh Lấy viên bi từ hộp Tính xác suất để viên bi lấy lần thứ bi xanh 11 A B 24 C 12 D Lời giải Chọn A n ( Ω ) = C101 C91 Ta có: Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố: “ Viên bi lấy lần thứ bi xanh” 1 - Trường hợp 1: Lần lấy viên đỏ, lần lấy viên xanh: Có C6 C4 cách chọn 1 - Trường hợp 2: Lần lấy viên xanh, lần lấy viên xanh: Có C4 C3 cách chọn n ( A ) = C61 C41 + C41 C31 Vậy P ( A) = n ( A ) 24 + 12 = = n ( Ω) 10.9 Câu 16 Một lô hàng gồm 30 sản phẩm tốt 10 sản phẩm xấu Lấy ngẫu nhiên sản phẩm Tính xác suất để sản phẩm lấy có sản phẩm tốt 135 244 15 A 988 B 247 C 247 D 26 Hướng dẫn giải Chọn C Chọn ba sản phẩm tùy ý có C40 = 9880 cách chọn n ( Ω ) = 9880 Do Gọi A biến cố có sản phẩm tốt Khi A biến cố sản phẩm khơng có sản phẩm tốt n A = C103 = 120 n A 120 244 P ( A) = − P A = − = 1− = n ( Ω) 9880 247 Vậy xác suất cần tìm ( ) ( ) ( ) Câu 17 Chọn ngẫu nhiên số tự nhiên khác từ 25 số nguyên dương Xác su ất đ ể ch ọn hai số có tổng số chẵn 13 12 313 A B 25 C 25 D 625 Chọn C n ( Ω ) = C252 = 300 Lời giải Trong 25 số nguyên dương có 13 số lẻ 12 số chẵn Gọi A biến cố chọn hai số có tổng số chẵn n ( A ) = C132 + C122 = 144 Chọn số lẻ 13 số lẻ chọn số chẵn 12 số chẵn ⇒ 13 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Vậy p ( A) = n ( A ) 144 12 = = n ( Ω ) 300 25 Câu 18 Lấy ngẫu nhiên hai viên bi từ thùng gồm bi xanh, bi đỏ bi vàng Tính xác suất để lấy hai viên bi khác màu? A 67, 6% B 29,5% C 32, 4% D 70,5% Lời giải Chọn D Tổng số bi thùng + + = 15 (bi) Số kết lấy viên bi từ 15 viên bi C15 = 105 1 1 1 Số kết thuận lợi lấy hai bi khác màu C4C5 + C5 C6 + C4C6 = 74 Gọi A biến cố lấy hai viên bi khác màu Xác suất xảy A P ( A) = 74 ; 70,5% 105 Câu 19 Có số tự nhiên có sáu chữ số khác đơi m ột, ch ữ s ố đứng liền hai chữ số ? A 249 B 1500 C 3204 D 2942 Lời giải Chọn B Chữ số đứng liền hai chữ số nên ta có 154 451 { 0, 2,3, 6, 7,8,9} ), Gọi số cần tìm abc (các chữ số khác đôi a , b , c thuộc sau ta chèn thêm 154 451 để có số gồm chữ số cần tìm TH1: a ≠ , số cách chọn a , số cách chọn b c A6 , sau chèn 154 451 vào vị trí cịn lại nên có A6 4.2 cách TH2: a = , số cách chọn a 1, số cách chọn b c A6 , sau chèn 154 451 vào vị trí trước a có cách nên có A6 cách 2 Vậy có A6 4.2 + A6 = 1500 (số) Câu 20 Có hai dãy ghế đối diện nhau, dãy có ba ghế X ếp ngẫu nhiên , gồm nam nữ, ngồi vào hai dãy ghế cho ghế có h ọc sinh ngồi Xác su ất đ ể m ỗi h ọc sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ A B 20 C D 10 Lời giải Chọn A Ω = 6! = 720 Số phần tử không gian mẫu A Gọi biến cố học sinh nam ngồi đối diện với học sinh nữ Ta có: Xếp học sinh nữ vào dãy ghế có 3! cách Xếp học sinh nam vào dãy ghế có 3! cách Ở cặp ghế đối diện hai bạn nam nữ đổi chỗ cho nên có cách A = 3!.3!.23 = 288 Suy A 288 P ( A) = = = Ω 720 Vậy 14 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Câu 21 Gọi X tập số tự nhiên có 10 chữ số lập từ chữ số , , Chọn số thuộc X Tính xác suất để số chọn có chữ số ; chữ số chữ số ? 280 A 6561 13 B 2130 157 C 159 Lời giải 20 D 31 Chọn A 10 Số số tự nhiên có 10 chữ số lập từ chữ số , , là: số n ( Ω ) = 310 Số phần tử không gian mẫu: Gọi biến cố A : “số chọn có chữ số ; chữ số chữ số ” 10! n ( A) = 5!.2!.3! = 2520 Số kết thuận lợi cho biến cố A là: Vậy xác suất cần tìm là: P ( A) = n ( A) 280 n ( Ω ) = 6561 Câu 22 Một người làm vườn có 12 giống gồm xồi, mít ổi Người muốn chọn giống để trồng Tính xác suất để chọn, loại có 1 15 25 A B 10 C 154 D 154 Lời giải Chọn C n ( Ω ) = C126 = 924 Số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố: “ chọn, loại có cây” n ( A ) = C62 C42 C22 = 15.6.1 = 90 Ta có: n ( A) 90 15 P ( A) = = = n ( Ω ) 924 154 Vậy: Câu 23 Xét tập hợp A gồm tất số tự nhiên có chữ số khác Chọn ngẫu nhiên số từ A Tính xác suất để số chọn có chữ số đứng sau l ớn h ơn ch ữ s ố đ ứng tr ước (tính t trái sang phải) ? 74 A 411 62 B 431 C 216 Lời giải D 350 Chọn C Gọi số có chữ số abcde n ( Ω ) = A94 = 27216 Số số tự nhiên có chữ số khác là: Gọi X biến cố “số chọn có chữ số đứng sau lớn chữ số đứng trước” e ∈ { 1, 2, ,8,9} Suy a < b < c < d < e mà a ≠ nên a , b , c , d , Chọn chữ số: C9 (cách) Với chữ số chọn, ghép số thỏa mãn u cầu tốn Do n ( X ) = C95 = 126 Xác suất cần tìm: P( X ) = n( X ) = n ( Ω ) 216 15 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Xác suất cần tìm: P( X ) = n( X ) n ( Ω ) = 216 Câu 24 Chi đồn lớp 12A có 20 đồn viên có 12 đồn viên nam đồn viên nữ Tính xác suất chọn đồn viên có đoàn viên nữ 251 11 110 46 A B 570 C 57 D 285 Lời giải Chọn C Số phần tử không gian mẫu: C20 = 1140 Gọi A biến cố chọn đoàn viên nam: C12 = 220 220 11 P ( A) = = 1140 57 Xác suất biến cố A là: Vậy xác suất cần tìm là: 1− 11 46 = 57 57 Câu 25 Một hộp đựng thẻ đánh số , , , , K , Rút ngẫu nhiên đồng thời thẻ nhân hai số ghi hai thẻ lại với Tính xác suất để tích nhận số chẵn 13 A B 18 C D 18 Lời giải Chọn D Có bốn thẻ chẵn { 2; 4;6;8} thẻ lẻ { 1;3;5; 7;9} n ( Ω ) = C92 = 36 Rút ngẫu nhiên hai thẻ, số phần tử không gian mẫu Gọi A biến cố “tích nhận số chẵn”, số phần tử biến cố A n ( A ) = C42 + C41 C51 = 26 Xác suất biến cố A Cách P ( A) = n ( A ) 26 13 = = n ( Ω ) 36 18 Trường hợp 1: hai số rút số chẵn: p1 = C42 = C92 Trường hợp 2: hai số rút có số lẻ, số chẵn: Vậy xác suất để kết nhân số chẵn p2 = C41 C51 = C92 p = p1 + p2 = 13 + = 18 Câu 26 Gọi S tập hợp số tự nhiên có chữ số Chọn ngẫu nhiên số từ S , tính xác suất để chữ số số đơi khác phải có mặt chữ số 7 189 A 125 B 150 C 1250 D 375 Lời giải Chọn B 16 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Số phần tử S 9.10 n ( Ω ) = 9.105 Xét phép thử chọn ngẫu nhiên số từ S , ta Gọi A biến cố “ Chọn số có chữ số đơi khác ph ải có m ặt ch ữ s ố ” Ta có trường hợp sau Giả sử số chọn có dạng: a1 a2 a6 Trường hợp 1: a1 = Số cách chọn vị trí cho số cách Số cách chọn chữ số lại A8 cách Vậy trường hợp có 1.5.A8 số Trường hợp 2: a1 ≠ ⇒ a1 có cách chọn Số cách chọn vị trí cho hai chữ số 0;1 A5 Số cách chọn ba số lại A7 Vậy trường hợp có A5 A7 số A84 + A52 A73 PA = = 150 9.10 Suy X = { 0,1, 2,3, ,15} Cho Chọn ngẫu nhiên số tập hợp X Tính xác suất để ba số chọn khơng có hai số liên tiếp 13 20 13 A 35 B 20 C 35 D 20 Câu 27 Hướng dẫn giải Chọn D Ω = C163 = 560 Không gian mẫu có số phần tử là: (phần tử) Ta tìm số cách lấy ba số có hai s ố liên ti ếp ho ặc l đ ược c ả ba s ố liên tiếp Khi ta có trường hợp sau: Trường hợp 1: lấy ba số có hai số liên tiếp - Trong ba số lấy có hai số 0,1 14,15 số thứ ba có 13 cách lấy Do trường hợp có: 2.13 = 26 cách lấy - Trong ba số lấy khơng có hai số 0,1 14,15 ta có 13 cặp số liên tiếp khác 0,1 14,15 , số thứ ba có 12 cách lấy Do trường hợp có: 13.12 = 156 cách lấy Trường hợp 2: lấy ba số liên tiếp Ta có lấy ba số liên ti ếp ta có 14 cách lấy Do trường hợp có: 14 cách lấy Vậy ta có: 26 + 156 + 14 = 196 cách lấy ba số liên tiếp lấy ba số có hai số liên tiếp Xác suất để ba số chọn khơng có hai số liên tiếp là: P = 1− 196 13 = 560 20 17 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu Câu 28 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác su ất đ ể số chọn có tổng chữ số hàng trăm hàng đơn vị hai lần chữ số hàng chục 5 A 81 B 18 C 162 D 81 Lời giải n ( Ω ) = 9.9.8 = 648 (phần tử) Khơng gian mẫu có số phần tử là: N = abc ( a, b, c ∈ { 1, 2,3, ,9} ; a, b, c Gọi đôi khác nhau, a ≠ 0, a + c = 2b) Vì a + c = 2b nên a + c số chẳn khác Ta có trường hợp sau: a, c ∈ { 1,3,5,7,9} Trường hợp 1: Mỗi cách chọn a, c có cách chọn b nên ta có: A5 = 20 (số) a, c ∈ { 0, 4, 4, 6,8} , a ≠ Trường hợp 2: Mỗi cách chọn a, c có cách chọn b nên ta có: A52 − = 16 (số) Vậy có tất 20 + 16 = 36 (số) 36 P= = 648 18 Suy xác suất cần tìm: S = { 1; 2;3; ;19; 20} Câu 29 Cho tập gồm 20 số tự nhiên từ đến 20 Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc S Xác suất để ba số lấy lập thành cấp số cộng A 38 B 38 C 38 D 114 Lời giải Chọn C S = { 1; 2;3; ;19; 20} Lấy ngẫu nhiên ba số thuộc số phần tử khơng gian mẫu là: n(Ω) = C20 Các dãy cấp số cộng gồm số thành lập từ 20 số tự nhiên từ đến 20 là: d = 1: (1; 2; 3); …; (18; 19; 20) có 18 dãy d = 2: (1; 3; 5); …; (16; 18; 20) có 16 dãy d = 3: (1; 4; 7); …; (14; 17; 20) có 14 dãy d = 4: (1; 5; 9); …; (12; 16; 20) có 12 dãy d = 5: (1; 6; 11); …; (10; 15; 20) có 10 dãy d = 6: (1; 7; 13); …; (8; 14; 20) có dãy d = 7: (1; 8; 15); …; (6; 13; 20) có dãy d = 8: (1; 9; 17); …; (4; 12; 20) có dãy d = 9: (1; 10; 19); …; (2; 11; 20) có dãy Do có 90 dãy cấp số cộng thỏa yêu cầu đề 90 = 3 C 38 Vậy xác suất để ba số lấy lập thành cấp số cộng 20 Câu 30 Chọn ngẫu nhiên số từ tập số tự nhiên có ba chữ số đơi khác Xác su ất đ ể số chọn có tổng chữ số lẻ 40 35 A 81 B C 81 D 54 Lời giải Chọn A Tập số tự nhiên có ba chữ số đôi khác là: A10 − A9 = 648 n(Ω) = C648 = 648 Không gian mẫu có số phần tử là: (phần tử) Gọi A biến cố “số chọn có có tổng chữ số lẻ” Ta có trường hợp sau: 18 Tài liệu ôn thi THPT QG năm 2020 – Chuyên đề: Tổ hợp – Xác suất – Biên soạn: Nguyễn Hoàng Diệu 1 Trường hợp 1: chữ số lẽ chữ số chẳn Có số cách chọn là: 3!C5 C5 − 1.C5 C4 2! = 260 Trường hợp 2: chữ số lẽ Có số cách chọn là: A5 = 60 Vậy có tất n( A) = 280 + 60 = 320 Suy xác suất cần tìm: P ( A) = 320 40 = 648 81 19 ... buổi khiêu vũ có 20 nam 18 nữ Hỏi có cách chọn đơi nam nữ để khiêu vũ? 2 1 A C 38 B A 38 C C20C 18 D C20C 18 Lời giải Chọn D Chọn nam 20 nam có C20 cách Chọn nữ 18 nữ có C 18 cách 1 Theo quy tắc... sản phẩm lấy có sản phẩm tốt 135 244 15 A 988 B 247 C 247 D 26 Hướng dẫn giải Chọn C Chọn ba sản phẩm tùy ý có C40 = 988 0 cách chọn n ( Ω ) = 988 0 Do Gọi A biến cố có sản phẩm tốt Khi A biến...  1 18      189 + 1 − + 1 − = ÷ ÷1 − ÷ Vậy xác suất cần tìm là: 120  120  119  120   119  1 18 1003 Câu 10 A −1 ( − 2x ) Tính tổng hệ số khai triển B 2020 C −20 18 D 20 18 11