Thông tin tài liệu
LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT MỤC LỤC PHẦN ĐẠI SỐ 10 .3 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến .3 Vấn đề Tập hợp Vấn đề Sai số- số gần Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số Vấn đề Hàm số bậc Vấn đề Hàm số bậc Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình Vấn đề Phương trình bậc ẩn Vấn đề Phương trình bậc hai ẩn Vấn đề Một số phương trình quy bậc nhất, bậc hai 10 Vấn đề Hệ phương trình bậc nhiều ẩn .12 Vấn đề Hệ phương trình bậc hai hai ẩn số 13 Chương Bất đẳng thức, bất phương trình .14 Vấn đề Bất đẳng thức 14 Vấn đề Bất phương trình bậc – bất phương trình bậc hai 15 Chương Lượng giác 16 Vấn đề Cung góc lượng giác .16 Vấn đề Giá trị lượng giác cung 17 Vấn đề Công thức lượng giác 20 PHẦN HÌNH HỌC 10 21 Chương Vecto 21 Vấn đề Khái niệm véc tơ .21 Vấn đề Tổng hai vecto 21 Vấn đề Hiệu hai vecto 22 vấn đề Phép nhân vercsto với số 22 Vấn đề Hệ trục tọa độ 23 Chương Tích vơ hướng 24 Vấn đề Giá trị lượng giác góc 24 Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Vấn đề Tích vơ hướng 25 Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác 26 Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng 27 Vấn đề Đường thẳng 27 Vấn đề Đường tròn 29 Vấn đề Elip 30 Vấn đề Hypebol 30 Vấn đề Parabol 31 Vấn đề đường conic 32 PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định câu khẳng định sai Một mệnh đề vừa đúng, vừa sai Mệnh đề phủ định: Cho mệnh đề P Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Mệnh đề "khơng phải P" gọi mệnh đề phủ định P kí hiệu P Nếu P P sai, P sai P Mệnh đề kéo theo: Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "Nếu P Q" gọi mệnh đề kéo theo kí hiệu là: P � Q , (P suy Q) Mệnh đề P � Q sai P Q sai Lưu ý rằng: Các định lí tốn học thường có dạng P Q Khi đó: � P giả thiết, Q kết luận � P điều kiện đủ để có Q � Q điều kiện cần để có P Mệnh đề đảo Cho mệnh đề kéo theo P � Q Mệnh đề Q � P gọi mệnh đề đảo mệnh đề P � Q Mệnh đề tương đương: Cho mệnh đề P Q Mệnh đề "P Q" gọi mệnh đề tương đương kí hiệu P � Q Mệnh đề P � Q hai mệnh để P � Q Q � P Lưu ý rằng: Nếu mệnh đề P Q định lí ta nói P điều kiện cần đủ để có Q Mệnh đề chứa biến: Mệnh đề chứa biến câu khẳng định chứa biến nhận giá trị tập X mà với giá trị biến thuộc X ta mệnh đề Kí hiệu : Cho mệnh đề chứa biến P(x) với x�X Khi đó: "Với x thuộc X để P(x) đúng" ký hiệu là: "x�X , P(x)" "x �X : P(x)" "Tồn x thuộc X để P(x) đúng" ký hiệu là: "x �X , P(x)" "x �X : P(x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề "x�X , P(x)" "x�X , P(x)" Mệnh đề phủ định mệnh đề "x �X , P(x)" "x �X , P(x)" Phép chứng minh phản chứng: Giả sử ta cần chứng minh định lí: A � B Cách Giả sử A Dùng suy luận kiến thức toán học biết chứng minh B Cách (Chứng minh phản chứng) Ta giả thiết B sai, từ chứng minh A sai Do A vừa vừa sai nên kết B phải Lưu y: � Số nguyên tố số tự nhiên chia hết cho Ngồi khơng chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59; � Ước bội: Cho a,b�� Nếu a chia hết b, ta gọi a bội b b ước a o Ước chung lớn (ƯCLN) hay nhiều số tự nhiên số lớn tập hợp ước chung số o Bội chung nhỏ (BCNN) hay nhiều số tự nhiên số nhỏ tập hợp ước chung số Vấn đề Tập hợp Tập hợp Tập hợp khái niệm tốn học, khơng định nghĩa Có cách xác định tập hợp: Liệt kê phần tử: viết phần tử tập hợp hai dấu móc ; ; � Chỉ tính chất đặc trưng cho phần tử tập hợp Tập rỗng: tập hợp khơng chứa phần tử nào, kí hiệu Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Tập hợp – Tập hợp bằng Tập hợp con: A �B � (x �A � x �B) A �A , A ��A , A A A B A �B, B �C � A �C �A �B A B� � �B �A Nếu tập hợp có n phần tử � 2n tập hợp Tập hợp bằng nhau: Một số tập hợp của tập hợp số thực R * Tập hợp �: � �������� Trong đó: � : tập hợp số tự nhiên khơng có số � : tập hợp số nguyên � (�; �) : tập hợp số thực Khoảng: (a;b) x �� a x b : – – (�; b) x �� x b : �: tập hợp số hữu tỷ a – (a; �) x �� a x : �: tập hợp số tự nhiên ( b ////////// ( ) /////////// + )+ �� a; b Σ� x � a x b : – Đoạn: � � + – + – ]+ � a;� Σ x �a x : � ;b� Σ x �� �x b : Các phép toán tập hợp Giao hai tập hợp: Hợp hai tập hợp: Hiệu hai tập hợp: Phần bù: Cho B �A + – � x �� a x �b : a;b� b – � a;bΣ x � a x b : � + a Nửa khoảng: + A �B � x x �A A \ B � x x �A B x�B � A �B � x x �A CA B A\ B A A x �B � x �B � A B B Vấn đề Sai số- số gần Số gần Trong đo đạc, tính tốn ta thường nhận số gần Sai số tuyệt đối a a Nếu a số gần số a a gọi sai số tuyệt đối số gần a Đợ xác của mợt sớ gần Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Nếu a a a �d a a �d a d �a �a d Ta nói a số gần a với độ xác d qui ước viết gọn Sai số tương đối Sai số tương đối số gần a tỉ số giữa sai số tuyệt đối a Ta thường viết a, a kí hiệu a a � nhỏ độ xác phép đo đạc tính toán lớn a dạng phần trăm Qui trịn sớ gần Nếu chữ số sau hàng qui trịn nhỏ ta việc thay chữ số chữ số bên phải số Nếu chữ số sau hàng qui trịn lớn hay bằng ta thay chữ số chữ số bên phải số cộng thêm đơn vị vào chữ số hàng qui tròn Nhận xét: Khi thay số số qui tròn đến hàng sai số tuyệt đối số qui trịn khơng vượt q nửa đơn vị hàng qui trịn Như vậy, độ xác số qui tròn bằng nửa đơn vị hàng qui trịn Chữ sớ Cho số gần a số a với độ xác d Trong số a, chữ số gọi chữ số (hay đáng tin) d không vượt nửa đơn vị hàng có chữ số Nhận xét: Tất chữ số đứng bên trái chữ số chữ số Tất chữ số đứng bên phải chữ số không chữ số không Chương Hàm số bậc bậc hai Vấn đề Đại cương hàm số Định nghĩa �, D Hàm số f xác định D qui tắc đặt tương ứng số x �D với số Cho D ̹̹� y�� Trong đó: x gọi biến số (đối số), y gọi giá trị hàm số f x Kí hiệu: y f (x) D gọi tập xác định hàm số T y f (x) x�D gọi tập giá trị hàm số Cách cho hàm số: cho bằng bảng, biểu đồ, công thức y f (x) Tập xác định hàm y f (x) tập hợp tất số thực x cho biểu thức f (x) có nghĩa Chiều biến thiên của hàm số: Giả sử hàm số y f (x) có tập xác định D Khi đó: D � x1 , x2 �D x x � f (x1 ) f (x2 ) Hàm số y f (x) gọi đồng biến D � x1 , x2 �D x x � f (x1) f (x2 ) Hàm số y f (x) gọi nghịch biến Tính chẵn lẻ của hàm sớ Cho hàm số y f (x) có tập xác định D Hàm số f gọi hàm số chẵn x �D x�D f ( x) f (x) Hàm số f gọi hàm số le x �D x�D f ( x) f (x) Tính chất đờ thị hàm số chẵn hàm số lẻ: + Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung Oy làm trục đối xứng Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc toạ độ O làm tâm đối xứng Đồ thị của hàm số M x; f (x) Đồ thị hàm số y f (x) xác định tập D tập hợp tất điểm mặt phẳng toạ độ Oxy với x �D Chú y: Ta thường gặp đồ thị hàm số y f (x) đường Khi ta nói y f (x) phương trình đường Vấn đề Hàm số bậc Hàm số TX Đ Tính chất Bảng biến thiên x a 0: hàm Hàm số bậc y ax b � (a�0) số đồng biến a 0: hàm số nghịch biến Hàm số hằng y b � A � � � � y x Đồng biến � �x x � � x x (�;0) nghịch biến (0; �) �b � B� ;0� �a � � O A(0;b) x � � O B A Không đổi Hàm chẵn A(0;b) y � Hàm chẵn Hàm số Đồ thi � � y x Điểm đặc biệt B(1;1) � A O O(0;0) A(1;1) y � B B A O � b ax b x � � � a� y ax b � �(ax b) x b y ax b , (a �0) � a Đối với hàm số ta có: y ax b , Do để vẽ hàm số ta sẽ vẽ hai đường thẳng y ax b y ax b, rời xóa hai phần đường thẳng nằm phía trục hồnh Ox � b� : y ax Khi đó: Lưu y: Cho hai đường thẳng d : y ax b d� � a a�và b �b� � d // d� � aa � 1 � d d� � a a�và b b� � d �d� d� a a� � d �۹ � Phương trình đường thẳng d qua A(xA ; yA ) có hệ số góc k dạng d : y k.(x xA ) yA Vấn đề Hàm số bậc Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Hàm số TXĐ Tính chất Bảng biến thiên Đồ thị y ax , (a �0) parabol (P ) có: y ax2 � (a�0) Khi a 0: x � y � � � �Đỉnh O(0;0) Đồ thi O �Trục đối xứng: Oy �a 0: bề lõm quay lên � a 0: bề lõm quay Khi a 0: x � y xuống O � 0 � � Khi a 0: Đồ thị y ax bx c,(a �0) parabol (P ) có: y ax2 bx c � (a�0) � b � I� ; �� a a� �Đỉnh � �Trục đối xứng: x b � 2a �a 0: bề lõm quay lên x � � y � b 2a � O 4a I Khi a 0: x � � a 0: bề lõm quay xuống y b 2a 4a I � O � � Vẽ đồ thị hàm số y f (x) ax2 bx c , (a �0) � Bước Vẽ parabol (P ) : y ax bx c � Bước Do �f (x) f (x) y f (x) � f (x) f (x) � hàm số y f (x) nên đồ thị vẽ sau: o Giữ nguyên phần (P ) phía Ox o Lấy đối xứng phần (P ) Ox qua Vẽ đồ thị hàm y f x ax2 b x c, (a �0) � Bước Vẽ parabol (P ) : y ax bx c � Bước Do y f x hàm chẵn nên đồ thị đối xứng qua Oy vẽ sau: o Giữ nguyên phần (P ) bên phải Oy o Lấy đối xứng phần qua Oy o Đồ thị y f x hợp phần Ox o Đồ thị y f (x) hợp phần O Nguyễn Bảo VươngO Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Chương Phương trình hệ phương trình Vấn đề Đại cương phương trình Khái niệm phương trình mợt ẩn D D D D f �Dg — Cho hai hàm số y f (x) y g(x) có tập xác định f g Đặt Mệnh đề chứa biến " f (x) g(x)" gọi phương trình ẩn, x gọi ẩn D gọi tập xác định phương trình — Số xo �D " f (xo ) g(xo )" gọi nghiệm phương trình f (x) g(x) mệnh đề Phương trình tương đương — Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm Nếu phương trình đương với phương trình f2(x) g2(x) viết f1(x) g1(x) tương f1(x) g1(x) � f2(x) g2(x) — Định ly 1: Cho phương trình f (x) g(x) có tập xác định D y h(x) hàm số xác định D Khi miền D , phương trình cho tương đương với phương trình sau: (1) : f (x) h(x) g(x) h(x) (2) : f (x).h(x) g(x).h(x) với h(x) �0, x�D Phương trình hệ quả — Phương trình có tập nghiệm f1(x) g1(x) S2 có tập nghiệm S1 �S2 Khi viết: S1 gọi phương trình hệ phương trình f2(x) g2(x) f1(x) g1(x) � f2(x) g2(x) — Định ly 2: Khi bình phương hai vế phương trình, ta phương trình hệ phương trình cho: 2 f (x) g(x) � � � � � g(x)� � �f (x)� Lưu y: � Nếu hai vế phương trình ln dấu bình phương vế nó, ta phương trình tương đương � Nếu phép biến đổi tương đương dẫn đến phương trình hệ quả, ta phải thử lại nghiệm tìm vào phương trình cho để phát loại bỏ nghiệm ngoại lai Vấn đề Phương trình bậc ẩn Giải biện luận phương trình ax b � ax b Hệ số Kết luận a�0 a (i ) (i ) có nghiệm b x � a b�0 (i ) vô nghiệm b (i ) nghiệm với x Bài toán tìm tham số phương trình bậc nhất ax b (ii) � Để phương trình (ii) có nghiệm ۹ a Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT � Để phương trình (ii) có tập nghiệm � (vơ số nghiệm) � a �� � b � � a �� � b � ( ii ) � � Để phương trình vơ nghiệm ( ii ) � Để phương trình có nghiệm � có nghiệm có tập � a � �� � � a 0� � �b �0 � � nghiệm Lưu y: Có nghiệm trường hợp ngược lại vơ nghiệm Do đó, tìm điều kiện để (ii) có nghiệm, thơng thường ta tìm điều kiện để (ii) vô nghiệm, rồi lấy kết ngược lại Vấn đề Phương trình bậc hai ẩn Giải biện luận phương trình bậc hai: ax bx c (i ) Phương pháp: Bước Biến đổi phương trình dạng ax bx c Bước Nếu hệ số a chứa tham số, ta xét trường hợp: � Trường hợp 1: a 0, ta giải biện luận ax b � Trường hợp 2: a�0 Ta lập b 4ac Khi đó: o Nếu (i ) có nghiệm phân biệt o Nếu (i ) có nghiệm (kép): o Nếu (i ) vơ nghiệm x1,2 x b� � 2a b � 2a Bước Kết luận Lưu y: � a �� b �0 � � Phương trình (i ) có nghiệm � a � � �0 � � a �� b �0 � � Phương trình (i ) có nghiệm � a � � 0 � Đinh lý Viét � b S x1 x2 � � a� � c �P x x 2 x,x a Nếu phương trình bậc hai ax bx c 0, (a �0) có nghiệm � u , v u v u v S uv P Ngược lại, hai số có tổng tích nghiệm phương 2 trình x Sx P 0, (S 4P �0) Ứng dụng đinh lý Viét Tính giá trị các biểu thức đới xứng của nghiệm phương trình bậc hai: Nguyễn Bảo Vương Trang LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 2 2 2 � x1 x2 (x1 2x1x2 x2 ) 2x1x2 (x1 x2 ) 2x1x2 S 2P 2 2 2 � (x1 x2 ) (x1 x2 ) 4x1x2 S 4P � x1 x2 a � (x1 x2 ) a � S 4P a � x13 x23 (x1 x2 )(x12 x1x2 x22 ) (x1 x2 ) � (x1 x2 )2 3x1x2 � � � S.(S 3P ) S 3SP � b S x1 x2 (1) � a � Biểu thức không đối xứng � � (2) c �P x1x2 (3) a Lưu y: Nếu biểu thức không đối xứng thường ta giải hệ � x1 , x2 x1 , x2 bằng phương pháp cộng (1) (2) Dấu các nghiệm của phương trình bậc hai: theo m vào (3) để tìm m � Phương trình có nghiệm trái dấu: x1 x2 � P � Phương trình có nghiệm dương: � �0 � x1 �x2 � �P 0� � S � � Phương trình có nghiệm dương phân biệt: � 0 � x1 x2 � � S 0� �P � � �0 � x1 �x2 � �P 0� � S � � Phương trình có nghiệm âm: � Phương trình có nghiệm âm phân biệt: � 0 � x1 x2 � �P 0� � S � � x1 x2 � �0 �� � � x1 �x2 �P � Phương trình có nghiệm dấu: � x1 , x2 , Lưu y: Nếu đề yêu cầu so sánh nghiệm với số ta thường có cách làm sau: o Một đặt ẩn phụ t x để đưa so sánh nghiệm t1 , t2 với số o Hai biến đổi, chẳng hạn: � x1 a x2 � x1 a x2 a � (x1 a)(x2 a) � �x a �x1 a nhân � (x a)(x2 a) 0� � a x1 x2 � �1 �� ��1 � x1 x2 2a �x2 a �x2 a � � Vấn đề Mợt sớ phương trình quy bậc nhất, bậc hai Phương trình trùng phương: ax bx c 0, (a �0) 2 — Đặt t x �0 () � at bt c () () — Để xác định số nghiệm (), ta dựa vào số nghiệm () dấu chúng, cụ thể: Nguyễn Bảo Vương Trang 10 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT sina 2 cosa 2 2 tana cota Không xác định 3 Không xác định 1 II – Ý NGHĨA HÌNH HỌC CỦA TANG VÀ CƠTANG Ý nghĩa hình học của tana A Từ A vẽ tiếp tuyến t 'At với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số bằng cách chọn gốc Gọi T giao điểm OM với trục t ' At uuur tana biểu diễn độ dài đại số vectơ AT trục t 'At Trục t 'At gọi trục tang y t M A x O T t' Ý nghĩa hình học của cota B Từ B vẽ tiếp tuyến s'Bs với đường tròn lượng giác Ta coi tiếp tuyến trục số bằng cách chọn gốc Gọi S giao điểm OM với trục s'Bs uur cota biểu diển độ dài đại số vectơ BS trục s'Bs Trục s'Bs gọi trục côtang III – QUAN HỆ GIỮA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Công thức lượng giác bản Đối với giá trị lượng giác, ta có hằng đẳng thức sau sin2 a + cos2 a = 1 1+ tan2 a = , cos2 a 1+ cot2 a = , sin2 a tan a.cot a = 1, s' y B S s M p a � + kp, k �� x O a �kp, k �� kp a � , k �� 2 Giá trị lượng giác của các cung có liên quan đặc biệt 1) Cung đối nhau: a - a Nguyễn Bảo Vương Trang 20 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT cos( - a ) = cosa sin( - a ) = - sin a tan( - a ) = - tana cot( - a ) = - cota 2) Cung bù nhau: a p - a sin( p - a ) = sin a cos( p - a ) = - cosa tan( p - a ) = - tana cot( p - a ) = - cot a a + p) 3) Cung p : a ( sin( a + p) = - sina cos( a + p) = - cosa tan( a + p) = tana cot( a + p) = cot a � � p � - a� � � � � 4) Cung phụ nhau: a �2 � � � p sin� - a� = cosa � � � � � � � � p cos� - a� = sin a � � � � � � � � p tan� - a� = cot a � � � � � � � � p cot� - a� = tan a � � � � � � Vấn đề Công thức lượng giác I – CÔNG THỨC CỘNG cos( a- b) = cosacosb+ sin asin b cos( a + b) = cosacosb- sin asin b sin( a- b) = sin acosb- cosasin b sin( a + b) = sin acosb+ cosasin b tan a- tan b 1+ tan atan b tan a + tan b tan( a+ b) = 1- tan atan b tan( a- b) = II – CÔNG THỨC NHÂN ĐÔI sin2a = 2sin acosa cos2a = cos2 a- sin2 a = 2cos2 a- 1= 1- 2sin2 a 2tan a tan2a = 1- tan2 a III – CƠNG THỨC BIẾN ĐỔI TÍCH THÀNH TỔNG, TỔNG THÀNH TÍCH Nguyễn Bảo Vương Trang 21 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Cơng thức biến đổi tích thành tổng cosacosb = � cos( a- b) + cos( a + b) � � 2� sin asin b = � cos( a- b) - cos( a+ b) � � 2� sin acosb = � sin( a- b) + sin( a + b) � � 2� Công thức biến đổi tổng thành tích u+v u- v cos 2 u + v u- v cosu- cosv =- 2sin sin 2 u+ v u- v sin u + sin v = 2sin cos 2 u + v u- v sin u- sin v = 2cos sin 2 cosu + cosv = 2cos PHẦN HÌNH HỌC 10 Chương Vecto Vấn đề Khái niệm véc tơ Đinh nghĩa • Vectơ đoạn thẳng có hướng, nghĩa hai điểm mút đọan thẳng, rõ điểm điểm đầu, điểm điểm cuối uuur • r Kí hiệu vectơ có M điểm đầu N điểm cuối MN Nhiều người ta dùng kí hiệu a để uuu r vectơ AB r • Vectơ có điểm đầu điểm cuối trùng gọi vectơ - không, kí hiệu Hai vectơ cùng phương, cùng hướng • Giá vectơ AB : Cho AB khác uuu r uuu r r uuu r Đường thẳng AB gọi giá AB • Hai vectơ phương: Hai vectơ gọi phương chúng có giá song song trùng • Nếu hai vectơ phương chúng hướng, chúng ngược hướng uuur B A E D b C G r Chú ý Vectơ - không AA có giá đường thẳng qua A; phương hướng với vectơ * Trên hình vẽ ta có vectơ uuu r uuu r AB, CD uuu r uuu r uuur AB, CD, EG phương với nhau, uuu r uuu r AB, CD uuur hướng, EG ngược hướng với vectơ Hai vectơ • • uuu r uuu r uuu r AB Độ dài vectơ AB : Độ dài đoạn thẳng AB gọi độ dài vectơ AB , kí hiệu r r r r Hai vectơ a b gọi bằng chúng hướng độ dài, ta viết a = b Vấn đề Tổng hai vecto ▪ Đinh nghĩa b a Nguyễn Bảo Vương A b B a r r a b Cho hai vectơ C a+b Trang 22 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT uuu r r uuu r r AB = a, BC = b Từ điểm A dựng vectơ uuur r r Khi vectơ AC gọi tổng hai vectơ a b uuur r r Kí hiệu AC = a + b Tính chất * • r r r a+b = b+a ; * r Các quy tắc Quy tắc ba điểm : uuur r r r r r ( a + b) + c = a + ( b + c) * r r r a+0= a ; uuu r uuur Với ba điểm A, B, C tùy ý ta ln có AB + BC = AC • Quy tắc hình bình hành : O A uuur uuur uuu r � OA + OC = OB OABC hình bình hành C Tính chất trung điểm : uuur uuur r M trung điểm đoạn AB � MA + MB = Tính chất trọng tâm tam giác : uuur B uuu r uuur r G trọng tâm tam giác ABC � GA + GB + GC = Vấn đề Hiệu của hai vecto Vectơ đối một vectơ r r r r r • Nếu a + b = ta nói a vectơ đối vectơ b ngược lại • Hiệu hai vectơ : a) b) r r r r - a Vectơ đối vectơ a (kí hiệu ) vectơ ngược hướng với vectơ a có độ dài với vectơ a r r r r r r r r r a - b = a + (- b) r r Cách vẽ vectơ a - b : r r Cho vectơ a b r r ba A r r r r a- b a a (như hình vẽ) O B r b uuur r uuu r r Từ điểm O bất kì, ta vẽ OA = a , OB = b uuur r r Ta có BA = a - b c) r Định nghĩa: Hiệu hai vectơ a b , kí hiệu a - b tổng vectơ a với vectơ đối vectơ b uuur uuur uuur Quy tắc hiệu vectơ: Với ba điểm M, N, O tùy ý ta có: MN = ON - OM vấn đề Phép nhân vercsto với một sớ Đinh nghĩa r r Tích vectơ a với số thực k vectơ, kí hiệu ka , xác định sau : r r 1) Nếu k �0 vectơ ka hướng với vectơ a ; r r Nếu k < vectơ ka ngược hướng với vectơ a ; r r k.a 2) Độ dài vectơ ka bằng Tính chất Với vectơ r r a, b số thực k, l ta có : Nguyễn Bảo Vương Trang 23 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT 1) r r k la = (kl)a ( ) ; r r r (k + l)a = ka + la 2) ; r r r r k a + b = ka + kb 3) ( ) ; r r r r k a - b = ka - kb ( ) r r r r ka = � k = a 4) = ; uuur uuur uur � MA + MB = 2MI I trung điểm đoạn AB , với điểm M Nếu G trọng tâm tam giác ABC với điểm M ta ln có : uuur uuur uuur uuur MA + MB + MC = 3MG Điều kiện để hai vectơ cùng phương r r r r r r � � b a a $ � b = ka � • phương ( ) k : uuu r uuur • Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng � $ k ��: AB = kAC Biểu thi một vectơ qua hai vectơ không cùng phương r r r Cho hai vectơ không phương a b Khi vectơ c biểu thị cách r r r r r c = ma + nb a b qua hai vectơ , nghĩa có cặp số m n cho Vấn đề Hệ trục tọa độ I) TRỤC VÀ ĐỘ DÀI TRÊN TRỤC r Trục tọa độ (còn gọi trục) đường thẳng xác định điểm O cố định vectơ đơn vị i (vectơ có độ dài bằng 1) Điểm O gọi gốc tọa độ Hướng vectơ đơn vị gọi hướng trục r ( O;i) Trục tọa độ kí hiệu Cho điểm M tùy ý nằm trục r ( O;i) điểm M trục r O;i uuur r ( ) Khi có số k xác định để OM = k.i Số k gọi tọa độ r r r r O;i Cho vectơ a nằm trục Khi đó, có số t xác định để a = t.i Số t gọi tọa độ r r O;i vectơ a trục uuur OM Như tọa độ điểm M tọa độ vec tơ uuu r r Nếu hai điểm A, B phân biết nằm trục Ox Khi có số t cho AB = t.i Ta gọi số t độ dài uuu r uuu r r đại số vectơ AB trục cho, kí hiệu AB Như AB = AB.i ( ) ( ) Nhận xét: a) uuu r r Nếu vectơ AB hướng với vectơ i AB = AB uuu r r Nếu vectơ AB ngược hướng với vectơ i AB = - AB r b) ( O;i) có tọa độ a b Nếu hai điểm A B nằm trục AB = b - a Định ly: Trên trục số: Với ba điểm trục, ta có: AB + BC = AC (HỆ THỨC Sa – lơ) Nguyễn Bảo Vương Trang 24 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT uuu r uuu r AB CD Hai vectơ bằng AB = CD II) HỆ TRỤC TỌA ĐỘ rr r ( O;i; j) Hệ trục tọa độ r ( O;i) ( O; j) vng góc với (như hình vẽ) gờm hai trục Trong đó: Điểm O gọi gốc tọa độ r O;i ( ) gọi trục hồnh, khí hiệu Ox r O; j) ( Trục gọi trục tung, khí hiệu Oy Trục r r Các vectơ i j vectơ đơn vị trục Ox Oy rr ( O;i; j) Hệ trục tọa độ kí hiệu Oxy Chú ý: Mặt phẳng mà chọn hệ trục tọa độ Oxy gọi mặt phẳng tọa độ Oxy (Hay mặt phẳng Oxy) III) TỌA ĐỘ CỦA VECTƠ ĐỐI VỚI HỆ TRỤC TỌA ĐỘ Đối với hệ trục tọa độ r u = ( x;y) ( rr O;i; j ) ur = x.ir + y.jr cặp số ( x;y) gọi tọa độ vectơ ur r r u( x;y) Kí hiệu hay Số x gọi hoành độ, y gọi tung độ vectơ u r � a = ( x;y) � � �r � b = ( x';y') � Định lí: Cho hai vec tơ � số thực k Khi đó: r r r r - a + b = ( x + x ';y + y') a - b = ( x - x ';y - y') r k.a = ( kx;ky) - - � x = kx' r r � � $ k � � : � r r b �0 � y = ky' � � a phương với b r r � x = x' a=b�� � � y = y' � � ( ) IV) TỌA ĐỘ CỦA ĐIỂM uuur Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tọa độ vectơ OM gọi tọa độ điểm M Như theo định nghĩa ta có: ( x;y) tọa độ điểm M M ( x;y) uuur OM = ( x;y) M = ( x;y) Kí hiệu: hay Số x gọi hồnh đợ, số y gọi tung độ điểm M Nhận xét: Nếu gọi H, K hình chiếu M Ox Oy thì: uuur r r uuur uuur M ( x;y) � OM = x.i + y.j = OH + OK uuur r uuur r OK = y.j OH = x.i x = OH Như vậy: hay hay y = OK A ( xA ;yA ) B ( xB ;yB ) Định lí: Với hai điểm ta có: uuu r AB = ( xB - xA ;yB - yA ) V) TỌA ĐỘ TRUNG ĐIỂM CỦA ĐOẠN THẲNG VÀ TỌA ĐỘ TRỌNG TÂM TÂM CỦA TAM GIÁC Nguyễn Bảo Vương Trang 25 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Định lí 1: Với hai điểm Định lí 2: Cho ba điểm A ( xA ;yA ) A ( xA ;yA ) , B ( xB ;yB ) B ( xB ;yB ) � x + xB � xI = A � � � � � yA + yB � yI = � � , trung điểm I đoạn thẳng AB có tọa độ là: � C ( xC ;yC ) D ABC Khi trọng tâm G có tọa độ � x + xB + xC � xG = A � � � � � yA + yB + yC � yG = � � � Chương Tích vơ hướng Vấn đề Giá trị lượng giác của góc A TĨM TẮT LÍ THUYẾT Đinh nghĩa Với góc (00 � � 1800), ta xác định điểm M(x ; y) nửa đường � tròn đơn vị cho MOx Khi sin y , y y M' M x cos = x , x cot y (y �0) -1 -x O x y x (x �0) , Các số sin , cos , tan , cot gọi giá trị lượng giác góc • Tính chất : Với hai góc bù 1800 ta có : tan sin(180o ) sin ; cos(180o ) cos ; o tan(180 ) tan ( � 900) ; cot(180o ) cot (00 < < 1800) Giá tri lượng giác mợt số góc đặc biệt 00 300 450 600 900 2 cos 2 2 tan 3 cot 1 Góc sin Vấn đề Tích vơ hướng Góc hai vectơ r r 1200 1350 1500 1800 -2 2 2 - - -1 - -1 r uuu r - - -1 r • Cho hai vectơ a b khác vectơ uuur r Từ điểm O bất kì, ta vẽ vectơ OA = a OB = b Nguyễn Bảo Vương Trang 26 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT r r � b a AOB Khi gọi góc giữa hai vectơ , r r ( a, b) kí hiệu r r r r ( a,b) = 90 � a ^ b • Đinh nghĩa tích vô hướng hai vectơ r r Tích vơ hướng hai vectơ a b số, r ru kí hiệu a.b , xác định công thức rr r r r r a.b = a b cos a, b ( ) Tính chất tích vô hướng : Với vectơ r r r a, b, c số thực k, ta có: rr rr 1) a.b = b.a (Tính chất giao hóan) ; r r rr ka b = k ab ( ) ( ); r r r rr rr a.( b + c) = a.b + a.c 3) (Tính chất phân phối phép cộng) ; r r r rr rr a.( b - c) = a.b - a.c (Tính chất phân phối phép trừ) ; 2) rr r r 4) a.b = � a ^ b 5) Bình phương vơ hướng: Bình phương vơ hướng vectơ bằng bình phương độ dài vectơ : r2 r2 a = a B • Các hằng đẳng thức bình phương vơ hướng : r r ( a + b) r2 rr r2 = a + 2ab + b r2 r2 r r r r a - b = (a - b)(a + b) r ; r ( a - b) r2 rr r2 = a - 2ab + b ; B’ O A 6) Công thức hình chiếu : uuur r uuu r r r r r OA = a, OB = b Cho Tích vơ hướng hai vectơ a b bằng tích vơ hướng a uuuu r uu r r r với OB ' = b' hình chiếu b lên a : r r r uu r uuur uuu r uuur uuuu r a.b = a.b' hay OA.OB = OA.OB ' • Chú y: Cho đường trịn (O) điểm M Dựng cát tuyến MAB với (O), ta định nghĩa: Phương tích điểm M đường trịn (O), kí hiệu PM/ ( O) O A số xác định biểu thức: uuur uuur PM/ ( O) = MA.MB = d2 - R ( d = MO) ; B M Nếu M nằm ngồi đường trịn (O) MT tiếp tuyến (O) d R T uuur PM/ ( O) = MT = MT Biểu thức tọa độ tích vô hướng Nguyễn Bảo Vương Trang 27 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Trong mặt phẳng Oxy, cho r a = (x;y) rr (1) a.b = xx'+ yy' ; r a = x2 + y2 (2) r r (a,b) = (3) cos r b = (x';y') Khi : ; xx'+ yy' 2 x +y r x' + y' r r r ( a �0, b �0) ; M ( xM ;yM ) N ( xN ;yN ) : uuur 2 MN = (xN - xM ) + (yN - yM ) (4) Khoảng cách giữa hai điểm MN = r r a (5) ^ b � xx '+ yy' = ; Vấn đề Các hệ thức lượng tam giác I) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VNG 1) Các định lí: b2 = a.b' c2 = ac' a2 = b2 + c2 (định lí Py – ta – go) 2) Các hệ quả: b'.c' = h2 b' b2 = c' c 1 = 2+ 2 h b c a.h = b.c II) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG: 1) Định lí cơsin a2 = b2 + c2 - 2bc.cosA b2 = c2 + a2 - 2ca.cosB c2 = a2 + b2 - 2ab.cosC Định lí sin a b c = = = 2R sinA sinB sinC Công thức tính diện tích: 1 S = aha = bhb = chc 2 1 S = bcsinA = casinB = absinC 2 abc S= 4R a+b+c S = p( p - a) ( p - b) ( p - c) p = ; (Hê – rông) S = pr = ( p - a) = ( p - b) rb = ( p - c) rc Bán kính đường trịn nợi tiếp, đường trịn bàng tiếp: r = ( p - a) tan A B C = ( p - b) tan = ( p - c) tan 2 Nguyễn Bảo Vương Trang 28 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT A B rb = ptan C rc = ptan = ptan 5) Công thức tính đợ dài đường trung tuyến m2a = b m = m2c = ( ) b2 + c2 - a2 ( ) ( 2 c + a2 - b2 ) a + b2 - c2 6) Cơng thức tính đợ dài đường phân giác l 2a = l 2b = l 2c = 4bc ( b + c) p( p - a) p( p - b) p( p - c) 4ca ( c + a) 4ab ( a + b) Chương Phương pháp tọa độ mặt phẳng Vấn đề Đường thẳng I PHƯƠNG TRÌNH THAM SỐ VÀ CHÍNH TẮC r r r r Vectơ a gọi vectơ phương đường thẳng a �0 giá a song song trùng với Nhận xét: r r ka k �0 * Nếu a vectơ phương đường thẳng vectơ phương * Một đường thẳng hoàn toàn xác định biết điểm đường thẳng vectơ phương r M x0;y0 a a1;a2 , a12 a22 �0 Oxy Định lí: Trong mặt phẳng , đường thẳng qua điểm nhận làm vec tơ phương có phương trình là: � x x0 ta1 � :� y y0 ta2 � Ta gọi Nếu : 1 a1 a1 Ta gọi Nếu 1 phương trình tham số đường thẳng x x0 t �� a2 2 a1 �0 y y0 a2 1 khác 0, bằng cách khử tham số t hai phương trình ta có: 2 phương trình tắc đường thẳng , từ phương trình tham số ta có: � x x0 t a � � y y0 x x0 a aa � k a1 � y y0 ta2 : y y0 k x x0 a1 � , đặt , ta Nguyễn Bảo Vương 3 Trang 29 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Gọi A giao điểm với Ox,Az tia phía Ox , gọi góc giữa hai tia Ax Az , ta thấy k tan Hệ số k hệ số góc đường thẳng mà ta biết Phương trình gọi phương trình đường thẳng theo hệ số góc k kd; Chú ý: * Nếu / / d * Nếu d k kd 1 II PHƯƠNG TRÌNH TỔNG QUÁT r r r n n Vectơ gọi vectơ pháp tuyến đường thẳng �0 có giá vng góc với đường thẳng Nhận xét: r r kn k �0 * Nếu n vectơ pháp tuyến đường thẳng vectơ pháp tuyến * Một đường thẳng xác định biết điểm đường thẳng vectơ pháp tuyến r r n A;B a B;A * Nếu có vectơ pháp tuyến có vectơ phương r M x ;y n A;B 0 Định lí 1: Trong mặt phẳng Oxy , cho đường thẳng qua điểm nhận vectơ pháp tuyến M x;y với A,B không đồng thời bằng Điểm thuộc đường thẳng khi: 4 A x x0 B y y0 Chú y: 4 � Ax By c C Ax0 By0 M x;y Định lí 2: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm thỏa mãn phương trình: A,B Với không đồng thời bằng đường thẳng ( kí hiệu đường thẳng ) �Phương trình dạng �Nhận xét: 5 Ax By C 5 với A,B không đồng thời bằng 0, gọi phương trình tổng quát đường thẳng � C� M0 � 0; � � B � Nếu A Khi vng góc với Oy �C � C M0 � ;0� � Ax C � x �A � A Khi vng góc với Ox Nếu B 5 � By C � y CB Nếu C 5 � Ax By Khi qua gốc tọa độ �C � � C� M0 � ;0� M � 0; � � A �và � B� Nếu A,B,C đờng thời khác cắt Ox Oy hai điểm x y 1 Khi phương trình viết dạng sau: a b Với a C C ,b A B Phương trình gọi phương trình theo đoạn chắn đường thẳng III VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI CỦA HAI ĐƯỜNG THẲNG Xét hai đường thẳng 1 1 : A 1x B1y C1 và 2 có phương trình tổng qt 2 : A 2x B2y C2 Giả sử có điểm chung Theo phương pháp cramer đặt: D= M x;y , lúc x;y � A 1x + B1y + C1 = :� � � A x + B2y + C2 = �2 nghiệm hệ phương trình � A B1 = A 1B2 - A 2B1; A B2 Nguyễn Bảo Vương Trang 30 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Dx = B1 C1 = B1C2 - B2C1; B2 C2 Dy = C1 A = C1A - C 2A 1; C2 A Ta có: a) 1 cắt 2 ۹ D 0; b) 1 song song 2 � D ( Dx �0 hay Dy �0 ) D � D = Dx = Dy = 0; c) 1 trùng Cách 2: Nếu A 2, B2,C2 �0 2 ۹ a) 1 cắt A1 B1 A2 B2 2 � ta có: ; A1 A2 b) 1 song song A B C 2 � A B2 C2 c) 1 � B1 C � 1; B2 C Vấn đề Đường trịn I PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG TRỊN Trong mặt phẳng tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C) : ( x - a) 2 + ( y - b) = R C có tâm I a;b bán kính R có phương trình: ( 1) Trường hợp đặc biệt , a b phương trình 1 trở thành x y R Là phương trình đường trịn có tâm gốc tọa độ O bán kính R 2 Trong mặt phẳng Oxy , phương trình Với a b c phương trình đường trịn có tâm III Phương trình tiếp tuyến của đường trịn: 2 Trong mặt phẳng tọa dộ Oxy , tiếp tiếp d điểm d : x 2 x2 y2 2ax 2by c M x0;;y0 I;R � d I; R tiếp xúc đường tròn I a;b 2 bán kính R a b c đường tròn tâm I a;b có phương trình là: a x x0 y0 b y y0 Đường thẳng Vấn đề Elip A TÓM TẮT GIÁO KHOA I Định nghĩa ac Cho hai điểm cố định F1,F2 với F1F2 2c độ dài 2a không đổi F1M F2M 2a M Tập hợp điểm cho gọi elip Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm cặp elip F1F2 2c F1M F2M Khoảng cách gọi tiêu cự II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA ELIP gọi bán kính qua tiêu điểm M F c;0 F c;0 c a Trong mặt phẳng Oxy , cho hai điểm Nguyễn Bảo Vương Trang 31 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Xét elip : E : M x;y ;F1M F2M 2a Điều kiện cần đủ để M x;y 1 thuộc x2 E a y2 b2 1 1 Phương trình gọi phương trình tắc elip III HÌNH DẠNG CỦA ELIP Xét elip �Với E : ax y2 b2 M x;y � E 1 2 với b a c E 2 với b a c ta có c c F1M a x F2M a x a a E E � � có trục đối xứng Ox,Oy có tâm đối xứng O E cắt Oy điểm B 0; b , B 0;b Các điểm E Đoạn thẳng A A 2a gọi trục lớn elip E B B A ,A ,B ,B gọi đỉnh elip E trục nhỏ cắt trục Ox hai điểm A a;0 , A a;0 2 2 2b gọi �Các điểm elip nằm trọn hình chữ nhật có phương trình cạnh x �a, y �b Hình chữ nhật gọi hình chữ nhật sở elip IV TÂM SAI ELIP Tỉ số giữa tiêu cự độ dài trục lớn gọi tâm sai elip e c a Kí hiệu V ELIP VÀ PHÉP CO ĐƯỜNG TRÒN 2 Hệ thức b a c cho thấy tiêu cự elip nhỏ b gần bằng a nên elip có hình dạng gần đường tròn Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn M ' x';y' C : x y2 a2 Với điểm thuộc đường tròn ta xét điểm � x' x � � b x '2 y'2 y' y 1 � E b � a tập hợp điểm M ' có tọa độ thỏa phương trình a elip Ta nói đường trịn C co thành elip E Vấn đề Hypebol I ĐỊNH NGHĨA Cho hai điểm cố định cho M x;y F1, F2 với F1F2 2c độ dài 2a không đổi a c Hypebol tập hợp điểm M F1M F2M 2a Hai điểm F1 F2 gọi hai tiêu điểm hypebol F1F2 2c Khoảng cách gọi tiêu cự F1M,F2M gọi bán kính qua tiêu điểm M II PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC CỦA HYPEBOL Nguyễn Bảo Vương Trang 32 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TOÁN THPT Định lí: Trong mặt phẳng Oxy, hypebol M � H � F1M F2M 2a a c x2 a2 y2 b2 H có hai tiêu điểm H F1 c;0 , F2 c;0 điểm có phương trình là: 1 1 2 gọi phương trình tắc hypebol Với b c a Phương trình III HÌNH DẠNG CỦA HYPEBOL Xét hypebol � H H : ax y2 b2 1 2 với b c a có trục đối xứng Ox,Oy có tâm đối xứng O gọi đỉnh H ; đoạn thẳng A A 2a B 0; b , B 0;b H B B 2b �Đặt , đoạn thẳng gọi trục ảo M x;y � H �Ta có x �a hay x �a H gồm hai phần: Do + Phần gờm điểm M x;y cho x �a gọi nhánh phải H ; + Phần gồm điểm M x;y cho x �a gọi nhánh trái H �Các điểm A a;0 , A a;0 �Tỉ số H e 2 gọi trục thực H c a gọi tâm sai hypebol Mọi hypebol có tâm sai e H �Hình chữ nhật tạo đường thẳng x �a y �b gọi hình chữ nhật sở hypebol �Hai đường thẳng chứa hai đường chéo hình chữ nhật sở gọi hai đường tiệm cận b y � x a Phương trình hai đường tiệm cận �Bán kính qua tiêu điểm: Với điểm M x;y � H H , ta có: + xM > F1M a ex F2M a ex + xM < F1M a ex F2M a ex Vấn đề Parabol ĐỊNH NGHĨA: Cho điểm F cố định đường thẳng không qua F Ta gọi : parabol tập hợp điểm M cho khoảng cách từ M đến F bằng khoảng cách từ M đến M � P � FM d M; Điểm F gọi tiêu điểm parabol P Đường thẳng gọi đường chuẩn parabol Khoảng cách từ F đến đường thẳng gọi tham số tiêu parabol 2.PHƯƠNG TRÌNH CHÍNH TẮC PARABOL P Định lí:Trong mặt phẳng Oxy , parabol có tiêu điểm P : y phương trình 2px Nguyễn Bảo Vương �p � p F � ;0� :x �2 �( với p ) đường chuẩn có Trang 33 LÝ THUYẾT CẦN NHỚ TỐN THPT Phương trình gọi phương trình tắc parabol HÌNH DẠNG CỦA PARABOL P P : y2 2px p 0 Xét parabol P có trục đối xứng Ox; Điểm O 0;0 M�P gọi đỉnh P ; xM �0 Vấn đề đường conic I.ĐƯỜNG CHUẨN CỦA ELIP VÀ HYPABOL Cho elip Ta gọi : E : ax y2 b2 1 ab0 H : xa y2 b2 a, b a E H F c;0 e đường chuẩn Đường thẳng ( hay ) ứng với tiêu điểm a 2 : x E H F c;0 x đường chuẩn Đường thẳng ( hay ) ứng với tiêu điểm E hay hypebol H nằm elip 1 : x Với điểm M , ta có: MF1 MF2 e d� M; 1 � M; 2 � � � d� � � II ĐỊNH NGHĨA BA ĐƯỜNG CÔNIC FM e d� M; � � � Cho điểm F, đường thẳng cố định không qua F số dương e Tập hợp điểm M cho tỉ số gọi đường cônic Điểm F gọi tiêu điểm, gọi đường chuẩn e gọi tâm sai đường nic Khi e nic đường elip; Khi e nic đường hypebol; Khi e nic đường parabol TÀI LIỆU ĐƯỢC TRÍCH TỪ TÀI LIỆU CỦA THẦY LÊ VĂN ĐOÀN, THẦY NGUYỄN PHÚ KHÁNH VÀ MỘT SỐ TÀI LIỆU KHÁC TRÊN MẠNG MÌNH CHỈ SẮP XẾP LẠI ĐỂ CHO BẠN ĐỌC TIỆN THEO DÕI KIẾN THỨC CHƯA KIỂM ĐỊNH NÊN BẠN ĐỌC CHÚ Ý NHÉ Nguyễn Bảo Vương Trang 34 ... Hypebol 30 Vấn đề Parabol 31 Vấn đề đường conic 32 PHẦN ĐẠI SỐ 10 Chương Mệnh đề - tập hợp Vấn đề Mệnh đề mệnh đề chứa biến Mệnh đề Mệnh đề câu khẳng định... chia hết cho Ngồi khơng chia hết cho số khác Số không coi số nguyên tố Các số nguyên tố từ đến 100 2;3;5;7;11;13;17;19;23;29;31;37;41;43;47;53;59; � Ước bợi: Cho a,b�� Nếu a chia hết b, ta... đương với phương trình f2(x) g2(x) viết f1(x) g1(x) tương f1(x) g1(x) � f2(x) g2(x) — Định ly 1: Cho phương trình f (x) g(x) có tập xác định D y h(x) hàm số xác định D Khi miền D , phương
Ngày đăng: 01/05/2021, 17:18
Xem thêm:
