gtc1a

+ Xaùc ñònh moät soá ñieåm ñaëc bieät cuûa ñoà thò nhö giao ñieåm cuûa ñoà thò vôùi caùc truïc toaï ñoä (trong tröôøng hôïp ñoà thò khoâng caét caùc truïc toaï ñoä hoaëc vieäc tìm toaï ñ[r]

1 Đinh nghóa:

Hàm số f đồng biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) < f(x2) Hàm số f nghịch biến K  (x1, x2  K, x1 < x2  f(x1) > f(x2) 2 Điều kiện cần:

Giả sử f có đạo hàm khoảng I

a) Nếu f đồng biến khoảng I f(x)  0, x  I b) Nếu f nghịch biến khoảng I f(x)  0, x  I 3 Điều kiện đủ:

Giả sử f có đạo hàm khoảng I

a) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f đồng biến I b) Nếu f (x)  0, x  I (f(x) = số hữu hạn điểm) f nghịch biến I c) Nếu f(x) = 0, x  I f khơng đổi I

Chú ý: Nếu khoảng I thay đoạn nửa khoảng f phải liên tục đó. VẤN ĐỀ 1: Xét chiều biến thiên hàm số

Để xét chiều biến thiên hàm số y = f(x), ta thực bước sau: – Tìm tập xác định hàm số.

– Tính y Tìm điểm mà y = y khơng tồn (gọi điểm tới hạn) – Lập bảng xét dấu y (bảng biến thiên) Từ kết luận khoảng đồng biến, nghịch biến hàm số.

Bài 1. Xét chiều biến thiên hàm soá sau: a) y  2x24x5 b)

2 5

4

x

y  x c) y x 2 4x3 d) y x 3 2x2 x 2 e) y(4 x x)( 1)2 f) y x 3 3x24x1

g) 2

4

y  x  x  h) yx4 2x23 i) 2

10 10

y x  x 

k)

5 x y

x  

 l)

1

x y

x  

 m)

1

1 y

x  



n) 2 26

2

x x

y

x   

 o)

1

1

y x

x   

 p)

2

4 15

3

x x

y

x

 



CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

CHƯƠNG I

ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

Bài 2. Xét chiều biến thiên hàm số sau: a) y 6x4 8x3 3x2 1

    b)

2

1 x y

x  



c) 22

1

x x

y

x x

 



  d) y 2x21

x 

 e) 2

3

x y

x x



  f) y   x 2 x g) y  2x1 3 x h) y x 2 x2 i) y 2x x k) sin2

2

y x  x 

 

 

l) sin

2

y x x  x 

 

 

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số ln đồng biến nghịch biến trên tập xác định (hoặc khoảng xác định)

Cho hàm số y f x m ( , ), m tham số, có tập xác định D.  Hàm số f đồng biến D  y 0, x  D.  Hàm số f nghịch biến D  y 0, x  D. Từ suy điều kiện m.

Chú ý:

1) y = xảy số hữu hạn điểm. 2) Nếu y'ax2bx c thì:



0 ' 0,

0 a b c

y x R

a    



 



    

  

    



0 ' 0,

0 a b c

y x R

a    



 



    

  

     3) Định lí dấu tam thức bậc hai g x( )ax2bx c :

 Nếu  < g(x) ln dấu với a.

 Nếu  = g(x) ln dấu với a (trừ x =

b a

 )

 Nếu  > g(x) có hai nghiệm x1, x2 khoảng hai nghiệm g(x) khác dấu

với a, ngồi khoảng hai nghiệm g(x) dấu với a.

4) So sánh nghiệm x1, x2 tam thức bậc hai g x( )ax2bx c với số 0:



0

0

0

x x P

S   

    

  





0

0

0

x x P

S   

    

  



 x10x2  P0 5) Để hàm số y ax 3bx2cx d có độ dài khoảng đồng biến (nghịch biến) (x1; x2) bằng

d ta thực bước sau:  Tính y.

 Tìm điều kiện để hàm số có khoảng đồng biến nghịch biến:

0 a   



 (1)

 Sử dụng định lí Viet đưa (2) thành phương trình theo m.  Giải phương trình, so với điều kiện (1) để chọn nghiệm.

Bài 1. Chứng minh hàm số sau đồng biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:

a) y x 35x13 b)

3

3

3 x

y  x  x c) 2 x y

x  



d) 2

1

x x

y

x

 



 e)

3 sin(3 1)

y x x f) y x2 2mx x m

 

 

Bài 2. Chứng minh hàm số sau nghịch biến khoảng xác định (hoặc tập xác định) nó:

a) y5xcot(x1) b) ycosx x c) ysinx cosx 2 2x Bài 3. Tìm m để hàm số sau ln đồng biến tập xác định (hoặc khoảng xác

định) nó:

a) y x3 3mx2 (m 2)x m

     b)

3

2

3

x mx

y   x c) y x m

x m  

 d) y mx

x m  

 e)

2 2 1

x mx

y

x m

 



 f)

2 2 3 2

x mx m

y

x m

 



 Bài 4. Tìm m để hàm số:

a) y x 33x2mx m nghịch biến khoảng có độ dài

b) 2

3

y x  mx  mx m nghịch biến khoảng có độ dài

c) ( 1) ( 3)

3

y x  m x  m x đồng biến khoảng có độ dài Bài 5. Tìm m để hàm số:

a) ( 1) ( 1) 1

3 x

y  m x  m x đồng biến khoảng (1; +) b) y x 3 3(2m1)x2(12m5)x2 đồng biến khoảng (2; +)

c) y mx m

x m4 ( 2) 

 

 đồng biến khoảng (1; +) d) y x m

x m  

 đồng biến khoảng (–1; +)

e) 2

2

x mx m

y

x m

 



 đồng biến khoảng (1; +)

f) 2

2

x x m

y

x

  



 nghịch biến khoảng ;2

 

 

 

 

Để chứng minh bất đẳng thức ta thực bước sau:

 Chuyển bất đẳng thức dạng f(x) > (hoặc <, ,  ) Xét hàm số y = f(x) tập xác định đề định.

 Xét dấu f (x) Suy hàm số đồng biến hay nghịch biến.  Dựa vào định nghĩa đồng biến, nghịch biến để kết luận. Chú ý:

1) Trong trường hợp ta chưa xét dấu f (x) ta đặt h(x) = f (x) quay lại tiếp tục xét dấu h (x) … xét dấu thơi.

2) Nếu bất đẳng thức có hai biến ta đưa bất đẳng thức dạng: f(a) < f(b). Xét tính đơn điệu hàm số f(x) khoảng (a; b).

Bài 1. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) sin ,

6 x

x  x x với x  b) 2sin 1tan ,

3 x3 x x với x2 

c) tan ,

2

x x với x d) sin tan ,

2 x x x với x Bài 2. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) tan ,

tana a với a bb b   

 b) sin sin , 0

2 a a b  b với a b 

c) tan tan ,

2 a a b  b với a b  Bài 3. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) sin ,

2 x

x với x

 b)

3

sin ,

6 120

x x x

x  x x   với x

c) xsinx cosx 1,với x 

   

Bài 4. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) ex  1 x với x, 0 b) ln(1x)x với x, 0

c) ln(1 ) ln ,

1

x x với x

x

   

 d)  

2

1xln x 1x  1x Bài 5. Chứng minh bất đẳng thức sau:

a) tan 550 1,4

 b) 13sin 200 207 c) log log 42  3 HD: a) tan 550 tan(45010 )0 Xét hàm số ( )

1 x f x

x  

 . b) Xét hàm số f x( ) 3 x 4x3

f(x) đồng biến khoảng 1; 2

 



 

  vaø

0 1,sin 20 ,

3 20

1 1; 2

 



 

 .

c) Xét hàm số f x( ) log ( x x1) với x > 1.

Bài 6. Cho x³ y³ z³ 0 Chứng minh rằng: x z y x y z

z + + ³y x y+ +z x

Để chứng minh phương trình f(x) = g(x) (*) có nghiệm nhất, ta thực bước sau:  Chọn nghiệm x0 phương trình.

 Xét hàm số y = f(x) (C1) y = g(x) (C2) Ta cần chứng minh hàm số đồng

biến hàm số nghịch biến Khi (C1) (C2) giao điểm có

hồnh độ x0 Đó nghiệm phương trình (*).

Chú ý: Nếu hai hàm số hàm y = C kết luận đúng. Bài 1. Giải phương trình sau:

a) x  x 5 b) x5x3 3 x  4 c) x x 5 x 7 x16 14 d) x215 3 x 2 x28 Bài 2. Giải phương trình sau:

a) 5x 1 x 2 5x3 0 b) ln(x 4) 5  x c) 3x 4x 5x

  d) 2x3x5x 38

Bài 3. Giải bất phương trình sau:

a) x 1 35x 7 47x 5 513x 7 8

        b) 2x x x 7 x27x 35 Bài 4. Giải phương trình:

a) cos2 cos 2 2

3 x- 3- x+ = - cos x- cosx+2

b) 2

2

1

log

2 3

x x x

x x

+ = + +

+ +

Bài 5. Cho phương trình: 2 2 22 4 2 2

5x+mx+ - 5x+mx+ +m =x +2mx+m

Tìm m để phương trình cho có nghiệm thuộc ( )0;1

Bài 6. Giải hệ phương trình

3

2

7

2

x x y y x y x y

ìï + = +

ïïí

ï + = + +

ïïỵ (CĐSP Trà Vinh Khối A – 2005 )

Bài 7. Giải hệ phương trình

3

6

3

1

x x y y x y

ìï - =

-ïïí

ï + =

ïïỵ (ĐH Ngoại Thương Khối A – 2001 )

Bài 8. Giải hệ phương trình sau: a) 3 2 2

x y y y

y z z z

z x x x

                 b) 3 2 2

x y y y

y z z z

z x x x

                 c) 3

6 12

6 12

6 12

y x x

z y y

x z z

              d)

x y y x

x y x y tan tan , 2                   e)

x y x y

x y x y

sin sin 3

5 ,               f)

x y y x

x y x y

sin 2 sin 2

2 ,                

g) x x y y x y x y

cot cot

5

0 , 

            h)

HD: a, b) Xét hàm số f t( ) t3 t2 t

I Khái niệm cực trị hàm số

Giả sử hàm số f xác định tập D (D  R) x0  D

a) x0 – điểm cực đại f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) < f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi f(x0) đgl giá trị cực đại (cực đại) f

b) x0 – điểm cực tiểu f tồn khoảng (a; b)  D x0  (a; b) cho f(x) > f(x0), với x  (a; b) \ {x0}

Khi f(x0) đgl giá trị cực tiểu (cực tiểu) f

c) Nếu x0 điểm cực trị f điểm (x0; f(x0)) đgl điểm cực trị đồ thị hàm số f II Điều kiện cần để hàm số có cực trị

Nếu hàm số f có đạo hàm x0 đạt cực trị điểm f (x0) =

Chú ý: Hàm số f đạt cực trị điểm mà đạo hàm khơng có đạo hàm.

III Điểu kiện đủ để hàm số có cực trị

1 Định lí 1: Giả sử hàm số f liên tục khoảng (a; b) chứa điểm x0 có đạo hàm (a; b)\{x0}

a) Nếu f (x) đổi dấu từ âm sang dương x qua x0 f đạt cực tiểu x0 b) Nếu f (x) đổi dấu từ dương sang âm x qua x0 f đạt cực đại x0

2 Định lí 2: Giả sử hàm số f có đạo hàm khoảng (a; b) chứa điểm x0, f (x0) = có đạo hàm cấp hai khác điểm x0

a) Nếu f (x0) < f đạt cực đại x0 b) Nếu f (x0) > f đạt cực tiểu x0

VẤN ĐỀ 1: Tìm cực trị hàm số Qui tắc 1: Dùng định lí 1.

 Tìm f (x).

 Tìm điểm xi (i = 1, 2, …) mà đạo hàm khơng có đạo hàm.

 Xét dấu f (x) Nếu f (x) đổi dấu x qua xi hàm số đạt cực trị xi.

Qui tắc 2: Dùng định lí 2.  Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm xi (i = 1, 2, …).

 Tính f (x) f (xi) (i = 1, 2, …).

Nếu f (xi) < hàm số đạt cực đại xi.

Nếu f (xi) > hàm số đạt cực tiểu xi.

II CỰC TRỊ CỦA HAØM SỐ

Bài 1. Tìm cực trị hàm số sau: a) y 3x2 2x3

  b) y x3 2x22x c) 15

y x  x  x

d) 3

2 x

y  x  e) y x 4 4x25 f)

4

2

2

x

y x 

g)

2

x x

y

x

  



 h)

2

3

1

x x

y

x

 



 i)

2 2 15

x x

y

x

 

  Bài 2. Tìm cực trị hàm số sau:

a) y (x 2) (3 x 1)4

   b)

2

4

2

x x

y

x x

 



 

c) 22 4

x x

y

x x

 



  d) y x x2 4

  e) y x2 2x5 f) y x  2x x Bài 3. Tìm cực trị hàm số sau:

a) y3 2x 1 b)

3

2

x y

x 

 c)

x x

y e e  

d) y x 2 5x 5 2lnx e) y x  4sin2x f) y x  ln(1x2)

VẤN ĐỀ 2: Tìm điều kiện để hàm số có cực trị

1 Nếu hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x0) = x0 khơng có đạo hàm.

2 Để hàm số y = f(x) đạt cực trị điểm x0 f (x) đổi dấu x qua x0.

Chú ý:

 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt.

Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách:

+ y x( )0 ax03bx02cx0d

+ y x( )0 Ax0B, Ax + B phần dư phép chia y cho y.  Hàm số

2

' '

ax bx c y

a x b

 



 =

( ) ( ) P x

Q x (aa 0) có cực trị  Phương trình y = có hai nghiệm phân biệt khác '

' b a

 .

Khi x0 điểm cực trị ta tính giá trị cực trị y(x0) hai cách:

0

0 ( ) ( )

( ) P x y x

Q x

 hoặc 0

0 '( ) ( )

'( ) P x y x

Q x 

 Khi sử dụng điều kiện cần để xét hàm số có cực trị cần phải kiểm tra lại để loại bỏ nghiệm ngoại lai.

Bài 1. Chứng minh hàm số sau ln có cực đại, cực tiểu: a) y x3 3mx2 3(m2 1)x m3

     b) y2x3 3(2m1)x26 (m m1)x1 c) y x2 m m( 1)x m4

x m

   



 d)

2 2

1

x mx m

y

x m

  



 

Bài 2. Tìm m để hàm số:

a) y(m2)x33x2mx có cực đại, cực tiểu

b) y x3 3(m 1)x2 (2m2 3m 2)x m m( 1)

        có cực đại, cực tiểu

c) y x 3 3mx2(m2 1)x2 đạt cực đại x =

d) y mx4 2(m 2)x2 m 5

     có cực đại x e) y x2 2mx

x m

 



 đạt cực tiểu x =

f) ( 1)

1

x m x m m

y

x

    



 có cực đại, cực tiểu

g)

1

x x m

y x

 



 có giá trị cực đại Bài 3. Tìm m để hàm số sau khơng có cực trị:

a) y x 3 3x23mx3m4 b) y mx 33mx2 (m1)x1

c)

3 x mx y

x

  



 d)

2 ( 1) 4 2

x m x m m

y

x

    



 Bài 4. Tìm a, b, c, d để hàm số:

a) y ax3 bx2 cx d

    đạt cực tiểu x = đạt cực đại

27 x = b) y ax 4bx2c có đồ thị qua gốc toạ độ O đạt cực trị –9 x =

c)

1 x bx c y

x

 



 đạt cực trị –6 x = –1 d) y ax2 bx ab

bx a

 



 đạt cực trị x = x =

e) 22

1

ax x b

y

x

 





đạt cực đại x = Bài 5. Tìm m để hàm số :

a) y x 32(m 1)x2(m2 4m1)x 2(m21) đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho:

1

1 1 ( )

2 x x

x x  

b)

3

y x  mx mx đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: x1 x2 8

c) ( 1) 3( 2)

3

y mx  m x  m x đạt cực trị hai điểm x1, x2 cho: 2

x  x 

a) 2

x mx m

y

x m

  



  có cực đại, cực tiểu giá trị cực đại, cực tiểu dấu

b) ( 1)

1

x m x m m

y

x

    



 có cực đại, cực tiểu tích giá trị cực đại, cực tiểu đạt giá trị nhỏ

c)

4

x x m

y

x

  



 có giá trị cực đại M giá trị cực tiểu m thoả M m 4

d) 2

2

x x m

y

x

  



 coù

12

CÑ CT

y  y  Bài 7. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) yx3mx2 có hai điểm cực trị A, B

2 900

729 m

AB 

b) y x 4 mx24x m có điểm cực trị A, B, C tam giác ABC nhận gốc toạ độ O làm trọng tâm

c) y x2 mx m x m

  



 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục tung Chứng minh hai điểm cực trị luôn nằm phía trục hồnh

d)

1 x mx y

x  

 có khoảng cách hai điểm cực trị 10

e) 2

1

x mx

y

x

  



 có hai điểm cực đại cực tiểu nằm hai phía đường thẳng y = 2x

f) y x2 2x m x m

  



 có hai điểm cực trị khoảng cách chúng nhỏ Bài 8. Tìm m để đồ thị hàm số :

a) y2x3mx212x 13 có hai điểm cực trị cách trục tung.

b) y x 3 3mx24m3 có điểm cực đại, cực tiểu đối xứng qua đường phân giác thứ

c) y x 3 3mx24m3 có điểm cực đại, cực tiểu phía đường thẳng (d): 3x 2y 8

d) (2 1)

1

x m x m

y

x

   



 có hai điểm cực trị nằm hai phía đường thẳng (d): 2x 3y 0

Bài 9. Tìm m để đồ thị hàm số : a) y x2 (m 1)x 2m

x m

   



 có hai điểm cực trị góc phần tư thứ mặt phẳng toạ độ

b) 2 (4 1) 32 2

2

mx m x m m

y

x m

   



 có điểm cực trị nằm góc phần tư thứ hai điểm nằm góc phần tư thứ tư mặt phẳng toạ độ

c) y mx2 (m2 1)x 4m2 m x m

   



và điểm nằm góc phần tư thứ ba mặt phẳng toạ độ

d) (2 1)

1

x m x m

y

x

   



 có hai điểm cực trị nằm hai phía trục hồnh (tung) VẤN ĐỀ 3: Đường thẳng qua hai điểm cực trị

1) Hàm số bậc ba y f x ( )ax3bx2cx d .

 Chia f(x) cho f (x) ta được: f(x) = Q(x).f (x) + Ax + B.  Khi đó, giả sử (x1; y1), (x2; y2) điểm cực trị thì:

1 1

2 2

( ) ( )

y f x Ax B

y f x Ax B

   



  



 Các điểm (x1; y1), (x2; y2) nằm đường thẳng y = Ax + B.

2) Hàm số phân thức ( ) ( ) ( )

P x ax bx c y f x

Q x dx e

 

  

 .

 Giả sử (x0; y0) điểm cực trị 0 '( ) '( ) P x y

Q x

 .

 Giả sử hàm số có cực đại cực tiểu phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y P x'( ) 2'( ) ax b

Q x d



  .

Bài 1. Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số : a) y x 3 2x2 x1 b) y3x2 2x3 c) y x 3 3x2 6x8

d) 2

3 x x y

x

 



 e

2 1

2

x x

y x

  



Bài 2. Khi hàm số có cực đại, cực tiểu, viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị đồ thị hàm số:

a) y x 3 3mx23(m21)x m b)

2 6

x mx y

x m

 





c) y x 3 3(m1)x2(2m2 3m2)x m m ( 1) d)

2 2

1

x mx m

y

x m

  



 

Bài 3. Tìm m để hàm số:

a) y2x33(m 1)x26(m 2)x1 có đường thẳng qua hai điểm cực trị song song

với đường thẳng y = –4x +

b) y2x33(m 1)x26 (1 )m  m x có điểm cực đại, cực tiểu đồ thị nằm đường thẳng y = –4x

c) y x 3mx27x3 có đường thẳng qua điểm cực đại, cực tiểu vng góc

với đường thẳng y = 3x –

d) y x 3 3x2m x m2  có điểm cực đại cực tiểu đối xứng qua đường thẳng ():

2

1 Định nghóa:

Giả sử hàm số f xác định miền D (D  R) a)

0

( ) ,

max ( ) : ( )

D

f x M x D

M  f x   x D f x  M

  

 b)

0

( ) ,

min ( ) : ( )

D

f x m x D

m f x   x D f x  m

  

 2 Tính chất:

a) Nếu hàm số f đồng biến [a; b] max ( )[ ; ]a b f x f b( ), ( )[ ; ]a b f x f a( ). b) Nếu hàm số f nghịch biến [a; b] max ( )[ ; ]a b f x f a( ), ( )[ ; ]a b f x f b( ).

VẤN ĐỀ 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách lập bảng biến thiên Cách 1: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số khoảng.

 Tính f (x).

 Xét dấu f (x) lập bảng biến thiên.  Dựa vào bảng biến thiên để kết luận.

Cách 2: Thường dùng tìm GTLN, GTNN hàm số liên tục đoạn [a; b].  Tính f (x).

 Giải phương trình f (x) = tìm nghiệm x1, x2, …, xn [a; b] (nếu có).

 Tính f(a), f(b), f(x1), f(x2), …, f(xn).

 So sánh giá trị vừa tính kết luận.

 

[ ; ]

max ( ) max ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

M f x  f a f b f x f x f x

 

[ ; ]

min ( ) ( ), ( ), ( ), ( ), , ( )n

a b

m f x  f a f b f x f x f x

Baøi 1. Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) y x 24x3 b) y4x3 3x4 c) y x 42x2 d) y x2 x 2

   e) 2

2

x y

x x

 

  f)

2

2

1

x x

y

x

 



 g) y x2 ( 0)x

x

   h)

2

1 x x y

x x

 



  i)

4

3 ( 0)

x x

y x

x x

 

 

 Bài 2. Tìm GTLN, GTNN hàm soá sau:

a) y 2x3 3x2 12x 1

    treân [–1; 5] b) y3x x treân [–2; 3] c) y x 4 2x23 treân [–3; 2] d) y x 4 2x25 treân [–2; 2]

e)

3 x y

x  

 treân [0; 2] f)

1 x y

x  

 [0; 4] III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

VAØ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HAØM SỐ III GIÁ TRỊ LỚN NHẤT

g) 7

x x

y

x

 



 treân [0; 2] h)

2

1 x x y

x x

 

  

treân [0; 1] i) y 100 x2

  treân [–6; 8] k) y 2x 4 x

Bài 3. Tìm GTLN, GTNN hàm số sau:

a) 2sin

sin

x y

x  

 b)

1

cos cos

y

x x



  c)

2

2sin cos

y x x d) ycos2x 2sinx1 e) ysin3xcos3x f)

2

1 x y

x x

 

 

g) y4 x2 2x 5 x2 2x3 h) y x2 4x x2 4x 3

    

VẤN ĐỀ 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng bất đẳng thức Cách dựa trực tiếp vào định nghĩa GTLN, GTNN hàm số

 Chứng minh bất đẳng thức.

 Tìm điểm thuộc D cho ứng với giá trị ấy, bất đẳng thức vừa tìm trở thành đẳng thức.

Bài 1. Giả sử D( ; ; ) /x y z x 0,y0,z0,x y z  1 Tìm giá trị lớn biểu

thức: P x1 y1 z1

x y z

  

  

HD: P 3  x11y11z11

  

 

Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: ( 1) ( 1) ( 1) 1

1 1

x y z

x y z

 

        

  

 

 P 

4 Daáu “=” xaûy  x = y = z = 3 Vaäy

3

4

D P .

Baøi 2. Cho D = ( ; ) / 0, 0,

4

x y x y x y

 

   

 

  Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

4

4 S

x y

 

HD:   1 1 25

4

x x x x y

x x x x y

 

         

  

4

4( ) 25

4 x y

x y

 

   

 

 S  Dấu “=” xảy  x = 1, y = 1

4 Vaäy minS = 5.

Bài 3. Cho D = ( ; ) /x y x0,y0,x y 1 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2 1

1

x y

P x y

x y x y

    

  

HD: (1 ) (1 ) 2

1

x y

P x y

x y x y

       

   =

1 1 2

1 x1 y x y   . Sử dụng bất đẳng thức Cô–si: (1 ) (1 ) ( ) 1

1

x y x y

x y x y

 

        

  

 11x 11y x y 92

  

 P 

2 Daáu “=” xaûy  x = y =

3 Vaäy minP = 2.

Bài 4. Cho D = ( ; ) /x y x0,y0,x y 4 Tìm giá trị nhỏ biểu thức:

2

2

3

4

x y

P

x y

 

 

HD: P 4x x12 y12 8 8y y x y2

  (1)

Theo bất đẳng thức Cô–si: 1

4

x x

x x

   (2)

3

2

1 3 .

8 8

y y y y

y    y  (3)

 P 

2 Dấu “=” xảy  x = y = Vaäy minP = 2.

VẤN ĐỀ 3: Tìm GTLN, GTNN hàm số cách dùng miền giá trị Xét tốn tìm GTLN, GTNN hàm số f(x) miền D cho trước.

Gọi y0 giá trị tuỳ ý f(x) D, hệ phương trình (ẩn x) sau có nghiệm:

0

( ) (1)

(2) f x y

x D

 

  

Tuỳ theo dạng hệ mà ta có điều kiện tương ứng Thông thường điều kiện ấy (sau biến đổi) có dạng: m  y0 M (3)

Vì y0 giá trị f(x) nên từ (3) ta suy được:

min ( ) ; max ( )

D f x m D f x M

Bài 1. Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số sau:

a) 22

1

x x

y

x x

  

  b)

2

2 23

2 10

x x

y

x x

 



  c)

2sin cos

sin 2cos

x x

y

x x

 



 

d) 2sin cos

2 cos sin

x x

y

x x

 



 

VẤN ĐỀ 4: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số PT, HPT, BPT

Giả sử f(x) hàm số liên tục miền D có min ( )D f x m; max ( )D f x M Khi đó: 1) Hệ phương trình x Df x( )

 

 có nghiệm

 m  M. 2) Hệ bất phương trình x Df x( )

 

 có nghiệm

 M . 3) Hệ bất phương trình x Df x( )

 

 có nghiệm

Bài 1. Giải phương trình sau: a) x 2 44 x 2

    b) 3x5x 6x2 c) x5(1 x)5161 Bài 2. Tìm m để phương trình x3- 3x2- m=0 có nghiệm xỴ ê úé ù1;3

ë û

Đáp số:- 4£ m£ 0

Bài 3. Biện luận theo m số nghiệm phương trình : 2 3

3 x

x x

e - e + e =m

Bài 4. Tìm k để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt: - x3+3x2+k3- 3k2=0

Đáp số: - < <1 k 3,k ¹ 0,k ¹ 2 Bài 5. Tìm m để phương trình sau có nghiệm:

a) x 2x2 1 m

   b) 2 x 2x (2 x)(2x)m c) 3x 6 x (3x)(6 x)m d) 7 x  2x (7 x)(2x) m Bài 6. Tìm m để phương trình sau có nghiệm x+ 9- x- - x2+9x+m=0

(Hướng dẫn: PTÛ m=x2- 9x+2 - x2+9x+9 (1)

Đặt t= - x2+9x,0

2

t

£ £

(1)Û m= - t2+2t+9 Đáp số: 10

4 m

- £ £ )

Bài 7. Tìm a để phương trình sau có nghiệm: 1 1 1 1

9+ -x - (a+2).3+ -x +2a+ =1

Đáp số:a³ 4

Bài 8. Cho phương trình(2+ 3) (x+ -2 3)x =m

a) Giải phương trình m =

b) Xác định m để phương trình có nghiệm Bài 9. Cho phương trình x2+ 1- x+ 1+ =x m

a) Giải phương trình m =

b) Xác định m để phương trình có nghiệm

Đáp số: b)1 2 5

2

m

+ £ £

Bài 10.(ĐH 2006 Khối B)

Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt x2+mx+ =2 2x+1

Bài 11.(ĐH 2007 Khối A)

Tìm m đề phương trình sau có nghiệm 3 x- 1+m x+ =1 24x2- 1

Bài 12.(ĐH 2007 Khối B)

Chứng minh với giá trị dương tham số m, phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt: x2+2x- 8= m x( - 2)

Bài 13.(ĐH 2008 khối A)

Tìm tham số m để phương trình sau có hai nghiệm

Bài 14.(ĐH 2007 khối D)

Tìm giá trị tham số m để hệ ptrình có nghiệm

3

3

1

5

1 15 10

x y

x y

x y m

x y

ìïï + + + = ïïï

íï

ï + + + =

-ïï ïỵ

Bài 15.Tìm m để bất phương trình sau nghiệm với x  R: a) x 2x2 1 m

   b) m 2x29 x m c) mx4 4x m 0 Baøi 16.Cho bất phương trình: x3 2x2 x 1 m 0

     a) Tìm m để bất phương trình có nghiệm thuộc [0; 2] b) Tìm m để bất phương trình thoả x thuộc [0; 2] Bài 17.Tìm m để bất phương trình sau:

a) mx x 3 m có nghiệm b) (m2)x m  x có nghiệm x  [0; 2] c) m x( 2 x1)x2 x 1 nghiệm với x  [0; 1].

VẤN ĐỀ 5: Sử dụng GTLN, GTNN hàm số chứng minh BĐT Để chứng minh f x 0 ta chứng minh Minf x 0

Để chứng minh f x 0 ta chứng minh Maxf x 0

Để chứng minh f x g x  ta chứng minh Minf x Maxg x  Bài 1. Chứng minh rằng: x4- x+ >1 0, " Ỵ ¡x

Baøi 2. CMR: 3a3+7b3>9ab2 "a b, >0 (CĐSP Trà Vinh Khối B – 2005)

Baøi 3. Cho 256b3³ 27a4, CMR: x4+ax b+ ³ 0 " Ỵ ¡x

Bài 4. Chng minh rng: 1+xlnỗỗỗốx+ 1+x2ữữữứữ 1+x2, " x Ă

Bài 5. Tìm tất giá trị a để ln(1x) x ax2, x 0 Đáp số: 0< £a 1

Bài 6. a) Chứng minh a > số cho ax  1 x với x0 a e b)

1 Định nghóa:

Điểm U x f x 0; ( )0  đgl điểm uốn đồ thị hàm số y = f(x) tồn khoảng (a;

b) chứa điểm x0 cho hai khoảng (a; x0) (x0; b) tiếp tuyến đồ thị điểm U nằm phía đồ thị cịn khoảng tiếp tuyến nằm phía đồ thị 2 Tính chất:

 Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm cấp hai khoảng chứa điểm x0, f(x0) = f(x) đổi dấu x qua x0 U x f x 0; ( )0  điểm uốn đồ thị hàm số

 Đồ thị hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d (a  0) ln có điểm uốn đó tâm đối xứng đồ thị

Bài 1. Tìm điểm uốn đồ thị hàm số sau:

a) y x 3 6x23x2 b) y x 3 3x2 9x9 c) y x 4 6x23

d) 2

4 x

y  x  e) y x 412x348x210 f) y3x5 5x43x Bài 2. Tìm m, n để đồ thị hàm số sau có điểm uốn ra:

a) y x 3 3x23mx3m4; I(1; 2) b)

3

2

( 1) ( 3)

3

x

y  m x  m x ; I(1; 3) c) y mx 3nx21; I(1; 4) d) y x 3 mx2nx 2; I2 ; 33  

 

e) y x3 3mx2 2 m

   ; I(1; 0) f) y mx 33mx24; I(–1; 2) Bài 3. Tìm m để đồ thị hàm số sau có điểm uốn:

a) 4 (4 3)

5 x

y  x  m x  x b)

2 1 x mx y

x

 





Bài 4. Chứng minh đồ thị hàm số sau có điểm uốn thẳng hàng:

a) 22

1 x y

x x

 

  b)

1 x y

x  

 c)

2

2

1

x x

y x

 

 d) 22

1 x y

x  

 e)

x y

x 

 f)

2

2

1

x x

y

x x

 



 

g) 22

3

x x

y

x x

 

  h)

2

3

x x

y x

 

 i)

3 4 5

x y

x x



 

Bài 5. Tìm m, n để đồ thị hàm số:

a) y x 4 2x3 6x2mx2m1 có hai điểm uốn thẳng hàng với điểm A(1; –2)

b) 2

3

x

y  x mx có điểm uốn đường thẳng y x 2

c)

4

y x mx n có điểm uốn Ox

IV ĐIỂM UỐN CỦA ĐỒ THỊ

1 Định nghóa:

 Đường thẳng x x đgl đường tiệm cận đứng đồ thị hàm số y f x ( ) điều kiện sau thoả mãn:

0 lim ( )

x x f x



; lim ( )

x x f x



 ;

0 lim ( )

x x f x



;

0 lim ( )

x x f x



   Đường thẳng y y đgl đường tiệm cận ngang đồ thị hàm số y f x ( ) điều kiện sau thoả mãn:

0

lim ( )

x f x y

 ; lim ( ) 0

x  f x y 

 Đường thẳng y ax b a  , 0 đgl đường tiệm cận xiên đồ thị hàm số y f x ( ) điều kiện sau thoả mãn:

 

lim ( ) ( )

x  f x ax b

   ; lim  ( ) ( )

x   f x ax b

  

2 Chú ý:

a) Nếu y f x ( )Q xP x( )( ) hàm số phân thức hữu tỷ

 Nếu Q(x) = có nghiệm x0 đồ thị có tiệm cận đứng x x  Nếu bậc(P(x))  bậc(Q(x)) đồ thị có tiệm cận ngang  Nếu bậc(P(x)) = bậc(Q(x)) + đồ thị có tiệm cận xiên

b) Để xác định hệ số a, b phương trình tiệm cận xiên, ta áp dụng công thức sau:

 

( )

lim ; lim ( )

x x

f x

a b f x ax

x

   

  

hoặc lim ( ); lim  ( ) 

x x

f x

a b f x ax

x

     

  

Bài 1. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a)

1 x y x    b) 10 x y x    c) x y x   

d)

1 x x y x     e) ( 2) x y x    f)

7

2 x x y x     Bài 2. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a) 2

4

x y

x x



  b)

2 x y x    c) 2 x x y x     d) 22 3

1 x x y x x   

  e)

3 1 x x y x     f) 4 x x y x     Bài 3. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a) y x2 4x

  b) 2

4 x y x  

 c)

1 y x x   

d)

1 x y x

x 

 e) y33x2 x3 f)

2 3 2 x x y x    V ĐƯỜNG TIỆM CẬN CỦA ĐỒ THỊ

Bài 4. Tìm tiệm cận đồ thị hàm số sau:

a)

2

x x

y 

 b) ln

x x

e e

y   c) yln(x2 5x6) Bài 5. Tìm m để đồ thị hàm số sau có hai tiệm cận đứng:

a)y

x2 m x m2

3

4 2(2 3)



    b)

2

2

3 2( 1)

x y

x m x

 

   c)

3 x

y

x x m

 

  

d) y x

x2 m x m2

2( 2)

 

    e)

x y

x2 m x m2

2( 1)

 

    f)

3

2

y

x mx m



  

Bài 6. Tìm m để đồ thị hàm số sau có tiệm cận xiên:

a) (3 2)

5

x m x m

y

x

   



 b)

2 (2 1) 3

2

mx m x m

y

x

   





Bài 7. Tính diện tích tam giác tạo tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau chắn hai trục toạ độ:

a)

1 x x y x     b) x x y x      c) 7 x x y x    

Bài 8. Tìm m để tiệm cận xiên đồ thị hàm số sau tạo với trục toạ độ tam giác có diện tích S ra:

a)

1 x mx y x   

 ; S = b)

2 (2 1) 2 3

x m x m

y

x

   



 ; S =

c) 2 2(2 1)

1

x m x m

y

x

   



 ; S = 16 d)

2 2 x mx y x   

 ; S =

Bài 9. Chứng minh tích khoảng cách từ điểm đồ thị hàm số đến hai tiệm cận số:

a)

1 x x y x     b)

2

3 x x y x     c) 7 x x y x    

VI KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VAØ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ

1 Các bước khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số  Tìm tập xác định hàm số

 Xét biến thiên hàm số: + Tính y

+ Tìm điểm đạo hàm y khơng xác định

+ Tìm giới hạn vơ cực, giới hạn vơ cực tìm tiệm cận (nếu có)

+ Lập bảng biến thiên ghi rõ dấu đạo hàm, chiều biến thiên, cực trị hàm số  Vẽ đồ thị hàm số:

+ Tìm điểm uốn đồ thị (đối với hàm số bậc ba hàm số trùng phương) – Tính y

– Tìm điểm y = xét dấu y

+ Xác định số điểm đặc biệt đồ thị giao điểm đồ thị với trục toạ độ (trong trường hợp đồ thị không cắt trục toạ độ việc tìm toạ độ giao điểm phức tạp bỏ qua) Có thể tìm thêm số điểm thuộc đồ thị để vẽ xác

+ Vẽ: oxy, cực trị(nếu có), điểm uốn(nếu có), tiệm cận(nếu có), điểm đặc biệt + Nhận xét đồ thị: Chỉ trục đối xứng, tâm đối xứng (nếu có) đồ thị 2 Hàm số bậc ba y ax 3bx2cx d a ( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị ln có điểm uốn nhận điểm uốn làm tâm đối xứng

 Các dạng đồ thị:

a > 0 a < 0

y’ = coù nghiệm phân biệt

 ’ = b2 – 3ac > 0

y’ = có nghiệm kép  ’ = b2 – 3ac = 0

Y’ = vô nghiệm  ’ = b2 – 3ac < 0

3 Hàm số trùng phương y ax 4bx2c a( 0):

 Tập xác định D = R

 Đồ thị nhận trục tung làm trục đối xứng

y

x 0

I

y

x 0 I

y

x 0

I

y

x 0

 Các dạng đồ thị:

4 Hàm số biến y ax b (c 0,ad bc 0) cx d



   

 :

 Tập xác định D = \R d c

 



 

 

 Đồ thị có tiệm cận đứng x d c

 tiệm cận ngang y a c

 Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số

 Các dạng đồ thị:

5 Hàm số hữu tỷ ( ' 0, )

' '

ax bx c

y a a tử không chia hết cho mẫu a x b

 

 

 :

 Tập xác định D = \ ' ' b R

a

 



 

 

 Đồ thị có tiệm cận đứng ' ' b x

a

 tiệm cận xiên Giao điểm hai tiệm cận tâm đối xứng đồ thị hàm số

a > 0a < 0y’ = có nghiệm phân biệt  ab <

y’ = có nghiệm

 ab >

y

x 0

y

x 0

y

x 0

y

x 0

0

ad – bc > 0 x y

0

 Các dạng đồ thị:

a.a > 0 a.a < 0

y = có nghiệm phân biệt

Y = vô nghiệm

Bài 1. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số: a) y x3 3x2 9x 1

    b) y x 33x23x5 c) yx33x2 d) y (x 1) (42 x)

   e)

3

2

3

x

y  x  f) yx3 3x2 4x2 Bài 2. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:

a) y x4 2x2 1

   b) y x 4 4x21 c)

2

2

x

y  x  d) y (x 1) (2 x 1)2

   e) yx42x22 f) y2x44x28 Bài 3. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:

a)

2 x y

x  

 b)

2

1 x y

x  

 c)

3 x y

x  



d)

1 x y

x  

 e)

3

3 x y

x  

 f)

2

2

x y

x  

 Bài 4. Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số:

a)

1

x x

y x

  

 b)

2 2

1

x x

y x

  

 c)

2 2

1

x x

y x

  



d) 1

1

y x

x   

 e)

2

x y

x 

 f)

2 2

x x

y x

 



0 x

y

0 x

1 Nhắc lại số kiến thức

a) Định nghĩa giá trị tuyệt đối: A A khi A 00 A khi A

ìï ³

ï

= íï - <

ïỵ

b) Định lý bản: A B B A B

ìï ³ ï

= Û íï = ±

ïỵ

c) Một số tính chất đồ thị:

+ Đồ thị hàm số chẵn nhận trục tung làm trục đối xứng + Đồ thị hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm đối xứng

2 Ba dạng toán bản:

Dạng 1: Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C1 y= f x( )

B1 Ta coù :

( ) f(x) (1) ( ) : ( )

( ) f(x) (2)

f x C y f x

f x

ìï ³

ï

= = íï - <

ïỵ

B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C1) sau:

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) )

 Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) )  Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ta (C1)

Minh hoïa: ( ) :C y=x3- 3x+ ®2 ( ) :C1 y= x3- 3x+2

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

VẼ ĐỒ THỊ CỦA HAØM SỐ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

( )

y = f x

( )

y= f - x

( )

y= - f x

( )

y= - f x

-y

O x

O -1 -2

2

x y

O -1 -2

2

Dạng 2:Từ đồ thị ( ) :C y=f x( )®( ) :C2 y= f x( ) ( hàm số chẵn)

B1 Ta coù : ( )

( ) x (1) ( ) :

( ) x (2)

f x C y f x

f x

ìï ³

ï

= = íï - <

ïỵ

B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C2) sau

Do đồ thị hàm số chẳn nên ta cần vẽ phần nằm bên phải trục oy, lấy đối xứng qua oy ta (C2)

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( (1) )

 Lấy đối xứng qua Oy phần đồ thị (C) nằm phía bên phải trục Oy ( tính chất hàm chẳn )

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía bên trái trục Oy (nếu có) ta (C2)

Minh hoïa: 3

2

( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y= x - 3x +2

Dạng 3:Từ đồ thị( ) :C y=f x( )®( ) :C3 y =f x( )

B1 Ta coù :

( )

( ) (1)

( ) : ( )

( ) (2)

f x

y f x C y f x

y f x

ìï ³ ïï ï é =

= Û í ê

ïï ê =-ï ê ï ë ỵ

B2 Từ đồ thị (C) vẽ ta suy đồ thị (C3) sau:

 Bỏ phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( f x( ) ³ 0)

 Giữ nguyên phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (1) )  Lấy đối xứng qua Ox phần đồ thị (C) nằm phía trục Ox ( (2) )

Minh hoïa: 3

3

( ) :C y=x - 3x+ ®2 ( ) :C y =x - 3x+2

O -1 -2

2

x y

O -1 -2

2

x y

O -1 -2

2

x y

O -1 -2

BÀI TẬP RÈN LUYỆN Bài 1. Cho hàm số : y= - x3+3x (1)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:

3

)

a y= - x + x b) y= - x3+3x c) y = - x3+3x

Bài 2. Cho hàm số :

1

x y

x

+ =

- (1)

1 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số (1) Từ đồ thị (C) vẽ, suy đồ thị hàm số sau:

1 )

1

x a y

x

+ =

- b)

1

x y

x

+ =

- c)

1

x y

x

+ =

-

d)

1

x y

x

+ =

- e)

1

x y

x

+ =

-Bài 3. Vẽ đồ thị hàm số:

a) y x 3 x 2 b) y x33x2 c) y x 4 2x2 d) y x 11

x  

 e)

2 2

1

x x

y

x

 



 f)

2 3 3

x x

y

x

 