a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối[r]
(1)Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (1)
Chó ý:
1, Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
2, Cách tìm góc đờng thẳng với mặt phẳng, đờng thẳng đờng thẳng hai mặt phẳng
3, Cách xác định chiều cao:
1 Nếu khối chóp có cạnh bên vng góc với đáy Nếu khối chóp có mặt bên vng góc với đáy 4, Thể tích khối chóp V=1
3Bh với
B : diện tích đáy h : chiều cao
VD 1: Cho hình chóp SABC có SB = SC = BC = CA = a Hai mặt (ABC) (ASC) vng góc với (SBC) Tính thể tích khối chóp
VD 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với AC = a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với đáy góc 60o.
1, Chứng minh mặt bên tam giác vng 2, Tính thể tích khối chóp
VD 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a biết SA vng góc với đáy ABC (SBC) hợp với đáy (ABC) góc 60o Tính thể tích khối chóp
VD 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a SA vng góc đáy ABCD mặt bên (SCD) hợp với đáy góc 60o.
1, Tính thể tích khối chóp SABCD
2, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (SCD)
VD 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thang vng A D; CD = a;
AB = AD = 2a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 600 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (ABCD) (SCI) (ABCD)
Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a (ĐH – A-2009)
VD 6:Cho hình chóp S.ABCD có ABCD hình thang, BAD· =ABC· =900, AD=2a,
AB=BC=a, SA (ABCD), SA= 2a gọi M, N trung điểm cạnh SA, SD
CMR: BCNM hình chữ nhật Tính thể tích khối chóp S.BCNM theo a (CĐ -2008)
VD 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA=a
SA (ABCD) Tính theo a thể tích khối tứ diện SACD tính cos(SB AC , )
VD 8: Cho S.ABCD có ABCD hình chữ nhật, AB = a, AD = a , SA = a,SA (ABCD) M, N lần lợt trung điểm AD SC I = BM ∩ AC
TÝnh thÓ tÝch khoỏi chóp ANIB (ĐH B-06)
VD 9: Cho hình chóp S.ABC có SA (ABC), ABC cân A, D trung điểm BC, AD = a, (SB, (ABC)) = α; (SB, (SAD)) = β TÝnh VSABC
VD 10: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình vuông tâm O, SA (ABCD), AB = a, SA = a H, K lần lợt hình chiếu vuông gãc cđa A trªn SB, SD CMR: SC (AHK) Tính
thể tích hình chóp OAHK
VD 11: Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M N hình chiếu vng góc A
(2)Bài tập rèn luyện kỹ năng:
Bài 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B với
BA= BC= a biết SA vng góc với đáy ABC SB hợp với (SAC) góc 30o Tính thể tích khối chóp
Bài 2: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy (ABC) SA = h ,biết tam giác ABC mặt (SBC) hợp với đáy ABC góc 30o Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 3: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng A SB vng góc với đáy ABC biết SB = a,SC hợp với (SAB) góc 30o (SAC) hợp với (ABC) góc 60o Chứng minh SC2 = SB2 + AB2 + AC2 Tính thể tích khối chóp
Bài 4: Cho tứ diện ABCD có AD(ABC) biết AC = AD = cm, AB = cm, BC = cm
1, Tính thể tích khối ABCD 2, Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD)
Bài 5: Cho khối chóp S.ABC có đáy ABC tam giác cân A với BC = 2a, BAC 120 o, biết SA (ABC) mặt (SBC) hợp với đáy góc 45o Tính thể tích khối chóp SABC. Bài 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông biết
SA (ABCD),SC = a SC hợp với đáy góc 60o Tính thể tích khối chóp
Bài 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật biết SA (ABCD),
SC hợp với đáy góc 45o AB = 3a , BC = 4a Tính thể tích khối chóp.
Bài 8: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A 60o và SA (ABCD) ,biết khoảng cách từ A đến cạnh SC = a
Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 9: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vng A B biết AB = BC = a , AD = 2a , SA (ABCD) (SCD) hợp với đáy góc 60o
Tính thể thích khối chóp SABCD
Bài 10: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD nửa lục giác nội tiếp nửa đường trịn đường kính AB = 2R biết mặt (SBC) hợp với đáy ABCD góc 45o O trung điểm AB, SO(ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 11: Cho hình chóp S.ABCD đáy hình vng có đường chéo 2; hai mặt bên SAB, SAD vng góc với đáy cạnh bên SC tạo với đáy góc 300 Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình vng cạnh a, SA (ABCD), SA = a
1, Chứng minh CS BD
2, Tính góc đường thẳng SC mặt phẳng (SBD) 3, Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Bài 13: Cho hình chóp S.ABCD có ABC vuông B, SA (ABC) ACB =60o, BC = a, SA
= a 3, M trung điểm SB Tính thể tích MABC
Bµi 1: ThĨ tÝch khèi chãp (2)
Chú ý: Cách xác định chiều cao:
(3)3 Nếu khối chóp có cạnh bên tạo với đáy góc Nếu khối chóp có mặt bên tạo với đáy góc
VD 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng có cạnh a
Mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với đáyABCD, Tính thể tích khối chóp SABCD
VD 2: Cho tứ diện ABCD có ABC tam giác cạnh a, BCD tam giác cân D , (ABC)(BCD) AD hợp với (BCD) góc 60o Tính thể tích tứ diện ABCD
VD 3: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vng cân B, có BC = a Mặt bên SAC vng góc với đáy, mặt bên cịn lại tạo với mặt đáy góc 450.
1, Chứng minh chân đường cao khối chóp trùng với trung điểm cạnh AC 2, Tính thể tích khối chóp SABC.
VD 4: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thoi với AC = 2BD = 2a SAD
vuông cân S , (SAD) (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
VD 5: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A D;
AD = CD = a ; AB = 2a biết tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) Tính thể tích khối chóp SABCD
VD 6:Cho hình chóp S.ABC có mặt bên SBC tam giác cạnh a, SA (ABC) Biết góc
BAC 1200, tính thể tích khối chóp S.ABC theo a.
VD 7:Cho hình chóp tam giác có cạnh bên a cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc Tính thể tích khối chóp
VD 8:Cho khối chóp tam giác cạnh bên mặt bên tạo với đáy góc
bằng 450 Tính thể tích khối chóp.
VD 9: (Y HN-00) Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú cạnh đáy AB=a SAB = Tớnh
thể tích khối chóp S.ABCD theo a .
VD 10: (A-07) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, (SAD)
(ABCD) ∆SAD M, N, P lần lợt trung điểm SB, BC, CD tính thể tích khối chóp CMNP
VD 11: (ĐH B-2008) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh 2a,
SA= a, SB = a mp(SAB) vng góc với mp đáy Gọi M, N trung điểm cạnh AB, BC Tính theo a thể tích khối chóp S.BMDN cosin góc đường thẳng SM, DN
VD 12: [ĐH_B 04] Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a Góc cạnh bên mặt đáy (0o < < 90o) Tính tan góc hai mp(SAB) (ABCD)
theo TÝnh thÓ tÝch khèi chãp S.ABCD theo a,
VD 13:Cho hình chóp tứ giác có mặt bên hợp với đáy góc 45o khoảng cách từ chân đường cao chóp đến mặt bên a Tính thể tích hình chóp
VD 14:Cho khối tứ diện ABCD cạnh a, M trung điểm DC 1, Tính thể tích khối tứ diện ABCD
2, Tính khoảng cách từ M đến mp(ABC).Suy thể tích hình chóp MABC
VD 15:Cho hình chóp tam giác SABC có cạnh bên a, góc đáy mặt bên 45o. 1, Tính độ dài chiều cao SH chóp SABC
2, Tính thể tích khối chóp SABC
VD 16:Cho chóp tam giác có đường cao h hợp với mặt bên góc 30o Tính thể tích khối chóp
VD 17:Cho hình chóp tam giác có đường cao h mặt bên có góc đỉnh
(4)VD 18:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a ASB 60o 1, Tính tổng diện tích mặt bên hình chóp
2, Tính thể tích khối chóp
VD 19:Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân B, AC a ,
SA vng góc với đáy ABC , SA a 1, Tính thể tích khối chóp S.ABC
2, Gọi G trọng tâm tam giác SBC, mặt phẳng ( ) qua AG song song
với BC cắt SC, SB M, N Tính thể tích khối chóp S.AMN
VD 20: Cho tam giác ABC vuông cân A AB a Trên đường thẳng qua C vng góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D cho CD a Mặt phẳng qua C vng góc với BD, cắt BD F cắt AD E
a) Tính thể tích khối tứ diện ABCD b) Chứng minh CE (ABD)
c) Tính thể tích khối tứ diện CDEF.
VD 22:Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, đáy hình vng cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60 Gọi M trung điểm SC Mặt phẳng qua AM song song với BD, cắt SB E cắt SD F
a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD b) Tính thể tích khối chóp S.AEMF
Bµi tËp rÌn lun kỹ năng:
Bi 1: Cho hỡnh chúp SABC cú đáy ABC cạnh a, tam giác SBC vuông cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 2: Cho hình chóp SABC có đáy ABC vng cân A với AB = a biết tam giác SAB cân S nằm mặt phẳng vng góc với (ABC) ,mặt phẳng (SAC) hợp với (ABC) góc 45o Tính thể tích SABC
Bài 3: Cho hình chóp SABC có BAC 90 ;ABC 30 o o; SBC tam giác cạnh a (SAB) (ABC) Tính thể tích khối chóp SABC
Bài 4: Tứ diện ABCD có ABC BCD hai tam giác nằm hai mặt phẳng vng góc với biết AD = a.Tính thể tích tứ diện
Bài : Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng Mặt bên SAB tam giác có đường cao SH = h ,nằm mặt phẳng vng góc với ABCD,
Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 6: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật , tam giác SAB cạnh a nằm mặt phẳng vng góc với (ABCD) biết (SDC) hợp với (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 7: Cho hình chóp SABCD có ABCD hình chữ nhật có AB = 2a , BC = 4a, (SAB)
(ABCD) , hai mặt bên (SBC) (SAD) hợp với đáy ABCD góc 30o Tính thể tích hình chóp SABCD
Bài 8: Cho hình chóp tứ giác có diện tích đáy diện tích mặt bên Tính thể tích khối chóp
Bài 9: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD cạnh đáy a, cạnh bên hợp với đáy góc
(5)Bài 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác ABC vng B, ABa BC, a Tam
giác SAC nằm mặt phẳng vng góc với đáy.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Bài 11: Cho h×nh chãp SABCD cã ABCD hình vuông cạnh 2a, SA = a, SB = a 3,
(SAB) (ABCD) M, N - Trung ®iĨm AB, BC TÝnh VS.BMDN
Bài 12: Cho hình chóp SABCD có hai mặt bên (SAB), (SAD) vng góc với đáy, SA = a
đáy ABCD hình thoi cạnh a có góc A = 1200.
a.Chứng minh hai tam giác SBC SDC b.Tính diện tích xung quanh hình chóp SABCD
c.Tính thể tích hình chóp S.BCD, từ suy khoảng cách từ D đến (SBC) Bài 13: Cho chĩp tam giác SABC cạnh đáy a cạnh bên 2a
Chứng minh chân đường cao kẻ từ S hình chóp tâm tam giác ABC.Tính thể tích chóp SABC
Bài 14: Cho khối chóp tứ giác SABCD có tất cạnh có độ dài a 1) Chứng minh SABCD chóp tứ giác
2) Tính thể tích khối chóp SABCD
Bài 15 : Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có chiều cao h ,góc đỉnh mặt bên 60o Tính thể tích hình chóp
Bài 16: Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên a hợp với đáy góc 60o. Tính thề tích hình chóp
Bài 17: Cho hình chóp SABCD có tất cạnh Chứng minh SABCD chóp tứ giác đều.Tính cạnh hình chóp thể tích V 9a 23
2
Bài 18: Cho khối chóp tứ giác SABCD Một mặt phẳng ()qua A, B trung điểm M
của SC Tính tỉ số thể tích hai phần khối chóp bị phân chia mặt phẳng
Bài 19:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc đáy,
SA a Gọi B’, D’ hình chiếu A lên SB, SD (AB’D’) cắt SC C’ a) Tính thể tích khối chóp S.ABCD
b) Chứng minh SC(AB D' ')
c) Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’
Bài 20: Cho tứ diên ABCD Gọi B' C' trung điểm AB AC Tính tỉ số thể tích khối tứ diện AB'C'D khối tứ diên ABCD
Bài 21: Cho tứ diên ABCD tích 9m3 ,trên AB,AC,AD lấy điểm B',C',D' cho AB = 2AB' ;2AC = 3AD' ;AD = 3AD' Tính tể tích tứ diện AB'C'D'
Bài 22: Cho tứ diên ABCD có cạnh a Lấy điểm B';C' AB AC cho
a 2a
AB2;AC'3 Tính thể tích tứ diện AB'C'D
Bài 23: Cho tứ diênABCD tích 12 m3 Gọi M,P trung điểm AB CD lấy N AD cho DA = 3NA Tính thể tích tứ diện BMNP
Bài 24: Cho hình chóp SABC có đáy ABC tam giác cạnh a 3,đường cao SA = a Mặt phẳng qua A vng góc với SB H cắt SC K Tính thể tích SAHK
(6)Bài 26: Cho hình chóp SABCD tích 9m3, ABCD hình bình hành , lấy M SA cho 2SA = 3SM Mặt phẳng (MBC) cắt SD N.Tính thể tích khối ABCDMN
Bài 27: Cho hình chóp SABCD có đáy hình vng cạnh a, chiều cao SA = h Gọi N trung điểm SC Mặt phẳng chứa AN song song với BD cắt SB,SDF M P Tính thể tích khối chóp SAMNP
Bài 28 : Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành I trung điểm SC Mặt phẳng qua AI song song với BD chia hình chóp thành phần.Tính tỉ số thể tích phần
Bài 29: Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình bình hành lấy M SA cho
SM xSA Tìm x để mặt phẳng (MBC) chia hình chóp thành phần tích
Bµi : thĨ tÝch khèi lăng trụ (1) Chú ý:
1, Cỏch tỡm khong cách từ điểm đến mặt phẳng
2, Cách tìm góc đờng thẳng với mặt phẳng, đờng thẳng đờng thẳng hai mặt phẳng
3, ThÓ tÝch khèi chãp V=1
3Bh với
B : diện tích đáy h : chiều cao
4,Thể tích khối lăng trơ: V= B.h với B: diện tích đa giác đáy, h: chiều cao. Thể tích khối hộp chữ nhật: V = a.b.c với a, b, c ba kích thước
Thể tích khối lập phương: V = a3 với a độ dài cạnh
VD 1. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ , tam giác ABC vng cân A có cạnh BC = a biết A'B = 3a Tính thể tích khối lăng trụ
VD 2. Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác cạnh a = biết diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ
(7)Đường chéo lớncủa đáy đường chéo nhỏ lăng trụ Tính thể tích hình hộp
VD 4. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng cân B với BA = BC = a ,biết A'B hợp với đáy ABC góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
VD 5. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vng A với AC = a , ACB = 60o biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 300 Tính AC' thể tích lăng trụ.
VD 6. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh avà đường chéo BD' lăng trụ hợp với đáy ABCD góc 300 Tính thể tích lăng trụ
VD 7. Cho hình hộp đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a BAD = 60o biết AB' hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích hình hộp.
VD 8. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng cân B biết A'C = a A'C hợp với mặt bên (AA'B'B) góc 30o Tính thể tích lăng trụ
VD 9. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vuông B biết BB' = AB = a B'C hợp với đáy (ABC) góc 30o Tính thể tích lăng trụ.
VD 10. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết AB' hợp với mặt bên (BCC'B') góc 30o Tính độ dài AB' thể tích lăng trụ
VD 11. Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC vng A biết AC = a ACB 60 o
biết BC' hợp với (AA'C'C) góc 30o Tính thể tích lăng trụ diện tích tam giác ABC'
VD 12. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có khoảng cách từ A đến mặt phẳng (A'BC) a AA' hợp với mặt phẳng (A'BC) góc 300 Tính thể tích lăng trụ
VD 13. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có đường chéo A'C = a biết A'C hợp với (ABCD) góc 30o hợp với (ABB'A') góc 45o Tính thể tích khối hộp chữ nhật.
VD 14. Cho lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng BD' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1, BD' hợp với đáy ABCD góc 60o
2, BD' hợp với mặt bên (AA'D'D) góc 30o
VD 15. Chiều cao lăng trụ tứ giác a góc đường chéo phát xuất từ đỉnh mặt bên kề 60o Tính thể tích tổng diện tích mặt lăng trụ
VD 16. Cho lăng trụ đứng tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B với BA = BC = a ,biết (A'BC) hợp với đáy (ABC) góc 600 Tính thể tích lăng trụ.
VD 17. Đáy lăng trụ đứng tam giác ABC.A’B’C’ tam giác Mặt (A’BC) tạo với đáy góc 300 diện tích tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ.
VD 18. Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh đáy a mặt phẳng (BDC') hợp với đáy (ABCD) góc 60o.Tính thể tích khối hộp chữ nhật
VD 19. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = 2a ; (A'BC) hợp với đáy (ABCD) góc 60o A'C hợp với đáy (ABCD) góc 30o Tính thể tích khối hộp chữ nhật
VD 20. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có AB = a, góc hai mặt phẳng (A’BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A’BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a (B-2010)
Bài tập rèn luyện kỹ năng:
Bi 1: Cho hộp chữ nhật ABCD.A'B'C'D' có AA' = a biết A'C hợp với đáy ABCD góc 30o mặt (A'BC) hợp với đáy ABCD góc 600 Tính thể tích hộp chữ nhật.
(8)Bài 3: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông cân B AC = 2a biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 4: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cân A với AB = AC = a
và BAC 120 o biết (A'BC) hợp với đáy ABC góc 45o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 5: Cho lăng trụ đứng ABCA'B'C' có tam giác ABC vuông B BB' = AB = h biết (B'AC) hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ.
Bài 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC biết cạnh bên AA' = a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (A'BC) hợp với đáy ABC góc 60o 2) A'B hợp với đáy ABC góc 45o.
3) Chiều cao kẻ từ A' tam giác A'BC độ dài cạnh đáy lăng trụ
Bài 7: Cho lăng trụ tứ giác ABCD.A'B'C'D' có cạnh bên AA' = 2a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt (ACD') hợp với đáy ABCD góc 45o 2) BD' hợp với đáy ABCD góc 600
3) Khoảng cách từ D đến mặt (ACD') a
Bài 8: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình vng cạnh a Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2) Tam giác BDC' tam giác
3) AC' hợp với đáy ABCD góc 450
Bài 9: Cho lăng trụ đứng ABCD.A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a góc nhọn A = 600 Tính thể tích lăng trụ trường hợp sau đây:
1) Mặt phẳng (BDC') hợp với đáy ABCD góc 60o 2) Khoảng cách từ C đến (BDC') a/2
3) AC' hợp với đáy ABCD góc 450
Bài : thể tích khối lăng trụ (2) Chú ý:
1, Cách tìm khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng
2, Cách tìm góc đờng thẳng với mặt phẳng, đờng thẳng đờng thẳng hai mặt phẳng
VD 1. Cho lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , biết cạnh bên a hợp với đáy ABC góc 60o Tính thể tích lăng trụ.
VD 2. Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu A' xuống (ABC) tâm O đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC biết AA' hợp với đáy ABC góc 600
1, Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật 2, Tính thể tích lăng trụ
VD 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có đáy hình chữ nhật với AB = 3AD = Hai mặt bên (ABB’A’) (ADD’A’) tạo với đáy góc 450 600 .Tính thể tích khối hộp biết cạnh bên
VD 4. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có AB = a, AC = 2a, AA1 = 2a BAˆC 1200
Gọi M trung điểm CC1 CM: MBMA1 tính k/c từ A đến (A1BM)
(9)AA1 = a Gọi M, N trung điểm đoạn AA1 BC1 CM: MN đường vng góc chung AA1 BC1 Tính thể tích MA1BC1?
VD 6. Cho lăng trụ đứng ABC.A1B1C1 có tất cạnh a M trung điểm đoạn AA1 CM: BM B1C tính d(BM, B1C)
VD 7. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác cạnh a, hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với tâm O tam giác ABC Một mặt phẳng (P) chứa BC vuông góc với AA’, cắt hình lăng trụ ABC.A’B’C’ theo thiết diện có diện tích
8
2
a Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’
VD 8. (ĐH A- 2008) Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC vng A, AB=a, AC=a hình chiếu vng góc A’ lên mp(ABC) trung
điểm cạnh BC Tính thể tích A’.ABC cosin góc đường thẳng AA’ B’C’ VD 9. (ĐH D-08) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác vng , AB=BC=a,
cạnh bên AA’= a Gọi M trung điểm BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ
ABC.A’B’C’ khoảng cách đường thẳng AM, B’C
VD 10. Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh đáy 2a, cạnh bên
a Gọi D, E trung điểm AB A’B’ a Tính thể tích khối đa diện ABA'B’C’
b Tính khoảng cách đường thẳng AB (CEB’)
VD 11.(ĐH khối D-2009): Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA’ = 2a, A’C = 3a Gọi M trung điểm A’C’ Gọi I giao điểm AM A’C Tính thể tích khối tứ diện IABC tính khoảng cách từ A đến mp(IBC)
VD 12. (B- 09) Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có BB’ = a, góc BB’ (ABC) 600; tam giác ABC vuông C
BAC = 600 Hình chiếu vng góc điểm B’ lên (ABC)
trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện AABC theo a
Bài tập rèn luyện kỹ năng:
Bài 1: Cho lăng trụ ABC.A'B'C'có cạnh đáy 13;14;15và biết cạnh bên 2a hợp với đáy ABCD góc 45o Tính thể tích lăng trụ
Bài 2: Cho lăng trụ ABCD.A'B'C'D'có đáy ABCD hình vng cạnh a biết cạnh bên hợp với đáy ABC góc 30o.Tính thể tích lăng trụ
Bài 3: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D'có AB =a;AD =b;AA' = c vàBAD 30 o biết cạnh
bên AA' hợp với đáy ABC góc 60o.Tính thể tích lăng trụ.
Bài : Cho lăng trụ tam giác ABC A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a điểm A' cách A,B,C biết AA' = 2a
3 Tính thể tích lăng trụ
Bài 5: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a , đỉnh A' có hình chiếu (ABC) nằm đường cao AH tam giác ABC biết mặt BB'C'C hợp với đáy ABC góc 60o
1) Chứng minh BB'C'C hình chữ nhật
2) Tính thể tích lăng trụ ABC A'B'C'
Bài 6: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Cạnh b CC' = a hợp với đáy ABC góc 60o C' có hình chiếu ABC trùng với O
(10)2) Tính thể tích lăng trụ ABCA'B'C'
Bài 7: Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác cạnh a biết chân đường vng góc hạ từ A' ABC trùng với trung điểm BC AA' = a
1) Tìm góc hợp cạnh bên với đáy lăng trụ
2) Tính thể tích lăng trụ
Bài 8: Cho lăng trụ xiên ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác với tâm O Hình chiếu C' (ABC) O.Tính thể tích lăng trụ biết khoảng cách từ O đến CC' a
Bài 9: Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có mặt hình thoi cạnh a,hình chiếu vng góc A' trên(ABCD) nằm hình thoi,các cạnh xuất phát từ A hộp đơi tạo với góc 60o
1) Chứng minh H nằm đường chéo AC ABCD 2) Tính diện tích mặt chéo ACC'A' BDD'B'
3) Tính thể tích hộp
Bài :hệ toạ độ khụng gian
Chú ý : (Đọc viết tóm tắt nội dung)
1 H trc Oxyz Tọa độ véctơ Tọa độ điểm
4 Tích có hướng hai vectơ ứng dụng
5 Phương trình mặt cầu:
VD 1. Trong hệ tọa độ Oxy cho a(1; 2;1) , b ( 2;1;1),c3i2j k
Tìm tọa độ véctơ
1, u3a 2b 2, v c 3b 3,w a b 2c
VD 2.Cho điểm M(1; 2; 3) Tìm tọa độ hình chiếu vng góc điểm M: 1, Trên mặt phẳng tọa độ: Oxy, Oxz, Oyz
2, Trên trục tọa độ: Ox, Oy, Oz
VD 3.Cho điểm M(1 ; ; 3) Tìm tọa độ điểm đối xứng với điểm M:
1, Qua gốc tọa độ O 2, Qua mặt phẳng Oxy 3, Qua Trục Oy VD 4. Tớnh a b c,
1,a1; 1;1 , b 0;1; , c4; 2;3 2, a 4;3; , b 2; 1; , c 1; 2;1
3, a4; 2;5 , b3;1;3 , c2;0;1 4, a 3;1; , b 1;1;1 , c 2; 2;1 VD 5. Trong không gian Oxyz cho A(0;1;2) ; B( 2;3;1) ; C(2;2;-1)
1, Tính H AB AC, .(OA 3CB)
2, Chứng tỏ OABC hình chữ nhật tính diện tích hình chữ nhật 3, Cho S(0;0;5).Chứng tỏ S.OABC hình chóp.Tính thể tích khối chóp
VD Cho bốn điểm A(1;0;0) , B(0;1;0) , C(0;0;1) , D(-2;1;-1) 1, Chứng minh A, B, C, D bốn đỉnh tứ diện 2, Tìm tọa độ trọng tâm G tứ diện ABCD
3, Tính góc tam giác ABC 4, Tính diện tích tam giác BCD
5, Tính thể tích tứ diện ABCD độ dài đường cao tứ diện hạ từ đỉnh A
(11)1, Tìm tọa độ đỉnh cịn lại hình hộp 2, Tính thể tích hình hộp
3, Chứng tỏ AC’ qua trọng tâm hai tam giác A’BD B’CD’ 4, Tìm độ dài đường cao DH D A’C
VD Trong không gian Oxyz cho điểm A(2;3;4) Gọi M1, M2, M3 hình chiếu A lên ba trục tọa độ Ox;Oy,Oz N1, N2, N3 hình chiếu A lên ba mặt phẳng tọa độ Oxy, Oyz, Ozx
1, Tìm tọa độ điểm M1, M2, M3 N1, N2, N3 2, Chứng minh N1N2 AN3
VD 9. 1, Cho ba điểm A(2; 5; 3), B(3; 7; 4), C(x; y; 6) Tìm x, y để A, B, C thẳng hàng 2, Cho hai điểm A(-1 ; ; 6), B(3 ; -6 ; -2) Tìm M (Oxy): ( MA + MB )min
3, Tìm Oy điểm cách hai điểm A(3 ; ; 0) B(-2 ; ; 1)
4, Tìm mp(Oxz) điểm cách ba điểm A(1 ; 1; 1), B(-1 ; ; 0), C(3 ;1 ; -1)
VD 10.Trong không gian Oxyz cho A(1 ; ; 0), B(0 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(1 ; ; 1) 1, Chứng minh bốn điểm khơng đồng phẳng Tính thể tích tứ diện ABCD 2, Tìm tọa độ trọng tâm tam giác ABC, trọng tâm tứ diện ABCD 3, Tính diện tích mặt tứ diện ABCD
4, Tính độ dài đường cao tứ diện ABCD 5, Tính góc hai đường thẳng AB CD
VD 11.Cho bốn điểm A(2 ; -1 ; 6), B(-3 ; -1 ; -4), C(5 ; -1 ; 0) 1, Chứng minh ABC tam giác vuông
2, Tính bán kính đường trịn nội, ngọai tiếp tam giác ABC
3, Tính độ dài đường phân giác tam giác ABC vẽ từ đỉnh C
VD 12 Tìm tâm bán kính mặt cầu sau:
1, x2 + y2 + z2 -2x + 4y -8z +12 = 2, x2 + y2 + z2 –6y +2z –6 =0 3, 2x2 + 2y2 + 2z2 +8x –4y +2z –3 =0
VD 13.Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau: 1, Tâm I(1 ; ; -1), đường kính
2, Đường kính AB với A(-1 ; ; 1), B(0 ; ; 3)
3, Tâm O(0 ; ; 0) tiếp xúc với mặt cầu tâm I(3 ; -2 ; 4) bán kính R = 4, Tâm I(2 ;-1 ; 3) qua A(7 ; ; 1)
5, Tâm I(-2 ; ; – 3) tiếp xúc mp(Oxy)
VD 14 Viết phương trình mặt cầu trường hợp sau:
1, Đi qua A(1 ; ; -4), B(1 ; -3 ; 1), C( ; ; 3) có tâm nằm mp(Oxy) 2, Đi qua hai điểm A(3 ; -1 ; 2), B(1 ; ; -2) có tâm thuộc trục Oz
3, Đi qua bốn điểm A(1 ; ; 1), B(1 ; ; 1), C(1 ; ; 2), D(2 ; ; 1)
VD 15 Cho phương trình x2 + y2 + z2 – 4mx + 4y + 2mz + m2 + 4m = 0.Tìm m để phương trình mặt cầu tìm m để bán kính mặt cầu nhỏ
VD 16 Chứng tỏ phương trình x2 y2 z2 2 os c x 2sin y 4z 4 4sin2 0
ln
(12)Bµi : phơng trình mặt phẳng
Chú ý : (Đọc viết tóm tắt nội dung)
1, Phương trình mặt phẳng 2, Cơng thức khoảng cách
3, Vị trí tương đối hai mặt phẳng
VD Lập phương trình mặt phẳng () trường hợp sau: 1, () qua M(-3;2;0) có VTPT n(1;2;1)
2, () qua M(1;4;2) có cặp VTCP a(2;1;3) b(1;4;1)
3, () qua M(-2;1;1) //mặt phẳng ():x –3y +z –2 =0
4, () mặt phẳng trung trực đoạn AB với A(-1;4;3) ; B(1;2;1)
VD Lập phương trình mặt phẳng () trường hợp sau: 1, () qua điểm A(-4;3;1); B(1;-2;2); C(-1;1;3)
2, () chứa trục Oy // CD; với C(3;-1;0); D(4;2;-3) 3, () chứa trục Oz mặt phẳng (): x –2y +3z –1 =0
VD Lập phương trình mặt phẳng () trường hợp sau:
1, () qua A(3;-2;2) ; B(1;3;1) vng góc mặt phẳng (): 2x –z +3 =0 2, () qua A(-1;4;2) (P): x – y +2z –1 = & (Q): 2x + y – z + =
VD Trong không gian Oxyz, cho bốn điểm A( 3;-2;-2), B(3;2;0), C(0;2;1), D( -1;1;2) 1, Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
2, Viết phương trình mặt phẳng trung trực đoạn AC
3, Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa AB song song với CD
4, Viết phương trình mặt phẳng (Q) chứa CD vng góc với mp(ABC)
VD Trong không gian Oxyz, cho (P): 2x – y + 2z - 4=0 (Q): x - 2y - 2z + 4=0 1, Chứng tỏ hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc
2, Mặt phẳng (P) cắt ba trục tọa độ ba điểm A, B, C Tính diện tích ABC
3, CMR : O khơng thuộc mặt phẳng (P), từ tính thể tích tứ diện OABC
VD Trong khơng gian Oxyz, cho mặt phẳng (P): 2x + y - z - =
1, Viết phương trình mp (Q) qua gốc tọa độ O song song với mp (P) 2, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ đến mặt phẳng (P)
VD Cho điểm A(-1;3;2) B(1;2;1) Lập phương trình mặt phẳng () qua B cho khoảng cách từ A đến () lớn
(13)VD Cho điểm A(-2;1;3) B(1;2;-1) C(5;0;2) D(-1;3;0)
1, Lập phương trình mặt phẳng (BCD), suy ABCD tứ diện 2, Lập phương trình mặt phẳng () qua điểm A,B //CD
3, Lập phương trình mặt phẳng () qua điểm A, C (): 2x + y – 3z + =
VD 10 Lập phương trình mặt phẳng qua điểm M(5; 4; 3), cắt tia Ox Oy, Oz theo đoạn
VD 11 Cho hai mặt phẳng (P): x + y – z + = (Q): 2x – z = 1, Chứng tỏ hai mặt phẳng cắt
2, Lập phương trình (α) qua giao tuyến (P) (Q) qua A(-1;2;3)
VD 12. Tính khoảng cách từ M đến ():
1, M(-2;-4;3) (): 2x – y + 2z – = 2, M(2;-1;-1), (): 16x – 12y - 15z – = 3, M(4;2;-2) (): 12 y - 5z + =
VD 13.1, Tìm điểm M Ox cách () : 2x – y + z – = (): 2x – y + z + =
2, Tìm điểm M Oy cách điểm A(4;-1;- 4) (): 2x – y + 2z + 19 =
VD 14 Lâp phương trình tiếp diện với mặt cầu điểm M : 1, (S): x2 + y2 +z2 –6x +4y –36 =0 điểm M(1;1;6)
2, (S): x2 + y2 +z2 +4x -2y +6z –107 =0 điểm M(4;-1;6)
VD 15 Lập phương trình tiếp diện với mặt cầu (S): x2 + y2 + z2 - 2x + 4y – 20 = song song với mặt phẳng (): 2x – y + z – =
VD 16 Lập phương trình mặt cầu qua điểm A(-1;2;3), B(-4;1;-1), C(0;2;2) có tâm nằm mặt phẳng Oxz
VD 17 Lập phương trình mặt cầu có tâm I(2;-1; 2) tiếp xúc với () : x - 2y + 2z =
Bài : phơng trình ĐƯờng thẳng
(14)1 nh ngha vect phương đường thẳng Phương trình tham số đường thẳng
3 Phương trình đường thẳng viết dạng tắc
4 Vị trí tương đối hai đường thẳng
5 Vị trí tương đối đường thẳng mặt phẳng Khoảng cách
7 Góc hai mặt phẳng Góc hai đường thẳng
9 Góc đường thẳng mặt phẳng
VD Viết phương trình tham số, phương trình tắc đường thẳng
1, Đi qua A(1;2;-1) có vectơ phương a(1; 2;1)
2, Đi qua hai điểm I(-1;2;1), J(1;-4;3)
3, Đi qua A song song với đường thẳng
2
x y z
4, Đi qua M(1;2;4) vng góc với mặt phẳng 3x- y + z -1=
VD Tìm phương trình tắc đường thẳng
1, Qua A(3;-1;2) song song với đường thẳng
1 x t y t z t
2, Qua A(3;-1;2) song song với hai mặt phẳng: x+2 z -4= ; x+ y - z + 3=
3, Qua M(1;1;4) vng góc với (d1):
1 x t y t z t
(d2):
2
x y z
VD Cho tứ diện ABCD ,biết A(2;-1;6), B(-3;-1;-4), C(5;-1;0), D(1;2;1)
1, Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với mặt phẳng (BCD)
2, Viết phương trình đường thẳng qua I(1;5;-2) vng góc với hai đường thẳng AB, CD
VD 1, Viết phương trình đường thẳng (d) qua M(2;-1;1) & (P) : 2x – z + 1=0 Tìm tọa độ giao điểm
của (d) (P)
2, Viết phương trình tham số, tắc đuờng thẳng d giao tuyến hai mặt phẳng
( ) : 2P xy z40 , ( ) :Q x y2z20
VD Cho ba điểm A(0;1;1), B(-1;0;2), C(3;1;0) (): ,
5 x t
y t t R
z t
1, Viết phương trình mặt phẳng (α) qua ba điểm A, B, C 2, Viết phương trình tham số , tắc đường thẳng BC
3, Chứng tỏ điểm M đường thẳng () thỏa mãn AM BC,
BM AC, CM AB
VD Xét vị trí tơng đối đờng thẳng (d) mặt phẳng (P) ,biết:
1, t, R
2 3 1 : t z t y t x
d (P): x-y+z+3=0 2, t, R
1 9 4 12 : t z t y t x
d (P): y+4z+17=0
(15)1, R t z t y t x d t 33 2 21 :
1 ,
1 3 2 3 2 : u z u y u x d
2, R
t z t y t x d t 46 32 23 :
1 d2 giao hai mặt phẳng:4x y 19 0; x z 15 0
VD Tính góc cặp đường thẳng
1, (d)
2
x y z
(d’)
3
x y z
2, (d)
2
x y z
(d’)
8
2
x y z
3, (d)
4
x y z
(d’)
7
6 12
x y z
4, (d) x t y t z t
(d’) giao tuyến : 2x 3y 3z 0, :x 2y z 3
VD Tính góc đường thẳng mặt phẳng
1, (d) 12
4
x y z
: 3x5y z 0
2, (d)
2
x y z
: 3x 3y2z 0
3, (d)
8
x y z
:x2y 4z 1
VD 10 Tính khoảng cách từ điểm M(-1; 2; 3) đến đường thẳng
1,(d1):
12
4
x y z
2, (d2):
1 x t y t z t
3, (d3) giao tuyến hai mặt phẳng : 2x 3y 3z 0, :x 2y z 3
VD 11 Cho hai
1 1 : z t y t x
d , R
tz t y t x d 1 1 1 tt,
2 :
(16)VD 12 Cho hai
1 1
2 2
: 1
1
z t y
t x
d , R
t z
t y x
d
2 2 t,t
3 1 1 :
1, Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2, Viết phơng trình mặt phẳng (P) chứa (d1) song song với (d2)
3, Tính khoảng cách (d1), (d2)
Bài : TổNG HợP
Chú ý : ( Nêu phơng pháp toán sau ) A Mặt phẳng (dễ)
1, Vieỏt phửụng trình ( ) qua điểm A , B , C
2, Viết phuơng trình ( ) qua M0 song song với mặt phẳng
3, Viết phương trình ( ) lµ trung trực đoạn AB
4, Viết phương trình qua điểm cho trước vng góc với đường thẳng
5, Viết phương trình ( ) qua điểm A, B cho trước vng góc với mặt phẳng
6, Viết phương trình ( ) qua điểm M0 cho trước song song với đường thẳng d d1,
7, Viết phương trình ( ) qua điểm M0 cho trước chứa đường thẳng
8, Viết phương trình ( ) chứa đường thẳng d1 song song với đường thẳng d2
9, Viết phương trình ( ) qua M0 song song với đường thẳng d vng góc với ( )
10, Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa đường thẳng d với mặt phẳng ()
11, Viết phương trình ( ) chứa đường thẳng d1 v d2 (d1, d2 ng phng) B Đờng thẳng (1, 2, dƠ ->)
1, Viết phương trình đường thẳng qua điểm A , B
2, Viết phương trình đường thẳng qua điểm song song với đường thẳng d
3, Viết phương trình đường thẳng qua điểm M0 vng góc với mặt phẳng
4, Viết phương trình đường thẳng qua điểm M0 vng góc với d1và d2
5, Viết phương trình đường thẳng qua điểm B vng góc cắt đường thẳng d
6, Viết phương trình đường thẳng hình chiếu vng góc đường thẳng (d) (P)
7, Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d ( vng góc với mặt phẳng (P) )
cắt đường thẳng d1vàd2
8, Viết phương trình đường thẳng vng góc chung đường thẳng d1vàd2
9, Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d1và cắt d2
10, Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng d1vàd2
11, Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng cắt d1vàd2
12, Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm (d) nằm vng góc với
C. Tìm điểm
1, Tỡm ủieồm N laứ hình chiếu điểm M mặt phẳng
(17)2, Tìm điểm N hình chiếu điểm M đường thẳng
=> H đối xứng với điểm M qua đường thẳng
VD 1.Cho điểm M(1; 4; 2) mặt phẳng ():xyz10
a Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm M ()
b Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua mặt phẳng ()
c Tính khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng ()
VD 2.Cho A(2;1;1) , B(1;2;-1) : 2x y z 4 Tìm điểm M cho
MA MB
nhỏ
VD 3.Cho A(3;1;0) , B(1;-2;5) :x y z 0 Tìm điểm M cho
MA2+MB2 nhỏ nhất
VD Cho điểm A(1; 0; 0) đường thẳng d: t z t y t x 2 1 2
a Tìm tọa độ điểm H hình chiếu vng góc điểm A đường thẳng d b Tìm tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua đường thẳng d
VD 5.Trong không gian Oxyz cho A(3;-1;0) , B(0;-7;3) , C(-2;1;-1) , D(3;2;6) a Viết phương trình mặt phẳng (ABC)
b Viết phương trình đường thẳng (d) qua D vng góc với mặt phẳng (ABC) c Tìm tọa độ điểm D’ đối xứng D qua mặt phẳng (ABC)
d Tìm tọa độ điểm C’ đối xứng C qua đường thẳng AB
VD 6.Trong không gian Oxyz cho mặt phẳng () : 2x + y + z – = :
2 x t y t z t
1 Tìm giao điểm I ()
2 Viết phương trình đường thẳng d qua I vng góc với ()
VD 7.Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
5 1 2 5 : t z t y t x
d , R
t z t y t x d 1 1 tt,
1 3
23 :
(18)2, Viết phơng trình đờng thẳng (d) song song ,cách (d1),(d2) d mp( d1, d2)
VD 8.Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
2 :
y z
x
d t
32 1 : R t z t y t x d
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) cắt
2) Viết phơng trình đờng phân giác (d1),(d2)
VD 9.Trong không gian 0xyz ,cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
1 1 : z t y t x
d , R
tz t y t x d 1 1 1 tt,
2 :
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Viết phơng trình mặt phẳng(P) song song ,cách (d1),(d2)
VD 10.Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho : 1
1 1 :
y z
x d
t 31 2 21 : R t z ty t x d
1, CMR hai đờng thẳng cắt nhau.Xác định toạ độ giao điểm 2, Viết phơng trình tổng qt mặt phẳng (P) chứa (d1),(d2)
3, Viết phơng trình đờng phân giác của(d1),(d2)
VD 11.Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-1,0) cắt hai đờng thẳng:
1 1 :
y z
x
d ,
1 1 : z y x
d
VD 12.Viết phơng trình đờng thẳng qua A(1,-1,0) cắt hai đờng thẳng:
d :1 lµ giao cđa hai mặt phẳng 5x 2z-12 0; 3x-2y-8 t
2 23 31 : R t z t y t x d
VD 13. Viết phơng trình đờng thẳng (d) vng góc với (P) :x+y+z-2=0 cắt hai đờng
thẳng (d1) (d2): R
tz t y t x d t 2 1 2 :
(19)VD 14. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
1
1
: t R
2
x t
d y t
z t
d2 giao hai mặt phẳng 3x 2y 0; 5 x2z12 0 1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo Tính khoảng cách (d1),(d2)
2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
VD 15. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết: 1
2 :
y z
x
d
2 2 :
y z
x d 1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
Bµi : TổNG HợP
Chú ý : ( Nêu phơng pháp toán sau )
1, Vit phng trình đường thẳng qua điểm B vng góc cắt đường thẳng d
2, Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d ( vng góc với mặt phẳng (P) )
cắt đường thẳng d1vàd2
3, Viết phương trình đường thẳng vng góc chung đường thẳng d1vàd2
4, Viết phương trình đường thẳng qua A vng góc với d1và cắt d2
5, Viết phương trình đường thẳng qua điểm A cắt đường thẳng d1vàd2
6, Viết phương trình đường thẳng nằm mặt phẳng cắt d1vàd2
7, Viết phương trình đường thẳng qua giao điểm (d) nằm vng góc với
8, Tìm điểm N hình chiếu điểm M mặt phẳng
=> H đối xứng với điểm M qua mặt phẳng
9, Tìm điểm N hình chiếu điểm M đường thẳng
=> H đối xứng với điểm M qua đường thẳng
VD 1. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
3 4 2 4 3 7 : t z t y t x
d R
t z t y t x d 1 1 tt,
12 29 1 :
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
(20)Tìm toạ độ điểm A1 thuộc (d1) toạ độ điểm A2 thuộc (d2) để đờng thng A1A2 vuụng gúc
với (d1) vuông góc víi (d2)
VD 3. Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) ,biết: d :1 giao hai mặt phẳng
x y 0; x-y z 0 t
2 31 : R t z ty t x d
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Tính khoảng cách (d1),(d2)
VD 4.Cho hai ng thẳng (d1),(d2) ,biết: 1
9 :
y z
x
d
3 :
y z
x d 1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Viết phơng trình đờng thẳng vng góc chung (d1),(d2)
VD 5.Cho hai đờng thẳng (d1),(d2) có phơng trình cho :
d :1 giao hai mặt phẳng x-y z 0; x y 2z 0 t
2 5 22 : R t z t y t x d
1) Chứng tỏ hai đờng thẳng (d1),(d2) chéo
2) Tính khoảng cách (d1),(d2)
3) Vit phng trình đờng thẳng (d) qua M(1,1,1) cắt đồng thời (d1),(d2)
VD 6.Viết phơng trình đờng thẳng qua gốc toạ độ cắt hai đờng thẳng:
R t z t y t x d t 33 2 21 :
1 ,
1 3 2 3 2 : u z u y u x d
VD 7.Viết phơng trình đờng thẳng (d) qua A(1,1,-2) song song với mặt phẳng (P) vng góc với đờng thẳng (d): (P):x-y-z-1
3 1
:x y z
d
VD 8.Viết phơng trình đờng thẳng qua A(0,1,1) vng góc với đờng thẳng (d1) cắt
(d2) ,biÕt :
1 : z y x
d d2 : lµ giao cña x 1 0; x y z 2
VD 9.Viết phơng trình đờng thẳng qua A(3,-2,-4) song song với (P) :3x-2y-3z-7=0 cắt đờng thẳng (d) biết:
2 :
y z
x d
VD 10.Cho ba đường thẳng (d1):
1 2
1
x y z
,(d2):
3 x t y t z t
(21)VD 11.Cho hai đường thẳng (d1): x t y t z t
Và (d2) giao tuyến hai mặt phẳng : 2x y z 1 0, :x2z 0
Viết phương trình đường thẳng qua A(1;-1;1) cắt hai đường thẳng (d1) (d2)
VD 12.Viết phương trình đường thẳng nằm mp:y+2z = cắt hai đường thẳng.(d1):
1 x t y t z t
(d2):
2 x t y t z
VD 14.Cho hai đường thẳng (d):
1
x y z
(d’):
2 x t y t z t a) Chứng tỏ (d) (d’ ) chéo Tính khoảng cách chúng b) Viết phương trình đường vng góc chung chúng
c) Tính góc (d1) (d2)
VD 15.Cho hai đường thẳng (d1):
1 x t y t z t
Và (d2) giao tuyến hai mặt phẳng :x y z 2 0, :x 1
Viết phương trình đường thẳng qua A(0;1;1) vng góc với đường thẳng (d1) cắt (d2)
VD 16.Cho hai dường thẳng
2 :
2
x y z
1
: ,
1
x t
y t t R
z t
a, Viết phương trình mặt phẳng ( ) chứa 1và song song với 2
b, Cho điểm M(2;1;4).Tìm tọa độ điểm H thuộc đường thẳng 2sao cho đoạn MH có
độ dài nhỏ
VD 17.Cho hai điểm A(2;0;0) , B(0;0;8) điểm C cho AC(0;6;0).Tính khoảng
cách từ trung điểm I BC đến đường thẳng OA
VD 18.Trong không Oxyz cho mp : x+3ky – z +2=0 :kx – y +z +1=0 Tìm k để
giao tuyến và vng góc với mặt phẳng :x – y – 2z +5=0
VD 19.Trong không gian Oxyz cho điểm A(-4;-2;4)và đường thẳng d:
3
1 ,
1
x t
y t t R
z t
Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm A , cắt vng góc với đường thẳng d
VD 20.Cho hình chóp S.ABCD có đáy hình thoi ABCD , AC cắt BD gốc tọa độ O Biết A(2;0;0), B(0;1;0), S(0;0;2 2) Gọi M trung điểm SC
a/ Viết phương trình mặt phẳng chứa SA song song với BM b/ Tính khoảng cách hai đường thẳng SA BM
VD 21.Trong không gian Oxyz cho điểm D(-3;1;2) mặt phẳng qua ba điểm
A(1;0;11) , B(0;1;10), C(1;1;8)
(22)b, Viết phương trình tổng quát mặt phẳng
c, Viết phương trình mặt cầu (S) tâm D, bán kính r = 5.CMR: cắt mặt cầu (S)
VD 22.Trong không gian Oxyz ,cho mặt phẳng : 2x +y – z – =
a, Viết phương trình mặt phẳng qua O song song với
b, Viết phương trình tham số đường thẳng qua gốc tọa độ O vng góc với mặt phẳng .
c, Tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến mặt phẳng .
VD 23.Cho hình hộp chữ nhật có đỉnh A(3 ;0 ;0), B(0 ;4 ;0), C(0 ;0 ;5), O(0 ;0 ;0 ) đỉnh D đối xứng với O qua tâm hình hộp chữ nhật
a, Xác định tọa độ đỉnh D Viết phương trình tổng quát mặt phẳng (ABD) b, Viết phương trình tham số đường thẳng qua D vng góc với (ABD)
VD 24.Trong không gian Oxyz, cho A( ;- ;3) , B(0 ;1 ;6) , C(2 ;0 ;-1), D(4 ;1 ;0)
a , Gọi (S) mặt cầu qua bốn điểm A, B, C, D Hãy lập phương trình mặt cầu (S) b, Viết phương trình mặt phẳng tiếp xúc với mặt cầu (S) A
VD 25.Trong không gian Oxyz cho A(1; 0; 0), B(0; 1; 0) , C(0; 0; 1), D(1; 1; 0) a ,Viết phương trình mặt cầu (S) qua bốn điểm A, B, C, D
b, Xác định tọa độ tâm bán kính đường tròn giao tuyến mặt cầu (S) với mặt phẳng (ACD)
VD 29.Trong không gian Oxyz cho mặt cầu (S) mặt phẳng (P) có phương trình : (S) : (x – 3)2 + (y + 2)2 + (z – 1)2 = 100 , (P) : 2x – 2y – z +9 =
a/ Chứng minh : (P) (S) cắt
b/ Xác định tâm bán kính đường tròn giao tuyến của (P) (S)
VD 30.Cho mặt cầu (S) : x2 + y2 + z2 – 2x – 2y – 2z – =
a/ Viết phương trình mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng (Q) :x+y+z – =0 cắt (S) theo thiết diện đường tròn lớn
b/ Viết phương trình mặt phẳng (K) song song với mặt phẳng (R) :x+2y+z – =0 cắt (S) theo thiết diện đường tròn có diện tích 3
VD 31.Cho dường thẳng d mặt phẳng (P) có phương trình : (d) :
1 3
x y z
, (P) : 3x + 2y +z – 12 =
a/ Chứng minh (d) (P)
b/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) vng góc với mặt phẳng (P) c/ Lập phương trình mặt phẳng chứa (d) tạo với mặt phẳng (P) góc 60o
VD 32.Cho hai đường thẳng (d1) (d2) có phương trình (d1) :
7
3
x y z
, (d2)
4 18
3
x y z
a/ Chứng tỏ (d1) (d2) song song với
b/ Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2) c/ Tính khoảng cách (d1) (d2)
d/ Lập phương trình mặt phẳng (Q) chứa (d1) cách (d2) khoảng e/ Lập phương trình đường thẳng () thuộc (P) song song cách (d1) (d2)
(23)(d1):
7
2 ,( )
1
x t
y t t R
z t
, (d2) :
1
2
x y z
a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) đồng phẳng Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa (d1) (d2)
b/Tính thể tích tứ diện giới hạn mặt phẳng (P) ba mặt phẳng tọa độ c/ Viết phương trình mặt cầu ngoại tiếp tứ diện nói
VD 34.Cho hai đường thẳng (d1) (d2)có phương trình : (d1) :
1
2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
(d2) :
2
3 ,( )
1
x u
y u u R
z u
a/ Chứng minh hai đường thẳng (d1) (d2) chéo b/ Tính khoảng cách (d1) (d2)
c/ Viết phương trình đường vng góc chung (d1) (d2)
d/ Viết phương trình đường thẳng () song song với Oz , cắt (d1) (d2)
VD 35.Cho đường thẳng (d) mặt cầu (S) có phương trình : (d) :
3
2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
, (S) : x2 + ( y – )2 + (z – 1)2 = 5
a/ Chứng tỏ đường thẳng (d) mặt cầu (S) tiếp xúc Tìm tọa độ điểm tiếp xúc b/ Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng (d) cắt (S) hai điểm A, B cho độ dài AB =
c/ Viết phương trình mặt phẳng chứa (d) cắt (S) theo thiết diện đường trịn có chu vi 2
VD 36.Cho đường thẳng (d) mặt phẳng (P) có phương trình : (d) :
1
2 ,( )
3
x t
y t t R
z t
, (P): 2x – y – 2z + 1=
a/ Tìm điểm thuộc đường thẳng (d) cho khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng (P)
b/ Gọi K điểm đối xứng I(2 ;-1 ;3) qua đường thẳng (d) Xác định K
VD 37.Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh a
a) Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A’B B’D
b) Gọi M,N,P trung điểm BB’, CD, A’D’.Tính góc hai đường thẳng MP C’N
VD 38. Cho hình chóp tứ giác có cạnh bên cạnh đáy a Tính góc hợp cạnh bên mặt bên đối diện
VD 39. Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với mặt phẳng (ABC), đáy ABC tam giác vuông C Cho SA = AC = CB = a
a) Tính khoảng cách hai đường thẳng AC SB b) Tính góc đường thẳng SA mp(SBC)
(24)a) Tính độ dài MN