DeQuy

• Viết chương trình nhập 1 mảng số int, nhập 1 trị x, tìm vị trí có x cuối cùng trong mảng. Dùng kỹ thuật đệ quy để tìm vị trí này[r]

CHƯƠNG 7

Mục tiêu

Đến cuối chương, bạn có thể:

• Giải thích giải thuật đệ quy

• Biết cách diễn đạt tác vụ hướng đệ quy • Biết cách thực hàm đệ quy

• Phân loại loại đệ quy

Ơn tập

• Stack: Cấu trúc (thường mảng) có chế xử lý: vào sau trước

• Queue: Cấu trúc (thường mảng) có chế xử lý: vào trước trước

• Stack Queue gọi danh sách hạn chế

7.1- Đệ quy (Recursion)

• Định nghĩa tường minh: Giải thích khái niệm khái niệm có • Người = Động vật cấp cao

• Định nghĩa lịng vịng: Giải thích khái niệm khái niệm

• Đệ quy: Đưa ra định nghĩa có sử dụng khái niệm cần định

Đệ quy gì?

• Con người hiểu định nghĩa đệ quy đệ quy có chặn (điều kiện biên, điều kiện suy biến) – biên ngầm định

• Người = hai người khác  Ngầm

hiểu có người

• Thư mục = thư mục + tập tin

 Ngầm hiểu: Hiển nhiên tồn thư mục

7.2- Kiểu liệu đệ quy

• Một người mô tả bằng: tên, năm sinh, cha (một người khác), mẹ (một người khác)

struct NGUOI { char Ten[51]; int namsinh; NGUOI cha; NGUOI me;

Cấu trúc khơng khả thi máy tính

Kiểu liệu đệ quy

• Sửa lại:

struct NGUOI { char Ten[51]; int namsinh;

NGUOI* pCha; NGUOI* pMe; };

NGUOI x;

Ten (51 bytes) namsinh (2 bytes)

pCha (4 bytes) pMe (4 butes)

7.3- Tác vụ đệ quy

• Có thể diễn đạt nhiều tác vụ hướng đệ quy • 1+2+3+ + (n-2) + (n-1) + n

• Cộng( tới n) = n + Cộng (1 tới n-1)

• Điều kiện biên điều kiện ngưng khơng đệ quy • Điều kiện biên: Cộng (1 tới 1)

• Cộng (1 tới n) = 1, n=1

7.4- Cách viết hàm đệ quy

• Định nghĩa tác vụ đệ quy theo ngơn ngữ tự nhiên hàm viết

• Thí dụ: n! = 1*2*3*4*5* * n n! = 1, n<=1

Cách viết hàm đệ quy

n! = 1, n<=1 n* (n-1)!

Điều kiện biên

2 dòng

Luyện tập viết hàm đệ quy

• Tìm trị phần tử thứ n cấp số cộng có số hạng đầu a, công sai r

Un = a, n=1

r + Un-1

• Tìm trị phần tử thứ n cấp số nhân có số hạng đầu a, cơng bội q

Un = a, n=1

q*U

Luyện tập viết hàm đệ quy

• Xuất biểu diễn nhị phân số nguyên dương

13  1101

Dạng nhị phân của (13/2)

13%2

Xuất dạng nhị phân n: Nếu (n>=0)

{ Nếu (n/2>0) Xuất dạng nhị phân n/2; Xuất (n%2);

}

Luyện tập viết hàm đệ quy

7.5- Phân loại hàm đệ quy

• Tùy thuộc cách diễn đạt tác vụ đệ quy mà có loại đệ quy sau

7.7.1-Đệ quy tuyến tính

• Thân hàm gọi lần nó

• Un = a , n=1 ( trị thứ n cấp số cộng)

r + Un-1 , n>1

double U (int n, double a, double r) { if (n==1) return a;

7.5.2-Đệ quy nhị phân

• Thân hàm gọi lần

• Chuỗi số Fibonacci: 1 13 • Un = 1, n=1,2

Un-2 + Un-1 , n>2

long Fibo (int n)

{ if (n<=2) return 1;

7.5.3-Đệ quy phi tuyến

• Thân hàm lặp gọi số lần

• Un = n , n <6

Un-5 + Un-4 + Un-3 + Un-2 + Un-1 ,n >6

long U ( int n)

{ if (n<6) return n; long S= 0;

for (int i = 5; i>0; i ) S+= U(n-i); return S;

7.5.4-Đệ quy hỗ tương

• 2 hàm đệ quy gọi nhau

• Un = n , n<5

Un-1 + Gn-2 , n>=5

• Gn = n-3 , n<8

Un-1 + Gn-2 , n>8

long G(int n); long U ( int n)

{ if (n<5) return n;

return U(n-1) + G(n-2); }

long G(int n)

{ if (n<8) return n-3;

7.6- Kỹ thuật tìm giải thuật đệ quy

• Thơng số hóa tốn

• Tìm điều kiện biên(chặn), tìm giải thuật cho tình

Tính tổng mảng a, n phần tử • Thơng số hóa: int*a, int n

• Điều kiện biên: Mảng phần tử tổng • Giải thuật chung:

Sum(a,n) = a[0] + a[1] + a[2] + + a[n-2] +a[n-1] Sum(a,n-1)

Sum (a,n) = , n=0

a[n-1] + Sum(a, n-1)

• Với thuật tốn đệ quy mảng, ta nên giảm dần

Tìm trị lớn mảng a, n phần tử

• Thơng số hóa: int*a, int n

• Điều kiện biên: Mảng phần tử trị lớn a[0] • Giải thuật chung:

Max(a,n) = a[0] , a[1] , a[2] , , a[n-2] , a[n-1] Max(a,n-1)

Max (a,n) = a[0] , n=1

a[n-1] > Max(a, n-1)? a[n-1] : Max(a,n-1) • Thuật tốn đệ quy tìm trị nhỏ mảng?

Xuất ngược chuỗi

• S= “QWERT”  TREWQ

Ký tự đầu của S Kết qủa xuất ngược

chuỗi &S[1]

Xuất_ngược (S) : L= strlen(S);

if (L>1) Xuất_ngược (S+1); if (L) Xuất (*S);

7.7- Bài toán Tháp Hà Nội

Bài tốn Tháp Hà Nội

Xem cách phân tích mã hóa tốn tốn tài liệu tham khảo

Chuyển n đĩa từ cột X sang cột Z nhờ cột

trung gian Y

(1) Chuyển n-1 đĩa từ cột X sang cột Y nhờ cột trung gian Z đĩa bên đĩa nhỏ.

(2) Chuyển đĩa n (to nhất) từ cột X sang cột đích Z.

Tháp Hà Nội

3 2 1

3 2 1

3 2

1

7.8- Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq

n: 4 Kq

n: 3 Kq

n: 2 Kq

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq:

n: 4 Kq:

n: 3 Kq:

n: 2 Kq:

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq: n: 4 Kq: n: 3 Kq: n: 2 Kq: n: 1 Kq 1

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq:

n: 4 Kq:

n: 3 Kq:

n: 2 Kq:

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq:

n: 4 Kq:

n: 3 Kq: 6

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

n: 5 Kq:

n: 4 Kq: 24

n: 5

Cách thực thi hàm đệ quy

• Xét hàm tính giai thừa

7.9- Nhận xét hàm đệ quy

HÀM ĐỆ QUY: Vừa tốn nhớ vừa chạy chậm

Giải thuật đệ quy đẹp (gọn gàng), dễ chuyển thành chương trình.

Nhiều ngơn ngữ không hỗ trợ giải thuật đệ quy (Fortran).

7.10- Khử đệ quy

• Là trình chuyển đổi giải thuật đệ quy

thành giải thuật khơng đệ quy

• Chưa có giải pháp cho việc chuyển đổi

một cách tổng quát

• Cách tiếp cận:

(1) Dùng quan điểm đệ quy để tìm giải thuật cho tốn

(2) Mã hóa giải thuật đệ quy

7.10.1- Khử đệ quy vịng lặp

• Ý tưởng: Lưu lại trị lần tính tốn

Thí dụ: Hàm tính giai thừa n

long GiaiThua( int n) { if (n<2) return 1;

return n * GiaiThua(n-1); }

Trị cần lưu

long GiaiThua( int n) { long K=1;

for (int i =2; i<=n;i++) K=K*i; return K;

}

Điều kiện biên

Thí dụ hàm tính trị thứ n dãy Fibonacci:

1

long Fibo(int n)

{ if (n<=2) return 1; // hai chặn return Fibo(n-2) + Fibo (n-1);

} 1t 2t

t3=t1+t 2

t1 t2 t3

t1 t2 t3

t1 t2 t3

long Fibo(int n)

{ if (n<=2) return 1; // hai chặn long t1=1, t2=1;

for (int i=3; i<=n;i++) { t3=t1+t2;

t1=t2; t2= t3; }

7.10.2- Khử đệ quy stack

• Khởi tạo stack với số phần tử phù hợp • Đưa tham số đầu vào stack

• Khi Stack không trống

{ - Lấy tham số khỏi stack;

- Xử lý tác vụ ứng với tham

số Nếu gặp tác vụ đệ quy lại đưa

tham số tác vụ đệ quy tương ứng vào stack

Bài toán tháp Hà Nội khử-đệ quy

Tóm tắt

• Hàm đệ quy hàm mà thân hàm lại gọi

• Hàm đệ quy hiệu qủa vì: tốn nhớ va gọi hàm qúa nhiều lần Tuy nhiên viết hàm đệ quy ngắn gọn

Bài tập

• Viết chương trình xuất n trị cấp số cộng có số hạng đầu a (nhập từ bàn phím), cơng sai r

(nhập từ bàn phím) Sử dụng kỹ thuật đệ quy để xây dựng hàm tính trị thứ i cấp số cộng

• Dùng kỹ thuật đệ quy để giải phương trình f(x) khoảng [a,b] với sai số epsilon

• Gọi px pointer nghiệm

if (f(a).f(b)>0) return NULL (khơng có nghiệm) else if (b-a <= epsilon) return &a;

else

{ c=(b+a)/2) ;

Bài tập

• Viết chương trình nhập mảng số int, nhập trị x, tìm vị trí có x cuối mảng Dùng kỹ thuật đệ quy để tìm vị trí này. Tìm x a[], n : -1 n<0

n-1 a[n-1]=x Tìm x a, n-1

• Viết chương trình nhập ma trận vuông số int , nhập trị x Tìm vị trí <dịng,cột> có x dùng kỹ thuật đệ quy.

Tìm vị trí có x ma trận m,n

NULL, n<1