Đang tải... (xem toàn văn)
Nếu các trạm đó chỉ liên lạc với nhau bằng ba phương tiện B, C, D thì với một trạm Y bất kỳ trong số 17 trạm này bao giờ cũng có một phương tiện để Y liên lạc với ít nhất 6 trạm khác ([r]
(1)SỞ GIÁO DỤC- ĐAÌO TẠO ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI BẬC PTTH THỪA THIÊN HUẾ Năm học 2007-2008
Män : TOẠN
(150 phút không kể thời gian giao đề)
Bài (2điểm) Tam giác ABC có đặc điểm
sin sin
sin (1) 2
5 A B 12sin 12sin (2)
A a
bc
B A
Bài (1,5điểm) Tìm hàm đa thức f(x), thoả mãn: f (2x) = f ‘(x).f “(x)
Bài 3 (2điểm) Ba số thực x, y, z đôi khác nhau thoả mãn điều kiện :
3 3 3
(y z) x (z x) y (x y) z 0
Chứng minh:(1 x ).(1 y ).(1 z ) (1 xyz) 3 3
Bài 4 (2,5điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Từ điểm M di động cạnh SA dựng đường thẳng song songvới AD cắt SD N Trên CD lấy điểm Q cho CQ SM
CDSA .Tìm vị trí M SA để
tam giác MNQ có diện tích lớn
Bài 5 (2điểm) Trong mạng liên lạc có 66 trạm. Mỗi trạm liên lạc trực tiếp đến trạm khác. Giữa hai trạm dùng phương tiện: điện thoại, fax, email vô tuyến điện đàm để liên lạc với nhau.
Chứng minh có ba trạm liên lạc với nhau phương tiện
Huế 10/11/2007
Giạo viãn
Trần Cơng Sỹ
(2)THỪA THIÊN HUẾ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TỈNH
Bài Nội dung Điểm
I 2.0
I * Ta có (1)
2 2
4bcsin a 2bc 1- cosA a 2bc- 2bccosA = a
A
(3)
Mặt khác, theo định lý hàm số cos a2 b2 c2 2bccosA
(4) So sánh (3) (4) có 2bc = b2 + c2 (b - c)2 = b = c (5)
* (2) 5sinA-sinB
- 12 (sinA - sinB) - = (6)
Đặt t = sinA - sinB, -1 < t < Xét hàm số f (t) = 5t-12t - 1.
f '(t) =5tln5-12; f '(t) = 5 12
ln
t
to= log512 - log5ln12
Bảng biến thiên f x xét khoảng (-1; 2) t 1 t0
'
f (t) f(t)
Bảng biến thiên cho thấy f x( )có khơng qúa nghiệm Lại có f(0)= f(2) 0 suy miền -1 < t < 2, f (t) có nghiệm t =
sinA = sinB A = B (do < A, B <) (7) Từ (5), (7) suy A = B = C ABC
0,5
0,5
0,5
0,5
II 1,5
Gọi n bậc đa thức f(x) thì: n = (n-1) + (n-2), nên n = Ta có f(x) = ax3 + bx2 + cx + d (a≠0)
Theo đẳng thức f(2x) = f'(x) f''(x), ta được: 8ax3 + bx2 + 2cx + d = (3ax2 + 2bx + c) (6ax + 2b)
8ax3 + 4bx2 + 2cx + d = 18a3x3 + 18abx2 + (4b2 + 6ac) x + 2bc
Cân hệ số: suy ra: ,
4
b c d
a Vậy hàm phải tìm:
9 ) (x x
f
0,5 0,5 0,5
III 2,0
Để ý rằng: Nếu a + b + c = a2 + b2 + c2 = abc
Đặt a (y z)31 x,b (z x)3 1 y,c (x y)3 1 z
ta có:
) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
(y x x3 z x y x y z3
3 (1 3)(1 3)(1 3)
) )( )(
(
3 x y y z z x x y z
) )( )( ( ) )( )( )( (
3 xyz x y y z z x x y y z z x
3 (1 x3)(1 y3)(1 z3)
3 (1 3)(1 3)(1 3)
1 xyz x y z
) )( )( ( )
( xyz x3 y3 z3
(3)Do MN/AD nên
SD SN SA SM
Mà
CD CQ SA
SM
Suy ra: NQ SC
CD CQ SD SN
//
MNQ NQ
MN MNQ
S sin
2 )
(
sin
1
NQ MN
BCS
(Vì BC/MN SC/NQ) Suy ra: S(MNQ) lớn
MN.NQ lớn
SC NQ AD MN
lớn Nhưng 1
SD ND SD SN SC NQ AD MN
Do đó: S(MNQ) lớn S(MNQ) = ( )
1
ABC
S
2
SA SM AD MN
M trung điểm SA
0,5
0,5
0,5
0,5
V 2,0
Ta chọn trạm X có phương tiện để X liên lạc với 17 trạm khác, giả sử phương tiện A Ta xét 17 trạm liên lạc với X phương tiện A Nếu số 17 trạm có hai trạm liên lạc với phương tiện A toán giải xong
Nếu trạm liên lạc với ba phương tiện B, C, D với trạm Y số 17 trạm có phương tiện để Y liên lạc với trạm khác ( số 17 trạm xét ), giả sử phương tiện B Xét trạm liên lạc với Y phương tiện B Nếu số trạm có hai trạm liên lạc với phương tiện B tốn giải
Nếu trạm liên lạc với hai phương tiện C D, với trạm Z số trạm phải có phương tiện để Z liên lạc với ba trạm khác ( số trạm xét ), giả sử phương tiện C Xét ba trạm liên lạc với Z phương tiện C Nếu có hai trạm ba trạm liên lạc với phương tiện C tốn chứng minh; khơng ba trạm phải liên lạc với phương tiện D, toán giải
0,5
0,75
0,75 Huế, ngày 10 tháng 11 năm 2007
Giáo viên Trần Công Sỹ
A D Q
C S
M B
(4)