Tài liệu ôn thi Đại học: Tổ hợp và số phức - Trường THPT Cẩm Lý

Tài liệu ôn thi Đại học môn Toán với chủ đề tổ hợp và số phức của trường THPT Cẩm Lý sẽ mang đến cho các bạn học sinh những kiến thức căn bản và hữu ích cho quá trình học tập và ôn thi Đại học. Mời các bạn tham khảo.

THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC CHủ Đề: tổ hợp v số phức năm học: 2010 - 2011 Họ v tên: Nguyễn Văn Loan Tổ: Toán Tin Tr¦êng THPT CÈm Lý Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , a, b số thực số i thoả i = –1 Kí hiệu z = a + b i với a phần thực, b phần ảo, i đơn vị ảo  Tập hợp số phức kí hiệu = {a + b i / a, b i = –1} Ta có   Số phức có phần ảo số thực: z = a + i = a   Số phức có phần thực số ảo: z = 0.a + b i = b i Đặc biệt i = + i  Số = + i vừa số thực vừa số ảo II> Số phức nhau: a  a '  Cho hai số phức z = a + b i z’ = a’ + b’ i Ta có z = z   b  b '  VD: Tìm số thực x, y biết: (2x – 3) – (3y+1) i = (2y + 1) + (3x – 7) i (1) 2 x   y  x  y  x  (1)     3 y   x  x  y  y  III> Biểu diễn hình học số phức:  Mỗi số phức z = a + b i xác định cặp số thực (a; b)  Trên mặt phẳng Oxy, điểm M(a; b) biểu diễn số phức ngược lại  Mặt phẳng Oxy biểu diễn số phức gọi mặt phẳng phức Gốc tọa độ O biểu diễn số 0, trục hoành Ox biểu diễn số thực, trục tung Oy biểu diễn số ảo  VD: Các điểm A, B, C, D biểu diễn số phức là: z A = + i , z B = –3 + i , zC = –2 i , z D = – i IV> Môđun số phức:  Số phức z = a + b i biểu diễn điểm M(a; b) mặt  phẳng Oxy Độ dài véctơ OM gọi mơđun số phức z Kí hiệu z = a + bi = a + b  VD: z = – i có z   4i  32  (4) =  Chú ý: z  a  b  2abi  (a  b )  4a 2b  a  b  z V> Số phức liên hợp:  Cho số phức z = a + b i , số phức liên hợp z z  a  bi z = a + bi  z = a - bi ; z  z, z = z* Chú ý ( Z n )  ( Z ) n ; i  i;i  i   Z số thực  Z  Z Z số ảo  Z   Z * Môđun số phức Z=a + b.i (a; b  R) Z  OM  a  b  z.z Chú ý: Z Z  z  C  Hai điểm biểu diễn z z đối xứng qua trục Ox mặt phẳng Oxy VI> Cộng, trừ số phức:  Số đối số phức z = a + b i –z = –a – b i  Cho z  a  bi z '  a ' b ' i Ta có z ± z' = (a ± a')+ (b ± b')i  Phép cộng số phức có tính chất phép cộng số thực VII> Phép nhân số phức:  Cho hai số phức z  a  bi z '  a ' b ' i Nhân hai số phức nhân hai đa thức thay i = –1 rút gọn, ta được: z.z' = a.a' - b.b' + (a.b' + a'.b)i  k.z = k(a + b i ) = ka + kb i Đặc biệt 0.z = z  z z = (a + b i )(a – b i ) hay z.z = a + b = z Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC  VD: Phân tích z + thành nhân tử z + = z – (2i ) = (z – i )(z + i )  Phép nhân số phức có tính chất phép nhân số thực VIII> Phép chia số phức: a - bi z  Số nghịch đảo số phức z  a  bi  z -1 = = hay = z z a + bi a + b  Cho hai số phức z  a  bi  z '  a ' b ' i z ' z '.z a' + b'i (a' + b'i)(a - bi)  hay = z a + bi a + b2 z  VD: Tìm z thoả (1 + i )z = 3z – i i i (2  2i ) 2  2i 1 Ta có (3 – – i )z = i  z =  z z  z  i  2i 44 4 IX> Lũy thừa đơn vị ảo: Cho k N  i 4k = 1; i 4k+1 = i; i 4k+ = -1; i 4k+ = -i  VD: Tìm phần thực ảo số phức: z = (2  2i )13 z  (2  2i )  (2  2i )  (8i )6 (2  2i )  86.2  86.2i  219  219 i Phần thực a = 219 , phần ảo b = 219 2.BÀI TẬP PHÉP TOÁN SỐ PHỨC 1) Tìm số thực x, y biết: a) (3x –2) + (2y +1)i = (x + 1) – (y – 5)i; c) (1 – 2x) – i = + (1 – 3y)i; b) (2x + y) + (2y – x)i = (x – 2y + 3) + (y + 2x +1)i; 1 1  Hướng dẫn: a) x = , y = c) x = ,y= b) x = 0, y = 3 2) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) Phần thực z –2; b) Phần ảo z 3; c) Phần thực z thuộc khoảng (–1; 2); d) Phần ảo z thuộc đoạn [1; 3]; e) Phần thực phần ảo z thuộc đoạn [–2; 2]  Hướng dẫn: a) Là đường thẳng x = –2; b) Là đường thẳng y = 3; c) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song x = –1 x = khơng tính biên; d) Là miền giới hạn hai đường thẳng song song y = y = tính biên; e) Là miền giới hạn bốn đường thẳng đôi song song x = –2, x = y = –2, y = tính biên 3) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức z thỏa: a) |z| = 1; b) |z|  c) < |z|  d) |z| = phần ảo z  Hướng dẫn: a) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa a  b  , đường tròn tâm O, bán kính R = 1; b) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa a  b  , hình trịn tâm O, bán kính R = tính biên; c) Tập hợp điểm M(a; b) thỏa  a  b  , hình vành khăn tâm O, bán kính r = khơng tính biên, bán kính lớn R = tính biên; 4)Thực phép tính sau: (1  i ) (2i )3 b) 2i(3 + i)(2 + 4i) c) 2  i 5)Giải phương trình sau: z c) (3 – 2i)z + (4 + 5i) = + 3i; b) (1 + 3i)z – (2 + 5i) = (2 + i)z c)  (2  3i )   2i  3i Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC c) z = 15 – 5i  i 5 6)Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác có tâm gốc tọa độ O mặt phẳng phức, biết đỉnh biểu diễn số i     Hướng dẫn:Gọi A điểm biểu diễn số phức i D biểu diễn số –i F  cos ;sin  nên F 6  3 biểu diễn số  i C đối xứng F qua O nên C biểu diễn số   i E đối xứng F qua Ox 2 2 3 nên E biểu diễn số  i B đối xứng E qua O nên B biểu diễn số   i 2 2 7)Cho z    i Hãy tính: ; z ; z ; ( z )3 ;1  z  z z 2  Hướng dẫn: Ta có z  nên  Hướng dẫn: a) z = 1   iz; z 2 b) z = z2    i; 2 z  z z  ; 1 z  z2  8)Chứng minh rằng: 1  z  z  , phần ảo số phức z  z  z  2i b) Số phức z số ảo z   z c) Số phức z số thực z  z z'  z' d) Với số phức z, z, ta có z  z '  z  z ', zz '  z.z ' z    z z  Hướng dẫn: z  a  bi, z  a  bi (1) a) Lấy vế cộng vế  Phần thực số phức z  z  z  Lấy vế trừ vế  phần ảo số phức z  z  z  2i b) Số phức z số ảo phần thực  z  z   z   z c) Số phức z số thực phần ảo  z  z   z  z d) z  a  bi; z '  a ' b ' i; z z  a  b số thực a) Phần thực số phức z z  z '  ( a  a ')  (b  b ')i  ( a  a ')  (b  b ')i  ( a  bi )  (a ' b ' i )  z  z ' zz '  ( aa ' bb ')  ( ab ' a ' b)i  ( aa ' bb ')  ( ab ' a ' b)i  (a  bi )( a ' b ' i )  z.z '  z '   z '.z  z '.z z '.z z '      z z z  z   z z  z z 9)Chứng minh với số nguyên m > 0, ta có i m  1; i m 1  i; i m   1; i m 3  i  Hướng dẫn: Ta có i  i i  i  m  1m  i m   i m i  1.i  i m 1  i  i m 1.i  i.i  i m   1  i m  i  1.i  i m 3  i 10)Chứng minh rằng:   e) Nếu u mặt phẳng phức biểu diễn số phức z | u |  | z | từ hai điểm A1 , A2 theo  thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A1 A2  z2  z1 ; f) Với số phức z, z, ta có |z.z| = |z|.|z| z  z' z'  z z g) Với số phức z, z, ta có z  z '  z  z '  Hướng dẫn: Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC    a) z  a  bi z  a  b , u biểu diễn số phức z u = (a; b)  u  a  b  | u || z |     A1 , A2 theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 A1 A2  OA2  OA1  z2  z1  A1 A2  z2  z1 b) z  a  bi , z '  a ' b ' i , z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b  i , z  a  b , z '  a '2  b '2 Ta có z z '   a  b  a '2  b '2  2 Ta có z.z '   aa ' bb '   ab ' a ' b    aa '   bb '   ab '   a ' b    a  b  a '2  b '2  2 2 2 Vậy |z.z| = |z|.|z| z' z z' z z' z ' z '.z Khi z  ta có     2 z z z z z z       c) u biểu diễn z, u ' biểu diễn z u  u ' biểu diễn z + z z  z '  u  u '                  Khi u , u '  , ta có u  u '  u  u '  u u ' cos u , u '  u  u '  u u '  u  u '      u  u '  u  u ' z  z '  z  z '     11)Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: z i b) c) z  z   4i h) z  i  1 zi  Hướng dẫn: Gọi M(x; y) điểm biểu diễn số phức z mặt phẳng phức a) Với z  x  yi  z  i   x  ( y  1)i   x  ( y  1)2   x   y  1  Tập hợp điểm M đường trịn tâm I(0; 1) bán kính R = z i 2 b) Với z  x  yi    x  ( y  1)i  x  ( y  1)i  x   y  1  x   y  1  y  z i Tập hợp điểm M trục thực Ox c) Với z  x  yi  z  z   4i  x  yi  ( x  3)  (4  y )i  x  y  ( x  3)2  (4  y )2  x  y  25  Tập hợp điểm M đường thẳng x  y  25  12)Chứng minh với số phức z  1, ta có  z  z   z  z10  z 1  Hướng dẫn: Với z  1, 1  z  z   z   z  1  z  z   z  z10  1  z  z   z   z10  Chia hai vế cho z – đẳng thức chứng minh.(Cấp số nhân) 13)Hỏi số sau số thực hay số ảo (z số phức tùy ý cho biểu thức xác định)? zz z  ( z )2 2 z  (z )  zz z  ( z )3  Hướng dẫn: Ta có z  a  bi, z  a  bi , z  (a  b )  2abi, z  (a  b )  2abi, Và z  (a  3ab )  (3a 2b  b3 )i, z  (a  3ab )  (3a 2b  b3 )i Vậy z  ( z )  2(a  b ) số thực; zz b z  ( z )2 4ab  i số ảo;  i số 3 z  (z ) a  3ab  z z  a  b2 ảo 13)Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện sau: i) z số thực âm; b) z số ảo ; c) z  ( z ) d) số ảo z i  Hướng dẫn: M(x; y) biểu diễn z z  x  yi  z  x  y  xyi; z  x  y  xyi a) z số thực âm xy = x  y   x = y  Tập hợp điểm M trục Oy trừ O Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC b) z số ảo x  y   y =  x Tập hợp điểm M đường phân giác gốc tọa độ c) z  ( z ) xy =  x = y = Tập hợp điểm M trục tọa độ x  ( y  1)i  số ảo x = 0, y  Tập hợp M trục Oy bỏ điểm M(0; d) = z  i x  ( y  1)i x  ( y  1) 14).Tìm nghiệm phức phương trình sau: j) iz   i  c)   i  z   e) z   k)   3i  z  z  d)  iz  1 z  3i  z   3i    Hướng dẫn: a) z   2i b) z    i 10 10 c) z   i 5 d) i;  3i;  3i e) z  2i 2) Tìm : 15) Cho số phức z  x  yi (x, yR) Khi z  1, tìm phần thực phần ảo số phức b) Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa điều kiện zi z i zi số z i thực dương  Hướng dẫn: x2  y  2x , phần ảo 2 x  ( y  1) x  ( y  1) b) Là số thực dương x  x  y    Tập hợp trục Oy bỏ đoạn IJ với I, J điểm biểu diễn hai số phức i,  i 16)a) Trong mặt phẳng phức cho điểm A, B, C không thẳng hàng theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 Hỏi trọng tâm ABC biểu diễn số phức nào? a) Phần thực b) Xét điểm A, B, C mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z1 , z2 , z3 thỏa z1  z2  z3 Chứng minh A, B, C đỉnh tam giác z1  z2  z3   Hướng dẫn:     a) Gọi G trọng tâm ABC, ta có OG  OA  OB  OC   z1  z2  z3  G biểu diễn số 3 phức z   z1  z2  z3     b) Vì OA  OB  OC nên A, B, C thuộc đường tròn tâm O Tam giác ABC trọng tâm G   trùng O hay z1  z2  z3  CĂN BẬC HAI CỦA SỐ PHỨC & PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI I> Căn bậc hai số phức: Cho số phức w, số phức z = a + b i thoả z = w gọi bậc hai w  w số thực: w = a  a = 0: Căn bậc hai  a > 0: Có hai bậc hai đối a – a  a < 0: Có hai bậc hai đối a i – a i  w số phức: w = a + b i (a, b , b  0) z = x + y i bậc hai w  x2 - y2 = a z  w  (x + yi)2 = a + bi    2xy = b  Mỗi số phức có hai bậc hai đối  VD: Tính bậc hai w = –3 + i  x  y  3 2 Gọi z = x + y i bậc hai w Ta có z  w  ( x  yi)  3  4i    2 xy  Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC  x  y  3  y  y    y2  y   y  2       2   x   x  1 x  y x  y x  y    Vậy có bậc hai w z1 = + i , z2 = –1 – i II> Phương trình bậc hai: 1) Phương trình bậc hai với hệ số a,b,c số thực: ax  bx  c  (a  0),   b  4ac b   2a b  |  |.i  2a    0: Phương trình có nghiệm thực x1,2    < 0: Phương trình có nghiệm phức x1,2  VD: Giải phương trình x    x  2 x3    x3  23   ( x  2)( x  x  4)     x  x   (1) (1) có  = – = –3 =  3.i  nên có nghiệm phức x1,2   3.i Do phương trình có nghiệm x1   3.i, x2   3.i, x3  2 2) Phương trình bậc hai với hệ số phức: Ax  Bx  C  ( A  0),   B  AC ,   a  bi B   = 0: Phương trình có nghiệm kép x  2A B   với  bậc hai     0: Phương trình có nghiệm x1,2  2A  VD: Giải phương trình: a) 2z  iz   ; b) z  (3  2i ) z   5i  a) 2z  iz   có  = –1 – = – = (3i )2 i  3i i  3i Phương trình có nghiệm phức z1   i , z2   i 4 2 b) z  (3  2i ) z   5i  có  = (3  2i )  4(5  5i )   12i  4i  20  20i  15  8i = 3  2i   4i (1  4i ) Phương trình có nghiệm phức z1   1  3i ; 3  2i   4i z2   2  i 4.BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI 1) Giải phương trình sau tập phức: a) 3 z  z   b) z  z   ; c) z  z  11   Hướng dẫn: 1 i 3  i 47  i 171 a) b) c) 14 10 2) Giải phương trình sau tập phức: b) z  z  10  a) z  z    Hướng dẫn: a)  2;  i b) i 2;  i 3) Cho a, b, c  R, a  0, z1 , z2 hai nghiệm phương trình az  bz  c  Hãy tính z1  z2 z1 z2 theo hệ số a, b, c b c  Hướng dẫn: z1  z2 =  , z1 z2 = a a 4) Cho z = a + bi số phức Hãy tìm phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z, z làm nghiệm Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC  Hướng dẫn: Phương trình ẩn x nhận z, z làm nghiệm nên có (x – z)(x – z ) =  x  ( z  z ) x  zz  Với z + z = 2a, z z = a  b Vậy phương trình x  2ax  a  b  5) Chứng minh z bậc hai w z  w  Hướng dẫn: z  a  bi bậc hai w  z  w  z  w  z  w  z  VD:  4i    i  tức z   i bậc hai w   4i z  6) Tìm nghiệm phức phương trình sau: a) z  z  b) z  z    Hướng dẫn: w w c) z  (1  3i ) z  2(1  i )  1 1 5  a) z  2.z     z     z   4 2 2  b) z  z     z  1  4   z  1   2i   z   2i  z  1  2i 2 c)   1  3i   1  i   2i  1  i  Phương trình có hai nghiệm phức z1  2i; z2  1  i 7) a) Hỏi công thức Viét phương trình bậc hai với hệ số thực có cho phương trình bậc hai với hệ số phức khơng? Vì sao? b) Tìm hai số phức, biết tổng chúng – i tích chúng 5(1 – i) c) Có phải phương trình bậc hai z  Bz  C  (B, C hai số phức) nhận hai nghiệm hai số phức liên hợp khơng thực phải có hệ số B, C hai số thực? Vì sao? Điều ngược lại có khơng?  Hướng dẫn: B   a) Hai nghiệm phương trình bậc hai hệ số phức z1,2      B  AC  nên 2A B C z1  z2   ; z1 z2  A A b) Hai số cần tìm nghiệm phương trình z    i  z  1  i   2 Có   5  12i    3i  nên hai số cần tìm z1   i; z2   2i c) Phương trình z  Bz  C  có hai nghiệm z  a  bi; z  a  bi B    z  z   2a số thực C  z.z  a  b số thực Điều ngược lại không 8) a) Giải phương trình sau:  z  i  z  2iz  1  b) Tìm số phức B để phương trình z  Bz  3i  có tổng bình phương hai nghiệm  Hướng dẫn: 2 2 a)  z  i   z  i   có nghiệm  i;   i; i 2 2 b) Ta có z1  z2   B; z1.z2  3i nên z12  z22    z1  z2   z1 z2   B  6i   B    i   B     i  2  k trường hợp sau: z c) k = 2i a) k = 1; b) k = ; k   Hướng dẫn: z   k  z  kz   có nghiệm z1,2      k   z 2 a) k = z1,2   b) k = z1,2  c) k  2i  z1,2   i i  i 2 2 10) Giải phương trình biểu diễn tập nghiệm mặt phẳng phức phương trình sau: a) z   ; b) z   ; c) z   ; d) z  z  z   Hướng dẫn: 9) Tìm nghiệm phương trình z   Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang  THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com a) z     z  1  z  z  1   z  1, z  TỔ HỢP -S SỐ PHỨC 3  i, z   i 2 2 b) z    z   z  1  z  1, z  i c) z    z  4  z  2i  z   1  i  , z   1  i  1 d)  z  1  z  1    z  1 z  1  z  z  1   z  1, z  , z    i 4 11) a) Tìm số thực b, c để phương trình z  bz  c  nhận z   i làm nghiệm b) Tìm số thực a, b, c để phương trình z  az  bz  c  nhận z   i z = làm nghiệm  Hướng dẫn: a) 1  i   b 1  i   c   b  c    b  i   b  c  vaø  b   b  2, c  b) Lần lượt thay z   i z = vào phương trình, ta b  c  a  4 b  c   (2  2a  b)i     b   2a  b  2  8  4a  2b  c  4a  2b  c  8 c  4   DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC(tham khảo) I> Số phức dạng lượng giác: 1) Acgumen số phức z  0:  Cho số phức z = a + b i  biểu diễn điểm M(a; b) mặt phẳng Oxy Số đo (rađian)   góc   (Ox, OM ) gọi acgumen z  Mọi acgumen z sai khác k2 tức có dạng  + k2 (k ) (z nz sai khác k2 với n số thực khác 0)  VD: Biết z  có acgumen  Hãy tìm acgumen số phức sau: –z; z ; – z ; z    z biểu diễn OM –z biểu diễn – OM nên có acgumen  + (2k + 1)  z biểu diễn M đối xứng M qua Ox nên có acgumen –  + k2   – z biểu diễn – OM ' nên có acgumen –  + (2k + 1) z 1 số thực nên z 1 có acgumen với z –  + k2  = z 1  , |z| |z| z 2) Dạng lượng giác số phức z = a + b i :  Dạng lượng giác số phức z  z = r (cos  + i sin  ) với  acgumen z a b z = a + bi  z = r  cosφ + isinφ  Với r = a + b ; cosφ = ; sinφ = r r  VD:  Số –1 có mơđun acgumen  nên có dạng lượng giác z = cos + i sin  Số + i có môđun acgumen  thoả cos  = sin  = Lấy  = 2    + i = 2(cos + i sin ) 3  Số có mơđun acgumen tuỳ ý nên có dạng lượng giác = 0(cos  + i sin  )  Chú ý:  Số – cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(  + ) + i sin(  + )  Số cos  – i sin  có dạng lượng giác cos(–  ) + i sin(–  )  Số – cos  + i sin  có dạng lượng giác cos( –  ) + i sin( –  ) II> Nhân, chia số phức dạng lượng giác: Cho z = r (cos  + i sin  ) z = r (cos  ’ + i sin  ’) với r , r  Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC z r = [cos(φ - φ')+ isin(φ - φ')] ( r  0) z' r' 1  Ta có z có acgumen –  ’ + k2 nên  [cos(  ')  i sin(  ')] z' z' r' z.z' = r.r'[cos(φ + φ')+ isin(φ + φ')] Do z r  [cos( -  ')  i sin( -  ')] ( r ’ 0) z' r' 3 3  5   z1 5   VD: z1   cos  i sin  i cos  z2   sin  Tính z1.z2 4  12 12  z2       5 5     Với z2   cos  i sin  ; z1.z2 = 2  cos  i sin  i     2.i   2   12 12  6  2      z  2 2   =  i sin  i    i  cos      z2 3  2 2  2  III> Công thức Moa–vrơ (Moivre) ứng dụng: 1) Công thức Moa–vrơ: Cho số phức z = r (cos  + i sin  )   r(cosφ + isinφ) = r n (cosnφ + isinnφ) (n n * ) 2) Căn bậc hai số phức dạng lượng giác:`  Mọi số phức z = r (cos  + i sin  ) ( r > 0) có bậc hai    φ φ φ   φ     r  cos + isin     r  cos  i sin     r cos  + π  + isin  + π   2 2    2   2 100  VD: Đổi sang dạng lượng giác tính: 1  i  bậc hai w = + 3.i      2  i    cos  i sin  4     Ta có + i = 100      Do 1  i  =   cos  i sin    250  cos 25  i sin 25  4           w = + 3.i =  cos  i sin  có bậc hai  cos  i sin  3 6   7 7    i sin  cos  6   19 1) Dùng công thức khai triển nhị thức Niutơn 1  i  công thức Moavrơ để tính 100 ð190  ð192  ð194   ð1916  ð1918     Hướng dẫn:  i   cos  i sin  4  Ta có 1  i   19 n 19 ð i k 0 k k n  ð190 i  ð191 i1  ð192 i   ð1918i18  ð1919i19 với phần thực ð  ð  ð   ð1916  ð1918 19 19 1  i  19 19 19  2  9 i   2  i có phần thực 2  512     2    = –512 19  19 19   cos  i sin 4  Vậy ð190  ð192  ð194   ð1916  ð1918 2004  i  2) Tính:    1 i   Hướng dẫn: Gv: Nguyễn Văn Loan –   3i  ;     3i  21 Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 10 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang-  i     1 i  2004  1 i      21 www.VNMATH.com 2004  2      cos  i sin   4    TỔ HỢP -S SỐ PHỨC 2004  1002  cos   i sin     1002 21 21   3i  2 2     21 21  i sin    1  3i    cos     cos14  i sin14   3      3i  3) Cho số phức w    3i Tìm số nguyên dương n để wn số thực Hỏi có số nguyên m dương m để w số ảo? 4 4 4n 4n  Hướng dẫn: w    3i  cos  i sin  wn  cos  i sin 3 3 4n W số thực sin  , điều xảy n bội ngun dương 3 Khơng có m để w m số ảo       6.CÁC DẠNG BAI TẬP CƠ BẢN Tìm phần thực phần ảo số phức sau: 1 i  10    1  i   2  3i 2  3i   i 1 i  Tìm nghiệm phức phương trình sau: a 2i   3i z ; 1 i 2i b 2  i z   i . iz    1   0; 2i  d z  z  ; c z  | z | 0; 3.Tính : a.1+(1+i)+(1+i)2+(1+i)3+…….+(1+i)20 b 1+i+i2+i3++……+i2011 Xác đỉnh tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số z thỏa mãn điều kiện sau: b | z  z   i | 2; a | z  z  | 4; c 2  z i  z  số ảo tùy ý; d | z  i || z  z  2i |;   Các vectơ u ,u ' mặt phẳng phức theo thứ tự biểu diễn số phức z, z’   a Chứng minh tích vơ hướng u u '    z.z ' z.z ' ;   b Chứng minh u ,u ' vng góc | z  z '|| z  z '| Xác định tập hợp điểm mặt phẳng phức biểu diễn số phức z thỏa mãn z  k, z i (k số thực dương cho trước) Tìm số phức z thỏa mãn đồng thời z 1  z i z  3i  zi Tìm số phức z thỏa mãn  z i  1   z i  Tìm phần thực ;phần ảo ;mô đun số phức:  i tan   i tan  10 Giải phương trình sau C : Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 11 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC z2  z   cách đặt ẩn số phụ w  z  ; z a z  z  b z  3z  6  z z  3z    3z  c (z2+1)2+(z+3)2=0a z  i z  1z  i   d z  z   4z  z   12  11 Giải hệ phương trình hai ẩn phức z1 , z sau :  z1  z   i a/   z1 z  5  5i b/   z  z   2i 2  z1  z  5  2i 2 12 Tìm acgumen số phức sau :   cos  i sin ; a.-1-i ; b  sin c    i cos ; 8 d  sin   i cos        ; 2  13 Cho PT : z2+ kz+1=0 (-20 ĐS: 35 x  (ĐH_Khối A 2003) n   Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton   x  , biết x  n 1 n k C n   C n 3  7n  3 , (n nguyên dương, x>0, ( C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 495 (ĐH_Khối D 2005) An41  An3 Tính giá trị biểu thức M  , biết C n21  2C n2  2C n23  C n2  149 (n số nguyên n  1! k dương, An số chỉnh hợp chập k n phần tử C nk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: M  (ĐH_Khối A 2006) n   Tìm số hạng chứa x khai triển nhị thức Newton   x  , biết x  n 20 k C n 1  C n 1    C n 1   , (n nguyên dương C n số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 210 (ĐH_Khối D 2008) Tìm số nguyên dương n thỏa mãn hệ thức C 21n  C 23n    C 22nn 1  2048 ( C nk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: n=6 (ĐH_Khối D 2007) ĐS: 3320 Tìm hệ số x5 khai triển thành đa thức x(12x)5+x2(1+3x)10 (ĐH_Khối D 2003) Với n số nguyên dương, gọi a3n3 hệ số x3n3 khai triển thành đa thức (x2+1)n(x+2)n ĐS: n=5 Tìm n để a3n3=26n (ĐH_Khối D 2002) 26 ĐS: n=5 Tìm số nguyên dương n cho Cn0  2C1n  4Cn2    2n Cnn  243 10 (ĐH_Khối B 2008)  n 1   k  k 1   k (n, k số nguyên dương, k≤n, C nk số tổ hợp chập k Chứng minh   n   C n 1 C n 1  C n n phần tử) 11 (ĐH_Khối B 2007) Tìm hệ số số hạng chứa x10 khai triển nhị thức Newton (2+x)n, biết: 3nCn03n1Cn1+3n2Cn23n3Cn3+ … +(1)nCnn=2048 (n số nguyên dương, C nk số tổ hợp chập k n phần tử) ĐS: 22 12 (ĐH_Khối B 2003) 2  1 23  2 n 1  n Cho n số nguyên dương Tính tổng C n0  Cn  Cn    C n , ( C nk số tổ hợp n 1 n 1 n 1 2 chập k n phần tử) ĐS: n 1 Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 19 THPT Cẩm Lý-Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC 13 (ĐH_Khối A 2008) Cho khai triển (1+2x)n=a0+a1x+ … +anxn, nN* hệ số a0, a1,…an thỏa mãn hệ thức a a a     nn  4096 Tìm số lớn số a0, a1,…an ĐS: a8=126720 2 14 (ĐH_Khối A 2007) Chứng minh 1 1 2n 1 22n  C2n  C23n  C25n    C2n  , ( C nk số tổ hợp chập k n 2n 2n  phần tử) 15 (ĐH_Khối A 2005) Tìm số nguyên dương n cho C 21n 1  2.2C 22n 1  3.2 C 23n 1  4.2 C 24n 1    2n  1.2 n C 22nn11  2005 , ĐS: n=1002 ( C nk số tổ hợp chập k n phần tử) 16 (ĐH_Khối A 2004) Tìm hệ số x8 khai triển thành đa thức [1+x2(1x)]8 17 (ĐH_Khối A 2002) Cho khai triển nhị thức n n x  x21   x 1   x 1      C n0  2   C n1  2              n 1 ĐS: 238  3x   x 1   x       C nn 1  2             n 1  x   C     n n n (n số nguyên dương) Biết khai triển C n3  5C n1 số hạng thứ 20n, tìm n x ĐS: n=7, x=4 18 Cho số phức z=1+i a Viết khai triển nhị thức Newton nhị thức (1+i)n b Tính tổng S1=1Cn2+Cn4Cn6+… S2=Cn1Cn3+Cn5… 19 Chứng minh C1000–C1002+C1004–C1006+ … –C10098+C100100= –250 o0o Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 2011- Trang 20 .. .THPT Cẩm L? ?- Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC CHUYÊN ĐỀ: SỐ PHỨC ĐỊNH NGHĨA PHÉP TOÁN SỐ PHỨC I> Khái niệm số phức:  Là biểu thức có dạng a + b i , a, b số thực số i thoả... số thực âm xy = x  y   x = y  Tập hợp điểm M trục Oy trừ O Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 201 1- Trang THPT Cẩm L? ?- Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC b) z số. .. 2i  3i Gv: Nguyễn Văn Loan – Ôn thi cấp tốc – Năm học 2010 – 201 1- Trang THPT Cẩm L? ?- Bắc Giang- www.VNMATH.com TỔ HỢP -S SỐ PHỨC c) z = 15 – 5i  i 5 6)Xác định số phức biểu diễn đỉnh lục giác