Bài toán 2 : Tam giác ABC có 2 đỉnh B,C cố định còn đỉnh A chạy trên mọtt đường tròn (O;R) cố định không có điểm chung với đường thẳng BC. Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác... B[r]
(1)GIÁO ÁN: PHÉP VỊ TỰ I.Mục tiêu:
1 Về kiến thức: Qua học HS nắm được:
- Khái niệm phép vị tự
- Các tính chất phép vị tự
2 Về kĩ năng:
- Tìm ảnh điểm, ảnh hình qua phép vị tự - Hai phép vị tự khác nào?
- Biết mối quan hệ phép vị tự phép biến hình khác - Xác định phép vị tự biết ảnh tạo ảnh điểm
3 Thái độ:
- Liên hệ với nhiều vấn đề có thực tế với vị tự - Có nhiều sáng tạo hình học
- Hứng thú học tập, tích cực phát huy tính độc lập học tập II Chuẩn bị:
GV:
- Hình vẽ 19 đến 22 SGK - Thước kẻ, phấn màu,
HS:
- Đọc trước nhà, ơn tập lại số tính chất dời hình biết III Phương pháp dạy học:
- Đặt vấn đề - Quan sát - Vấn đáp IV Bài mới:
1 Ổn định: Kiểm tra sĩ số lớp
2 Kiểm tra cũ:
- Lồng giảng
3 Bài mới:
(2)Một số học sinh nêu định nghĩa theo suy nghĩ thân
Ghi định nghĩa (SGK)
Thực hiên làm ví du Tỉ số vị tự k = 1.5
Nêu vấn đề:
Phép đối xứng tâm O phép vị tự tâm O tỉ số -1
Hãy nêu định nghĩa phép vị tự theo suy nghĩ em
Nêu định nghĩa phép vị tự
Ví du:Trên hinh bên phép vị tự tâm O Nếu cho OM=4, OM’=6 tỉ số vị tự là?
1 Định nghĩa:
P'
N' M'
O P M
N
Cho điểm O cố định số k
khơng đởi,k¹ 0,phép
biến hình biến điểm M thành điểm M’ cho OM ' kOMuuuur= uuur gọi phép vị tự tâm O tỉ số k
Chú ý quan sát
EF đường trung bình tam giác
Hai tỉ số
và
2
Phép vị tự tâm A tỉ số
2
Ghi nhận xét:
Ví du:Cho ΔABC,gọi E,F lần lượt trung điểm AB,AC.So
sánh AE
AB AF AC?
Hãy kết luận:
AE AB=
AF AC
F E
A
(3)Tìm mối quan hệ giữa MN M’N’
Giải:
OM ' kOM;ON ' kON
M ' N ' ON ' OM '
kON kOM
k(ON OM) kMN
Suy ra: M ' N '
MN = k
Ghi tính chất
Sử dung hình
Hãy tính tỉ số: M ' N '
MN
Nêu tính chất
2 Tính chất:
N M
O
M'
N'
Tính chất 1:Nếu phép vị tự tỉ số k biến điểm M N lần lượt thành điểm M’
N’ M ' N ' kMN
M’N’=k|MN|
Ta cần chứng minh: A 'B' tA 'C '
0<t<1
Gọi O tâm vị tự tỉ số k,
ta có: A 'B' kAB
, A 'C ' kAC
Do đó: A 'B' tA 'C '
1
A 'B' t A 'C '
k k
A 'B' tA 'C '
=> đpcm Ghi tính chất vào
Cho điểm A,B,C thẳng hàng.Phép vị tự tỉ số k biến A,B,C thành A’,B’,C’.Ta cần chứng minh A’,B’,C, thẳng hàng
Để chứng minh B’ nằm giữa A’ C’ cần chứng minh điều gì? Hãy chứng minh điều
Nêu tính chất
Nhận xét:Phép vị tự biến đường thẳng song song (hoặc trùng) với đường thẳng đó,biến tia thành tia,biến đoạn thẳng thẳng mà độ dài nhân lên với |k| …
(4)Học sinh chứng minh: Với M điểm Gọi M’ ảnh M qua phép vị tự.Khi đó:
I’M’=|k|IM
Bởi vậy,IM=R I’M’=|k|R M’ thuộc đường tròn (I’,R’) với R’=|k|R
Vậy ta có đpcm
Bài tốn:Giả sử V phép vị tự tâm O tỉ số k (I,R).Gọi I’ ảnh I.Tìm ảnh (I,R)
3.Ảnh đường tròn qua phép vị tự:
Định lý:Phép vị tự tỉ số k biến đường tròn có bán kính R thành đường tròn có bán kính |k|R O' M'' I' M' I O M
-Đọc sgk trang 25,26
-Nắm việc xác định tâm vị tự đường tròn qua trường hợp sgk
Giáo viên nêu toán: Cho hai đường tròn (I,R) (I’,R’) Hảy tìm phép vị tự biến đường tròn (I,R) thành đường tròn (I’,R’)
Nhận xét:Hai đường tròn đồng tâm tâm vị tự tâm đường tròn
Tâm vị tự hai đường tròn khác tâm, khác bán kính giao hai tiếp tuyến chung hai tiếp tuyến chung hai đường tròn (Hai tâm vị tự O O’) Trường hợp I khác I’ R = R’
4 Tâm vị tự hai đường tròn
Cách tìm tâm vị tự hai đường tròn
M I M' O' M'' I' M' I O M
O1 I'
I M
(5)(6)Bài toán 3: Cho tam giác ABC với trọng tâm G, trực tâm H tâm đường tròn ngoại tiếp O Chứng minh GH2GO(như điểm G, H, O không
trùng chúng cùng nằm đường thẳng gọi đường thẳng Ơ-le ) Hoạt động HS Hoạt động GV Nội dung
HS lắng nghe, hiểu nhiệm vu
BT1: - gọi I trung điểm BC
- G trọng tâm tam giác ABC nào? - Gợi mở để hs đưa nhận xét quỹ tích G ảnh đường tròn (O;R) qua phép vị tự tâm I, tỉ số k= 1/3
- u cầu Hs xác định quỹ tích
5) Ứng dung phép vị tự
O B
C I O'
A G
HS bước tiến hành hoạt động HD GV hoạt động thành phần 1), 2), 3) sgk để chủ động lĩnh hội tri thức
- Hs trả lời câu hỏi sgk/29
BT2:- Cho Hs tiến hành HĐ2 sgk/29
- Gv chủ động dành thời gian để Hs thực hoạt động thành phần 1), 2), 3) sgk hướng dẫn
- Gv quan sát, hướng dẫn điều chỉnh sai sót -Gọi hs trả lời,cho hs khác nhận xét
- Gv tổng kết
- Cho hs trả lời CH2 sgk/29
Đưa nhận xét: Phép vị tự biến trực tâm thành trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp thành tâm đường tròn ngoại tiếp, trọng tâm thành trọng tâm
H
G O
C A
B
B'
(7)Hướng dẫn học sinh làm tập còn lại
* Củng cố : Cần nắm định nghĩa, tính chất phép vị tự, biết cách xác định tâm vị tự hai đường tròn, tìm quĩ tích, chứng minh dựa vào phép vị tự
HỆ THỐNG BÀI TẬP PHÉP VỊ TỰ
DẠNG 1:Dựng ảnh điểm,một hình.
Bài 1: Cho tam giác OMN.Dựng ảnh M,N qua phép vị tự tỉ số k mổi trường hợp sau đây:
a)k=3 b)k
= c)k
4
(8)
a) phép vị tự V(O,3) biến M,N lần lượt thành M’,N’ ta có:
OM 'uuuur=3OM,ON ' 3ONuuur uuur= uuur (như hình vẽ)
b)Gọi H K lần lượt ảnh M,N qua phép vị tự tâm O,tỉ số
2 HK
đường trung bình tam giác OMN (như hình vẻ)
c)Gọi P Q lần lượt ảnh M,N qua phép vị tự tâm O,tỉ số k
4
=-
OP 3OM,OQ 3ON
4
=-
=-uur uuur uuur uuur
(như hình vẽ)
Bài 2:Trong mp với hệ tọa độ Oxy,cho tam giác ABC với A(-3,2), B(1,1),
C(-2,4) Xác định ảnh A,B,C qua phép vị tự tâm O,tỉ số k=
3
-
Giải:
Giả sử V(O,
1
-) biến A thành A1,B thành B1,C thành C1
Ta có:
1 1
1 1
OA OA,OB OB,OC OC
3 3
Mà OA ( 3, 2) nên
2 OA (1, )
3
Vậy A1(1;
2
- ).Tương tự 1
1
B ; ,C ;
3 3
æ ổữ ửữ
ỗ- ữ ỗ- ữ
ỗ ữ ỗ ữ
ỗ ỗ
ố ứ ố ø
(9)Bài 1:Cho hai tam giác ABC A’B’C’ khơng có cạnh tương ứng song song: AB//A’B’,BC//B’C’ CA//C’A’.Chứng minh có phép vị tự biến tam giác thành tam
giác Giải:
Vì AB A’B’ song song không nên đường thẳng
AA’ cắt BB’cắt O Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số
k OA '
OA
=
Thì V biến điểm C thành điểm C1
sao cho:A’C1//AC,B’C//BC
Suy C1 trùng với C’.vậy ta có đpcm
Bài 2:Cho hai đường tròn tâm O O’ tiếp xúc ngồi với A.Một dây MN thay đởi đường tròn (O:R) qua điểm B cố định.AM AN lần lượt cắt (O’,R’) M’,N’.Chứng minh đường thẳng M’N’ qua điểm cố định
Giải :
Gọi V phép vị tự tâm A,tỉ số R
k
R '
=- ,V biến đường tròn (O) thành
đường tròn (O’) ta có:
AON
D đồng dạng với DAO'N '
· · · ·
NAO=N'AO=ONA=O'N'A
Suy AN ' AO' R ' AN' kAN
AN = AO = R Þ =
uuur uuur
Do V(N)=N’.Tương tự ta có
V(M)=M’,V(B)=B’.Vì B thuộc MN nên B’ thuộc M’N’,B cố định nên B’ cố định.Vậy M,N thay đởi (O) M’,N’ thay đởi (O’) M’N’ qua điểm B’ cố định
Dạng 3 :Tìm tập hợp điểm
Bài 1:Cho tam giác ABC có cạnh BC cố định.Biết A điểm di động đường thẳng d.Tìm tập hợp của:
a)Trong tâm G tam giác ABC b)trung điểm I cạnh AB Giải:
a)Gọi O trung điểm cạnh BC.Khi O cố định
Ta có OG 1OA
3
=
uuur uuur
.Do ,phép vị tự tâm O,tỉ số k=1
3 biến điểm A thành điểm
(10)Vì ,nếu A di động đường thẳng d G di động đường thẳng d1là
ảnh d qua phép vị tự
Vậy tập hợp điểm G ảnh đường thẳng d1.(xem hình vẻ minh họa)
b)Từ đẳng thức BI 1BA
2
=
uur uuur
ta suy I
là ảnh A qua phép vị tự B,tỉ số
2 nên A di động đường thẳng d I di
động đường thẳng d2 ảnh d qua
phép vị tự trên.Vậy tập hợp điểm I đường thẳng d2
Bai2:Cho hai đường tròn (O;R) (O’;R’) tiếp xúc với A
(R>R’).Một đường thẳng di động qua A cắt (O) B cắt (O’) C.Dựng đường kính BM CN hai đường tròn (O) (O’)
a)Gọi I giao điểm BM CN.Chứng minh CI R '
CM=R R '-
b)Tìm tập hợp điểm K trung điểm CM B thay đởi Giải:
a)Do AM vng góc BC,AN vng góc BC nên A,N,M thẳng hàng.Phép vị tự tỉ
số k R '
R
=- biến BM thành CN.Do BM//CN
Từ ta có:
IC CN
IC AC R '
IM BM
AC CN IM AB R
AB BM
ìïï =
ïïï Þ = =
íï
ï =
(11)Từ IC IC R '
CM=IM IC- =R R '
Hay IC R '
IM =R R '
-b) Ta có IC R 'IM
R
=
uur uur
.Ta suy I tâm vị tự ngồi (O) (O’),do I cố định O,I,O’ thẳng hàng.Từ câu a),ta có:
IM R IM IC R R ' 2IK R R '
IC R ' IC R ' IC R '
+ + +
= Þ = Þ = (Vì IM+IC=2IK)
Do ,Ik R R 'IC
2R '
+ =
ur uur
Như K ảnh C qua phép vị tự tâm I,tỉ số k=R ' R
2R '
+
.Mà C di động đường tròn (O’) nên K di động đường tròn (C) ảnh (O’) qua phép vị tự
Vậy tập hợp điểm I đường tròn (C)
Dạng 4:Dựng hình
Bài 1:Cho đường thẳng d,d’ điểm A không nằm hai đường thẳng đo
́.Hãy tìm điểm M d,điểm N d’ cho ANuuur=2AMuuur
Giải:
-Phân tích:Giả sử dựng hai điểm M,N thoả mãn yêu cầu toán
Ta có:ANuuur=2AMuuur nên phép vị tự
tâm A tỉ số k=2 biến điểm M thành điểm N.Gọi d’’ ảnh d qua phép vị tự trên.Khi N giao điểm d’và d”
-Cách dựng:
Dựng đường thẳng d’’ ảnh đường
thẳng d qua phép vị tự V(A,2)
Dựng giao điểm N d’ d’’
Dựng điểm M ảnh N qua phép vị tự V(A,2)
Khi M,N điểm cần tìm
-Chứng minh:Ta có M thuộc d,N’ thuộc d’ ANuuur=2AMuuur
-Biện luận:Số nghiệm tùy vào số giao điểm d’ d’’
Bài 2:Cho đường tròn (O) điểm A nằm bên đường tròn (O).Dựng đường d qua A,cắt (O) hai điểm M N cho AM=2AN
(12)-Phân tích:giả sử dựng đường thẳng d thõa mãn u cầu tốn
Ta có AM=2ANÞ AMuuur=2ANuuur.Như M ảnh N phép vị tự tâm
A,tỉ số k=2.Gọi (O’) ảnh (O) qua phép vị tự trên.Khi M là giao điểm (O) (O’) -Cách dựng:
Dựng (O’) ảnh (O)
qua phép vị tự V(A,2)
Dựng giao điểm M (O) (O’)
Đường thẳng d qua A,M cắt
(O) N đường thẳng cần dựng -Chứng minh:rõ ràng,theo cách dựng
-Biện luân:Số nghiệm phu thuộc vào số điểm chung (O) (O’)
Bài 3:Cho tam giác ABC có góc B,C nhọn Dựng hình chữ nhật DEFG có EF=2DE với hai đỉnh D,E lần lượt nằm AC,AB
Giải:
Giả sử dựng hình chữ nhật DEFG thõa mãn điều kiện tốn.Khi từ điểm G’ tùy ý đoạn thẳng AB ta dựng hình chử nhật D’F’E’G’ tùy ý có E’F’=2D’E’,hai đỉnh D’,E’ nằm BC
Ta có:
BG GD 2GF GF
BG '=G 'D'=2G 'P '=G 'P ' Do B’,F’,F thẳng hàng
Từ đó,Ta xem hình chữ nhật DEFG ảnh hình chử nhật D’E’F’G’
theo phép vị tự tâm B tỉ số BG
BG '.Từ ta có cách dựng:
-Lấy điểm G’ tùy ý cạnh AB
-Dựng hình chữ nhật D’E’F’G’ có E’F’=2D’E’,hai đỉnh D’,E’ nằm BC -Đường thẳng BF’ cắt AC F.Đường thẳng qua F song song với BC cắt AB G.Gọi E,D lần lượt hình chiếu vng góc F,G lên đường thẳng BC Ta chứng minh DEFG hình cần dựng
Thật vậy,vì GF//G’F’,GD//G’D’ nên GF BG GD
G 'F'=BG '=G 'D '.Từ suy GD G 'D '
(13)