Công thức tính diện tích, thể tích của một số hình thường gặp

Tài liệu trình bày công thức tính diện tích, thể tích của một số hình thường gặp ba gồm: hình cầu, chỏm cầu, hình nón, hình nón cụt, hình trụ cụt, diện tích Parabol và thể tích khối tròn xoay sinh bởi Parabol, diện tích Elip và thể tích khối tròn xoay sinh bởi Elip...

Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn CƠNG THỨC TÍNH DIỆN TÍCH, THỂ TÍCH CỦA MỘT SỐ HÌNH THƯỜNG GẶP Sưu tầm & biên soạn: CAO VĂN TUẤN Số điện thoại: 0975 306 275 Công thức Sxq  4 R2   V   R  R  Chỏm cầu Hình nón Hình nón cụt Hình trụ  Sxq  2 Rh   r  h   h  h 2 h  3r V   h  R    3    h  R Sđáy   R2  Sxq   Rl  S   R  R  l    V   R h Sxq   l  R  r    2 V   h R  r  Rr   r https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Hình cầu Hình vẽ l h R r h  R Sxq  2 Rh  V   R h h R Hình trụ cụt Sxq   R  h1  h2     h1  h2   V   R     h2 h1 R Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275 V R tan  Hình nêm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  2 V     R3 tan   3 R R Diện tích Parabol Thể tích khối trịn xoay sinh Parabol Sparabol  Rh h R R 1 V   R2 h  Vtru 2 Diện tích Elip Thể tích khối trịn xoay sinh Elip h  Selip   ab   Vxoay quanh a   ab   Vxoay quanh b   a b b a a b VÍ DỤ MINH HỌA Ví dụ [Trích đề thi thử THPT Chuyên KHTN HN – lần 4]: Cắt khối trụ mặt phẳng ta khối  H  hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (hình vẽ) Tính thể tích  H  A V H   192 C V H   704 B V H   275 D V H   176 14 Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn Lời giải:  AB   Ta có:  AE  10  DE  CE  CD  14    E D 14 A  AD  AE2  DE2  102  62   R  AD  R Cách 1: Áp dụng trực tiếp công thức B C  AB  CE    14  Thể tích  H  là: V H    R2    42     176  Chọn đáp án D     Cách 2: Lấy mặt phẳng  P  vng góc với đường sinh hình trụ qua điểm A (điểm thuộc thiết  Khối 1: Khối trụ có chiều cao h  bán kính r   V1   42.8  128  Khối (khối lại): Có thể tích nửa thể tích khối trụ có chiều cao h  bán kính r   V2   42.6  48 Thể tích  H  là: V H   V1  V2  128  48  176  Chọn đáp án D Ví dụ [Trích đề thi thử THPT Tử Đà, Phú Ninh, Phú Thọ]: Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách khoét bỏ bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB  cm, OH  cm Tính diện tích bề mặt hoa văn 40 140 A B cm2 cm2 3 160 C D 50 cm2 cm2 Lời giải: Gọi S, Shv , SP diện tích bề mặt hoa văn, miếng bìa mỏng hình vng phần hình có hình dạng parabol bị khoét 2 140 Khi đó: S  Shv  4SP  Shv  .OH.AB  102  .4.5  cm  Chọn đáp án A 3 Ví dụ [Trích đề thi thử THPT Chuyên Ngoại Ngữ HN]: Học sinh A sử dụng xơ đựng nước có hình dạng kích thước giống hình vẽ, đáy xơ hình trịn có bán kính 20 cm , miệng xơ đường trịn bán kính 30 cm , chiều cao xô 80 cm Mỗi tháng A dùng hết 10 xô nước Hỏi A phải trả tiền nước tháng, biết giá nước 20 000 đồng/ 1m 30 cm 80 cm (số tiền làm tròn đến đơn vị đồng)? A 35 279 đồng B 38 905 đồng C 42 116 đồng D 31 835 đồng 20 cm Lời giải: Thể tích xô nước là: 1 V   h R2  r  Rr   80 302  202  30.20  159174,0278 cm3  0,1591740278 m3 3         https://www.facebook.com/ThayCaoTuan diện gần mặt đáy nhất) đó, ta chia khối  H  thành hai khối: Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275    Thể tích nước tháng A dùng hết là: 10V  1,591740278 m3 Vậy số tiền nước mà A phải trả tháng là: 1,591740278  20000  31 834 đồng  Chọn đáp án D Ví dụ 4: Từ khúc gõ hình trụ có đường kính 30 cm, người ta cắt khúc gỗ mặt phẳng qua đường kính đáy nghiêng với đáy góc 450 để lấy hình nêm (xem hình minh họa đ y) Kí hiệuV thể tích hình nêm (Hình 2) Khi đó, giá trị V 225 A V  2250 cm3 B V  cm3   C V  1250  cm    D V  1350  cm  Hình Hình https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Lời giải: Cách 1: Giải theo hướng tự luận Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Khi hình nêm có đáy nửa hình trịn có phương trình: y  225  x2 , x    15;15 Một mặt phẳng cắt vuông góc với trục Ox điểm  có hồnh độ x , x    15;15  cắt hình nêm theo thiết diện có diện tích S  x  (hình vẽ) MN  NP tan 450  NP Dễ thấy: NP  y   y  225  x2 Khi đó: S  x     1 MN.NP  225  x2 suy thể tích hình nêm là: 2 15 15     V   S  x  dx   225  x2 dx  2250 cm3  Chọn đáp án A 15 15 Cách 2: Áp dụng cơng thức tính nhanh  30  15 cm R  Hình nêm có dạng hình vẽ bên với    450  Vậy thể tích hình nêm là: 2 V  R3 tan   153 tan 450  2250 cm3  Chọn đáp án A 3   Ví dụ 5: Một khối cầu thủy tinh có bán kính dm, người ta muốn cắt bỏ chỏm cầu có diện   tích mặt cắt 15 dm2 để lấy phần lại làm bể ni cá Hỏi thể tích nước tối đa mà bể cá chứa bao nhiêu? A   175  dm3 B   175  dm3 C   125  dm3 D   125  dm3 Tuyển tập cơng thức thủ thuật tính nhanh – mơn Tốn Gọi V , VC , VCh Lời giải: thể tích tối đa bể ni cá chứa, thể tích khối cầu thủy tinh thể tích chỏm cầu bị cắt bỏ  h Khi đó: V  VC  VCh   R3   h2  R   3  h r h' R   R  dm Ta có:  S  4 r  15 dm2  r  15     Khi đó: h  R2  r  42  15   h  R  h  dm Vậy thể tích nước tối đa mà bể cá chứa là:   175 V   43   32      dm3  Chọn đáp án C 3    Ví dụ [Trích đề thi thử THPT Hà Huy Tập, Hà Tĩnh]: 100 m Một s n chơi cho trẻ em hình chữ nhật có chiều dài 100 2m m có chiều rộng 60 m Người ta dự định làm đường nằm s n hình vẽ Biết viền ngồi viền đường hai đường elip 60 m Elip đường viền ngồi có trục lớn trục bé song song với cạnh hình chữ nhật chiều rộng mặt đường m Kinh phí cho m2 làm đường 600 000 đồng Số tiền làm đường A 293 904 000 đồng C 293 804 000 đồng B 283 904 000 đồng D 283 604 000 đồng Lời giải: Cách 1: Sử dụng ứng dụng tích phân Elip đường viền ngồi có độ dài trục lớn a  50 m 100 m độ dài trục bé 60 m   b  30 m y 30 28 - 50 - 48 48 O - 28 - 30 50 x y2 x2 x2    y   30  502 302 502 Elip đường viền có độ dài trục lớn a  48 m 96 m độ dài trục bé 56 m   b  28 m   E1  : y2 x2 x2    y   28  482 282 482 Do tính đối xứng elip, nên diện tích mặt đường cần làm là: 48  50  MTBT x2 x2  S   30  dx   28  dx   156  489,84 m2 0  50 48     E2  :      Diện tích mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 Vậy số tiền làm đường là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  Sưu tầm & giới thiệu: Cao Văn Tuấn – 0975306275  Cách 2: Sử dụng cơng thức tính diện tích elip Selip   ab a  50 m  S1   50.30  1500 m2  Elip đường viền ngồi có  b  30 m    a  48 m  S2   48.28  1344 m2  Elip đường viền có  b  28 m      Diện tích mặt đường cần làm là: S  S1  S2  1500  1344  156  489,84 m2 https://www.facebook.com/ThayCaoTuan Vậy số tiền làm đường là: 489,84  600 000  293 904 000 đồng  Chọn đáp án A ... khối  H  hình vẽ bên Biết thiết diện hình elip có độ dài trục lớn 10, khoảng cách từ điểm thuộc thiết diện gần mặt đáy điểm thuộc thiết diện xa mặt đáy tới mặt đáy 14 (hình vẽ) Tính thể tích ... tan  Hình nêm https://www.facebook.com/ThayCaoTuan  2 V     R3 tan   3 R R Diện tích Parabol Thể tích khối trịn xoay sinh Parabol Sparabol  Rh h R R 1 V   R2 h  Vtru 2 Diện tích. .. Đà, Phú Ninh, Phú Thọ]: Một hoa văn trang trí tạo từ miếng bìa mỏng hình vng cạnh 10 cm cách kht bỏ bốn phần có hình dạng parabol hình bên Biết AB  cm, OH  cm Tính diện tích bề mặt hoa văn 40