Sở giáo dục đào tạo Hng yên kỳ thi tuyển sinh vào lớp 10 thpt chuyên Năm học 2009 20102010 Môn thi: Toán (Dành cho thí sinh thi vào lớp chuyên Toán, Tin) Thời gian làm bài: 150 phút đề thức Bài 1: (1,5 điểm) Cho a 2 : 1 HÃy lập phơng trình bậc hai có hệ số nguyên nhận a - nghiệm Bài 2: (2,5 điểm) xy a) Giải hệ phơng trình: xy x 16 y y x b) T×m m để phơng trình x 2x 3x 6x m 0 cã nghiÖm phân biệt Bài 3: (2,0 điểm) a) Chứng minh số nguyên k lớn thoả mÃn k k 16 số nguyên tố k chia hết cho b) Chứng minh a, b, c độ dài ba cạnh tam giác có p nửa chu vi th× p a p b p c 3p Bài 4: (3,0 điểm) Cho đờng tròn tâm O dây AB không qua O Gọi M điểm cung AB nhỏ D điểm thay đổi cung AB lớn (D khác A B) DM cắt AB t¹i C Chøng minh r»ng: a) MB.BD MD.BC b) MB tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD c) Tổng bán kính đờng tròn ngoại tiếp tam giác BCD ACD không đổi Bài 5: (1,0 điểm) Cho hình chữ nhật ABCD Lấy E, F thuộc c¹nh AB; G, H thuéc c¹nh BC; I, J thuéc cạnh CD; K, M thuộc cạnh DA cho hình - gi¸c EFGHIJKM cã c¸c gãc b»ng Chøng minh độ dài cạnh hình - giác EFGHIJKM số hữu tỉ EF = IJ HÕt -Họ tên thí sinh: . Chữ ký giám thị Số báo danh: ..Phòng thi số: … … Híng dÉn chÊm thi Bµi 1: (1,5 ®iÓm) a 2 : 1 a= 2: 7 2 : 1 7 1 0,5 đ 0,25 đ Đặt x a x x x 2x 7 0,5 ® x 2x 0 Vậy phơng trình x 2x nhận 0,25 đ làm nghiệm Bài 2: (2,5 ®iĨm) xy a) xy x 16 x 16 xy y y y y x 5 x y x (1) ĐK: x, y 0,25 đ (2) Giải (2) 6y 6x 5xy (2x 3y)(3x 2y) 0 3y 3y 16 y 2 0,25 ® * NÕu 2x 3y 0 x Thay vào (1) ta đợc 3y 23 (phơng trình v« nghiƯm) 2y * NÕu 3x 2y 0 x Thay vµo (1) ta đợc y y 0,25 ® 0,25 ® 0,25 ® - Víi y 3 x (thoả mÃn điều kiện) - Với y x (thoả mÃn điều kiện) 0,25 đ Vậy hệ phơng trình có hai nghiệm: (x; y) = (2; 3); (x; y) = (-2; -3) b) §Ỉt x 2x y x 1 y x 1 y (y 0) (*) Phơng trình đà cho trở thành: y 1 y 1 m 0 0,25 ® y 5y m 0 (1) Tõ (*) ta thÊy, ®Ĩ phơng trình đà cho có nghiệm phân biệt phơng trình (1) có 0,25 đ nghiệm dơng phân biÖt S P 9 4m 5 m 0,25 ® m 4m m VËy víi m phơng trình có nghiệm phân biệt 0,25 đ Bài 3: (2,0 điểm) a) Vì k > suy k 5; k 16 - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 10n k 0,25 đ k không số nguyên tố - Xét k 5n (víi n ) k 25n 20n k 16 5 0,25 đ k 16 không số nguyên tè - XÐt k 5n (víi n ) k 25n 30n k 16 5 0,25 ® k 16 không số nguyên tố - Xét k 5n (víi n ) k 25n 40n 16 k 5 0,25 ® k không số nguyên tố Do k b) Ta chøng minh: Víi a, b, c th× a b c 3 a b c (*) ThËt vËy (*) a b c 2ab 2bc 2ca 3a 3b 3c 0,5 ® (a b)2 (b c)2 (c a)2 0 (lu«n ®óng) ¸p dơng (*) ta cã: p a p b p c Suy 3 3p a b c 3p 0,5 ® p a p b p c 3p (đpcm) Bài 4: (3,0 điểm) N D J I A O C B M a) Xét MBC MDB có: 0,5 đ BDM MBC (hai gãc néi tiÕp ch¾n hai cung b»ng nhau) BMC BMD Do MBC MDB đồng dạng Suy 0,5 đ MB MD MB.BD MD.BC BC BD b) Gäi (J) lµ đờng tròn ngoại tiếp BDC BJC 2BDC 2MBC BJC hay MBC 0,5 ® 180 BJC BCJ cân J CBJ BJC 180 O BJC Suy MBC CBJ 90 O MB BJ 2 0,5 ® Suy MB tiếp tuyến đờng tròn (J), suy J thuộc NB c) Kẻ đờng kính MN (O) NB MB Mµ MB lµ tiÕp tuyÕn đờng tròn (J), suy J thuộc NB Gọi (I) đờng tròn ngoại tiếp ADC 0,5 đ Chứng minh t¬ng tù I thuéc AN Ta cã ANB ADB 2BDM BJC CJ // IN Chứng minh tơng tự: CI // JN Do tứ giác CINJ hình bình hành CI = NJ 0,5 đ Suy tổng bán kính hai đờng tròn (I) (J) là: IC + JB = BN (không đổi) Bài 5: (1,0 điểm) A E F a B b h M K G c H g d f D e J I C Gäi EF = a ; FG = b ; GH = c ; HI = d ; IJ = e ; JK = f ; KM = g ; ME = h (víi a, b, c, d, e, f, g, h số hữu tỉ dơng) Do góc hình cạnh nên góc hình cạnh có số đo là: 0,25 đ (8 2).180O 135O Suy góc hình cạnh ®ã lµ: 180O - 135O = 45O 0,5 ® Do ®ã c¸c tam gi¸c MAE ; FBG ; CIH ; DKJ tam giác vuông cân h b d f ; BF = BG = ; CH = CI = ; DK = DJ = 2 2 h b f d Ta cã AB = CD nªn: a e 2 2 (e - a) = h + b - f - d h b f d (điều vô lý số vô tỉ) Nếu e - a ≠ th× e a MA = AE = VËy e - a = e = a hay EF = IJ (®pcm) HÕt 0,25 đ Sở giáo dục đào tạo HảI dơng Kỳ thi tuyển sinh lớp 10 THPT chuyên nguyễn trÃi - Năm học 2009-2010 Môn thi : toán Thời gian làm bài: 150 phút Ngày thi 08 tháng năm 2009 (Đề thi gồm: 01 trang) Đề thi thức Câu I (2.5 điểm): 1) Giải hệ phơng trình: x y xy 3 xy 3x 4 2) T×m m nguyên để phơng trình sau có nghiƯm nguyªn: 4x 4mx 2m 5m Câu II (2.5 điểm): 1) Rút gän biÓu thøc: A x2 x x víi x 2 x2 2) Cho tríc sè h÷u tØ m cho m số vô tỉ Tìm số hữu tỉ a, b, c để: a m b m c 0 C©u III (2.0 ®iĨm): 1) Cho ®a thøc bËc ba f(x) với hệ số x số nguyên dơng biết f(5) f(3) 2010 Chứng minh rằng: f(7) f(1) hợp số 2) Tìm giá trÞ lín nhÊt cđa biĨu thøc: P x 4x x 6x 13 Câu IV (2.0 điểm): Cho tam giác MNP có ba góc nhọn điểm A, B, C lần lợt hình chiếu vuông góc M, N, P NP, MP, MN Trên đoạn thẳng AC, AB lần lợt lấy D, E cho DE song song với NP Trên tia AB lấy điểm K cho DMK Chøng minh r»ng: NMP 1) MD = ME 2) Tứ giác MDEK nội tiếp Từ suy điểm M tâm đờng tròn bàng tiếp góc DAK tam giác DAK Câu V (1.0 điểm): Trên đờng tròn (O) lấy hai điểm cố định A C phân biệt Tìm vị trí điểm B D thuộc đờng tròn để chu vi tứ giác ABCD có giá trị lớn -HÕt Họ tên thí sinh : Sè b¸o danh : Chữ kí giám thị : .Chữ kí giám thị 2: Hớng dẫn chấm Câu Phần câu I 1) 2,5 điểm 1,5điểm néi dung 2 x y xy 3 (1) (2) xy 3x 4 §iĨm 0.25 Tõ (2) x Tõ ®ã y 3x , thay vµo (1) ta cã: x 3x 3x x x 3 x x 7x 23x 16 16 Giải ta đợc x hc x = 0.25 0.25 0.25 Tõ x 1 x 1 y 1 ; x 16 x 4 y 5 7 7 0.25 4 5 7 4 7 ; ; ; §iỊu kiƯn để phơng trình có nghiệm: x ' 0.25 m 5m 0 (m 2)(m 3) 0 V× (m - 2) > (m - 3) nªn: x ' 0 m 0 vµ m 0 m 3, mµ m Z m = hc m = Khi m = x ' = x = -1 (tháa m·n) Khi m = x ' = x = - 1,5 (lo¹i) 0.25 VËy hƯ cã nghiƯm (x; y) lµ (1; 1); (-1; -1); 2) 1,0điểm Vậy m = câu II 1) 2,5 ®iÓm 1,5®iÓm a 1,0®iÓm (a, b 0) a b2 4; a b 2x ab a b3 ab a b a b ab A ab ab ab a b ab A ab a b ab A 2ab a b 2) 0.25 0.25 Đặt a x; b x A 2 0.25 0.25 b2 2ab a b a b a b A a b 2x A x a m b m c 0 (1) Gi¶ sư cã (1) b m c m am 0 (2) Tõ (1), (2) (b2 ac) m (a m bc) a m bc NÕu a m bc m số hữu tỉ Trái với giả thiết! b ac b ac 0 b3 abc a m bc 0 bc am b b3 a 3m b a m NÕu b m số hữu tỉ Trái víi gi¶ thiÕt! a a 0;b 0 Tõ ta tìm đợc c = 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 0.25 Ngợc lại a = b = c = (1) Vậy: a = b = c = c©u III ®iĨm 1) 1,0®iĨm 2) 1,0®iĨm 0.25 Theo bµi f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d với a nguyên dơng Ta có: 2010 = f(5) - f(3) = (53 - 33)a + (52 - 32)b + (5 - 3)c = 98a + 16b + 2c 16b + 2c = (2010- 98a) Ta cã f(7) - f(1) = (73 - 13)a + (72 - 12)b + (7 - 1)c = 342a + 48b + 6c = 342a + 3(16b + 2c) = 342a + 3(2010- 98a)= 48a + 6030 = 3.(16a + 2010) 3 V× a nguyên dơng nên 16a + 2010>1 Vậy f(7)-f(1) hợp số P x 2 x 3 12 x x 3 OA 0.25 0.25 0.25 22 0.25 Trên mặt phẳng tọa độ Oxy lấy điểm A(x-2; 1), B(x+3; 2) Ta chứng minh đợc: AB 0.25 x Mặt khác ta cã: OA OB AB 2 25 26 12 , OB x 2 x 3 12 22 x 3 0.25 2 26 0.25 DÊu “=” x¶y A thuéc đoạn OB B thuộc đoạn OA x x Thử lại x = A(5; 1); B(10; 2) nên A thuộc đoạn x OB VËy Max P 26 x = câuIV 1) điểm 0,75điểm 0.25 Ta dễ dàng chứng minh tứ giác MBAN nội tiếp MAB , MNB MCAP néi tiÕp CAM CPM M 0.25 L¹i cã BNM CPM (cïng phô gãc NMP) K B CAM BAM C D N (1) 0.25 Do DE // NP mặt khác MA NP MA DE (2) Từ (1), (2) ADE cân A MA lµ trung trùc cđa DE MD = ME E 0.25 P A 2) 0.25 1,25®iĨm M K B C D N E A P Do DE//NP nên DEK , mặt khác tứ giác MNAB nội tiếp nªn: NAB DEK 1800 NMB NAB 1800 NMB Theo gi¶ thiÕt DMK DMK DEK 1800 NMP Tứ giác MDEK nội tiếp Do MA trung trực cña DE MEA MDA MEA MDA MEK MDC Vì MEK DM phân giác góc CDK, kết hợp MDK MDK MDC với AM phân giác DAB M tâm đờng tròn bàng tiÕp gãc DAK cđa tam gi¸c DAK 0.25 0.25 0.25 0.25 A' câu V điểm B' B O C A D' D Không tổng quát giả sử:AB AC Gọi B điểm cung ABC AB ' CB' Trên tia đối BC lấy điểm A’ cho BA’ = BA AB BC CA ' 'BC B ' AC B 'CA (1) ; B 'CA B 'BA 1800 Ta cã: B (2) 0.25 'BA B 'BA ' (3);Tõ (1), (2), (3) B Hai tam giác ABB ABB A 'B ' B ' A Ta cã B'A B'C B'A' B'C A'C = AB + BC ( B’A + B’C không đổi B, A, C cố định) Dấu = x¶y B trïng víi B’ 0.25 'BC B 'BA ' 1800 B Hoµn toµn tơng tự gọi D điểm cung ADC th× ta cịng cã AD’ + CD’ AD + CD DÊu “=” x¶y D trïng víi D’ Chu vi tø gi¸c ABCD lín nhÊt B, D điểm cung đờng tròn (O) AC Chú ý: Nếu thí sinh làm theo cách khác, lời giải cho điểm tèi ®a SỞ GIÁO DỤC BÌNH ĐỊNH BÌNH ĐỊNH Đề thức KỲ THI TUỶÊN SINH VÀO LỚP 10 TRƯỜNG THPT CHUN LÊ Q ĐƠN NĂM HỌC 2009-2010 Mơn thi:Tốn (chuyên) Ngày thi:19/06/2009 Thời gian:150 phút Bài 1(1.5điểm) Cho a,b,c độ dài ba cạnh tam giác.Chứng minh rằng: 0.25 0.25 1< a b c + +