Đề thi và đáp án chính thức kì thi THPT QG năm 2016 môn Toán

Mời các bạn, thầy cô cùng các bậc phụ huynh và các bạn học sinh tham khảo Đề thi và đáp án chính thức kì thi THPT Quốc gia năm 2016 môn Toán sau đây để nắm nội dung chi tiết của đề thi cũng như hướng dẫn giải những câu hỏi được đưa ra trong đề thi này.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC (Đề thi có 01 trang) Mơn thi: Tốn Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề Câu I (1,0 điểm) Cho số phức z = + 2i Tìm phần thực phần ảo số phức w = z + z Cho log x = Tính giá trị biểu thức A = log x + log x3 + log x Câu II (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = − x + x Câu III (1,0 điểm) Tìm m để hàm số f ( x) = x − x + mx − có hai điểm cực trị Gọi x1 , x2 hai điểm cực trị đó, tìm m để x12 + x22 = ( ) Câu IV (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ 3x x + x + 16 dx Câu V (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(3; 2; −2), B(1;0;1) C (2; −1;3) Viết phương trình mặt phẳng qua A vng góc với đường thẳng BC Tìm tọa độ hình chiếu vng góc A đường thẳng BC Câu VI (1,0 điểm) Giải phương trình 2sin x + 7sin x − = Học sinh A thiết kế bảng điều khiển điện tử mở cửa phịng học lớp Bảng gồm 10 nút, nút ghi số từ đến khơng có hai nút ghi số Để mở cửa cần nhấn liên tiếp nút khác cho số nút theo thứ tự nhấn tạo thành dãy số tăng có tổng 10 Học sinh B quy tắc mở cửa trên, nhấn ngẫu nhiên liên tiếp nút khác bảng điều khiển Tính xác suất để B mở cửa phịng học Câu VII (1,0 điểm) Cho lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác vuông cân B, AC = a Hình chiếu vng góc A ' mặt phẳng ( ABC ) trung điểm cạnh AC , đường thẳng A ' B o tạo với mặt phẳng ( ABC ) góc 45 Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' chứng minh A ' B vng góc với B ' C Câu VIII (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn đường kính BD Gọi M , N hình chiếu vng góc A đường thẳng BC , BD P giao điểm hai đường thẳng MN , AC Biết đường thẳng AC có phương trình x − y − = 0, M (0; 4), N (2; 2) hoành độ điểm A nhỏ Tìm tọa độ điểm P, A B Câu IX (1,0 điểm) Giải phương trình 3log ( ) + x + − x + log ( ⎛ ⎞ + x + − x log ( x ) + ⎜ − log x ⎟ = ⎝ ⎠ ) Câu X (1,0 điểm) Xét số thực x, y thỏa mãn x + y + = 2 ( ) x − + y + (*) Tìm giá trị lớn x + y Tìm m để 3x + y − + ( x + y + 1) 27 − x − y − ( x + y ) ≤ m với x, y thỏa mãn (*) Hết -Thí sinh khơng sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm Họ tên thí sinh: ; Số báo danh: Chữ ký cán coi thi 1: ; Chữ ký cán coi thi 2: BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án - Thang điểm có 04 trang) Câu I (0,5 điểm) (1,0 điểm) Ta có w  1  2i    2i Đáp án Điểm 0,25   2i Vậy phần thực w phần ảo w 2 (0,5 điểm) Ta có A  log2 x  log2 x  log2 x II (1,0 điểm)   - 0,25 0,25   log2 x   2 Tập xác định: D   Sự biến thiên: Chiều biến thiên: y   4x  4x ; x  x  1 1  x  y     ; y     ; y     x  1   x  x      0,25 0,25 Hàm số đồng biến khoảng  ; 1 0; Hàm số nghịch biến khoảng 1; 0 1;  - Cực trị: hàm số đạt cực đại x  1, y c®  1; đạt cực tiểu x  0, yCT  - Giới hạn: lim y  ; lim y   - Bảng biến thiên: x  0,25 x   0,25  Đồ thị: 0,25 Hàm số cho xác định với x   III (1,0 điểm) Ta có f (x )  3x  6x  m 0,25 Hàm số có hai điểm cực trị phương trình 3x  6x  m  có hai nghiệm phân biệt, tức    m  0,25 Ta có x 12  x 22   x  x   2x 1x    2 m 3 (thỏa mãn) Vậy m  2 IV (1,0 điểm) Ta có I  0,25 0,25 3x 2dx   3x x  16 dx  0,25  m 3 I1   3x dx  x 3  27 0,25   3x I2  x  16 dx Đặt t  x  16, ta có t   2x ; t(0)  16, t(3)  25 25 Do I  2 0,25 t dt 16 t t 25  61 0,25 16 V (1,0 điểm) Vậy I  I  I  88  Ta có BC  1; 1;2 0,25 Mặt phẳng (P ) qua A vng góc với BC có phương trình x  y  2z   0,25  x   t  Đường thẳng BC có phương trình  y  t   z   2t   Gọi H hình chiếu vng góc A BC Ta có H  (P )  BC   - Vì H  BC nên H  t ;  t ;1  2t - Vì H  (P ) nên 1  t   t   1  2t     t  1 0,25 0,25 Vậy H 0;1; 1 VI (0,5 điểm) (1,0 điểm) sin x    Ta có sin x  sin x     sin x    sin x   : vô nghiệm   x    k 2  (k  )  sin x    x  5  k 2   (0,5 điểm)  720 Khơng gian mẫu  có số phần tử n()  A10 Gọi E biến cố: “B mở cửa phịng học” Ta có E  (0;1;9),(0;2; 8),(0; 3; 7),(0; 4; 6),(1;2; 7),(1; 3;6),(1; 4; 5),(2; 3; 5) Do n(E )  n(E ) Vậy P(E )   n() 90 0,25 0,25 0,25 0,25 H Gọi trung điểm  A H  ABC   A BH  45o VII (1,0 điểm) AC , ta có AC  a S ABC  a Tam giác A HB vuông cân H , suy A H  BH  a Do VABC AB C   A H S ABC  a 0,25 Ta có BH  Gọi I giao điểm A B AB , ta có I trung điểm A B AB  Suy HI  A B Mặt khác HI đường trung bình AB C nên HI // B C Do A B  B C Phương trình MN: x  y   Tọa độ P nghiệm hệ  x  y    P  ;     x  y    2   Vì AM song song với DC điểm A, B, M , N thuộc đường trịn nên ta có   PCD   ABD   AMP  PAM VIII (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 0,25 0,25 Suy PA  PM Vì A  AC : x  y   nên A a; a  1, a  2 2 a              Ta có a    a            A(0; 1)         a  Đường thẳng BD qua N vng góc với AN nên có phương trình 2x  3y  10  Đường thẳng BC qua M vng góc với AM nên có phương trình y   2x  3y  10   Tọa độ B nghiệm hệ   B 1;    y4    Điều kiện:  x  IX (1,0 điểm) Khi phương trình cho tương đương với   x   x   log   x   x .log 3x   log 3x       log   x   x   log 3x   log   x   x   log 3x       log   x   x   log 3x     x   x  3x log23 3 3 3 0,25 0,25 3    x  9x   x  9x   x     81 x  68x    x2  0,25 0,25 68 81 Kết hợp với điều kiện  x  2, ta có nghiệm x   log    x   x  log 3x    Vì  x  nên 3x  17  x  2x   3x (1) 0,25 Mặt khác  x  2x     x2    x  2x   Do phương trình (1) vơ nghiệm 0,25 Vậy phương trình cho có nghiệm x  17 X (0,25 điểm) (1,0 điểm) Điều kiện: x  2, y  3   Ta có (*)  x  y  1  x  y   x  y  (**) Vì x  y   x  y  nên từ (**) suy x  y  1  x  y  1 0,25  x  y    x  y  Ta có x  6, y  thỏa mãn (*) x  y  Do giá trị lớn biểu thức x  y (0,75 điểm) Vì x  y   nên từ (**) suy x  y  1  x  y  1 x  y   x  y   (vì x  y   0) x  y  1       x  y   x  y   x  y  Vì x  2x (do x  ), y   2y nên x  y   x  y  Do   3x y 4  x  y  1 27x y  x  y  3x y 4  x  y  1 27x y  x  y   0,25 0,25 Đặt t  x  y, ta có t  1  t  Xét hàm số f (t )  3t 4  t  1 27t  6t  Ta có f (1)  f (t )  3t 4 ln  27t  t  1 27t ln  6; 2188 ; 243 f (t )  3t 4 ln2  t  1 ln  2 27t ln  0,  t  [3;7]   Suy f (t ) đồng biến (3;7) Mà f (t ) liên tục [3;7] f (3)f (7)  0, f (t )  có nghiệm t0  (3; 7) Bảng biến thiên 0,25   Suy 3x y 4  x  y  1 27x y  x  y  Đẳng thức xảy x  2, y  Vậy m  148 với x, y thỏa mãn (*) 148 - Hết - ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TRUNG HỌC PHỔ THƠNG QUỐC GIA NĂM 2016 ĐỀ THI CHÍNH THỨC ĐÁP ÁN - THANG ĐIỂM Mơn thi: TỐN (Đáp án - Thang điểm có 04 trang) Câu I (0,5...    2i Đáp án Điểm 0,25   2i Vậy phần thực w phần ảo w 2 (0,5 điểm) Ta có A  log2 x  log2 x  log2 x II (1,0 điểm)   - 0,25 0,25   log2 x   2 Tập xác định: D   Sự biến thi? ?n: Chiều... [3;7] f (3)f (7)  0, f (t )  có nghiệm t0  (3; 7) Bảng biến thi? ?n 0,25   Suy 3x y 4  x  y  1 27x y  x  y  Đẳng thức xảy x  2, y  Vậy m  148 với x, y thỏa mãn (*) 148