Bộ đề thi thử và đáp án chi tiết kì thi Quốc gia năm 2016 môn Toán tập hợp 30 đề thi thử THPT QG môn Toán. Mời các thầy cô giáo cùng các em học sinh lớp 12 tham khảo đề thi này nhằm chuẩn bị tốt nhất cho Kì thi tốt nghiệp THPT Quốc gia sắp tới.
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG BỘ ĐỀ THI THỬ VÀ ĐÁP ÁN CHI TIẾT KÌ THI QUỐC GIA NĂM 2016 MƠN TỐN NĂM HỌC 2015–2016 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG MỤC LỤC MỤC LỤC ĐỀ ĐỀ ĐỀ 14 ĐỀ 19 ĐỀ 23 ĐỀ 27 ĐỀ 32 ĐỀ 37 ĐỀ 42 ĐỀ 10 49 ĐỀ 11 54 ĐỀ 12 60 ĐỀ 13 66 ĐỀ 14 71 ĐỀ 15 77 ĐỀ 16 82 ĐỀ 17 88 ĐỀ 18 95 ĐỀ 19 98 ĐỀ 20 104 ĐỀ 21 109 ĐỀ 22 114 ĐỀ 23 120 ĐỀ 24 125 ĐỀ 25 129 ĐỀ 26 134 ĐỀ 27 138 ĐỀ 28 143 ĐỀ 29 148 ĐỀ 30 153 Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG ĐỀ Câu (1.0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = 2x +1 x −1 Câu 2.(1.0 điểm) Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = + ln x đoạn [1;e] x Câu (1.0 điểm) a) Cho số phức z thỏa mãn (1 − 2i ) z + z = 10 − 4i Tính môđun z − log x + =1 log x log x 2 dx Câu (1.0 điểm) Tính tích phân I = ∫ x 3x + b) Giải phương trình x − y −1 z −1 = = −1 điểm A ( −2;1;0 ) Viết phương trình mặt phẳng (P) qua A chứa d Tìm tọa độ điểm M thuộc d Câu (1.0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng d : cho MA = 11 Câu (1.0 điểm) a) Giải phương trình sin x = sin 3x + cos x ( cos x − 1) b) Cho n số tự nhiên thỏa mãn Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109 Tìm số hạng không chứa x khai triển n x + ( x ≠ ) x Câu (1.0 điểm) Cho hình lăng trụ ABC A ' B ' C ' có đáy ABC tam giác cạnh a Hình chiếu vng góc đỉnh A ' lên mặt (ABC) trung điểm cạnh BC; góc cạnh bên AA ' mặt phẳng (ABC) 600 Tính theo a thể tích khố i lăng trụ ABC A ' B ' C ' diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC Câu (1.0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho hình vng ABCD có đỉnh A ( 2; ) Biết điểm M ( 6;3) thuộc cạnh BC điểm N ( 4;6 ) thuộc cạnh CD, tìm tọa độ đỉnh C y + ( y + 3)( y − x ) + xy = x Câu (1.0 điểm) Giải hệ phương trình ( y − ) x + − ( y − ) x + = ( y − 1) ( x, y ∈ ℝ ) Câu 10 (1.0 điểm) Cho x, y, z số thực dương khác đôi thỏa mãn xy + yz = z 2x ≤ z Tìm giá trị lớn biểu thức x y z P= + + x−y y−z z−x –––––––– HẾT ––––––––– Câu Đáp án Điểm 2x +1 1,00 Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = x −1 • Tập xác định D = ℝ \ {1} • Sự biến thiên hàm số Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG + y' = −3 ( x − 1) < 0, ∀x ∈ D + Hàm số nghịch biến mỗ i khoảng ( −∞ ;1) (1; + ∞ ) + Hàm số khơng có cực trị + Giới hạn tiệm cận lim− y = −∞, lim+ y = +∞ ⇒ x = tiệm cận đứng x →1 0,25 x →1 lim y = lim y = ⇒ y = tiệm cận ngang x →−∞ x →+∞ + Bảng biến thiên x −∞ y' +∞ − − 0,25 +∞ y −∞ • Đồ thị x = ⇒ y = −1 y =0⇒ x =− 0,25 Nhận xét Đồ thị nhận giao điểm I (1;2 ) làm tâm đối xứng Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f ( x ) = + ln x x 1,00 đoạn [1; e] Hàm số cho xác định liên tục đoạn [1; e] Ta có f ' ( x ) = − 0,25 x−2 + = x2 x x f '( x) = ⇔ x = 0,25 Ta có f (1) = , f ( ) = + ln , f ( e ) = + e Vậy max f ( x ) = , x = ; f ( x ) = + ln , x = 0,25 0,25 a)Tính mơđun z 0,50 x∈[1; e] x∈[1;e ] Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG z = a + bi ( a, b ∈ ℝ ) , Gọi ta có (1 − 2i ) z + z = 10 − 4i ⇔ (1 − 2i )( a + bi ) + a − bi = 10 − 4i ⇔ a + b − = − 2i a + b = a = ⇔ ⇔ a = b = Vậy môđun số phức z z = 2 + 32 = 13 b) Giải phương trình − log2 x + =1 log2 x log x 2 0,25 0,25 (1) x > Điều kiện x ≠ , x ≠ 2 − log x + =1 (1) ⇔ + log x log x − 0,50 0,25 Đặt t = log x ( t ≠ −2, t ≠ 1) , ta có 2−t + = ⇔ t − 3t − = + t t −1 x= log x = −1 t = −1 ⇔ ⇔ ⇔ t = log x = x = 16 Vậy nghiệm phương trình x = ; x = 16 Tính tích phân I = ∫ dx x 3x + t2 −1 ⇒ dx = tdt 3 Đổi cận x = ⇒ t = 2; x = ⇒ t = Đặt t = x + ⇒ x = 0,25 1,00 0,25 0,25 2dt Khi I = ∫ = ∫ − dt t +1 t −1 t −1 0,25 t −1 = ln = ln t +1 • Viết phương trình mặt phẳng (P) Đường thẳng d qua điểm B ( 2;1;1) có VTCP u = (1; −1; ) Ta có BA = ( 4;0;1) , suy mặt phẳng (P) có VTPT n = u , BA = ( −1;7; ) Mặt khác, (P) qua A nên có phương trình x − y − z + = • Tìm tọa độ điểm M thuộc d cho AM = 11 Do M ∈ d ⇒ M ( + t ;1 − t ;1 + 2t ) , ta có AM = ( t + 4; −t;1 + 2t ) Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 1,00 0,50 0,25 0,25 0,50 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 2 Mặt khác AM = 11 ⇔ AM = 11 ⇔ ( t + ) + t + (1 + 2t ) = 11 ⇔ t + 2t + = ⇔ t = −1 ⇒ M (1; 2; −1) 0,25 Vậy điểm cần tìm M (1; 2; −1) 1,00 a) (1) Giải phương trình sin x = sin 3x + cos x ( cos x − 1) (1) ⇔ cos 2 x − sin 2 x − cos x + sin 3x = ⇔ −2sin 3x sin x + sin 3x = ⇔ cos x − cos x + sin x = ⇔ sin 3x (1 − 2sin x ) = π x = k sin x = π ⇔ ⇔ x = + k 2π sin x = x = 5π + k 2π 0,25 π π 5π ; x = + k 2π ; x = + k 2π 6 b) Tìm số hạng khơng chứa x khai triển x + x ⇔ − (k ∈ℤ) n ( x ≠ 0) 0,50 ( n ∈ ℕ, n ≥ ) n! n! + = 109 ⇔ n − 3n − 108 = ⇔ n = 12 ( n − 1)! ( n − 2)! 12 0,25 k 12 12 12− k Khi đó, ta có x + = ∑ C12k ( x ) = ∑ C12k x 24 −6 k x x k =0 k =0 Số hạng không chứa x ứng với k thỏa mãn 24 − 6k = ⇔ k = Vậy số hạng khơng chứa x C124 = 495 • 0,25 ( k ∈ ℤ) Vậy nghiệm phương trình x = k Ta có Cn0 − 2Cn1 + An2 = 109 0,50 Tính thể tích khối lăng trụ ABC A ' B ' C ' Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 1,00 0,50 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Gọi H hình chiếu vng góc A ' lên mặt phẳng (ABC) H trung điểm BC Do AH hình chiếu vng góc AA ' lên mặt phẳng (ABC) nên ta có ( AA ', ( ABC) ) = ( AA ', AH ) = A ' AH = 60 a a2 ∆ABC tam giác cạnh a nên AH = S ∆ABC = A' 0,25 C' d B' M d' J K A 60° C a I H B ∆A ' HA vng H, ta có A ' H = AH tan 600 = 3a 0,25 a 3a 3a 3 = Thể tích khố i lăng trụ ABC A ' B ' C ' V = S∆ABC A ' H = • Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC 0,50 Gọi I tâm d trục đường tròn ngoại tiếp ∆ABC I trọng tâm ∆ABC Gọi J tâm d’ trục đường tròn ngoại tiếp ∆A ' BC ; ∆A ' BC cân A ' nên J ∈ A' H Vì d , d ' nằm mặt phẳng ( A ' HA ) không song song nên cắt K 0,25 K ∈ d ⇒ KA = KB = KC Ta có ⇒ KA = KB = KC = KA ' K ∈ d ' ⇒ KA ' = KB = KC Suy K tâm R = A ' K bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC Gọi M trung điểm A ' B JM ⊥ A ' B (do JA ' = JB ) Xét hai tam giác vuông đồng dạng A ' MJ A ' HB , ta có 9a a + A' J A' M A ' B A ' H + BH = 5a = ⇒ A'J = = = A' B A' H 2A' H 2A' H 3a Tứ giác IHJK hình chữ nhật nên ta có JK = HI = a AH = ∆A ' JK vuông J, ta có R = A ' K = A ' J + JK = 25a 3a a + = 36 36 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp A ' ABC S = 4π R = 0,25 28π a Tìm tọa độ điểm C 1,00 9 Gọi I trung điểm đoạn MN I 5; 2 0,25 ∆CMN vuông C nên C thuộc đường tròn (T ) tâm I, đường kính MN Sưu tầm trình bày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Gọi E giao điểm AC (T ) ; CA đường phân giác góc MCN nên E điểm cung MN khơng chứa C (E, A phía đố i với MN) Suy E giao điểm (T ) đường trung trực đoạn MN Ta có MN = ( −2;3) ⇒ MN = 13 13 Phương trình đường trịn (T ) có dạng ( x − ) + y − = 2 0,25 Gọi ∆ đường trung trực đoạn MN ∆ qua I nhận MN làm VTPT Phương trình đường thẳng ∆ có dạng x − y + = Tọa độ điểm E nghiệm hệ phương trình 2 13 x − 5) = ( ( x − ) + y − = 2 ⇔ 4 x − y + = y = 4x + 13 x = ⇔ y = 11 N D C I x = y = 0,25 E M A B 7 7 Vì E, A phía MN nên ta chọn E ; 2 2 Phương trình đường thẳng AE x − y = Tọa độ điểm C nghiệm hệ phương trình 13 x − + y − ( ) = ⇔ x = y = x = y = (tọa độ E) 2 x − y = 0,25 Vậy C ( 6;6 ) y + ( y + 3)( y − x ) + xy = x Giải hệ phương trình ( y − ) x + − ( y − ) x + = ( y − 1) (1) ( 2) 1,00 x ≥ 0, y ≥ Điều kiện 9 y + ( y + 3)( y − x ) ≥ Xét x = y = : khơng thỏa hệ phương trình Xét x > 0, y > : (1) ⇔ ⇔ ( ) ( y + ( y + 3)( y − x ) − 3x + y + ( y + 3)( y − x ) − x y + ( y + 3)( y − x ) + x + ) xy − x = ( xy − x ) xy + x =0 Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG x + 11y + x ⇔ ( y − x) + =0 y + ( y + 3)( y − x ) + x xy + x x + 11y + 4x ⇔ x = y , + > 0, ∀x, y > xy + x y + ( y + 3)( y − x ) + 3x Với x = y : ( 2) ⇔ ( x − ) x + − ( x − ) x + = ( x − 1) a = x + ( a ≥ ) Đặt b = x + ( b ≥ ) 0,25 Ta có 2x − = b2 − ; x − = a2 − ; x − = − a + b Do ( 2) ⇔ (b2 − ) a − ( a2 − ) b = (b2 − a ) ⇔ ( a − b ) − ab ( a − b ) − ( a − b ) = 0,25 ⇔ ( a − b ) 3 ( a + b ) − ab − = ⇔ ( a − b )( a − 3)( − b ) = a = b x =1 ⇔ b = ⇔ x = a = x = 0,25 So sánh điều kiện, ta có nghiệm hệ phương trình ( x; y ) = {(1;1) , ( 3;3 ) , ( 5;5 )} 10 Tìm giá trị lớn biểu thức P = Đặt x = az ( a > 0, b > ) , y = bz ta x y z + + x−y y−z z−x có xy + yz = z 2 x ≤ z 1,00 abz + bz = z ⇔ 2az ≤ z b= ab + b = a +1 ⇔ ⇔ 2a ≤ 0 < a ≤ a a Khi P = + + a − b b −1 − a a a = + + 2 a− −1 − a a +1 a +1 0,25 0,25 a − 2a − = a +a−2 Xét hàm số f ( a ) = Ta có f ' ( a ) = a − 2a − 1 , a ∈ 0; a +a−2 2 3a + 8a + 10 (a + a − 2) 1 > 0, ∀ a ∈ 0; 2 1 Suy f ( a ) hàm số đồng biến với mọ i a ∈ 0; 2 Sưu tầm trình bày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 27 1 27 Do f ( a ) ≤ f = hay P ≤ , ∀a ∈ 0; 2 2 z a= x= 27 2 Vậy max P = , đạt ⇔ b = y = 4z 3 0,25 ĐỀ Câu 1(1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x − x + 2x +1 có đồ thị (H) tìm đồ thị (H) điểm M, biết x −1 tiếp tuyến với đồ thị (H) điểm M cắt hai tiệm cận A B, IA = IB ( I giao điểm hai đường tiệm cận) Câu 3(1,0 điểm) Câu (1,0 điểm) Cho hàm số y = a Cho số phức z thỏa mãn: (1 + 2i ) z + − 3i = + 2i Hãy tìm phần thực, phần ảo số phức z b Giải phương trình: log ( x − 1) + log (2 x + 3) = −1 Câu (1,0 điểm) Tính tích phân I = ∫ ( x + e x ) xdx Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Cho điểm A (1; −2;3) đường thẳng ∆ có x = −1 + 2t phương trình: y = + t z = −3 − t Viết phương trình mặt phẳng (α ) qua điểm A vng góc với đường thẳng ∆ Tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ∆ với mặt phẳng (α ) Câu (1,0 điểm) a Giải phương trình cos 3x + 2sin x − cos x = b Cho n số nguyên dương thỏa 5Cn1 = Cn3 Tìm hệ số số hạng chứa x khai triển nhị thức (2 + x) n Câu (1,0 điểm) Cho hình chóp SABCD có đáy ABCD hình thang vng A B, hình chiếu vng góc S lên mặt đáy trùng với trung điểm H AD SC = a 3; AB = BC = a; AD = 2a Góc tạo đường SC đáy 600 Tính thể tích khối chóp SABCD ; A(2; −3); B (3; −2) Tìm tọa độ điểm C biết C nằm đường thẳng d có phương trình: 3x − y − = Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy Cho tam giác ABC có diện tích Sưu tầm trình bày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG f '( x ) = −1 ( x − 2) 145 , ∀x ≠ 0.25 Hệ số góc tiếp tuyến M k = f '(1) = −1 0.25 Phương trình tiếp tuyến M: y = −1( x − 1) + ⇔ y = − x + 0.25 a) Cho tan α = Tính giá trị biểu thức: A = 3sin α − cos α 5sin α + cos α ( tan α − 2) + tan α ( tan α − 2) 3sin α − 2cos α α cos = = Ta có: A = 5sin α + 4cos α tan α + tan α + 0.25 (1 + ) ( 3.3 − ) = Thay tan α = vào ta được: A = 0.25 ( (1,0đ) 0.5 5.3 + b) Giải phương trình: x 2 − x −4 ) 70 139 = 4x = x ⇔ x − x −4 = 22 x ⇔ x − x − = x x = −1 ⇔ x2 − 3x − = ⇔ x = Ta có: x − x−4 0.5 0.25 0.25 Vậy phương trình có nghiệm x = −1; x = π Tính tích phân I = ∫ ( x + 1) cos xdx (1,0đ) u = x + du = 2dx ⇒ Đặt dv = cos xdx v = sin x π π I = ( x + 1) sin x − ∫ sin xdx 1.0 0.25 0.25 π I = π + + 2cos x 02 0.25 I = π + + ( − 1) = π − 0.25 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (1; 0; −2 ) , mặt phẳng x −1 y +1 z = = Viết phương 1.0 trình mặt phẳng (Q) qua A song song với mặ t phẳng (P) tìm tọa độ giao điểm đường thẳng ∆ với mặt phẳng (P) Mặt phẳng (Q) song song với (P) có dạng: x − y + z + D = ( D ≠ ) 0.25 ( P ) : x − y + z + = đường thẳng ∆ : (1,0đ) Vì A ∈ (Q ) ⇒ − − + D = ⇔ D = Vậy (Q ) : x − y + z + = Gọi M giao điểm đường thẳng ∆ mặt phẳng (P) M ∈ ∆ ⇒ M (1 + 3t ; −1 + 4t ; 2t ) M ∈ ( P ) ⇒ (1 + 3t ) − ( −1 + 4t ) + 2.2t + = ⇔ 6t + 12 = ⇔ t = −2 Vậy M ( −5; −9; −4 ) Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 0.25 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 146 14 a) Tìm hệ số chứa x khai triển: x + x 0.5 14 (1,0đ) 14 2 Ta có: x + = ∑ C14k x14−3k 2k x k =0 0.25 Số hạng chứa x khai triển ứng với k thỏa mãn 14 − 3k = ⇔ k = Hệ số cần tìm C143 23 = 2912 0.25 b) Trong hộp đựng 40 viên bi gồm bi đỏ, 15 bi vàng 20 bi xanh Một người lấy ngẫu nhiên viên bi hộp Tính xác suất để chọn 0.5 viên bi có đủ ba màu (đỏ, vàng, xanh) số viên bi xanh khơng Không gian mẫu: Ω = C 40 Gọi A biến cố “Chọn viên bi có đủ ba màu số viên bi xanh khơng 0.25 4” 4 A = C20 C52 C151 + C20 C51 C152 + C 20 C51.C15 = 4433175 Xác suất cần tìm là: P( A) = A 915 = Ω 3848 0.25 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông A, mặt bên SAB tam giác nằm mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M điểm thuộc cạnh SC cho MC = MS Biết AB = 3, BC = 3 Tính 1.0 thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách hai đường thẳng AC BM Gọi H trung điểm cạnh AB ⇒ SH ⊥ AB (vì ∆SAB đều) Vì ( SAB ) ⊥ ( ABC ) ⇒ SH ⊥ ( ABC ) 0.25 3 ; AC = BC − AB = 2 Thể tích khố i chóp S.ABC: Ta có: SH = (1,0đ) 1 SH S ABC = SH AB AC = (đvtt) Từ M kẻ đường thẳng song song với AC cắt SA N ⇒ AC / / MN ⇒ AC / /( BMN ) VS ABC = AC ⊥ AB ⇒ AC ⊥ ( SAB ) ⇒ MN ⊥ ( SAB ) AC ⊥ SH 0.25 0.25 ⇒ ( BMN ) ⊥ ( SAB ) theo giao tuyến BN Ta có: AC / /( BMN ) ⇒ d ( AC , BM ) = d ( AC , ( BMN ) ) = d ( A, ( BMN ) ) = AK với K hình chiếu vng góc A BN Ta có: NA MC 2 3 = = ⇒ S ABN = SSAB = AN = SA = SA SC 3 2S 21 BN = AN + AB − AN AB.cos 600 = ⇒ AK = ABN = BN Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 147 21 (đvđd) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC vuông cân A Gọi M trung điểm BC, G trọng tâm tam giác ABM Gọi D ( 7; −2 ) điểm nằm Vậy d ( AC , BM ) = MC cho GA = GD Tìm tọa độ điểm A biết AG có phương trình x − y − 13 = Ta có: d ( D, AG ) = 3.7 − (−2) − 13 32 + (−1)2 1.0 = 10 ∆ABM vuông cân ⇒ GA = GB = GD ⇒ G tâm đường tròn ngoại tiếp ∆ABD 0.25 (1,0đ) Ta có: AGD = ABD = 900 ⇒ ∆GAD vng cân G Do GA = GD = d ( D , AG ) = 10 0.25 ⇒ AD = 20 a = 2 Gọi A ( a; 3a − 13 ) Khi AD = 20 ⇔ ( a − ) + ( 3a − 11) = 20 ⇔ a = Vậy có hai điểm thỏa u cầu tốn: A ( 3; −4 ) A ( 5; ) 2 x − x + x − = x (2 − y ) − y (1) Giải hệ phương trình: x + = 14 − x − y + (2) Ta thấy x = không nghiệm hệ chia hai vế (1) cho x3 ta được: (1) ⇔ − + − = 2(2 − y) − y x x x 0.25 0.25 1.0 0.25 1 1 ⇔ − + 1 − = ( − y ) − y + − y x x (1,0đ) (*) Xét hàm f (t ) = t + t đồng biến ℝ 0.25 = − y ( 3) x Thay (3) vào (2) ta được: ( *) ⇔ − x + = 15 − x + ⇔ x + = + − 15 − x = 1 ⇔ ( x − 7) + x+2 +3 − x + 15 + 1 ⇔ x = + x + + − x + 15 + ( ( =0 x + 15 0.25 ) x + 15 ) >0 Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 148 111 Vậy hệ cho có nghiệm ( x; y ) = 7; 98 Cho a, b, c số thức dương Tìm giá trị nhỏ biểu thức P= 1.0 a + 3c 4b 8c + − a + 2b + c a + b + 2c a + b + 3c x = + 2b + c a = − x + y − 3z Đặt y = a + b + 2c ⇔ b = x − y + z z = a + b + 3c c = − y + z 10 (1,0đ) 0.25 Do ta cần tìm giá trị nhỏ P= − x + y x − y + z −8 y + z x y y z + − = + + + − 17 x y z x z y y P≥2 4x y y 4z +2 − 17 = 12 − 17 y x z y ( ) 0.25 0.25 ( ) Dấu đẳng thức xảy b = + a; c = + a 0.25 Vậy giá trị nhỏ P 12 − 17 ĐỀ 29 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số y = −x + 4x − Câu (1,0 điểm) Cho hàm số: y = 2x + Viết phương trình tiếp tuyến (C ) điểm (C ) có x −1 tung độ Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: log ( x − 3) − log (6 x − 10) + = b) Cho số phức z = + 3i Tìm số nghịch đảo số phức: ω = z + z z Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau: I = ∫ 2x +1 dx x +1 Câu (1,0 điểm) Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −1;0 ) mặt phẳng ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình mặt cầu ( S ) qua A có tâm I hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (P) Câu 6: ( 1,0 điểm) a) Tính giá trị biểu thức P = 5sin a.sin 2a + cos 2a , biết cos a = 20 b) Tìm số hạng chứa x khai triển P ( x ) = x − , x ≠ x Câu 7: ( 1,0 điểm) Cho hình chóp S ABC có tam giác ABC vng A , AB = AC = a , I trung điểm SC , hình chiếu vng góc S lên mặt phẳng ( ABC ) trung điểm H BC , mặt phẳng ( SAB ) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khố i chóp S ABC tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng ( SAB ) theo a Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 149 Câu 8: ( 1,0 điểm) Trong mặt phẳng chứa hệ trục tọa độ Oxy cho hình thang ABCD vuông A D, đáy lớn cạnh CD; đường thẳng chứa cạnh AD có phương trình x − y = , đường thẳng chứa cạnh BD có phương trình x − y = ; góc tạo đường thẳng BC AB 450 Biết diện tích hình thang ABCD 24 Viết phương trình đường thẳng BC, biết điểm B có hồnh độ dương x + + x − ≥ x + 15 Câu 9: (1,0 điểm) Giải bất phương trình: Câu 10: (1,0 điểm) Cho a, b, c ba số thực dương Chứng minh rằng: a + b2 + c + 1 1 + + ≥ + + 2 4b 4c 4a a+b b+c c+a –––HẾT––– Câu Câu ĐÁP ÁN Điểm Tập xác định: D = ℝ Giới hạn vô cực: lim y = −∞; lim y = −∞ x →−∞ 0,25 x →+∞ Đạo hàm: y ′ = −4x + 8x x = y ′ = ⇔ −4x + 8x = ⇔ 4x(−x + 2) = ⇔ x = ± 0,25 Bảng biến thiên x –∞ y′ y − +0 –∞ – +∞ + – 0,25 –∞ –3 Giao điểm với trục hoành: x = cho y = ⇔ −x + 4x − = ⇔ ⇔ x = Giao điểm với trục tung: cho x = ⇒ y = −3 y Đồ thị hàm số: –1 – – x = ± x = ± 3 O –3 x y = 2m 2m Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Câu (C): y = 150 2x + x −1 Gọi ( x0 ; y0 ) tọa độ tiếp điểm M ⇒ Phương trình tiếp tuyến có dạng: y − y0 = f ' ( x0 )( x − x0 ) Ta có: y = ⇔ f ′(x ) = 2x + x0 − = ⇔ 2x + = 5x − ⇔ x = −3 = −3 (2 − 1)2 0.25 0.25 Phương trình tiếp tuyến cần tìm: y − = −3(x − 2) ⇔ y = −3x + 11 Câu 0.25 0.25 a) Giải phương trình: log ( x − 3) − log (6 x − 10) + = (1) x2 − > ĐK : ⇔ x> 6 x − 10 > PT (1) ⇔ log ( x − 3) + = log (6 x − 10) 0.25 ⇔ log 2( x − 3) = log (6 x − 10) ⇔ 2( x − 3) = x = 10 x = 1( L) ⇔ x − 3x + = ⇔ x = 2(n) Vậy PT có nghiệm x = b) Cho số phức z = + 3i Tìm số nghịch đảo số phức: ω = z + z z Với z = + 3i , ta có : ω = z + z z = (1 + 3i )2 + (1 + 3i )(1 − 3i ) = + 6i + 9i + 12 − 9i = + 6i 1 − 6i − 6i − 6i = = = = = − i ω + 6i (2 + 6i)(2 − 6i) − 36i 40 10 10 Câu Tính tích phân sau: I = ∫ I =∫ 0.25 0.25 0.25 2x +1 dx x +1 2x +1 dx = ∫ − dx x +1 x +1 0 1 0 I = ∫ 2dx − ∫ dx x +1 I = ( x − ln ( x + 1) ) 0,25 0,25 I = − ln 0,25 0,25 Trong không gian Oxyz , cho điểm A ( 2; −1;0 ) mặt phẳng Câu ( P ) : x − y + z + = Lập phương trình mặt cầu ( S ) qua A có tâm I hình chiếu vng góc điểm A mặt phẳng (P) (P) có VTPT n = (1; −2;1) , d qua A vng góc với (P) có VTCP u = n = (1; −2;1) Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 151 x = + t Phương trình đường thẳng d : y = −1 − 2t , I ∈ d ⇒ I ( + t ; −1 − 2t ; t ) z = t 0,25 I ∈ ( P ) ⇒ + t − ( −1 − 2t ) + t + = ⇔ t = −1 Nên I (1;1; −1) 0,25 2 Mặt cầu (S) có R = IA = có phương trình ( x − 1) + ( y − 1) + ( z + 1) = Câu a) Tính giá trị biểu thức P = 5sin a.sin 2a + cos 2a , biết cos a = Ta có : cos 2a = cos a − = − 16 , sin a = − cos a = 25 25 Vậy P = 5sin a.sin 2a + cos 2a = 10 sin a.cos a + cos 2a = 0,25 0,25 89 25 0,25 20 b) Tìm số hạng chứa x khai triển P ( x ) = x − , x ≠ x 20 Ta có : P ( x ) = ∑ C20k ( x ) 20 − k k =0 k 20 k − = ∑ C20k ( −1) 220 −k x 20 −3k x k =0 Ta phải có: 20 − 3k = ⇔ k = Vậy số hạng chứa x : −C20 215.x 0,25 0,25 Câu S I M B C H 60 a a K A Gọi K trung điểm AB ⇒ HK ⊥ AB (1) Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ AB (2) Từ (1) (2) suy ⇒ AB ⊥ SK Do góc ( SAB ) với đáy góc SK HK SKH = 60 Ta có SH = HK tan SKH = 0.25 a 1 a3 Vậy VS ABC = S ABC SH = AB AC SH = 3 12 Vì IH / / SB nên IH / / ( SAB ) Do d ( I , ( SAB ) ) = d ( H , ( SAB ) ) Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 152 0.25 Từ H kẻ HM ⊥ SK M ⇒ HM ⊥ ( SAB ) ⇒ d ( H , ( SAB ) ) = HM Ta có: HM = SH + HK = 3a + a = 16 3a ⇒ HM = a 0.25 Câu 3x − y = x = *Tọa độ điểm D nghiệm hệ : ⇔ ⇒ D(0; 0) x − 2y = y = 0.25 AD : x − y = có vtpt n1 (3; −1) ; BD : x − y = có vtpt n2 (1; −2) cos( AD, BD) = cos ADB = ⇒ ADB = 450 ⇒ AD = AB 0.25 Vì ( BC , AB ) = 450 nên BCD = 450 ⇒ ∆BCD vuông cân B ⇒ DC = AB AB *Ta có : S ABCD = ( AB + CD) AD = = 24 ⇒ AB = ⇒ BD = 2 b B ∈ BD : x − y = ⇒ B (b; ) , ( b > ) BD = b + 10 10 b2 10 =4 2⇒b= ⇒ B ; 5 0.25 0.25 *Đường thẳng BC ⊥ BD qua B ⇒ BC : x + y − 10 = Câu x + + x − ≥ x + 15 Đk: x ∈ R BPT(1) ⇔ ⇔ (1) x + − + x − + − x + 15 ≥ x2 − + 3(2 x − 1) + − x2 ≥0 4x + + + x + 15 2x + 2x + +3− ⇔ (2 x − 1) ≥ 2 + x + 15 4x + + 0.25 (2) Ta có: x + + x − ≥ x + 15 ⇒ x − ≥ x + 15 − x + > ⇒ x > ⇒ 2x + > x + + < + x + 15 nên 2x + 2x + +3− >0 2 4x + + + x + 15 BPT(2) ⇔ x > 0.25 Vì Sưu tầm trình bày: Page: TOÁN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0.25 0.25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 153 Vậy BPT(1) có nghiệm là: x > Câu 10 Ta có: a2 b2 c2 VT = + + + + + 4b 4c 4c a 4a 4b a b c 1 a b c + 2+ = 2+ + 2 2b 2c 2a 2b c a a b c Mặt khác: + ≥ ; + ≥ ; + ≥ 2 b a b c b c a2 c a a b c 1 Cộng theo vế BĐT ta được: + + ≥ + + b c a a b c ≥ 0.25 0.25 Suy ra: 1 1 1 1 VT ≥ + + = + + + + + a b c a b b c c a ≥ 0.25 1 4 1 + + = + + = VP a + b b + c c + a a + b b + c c + a Đẳng thức xảy khi: a = b = c = 0.25 ĐỀ 30 Câu (1,0 điểm) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + Câu (1,0 điểm) Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số y=f(x)=x3–3x2+4 đoạn [–2;1] Câu (1,0 điểm) a) Giải phương trình: log x + log x − = b) Tính mơ đun số phức z biết z = −1 + 2i + i + 1+ i e Câu (1,0 điểm) Tính tích phân sau : I = x ln xdx ∫ Câu (1,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) : x + y + z − x − 2y + 4z − 15 = mặt phẳng (P): 2x–y+2z+13=0 Tìm tâm bán kính mặt cầu (S) Viết phương trình mặt phẳng (Q) song song với mặt phẳng (P) đồng thời tiếp xúc với mặt cầu (S) Câu (1,0 điểm)a) Giải phương trình: sin2x+4cos ( π − x ) = b) Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ, đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 154 Câu (1,0 điểm) Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 1200 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 600 Tính thể tích khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ đường thẳng BC đến mp(AB’C’) theo a Câu (1,0 điểm) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(−1 ; 2) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD DC; K giao điểm BN CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình: 2x + y − = điểm B có hồnh độ lớn x − 2x + 2x − x≥ x − 2x + 2x Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: (x ∈ R ) Câu 10 (1,0 điểm) Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức P= bc + 3a + bc ca + 3b + ca ab 3c + ab −−−−−−−−−−−−−Hết−−−−−−−−−−−−− ĐÁP ÁN CÂU Câu (1,0 điểm) ĐIỂM Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số y = x4 − 2x2 + Tập xác định : D = R y’ = 4x3− 4x y’ = ⇔ x = 0, x = ± Hàm số đồng biến khoảng (−1 ; 0) ; (1 ; +∞ ) Hàm số nghịch biến khoảng (−∞ ; −1) ; (0 ; 1) Điểm cực đại (0 ; 4) Điểm cực tiểu (−1 ; 3), (1 ; 3) 0,25 0,25 lim y = +∞ x →±∞ Bảng biến thiên x −1 −∞ − y’ + +∞ +∞ − + 0,25 +∞ y 3 Đồ thị 0,25 Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Câu (1,0 điểm) f ' (x) = 3x − 6x 0,25 x = ∈ ( −2;1) f ' (x) = ⇔ x = ∉ ( −2;1) 0,25 f ( −2 ) = −16;f ( ) = 4; f (1) = 0,25 max f (x) = = f (0); f (x) = −16 = f (−2) 0,25 [ −2;1] [−2;1] Câu (1,0 điểm) 155 a/ Giải phương trình: log x + log x − = Điều kiện : x>0 log x = log 52 x + log x − = ⇔ log x = −2 0,25 x =5 ⇔ x = 25 Vậy phương trình cho có hai nghiệm: x=5, x=1/25 b) Tính mơ đun số phức z biết z = z= −1 + 2i + i + 1+ i −1 + 2i + i ( −1 + 2i) (1 − i ) + i + = + = 1− i 1+ i (1 + i) (1 − i ) 2 z = 12 + ( −1) = Câu (1,0 điểm) 0,25 0,25 0,25 e Tính tích phân sau : I = x lnxdx ∫ u = ln x du = Đặt ⇒ 3dx dv = x v= dx x x4 0,25 e e1 1 I = x ln x − ∫ x dx 4 x 0,25 e4 e I= − x 16 0,25 Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Câu (1,0 điểm) 156 3e + = 16 0,25 Mặt cầu có tậm I(1/2;1;–2) bán kính R=3 (Q)//(P) nên (Q) có phương trình dạng : 2x–y+2z+D=0, D ≠ 13 0,25 0,25 (Q) tiếp xúc với (S) nên d ( I,(Q) ) = R ⇔ Câu (1,0 điểm) −4 + D =3 D = 13 ⇔ D−4 =9 ⇔ D = −5 Do D ≠ 13 nên nhận D=–5 Vậy (Q):2x–y+2z–5=0 a/ Giải phương trình: sin2x+4cos ( π − x ) = sin2x+4cos ( π − x ) = ⇔ sin x.cos x − cos x = ⇔ cos x ( sin x − ) = ⇔ cos x = ⇔ x = π + kπ, k ∈ Z 0,25 0,25 0,25 0,25 b/ Đội văn nghệ lớp có bạn nam bạn nữ Chọn ngẫu nhiên bạn tham gia biểu diễn, tìm xác suất để bạn chọn có nam nữ,đồng thời số bạn nam nhiều số bạn nữ Số cách chọn bạn bất kì: C12 = 729 Để chọn bạn thỏa yêu cầu tốn, ta có hai khả sau: 0,25 – TH1: chọn bạn nam bạn nữ, có: C5 C = 35 cách chọn – TH2: Chọn bạn nam bạn nữ, có: C5 C = 210 cách chọn Vậy xác suất cần tìm P = Câu (1,0 điểm) 35 + 210 245 = 729 729 0,25 Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 0 120 Mặt phẳng (AB’C’) tạo với đáy góc 60 Tính thể tích khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ khoảng cách từ đường thẳng BC đến mp(AB’C’) theo a Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 157 K B C a a A H K' B' C' A' Kẻ A’K’ ⊥ B’C’ B’C’ ⊥ AA’ ⇒ AK’ ⊥ B’C’ ⇒ góc (AB’C’) đáy góc AKA ' = 600 a A’K’ = a.sin300 = a ⇒ AA’ = A’K.tan600 = 2 0,25 Thể tích khố i lăng trụ ABC.A’B’C’ : VABC.A 'B'C' = AA '.S∆ABC = 3.a 0,25 Do BC // (AB’C’) nên d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) (AA’K’) ⊥ (AB’C’) Trong mp(AA’K’) dựng A’H ⊥ AK’ ⇒ A’H ⊥ (AB’C’) ⇒ d(BC, (AB’C’)) = d(B, (AB’C’)) = d(K, (AB’C’)) = d(A’, (AB’C’))= A’H Trong ∆AA’K’ vng A’ ta có: A 'H Câu (1,0 điểm) = A 'K ' + A 'A ⇒ A’H = a 0,25 0,25 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình vng ABCD có A(−1 ; 2) Gọi M, N theo thứ tự trung điểm cạnh AD DC; K giao điểm BN CM Viết phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BMK, biết BN có phương trình: 2x + y − = điểm B có hồnh độ lớn Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG 158 A B H M K D C N E Gọi E giao điểm BN AD ⇒ D trung điểm AE Kẻ AH ⊥ BN H ⇒ AH = d(A, BN) = Trong tam giác vuông ABE: = AH AB2 + AE = 0,25 4AB2 ⇒ AB = B ∈ BN ⇒ B(b ; − 2b), với b > Mà AB = ⇒ B(3 ; 2) Phương trình AE : x + = ⇒ E(−1 ; 10) ⇒ D(−1 ; 6) ⇒ M(−1 4) Gọi I tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BKM ⇒ I trung điểm đoạn thẳng BM ⇒ I(1 ; 3) Bán kính đường trịn ngoại tiếp ∆BKM R = BM = 0,25 0,25 0,25 Vậy phương trình đường trịn ngoại tiếp tam giác BMK (x − 1)2 + (y − 3)2 = Câu (1,0 điểm) Giải bất phương trình: x≥ x − 2x + 2x − x − 2x + 2x (x ∈ R ) Điều kiện: x>0, BPT tương đương: ( x + 1)( x − 1) x≥ x ( x − 1) + 1 Xét hàm số f (t) = f ' (t) = ( ) ⇔ x x +1 ( x − 1) ≥ (1) ( x − 1) + 0,25 t3 R t2 + 0,25 t + 3t ≥ ∀t ∈ R (t + 1) 0,25 f(t) liên tục R nên f(t) đồng biến R (1) có dạng: f ( x ) ≥ f ( x − 1) ⇔ x ≥ x −1 ⇔ < x ≤ 3+ Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG Câu 10 (1,0 điểm) 159 Cho a, b, c số dương a + b + c = Tìm giá trị lớn biểu thức bc ca ab P= + + 3a + bc 3b + ca 3c + ab Vì a + b + c = ta có bc 1 bc bc bc ≤ + = = a+b a +c 3a + bc a(a + b + c) + bc (a + b)(a + c) 1 + ≥ Vì theo BĐT Cơ–Si: a+b a+c (a + b)(a + c) 0,25 dấu đẳng thức xảy ⇔ b = c Tương tự ca ca 1 ≤ + b+a b+c 3b + ca ab ab 1 ≤ + 3c + ab c + a c + b bc + ca ab + bc ab + ca a + b + c + + = = , Suy P ≤ 2(a + b) 2(c + a) 2(b + c) 2 Đẳng thức xảy a = b = c = Vậy max P = a = b = c = Sưu tầm trình bày: Page: TỐN HỌC BẮC – TRUNG – NAM https://www.facebook.com/toanhocbactrungnam 0,25 0,25 0,25 ... 32 ĐỀ 37 ĐỀ 42 ĐỀ 10 49 ĐỀ 11 54 ĐỀ 12 60 ĐỀ 13 66 ĐỀ 14 71 ĐỀ 15 77 ĐỀ... GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÌNH DƯƠNG MỤC LỤC MỤC LỤC ĐỀ ĐỀ ĐỀ 14 ĐỀ 19 ĐỀ 23 ĐỀ 27 ĐỀ ... 82 ĐỀ 17 88 ĐỀ 18 95 ĐỀ 19 98 ĐỀ 20 104 ĐỀ 21 109 ĐỀ 22 114 ĐỀ 23 120 ĐỀ 24