Đề thi khảo sát chất lượng đầu năm môn Toán lớp 12 năm học 2012-2013 – Trường Đại học Vinh được biên soạn bao gồm 5 câu hỏi, phục vụ cho các em học sinh ôn luyện kiến thức đã học, làm tiền đề cho kiến thức tiếp theo và vượt qua bài thi khảo sát đầu năm gặt hái nhiều thành công.
TRƯờNG ĐạI HọC VINH TRƯờNG THPT CHUYÊN Đề THI KHAO SÁT CHẤT LƯỢNG ĐẦU N¡M năm học: 2012 - 2013 Môn: Toán - Lớp 12; Thời gian làm bài: 120 Câu (3 điểm) Cho hàm số y = 2x − có đồ thị (C ) 2− x a, Tìm điểm M thuộc (C ) biết hồnh độ thoả mãn phương trình y ' ' (x ) = b, Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C ) điểm M tìm câu a Câu (2 điểm) a, (1 điểm) Cho hàm số y = x3 + (3m − 2)x + (1 − 2m )x + , m tham số Tìm m để hàm số đạt cực tiểu điểm x = b, (1 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y = (x + 2) − x Câu (1 điểm) Giải hệ phương trình ⎧⎪− y + 12 x + 3xy = x + x y + x + y − ⎨ ⎪⎩2 x − xy + x − = Câu (3 điểm) Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh bên gấp lần cạnh đáy a, Cho AB = a Tính khoảng cách hai đường thẳng AD SC b, Gọi M trung điểm AB Tính góc hai đường thẳng SA CM Câu (1 điểm) Cho hình lăng trụ tam giác ABC A’B’C’ có đáy tam giác đều, cạnh bên a tạo với đáy góc 600 Gọi D trung điểm cạnh CC’ Biết hình chiếu vng góc A’ lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện ABCD .…………Hết………… TR¦êNG ĐạI HọC VINH TRƯờNG THPT CHUYÊN P N Đề THI KSCL U NĂM Nm hc: 2012 - 2013 Môn: Toán - Líp 12; Thêi gian lµm bµi: 120 Câu (3 điểm) TXĐ D = R \ {2} , y' ' (x ) = (2 − x ) (2 − x )3 Theo giả thiết ta có = ⇔ (2 − x ) = ⇔ x = (2 − x ) a, (1,5 điểm) y ' (x ) = Suy điểm M cần tìm là: M (1;−1) b, (1,5 điểm) Tại M (1;−1) , hệ số góc phương trình tiếp tuyến y ' (1) = Phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y = x − Câu (2 điểm) a, (1 điểm) TXĐ R Ta có: y ' (x ) = x + 2(3m − 2)x + − 2m , y ' ' (x ) = x + 6m − Hàm số đạt cực tiểu điểm x = khi: ⎧ y ' (1) = ⎧4 m − = ⇔⎨ ⇔m= ⎨ ⎩ y ' ' (1) > ⎩6m − > b, (1 điểm) TXĐ D = [− 2;2] Ta có y ' (x ) = y ' (x ) = ⇔ − 2x − 2x2 − x2 − x − x2 = ⇔ x =1 − x2 Vì y(− 2) = 0, y (2) = 0, y (1) = 3 Suy ra: GTLN hàm số 3 , GTNN hàm số Câu (1 điểm) Ta có: − y + 12 x + xy = x + 3x y + x + y − ⇔ ( x − y ) + ( x − y ) = (2 x − 1) + (2 x − 1) Xét hàm số f (t ) = t + t R , phương trình có dạng f (x − y ) = f (2 x − 1) 3 Vì f ' (t ) = 3t + > 0, ∀t ∈ R nên hàm số f (t ) đồng biến R Do f (x − y ) = f (2 x − 1) ⇔ x − y = x − ⇔ y = − x ⎡x = Thế vào phương trình cịn lại ta được: 3x + x − = ⇔ ⎢ ⎢x = − ⎣ Hệ cho có hai nghiệm (x, y ) (1,0) ⎛⎜ − , ⎞⎟ ⎝ 3⎠ Câu (3 điểm) a, (1,5 điểm) AC = 2a, SA = a , SO = a Đặt h = d (O; ( SBC ) ) Suy S a 55 1 1 11 = + + = ⇒h= 2 2 h OS OB OC 5a 11 N D C Ta có d ( AD; SC ) = d ( A; ( SBC ) ) = 2d (O; ( SBC ) ) = 2h = 2a 55 11 b, (1,5 điểm) Đặt AB = ⇒ SA = Gọi N trung điểm CD O A M B ⇒ AN = 5, SN = 11 2 Ta có cos(SA, CM ) = cos(SA, AN ) = cos ∠SAN = 12 + − 11 15 = 10 2.2 ⎛ 15 ⎞ ⎟ ⎟ ⎝ 10 ⎠ Suy (SA,CM ) = arccos⎜⎜ C' Câu (1 điểm) Gọi H, K hình chiếu A’, D lên (ABC) A' Suy H trọng tâm ΔABC DK = A' H B' D a A' H = 2 3a a a a , AH = ⇒ S ΔHAB = ⇒ S ΔABC = 2 16 16 3a Vậy VABCD = DK SΔABC = 64 C K A H B ...TRƯờNG ĐạI HọC VINH TRƯờNG THPT CHUYÊN P N Đề THI KSCL ĐẦU N¡M Năm học: 2 012 - 2013 M«n: Toán - Lớp 12; Thời gian làm bài: 120 phút Câu (3 điểm) TXĐ D = R ... Thời gian làm bài: 120 phút Câu (3 điểm) TXĐ D = R {2} , y' ' (x ) = (2 − x ) (2 − x )3 Theo giả thi? ??t ta có = ⇔ (2 − x ) = ⇔ x = (2 − x ) a, (1,5 điểm) y ' (x ) = Suy điểm M cần tìm là: M (1;−1)... y(− 2) = 0, y (2) = 0, y (1) = 3 Suy ra: GTLN hàm số 3 , GTNN hàm số Câu (1 điểm) Ta có: − y + 12 x + xy = x + 3x y + x + y − ⇔ ( x − y ) + ( x − y ) = (2 x − 1) + (2 x − 1) Xét hàm số f (t )