TRƯỜNG THPT CHUYÊN BẮC NINH TỔ TOÁN – TIN (Đề thi gồm 01 trang) ĐỀ KIỂM TRA CUỐI HÈ NĂM 2019 Mơn thi: Tốn 10 chun Thời gian: 150 phút (không kể thời gian giao đề) Câu (2,0 điểm) m x + 23 x + 33 Cho phương trình x + 42 x + 55 =2 a) Giải phương trình m = b) Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Câu (3,0 điểm) Cho hình vng ABCD có tâm O Đường thẳng d quay quanh O, cắt hai cạnh AD BC E F (không trùng với đỉnh hình vng) Qua E F kẻ đường thẳng song song với BD AC chúng cắt I Kẻ IH vuông góc với EF H Chứng minh rằng: a) Điểm I chạy đoạn AB b) Điểm H thuộc đường tròn cố định đường thẳng IH qua điểm cố định Câu (1,0 điểm) Cho hai số 2a > b > Chứng minh 2a + 64 ( 2a − b )( b + 3) ≥ Câu (2,0 điểm) a) Cho tập X = {1, 2,3, , 2020} Chứng minh số 1011 phần tử tập X ln có hai phần tử ngun tố b) Chứng minh tồn vô số số nguyên dương n thỏa mãn 5n − chia hết cho n Câu (2,0 điểm) Giả sử phương trình ax + bx + c= ( a ≠ ) có nghiệm x1 , x2 Đặt Sn =x1n + x2n , n ∈ a) Chứng minh: aSn + bSn −1 + cSn −2 = b) Áp dụng tính A = (1 + ) + (1 − ) 8 Hết -Thí sinh không sử dụng tài liệu Cán coi thi khơng giải thích thêm ĐÁP ÁN TỐN 10 Câu Nội dung Điểm ĐK a) Khi m = 1, ta có phương trình x + 42 x + 55 =2 x + 23 x + 33 11 x ≠ −3; x ≠ − điểm PT ⇔ ( x + )( x + 11)( x + 11)( x + 3) = ⇔ ( x + )( x + 3)( x + 11) = ⇔ ( x + 10 )( x + 12 )( x + 11) = Đặt ( x + 3) = t , (t ≥ 0), phương trình trở thành t − t − = ⇔ t = Câu (2điểm) đối chiếu đk, ta có ( x + 11) = + 33 1 + 33 ⇔ x = −11 ± 4 ± 33 , b) Ta có ( x + 10 )( x + 12 )( x + 11) =⇒ 8m t − t − 8m = (1) với t = ( x + 11) , t ≥ PT cho có nghiệm phân biệt PT (1) có hai nghiệm ∆t > 1 + 32m > ⇔ − < m < dương phân biệt ⇔ S > ⇔ 1 > 32 −8m > P > điểm điểm Câu (3điểm a) Dễ dàng chứng minh ∆EFI vuông I , IO trung tuyến thuộc cạnh huyền EF , OE = OI nên O nằm trung trực EI Mặt khác OA ⊥ EI nên OA trung trực EI Nên ∆AEI vuông cân A = 450 Vậy Suy AIE = 450 Tương tự BIF + BIF = 450 + 900 + 450 = 1800 suy I , A, B thẳng hàng AIB = AIE + EIF hay I ∈ AB (đpcm) b) Ta có: AEHI BFHI tứ giác nội tiếp Suy =IFB =450 ⇒ AHI = AEI =450 , IHB AHB =900 Vậy H ∈ đường trịn điểm đường kính AB (đpcm) Gọi HI cắt đường trịn đường kính AB K , ta có AHK = BHK = 450 nên AB suy K cố định (đpcm) K trung điểm cung Câu 1điểm Theo BĐT AM-GM: ( 2a − b )( b + 3)( b + 3) = ( 4a − 2b )( b + 3)( b + 3) 4a − 2b + b + + b + ( 2a + 3) 64 63 ≤ = ⇒ ≥ 2 27 ( 2a − b )( b + 3) ( 2a + ) ⇒ 2a + 64 ( 2a − b )( b + 3) 63 ≥ 2 a + ( 2a + 3) Theo BĐT AM-GM ta có (1) điểm 2a + 2a + 2a + 63 63 + + + ≥ ⇒ a + ≥ − =(2) 3 6 2 ( 2a + ) ( 2a + ) Từ (1) (2) suy đpcm Dấu đẳng thức xảy khi= a Câu 2điểm = , b a) Chia tập X thành cặp (1, ) , ( 3, ) , , ( 2019, 2020 ) Có tất 1010 cặp điểm 1011 phần tử nên theo nguyên tắc Dỉichlet, tồn hai phần tử thuộc cặp Hai phần tử nguyên tố (đpcm) b) Xây dựng dãy x1 ( xn ) : = 1, xn= xn − Ta chứng minh ( xn ) dãy số điểm +1 nguyên dương tăng số hạng dãy thỏa mãn đk toán + Thật ( xn ) dãy số nguyên dương Áp dụng BĐT Becnuli ta có xn +1= xn − ≥ + 4.xn − 1= xn > xn Vậy ( xn ) dãy số tăng (1) + Dùng quy nạp chứng minh xn − 1 xn (*) Với n=1, ta có x1 − 1 x1 (đúng) Giả sử (*) đến n, tức xn − 1 xn ⇒ xn +1= xn − 1= k xn , ( k ∈ * ) Ta có xn+1 − 1= 5kxn − 1 ( xn − 1) ⇒ xn+1 − 1 xn +1 Theo nguyên lí quy nạp suy xn − 1 xn , ∀n ∈ * (2) Từ (1) (2) suy đpcm Câu 2điểm + bx1 + c a) ta có ax12= + bx2 + c (1) , ax22= ( 2) Nhân hai vế (1) điểm với x1n − nhân hai vế (2) với x2n − cộng theo vế ta đc đpcm b) Ta có ± nghiệm PT x − x − = nên điểm S n − S n −1 − S n − =0,S0 =2, S1 =2 ⇒ S =2 S1 + S0 =8, ⇒ S8 =3104 Vậy A=31044 ...ĐÁP ÁN TOÁN 10 Câu Nội dung Điểm ĐK a) Khi m = 1, ta có phương trình x + 42 x + 55 =2 x + 23 x + 33 11 x ≠ −3; x ≠ − điểm... đẳng thức xảy khi= a Câu 2điểm = , b a) Chia tập X thành cặp (1, ) , ( 3, ) , , ( 2019, 2020 ) Có tất 101 0 cặp điểm 101 1 phần tử nên theo nguyên tắc Dỉichlet, tồn hai phần tử thuộc cặp Hai phần... mãn đk toán + Thật ( xn ) dãy số nguyên dương Áp dụng BĐT Becnuli ta có xn +1= xn − ≥ + 4.xn − 1= xn > xn Vậy ( xn ) dãy số tăng (1) + Dùng quy nạp chứng minh xn − 1 xn (*) Với n=1, ta có x1