b) Chứng minh rằng các ñường cao của tứ diện và các ñường vuông góc chung của các cặp cạnh ñối ñồng quy tại một ñiểm H (H là trực tâm của tứ diện). c) Gọi G là trọng tâm của tứ diện [r]
(1)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Năm học 1998 - 1999
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 1999 Bài
a) Chứng minh rằng: 0 0 cos200
3 60 50
40
30 +tg +tg +tg =
tg
b) Chứng minh rằng:
2 cos
cos
cos a+ a− a< với a
Từ suy ra:
6 cos
1
cos
1
cos
1 >
− + +
+
+ a a a (nếu vế trái có nghĩa)
Bài
a) Giải phương trình: cos2x−cosx− 3(sin2x+sinx)+4=0 b) Tìm giá trị lớn biểu thức:
C B
A
C B
A
M 2 2 2
2
2
cos cos
cos
sin sin
sin
+ +
+ +
=
Trong A, B, C góc tam giác
Bài Chứng minh tất tam giác nội tiếp đường trịn cho trước, tam giác có diện tích lớn
Bài
ðặt f(n)=(n2 +n+1)2 +1 Xây dựng dãy:
) ( ) ( ) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
n f f
f f
n f f
f f
Un = − với n = 1, 2, 3…
a) Tìm cơng thức số hạng tổng quát U theo n n b) Tìm
∞ → n
Lim (n. U ) n Bài
Cho tứ ABCD có AB vng góc với CD, AC vng góc với BD a) Chứng minh AD vng góc với BC
b) Chứng minh ñường cao tứ diện đường vng góc chung cặp cạnh đối ñồng quy ñiểm H (H trực tâm tứ diện)
c) Gọi G trọng tâm tứ diện ABCD, O tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD Chứng minh ñiểm O, H, G thẳng hàng OG = GH
(2)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH Năm học 2000 - 2001
(ðề thức) Mơn thi: Tốn 11
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/2001 Bài
a) Tìm m để bất phương trình sau với x∈R
3 ) (
9x − m+ x − m− >
b) Tìm m để phương trình:
5
1
3
2
+ − =
− +
m m x x
có nghiệm phân biệt Bài
a) Giải phương trình: sinx−2sin2x−sin3x=2
b)Tam giác ABC thoả mãn:
5
5
= +
+ + +
tgC tgB tgA
C tg B tg A tg
Chứng minh rằng; Tam giác ABC ñều
Bài
a) Cho dãy (Un) có hệ số khác
3
1
1
1
1
1
3 2
≥ ∀ − = +
+ +
−
k u u
k u u u
u u
u k k k
L
Chứng minh dãy ñã cho cấp số cộng
b) Cho ( )
! !
3 !
1 n N*
n
Un = + + +L+ ∈ Chứng minh dãy có giới hạn n→+∞ Bài
a) Cho tứ diện ABCD có M∈CD, mặt phẳng (MAB) chia nhị diện tạo hai mặt phẳng (ABC) (ABD) tứ diện thành phần có số đo góc (mặt phẳng phân giác)
Chứng minh rằng:
) (
1 )
( )
( cos
ABD dt ABC dt ABM
dt = +
α
(2 sα ốđo góc nhị diện cạnh AB)
b) Cho hình chóp n giác đều, R, r bán kính đường trịn ngoại tiếp, nội tiếp hình chóp, Chứng minh rằng:
n r
R
π cos
1 1+
≥
(3)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Năm học 2001 - 2002
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 1999 Bài (3 ñiểm)
a) Giải phương trình: .sin2 2sin2 3(cos2 sin cos ) x x x x
x
tgx − = +
b) Tìm x thoả mãn: 4lg(10x) −6lgx =2.3lg(100x2)
c) khơng dùng bảng số, máy tính, tính giá trị biểu thức: 14
sin 14 sin 14
sinπ + π − π
=
A
Bài (2 ñiểm) Cho tam giác ABC có góc A, B, C a) Tìm giá trị nhỏ biểu thức:
C B
A M
2 cos
1
cos
1
cos
1
− + +
+ +
=
b) Chứng minh ñiều kiện cần ñủ ñể tam giác ABC có hệ thức:
(cot cot cot )
sin sin
1 sin
1 + + − + + =
gC gB
gA C
B A
Bài (1 điểm) dãy số khơng âm a0,a1,a2L thoả mãn: ( )
2
2 2m n n
m n
m a a a
a + + − = +
Với cặp số m,n mà m≥n Tính a2002 biết a1 =1 Bài (2 điểm) Tính giới hạn sau:
a)
1
2 3
1 −
+ − −
→ x
x x Lim
x b) x
x x
Lim x
2002
1 ) 2002
(
0
− − +
→
Bài (2 ñiểm)
Cho tứ diện ABCD có góc phẳng đỉnh D vng DA = a, DB = b, DC = c Gọi H trực tâm tam giác ABC Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện DHAB
(4)SỞ GIÁO DỤC – ðÀO TẠO BẮC GIANG
ðỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH LỚP 11 Năm học 2003 - 2004
(ðề thức) Mơn thi: Tốn
Thời gian: 180 phút Ngày thi: 04/ 04/ 1999 Câu1 (4,5 ñiểm)
Cho phương trình: sin6 −2 (sin3 +cos3 )+ −4 +9=0 m
m x x
m
x (1)
a) m= tính tổng tất nghiệm phương trình (1) thoả mãn điều kiện x∈(0;2004π)
b) Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm
c) Tìm tham số m để phương trình (1) có nghiệm thoả mãn ñiều kiện )
6 ; ( π
∈
x
Câu (5 điểm) a) Tính
2
9
2
1 − +
+ + −
+ =
→ x x
x x x
Lim I
x
b) Cho dãy số thực { }un ñược xác ñịnh bởi: 2
1
1 b, u u (1 2a)u a
u = n+ = n + − n + với ∀n≥1 Với giá trị a, b dãy số hội tụ
Trong trường hợp dãy hội tụ xác ñịnh giới hạn dãy
c) Cho ña thức
2002 2002 2003 2003 2004 2004 )
(x a x a x a x a x a
f = + + +L+ +
thoả mãn f(1) = -1, f(2003) = Chứng minh tồn cấp số cộng ÷a,b,c, a<b<c thoả mãn: f(a) + f(b) + f(c) =
Câu ( 5,5 ñiểm)
a) Cho a,b,c số thực thoả mãn: a + b + c = abc Chứng minh rằng: a(b2 −1)(c2 −1)+b(a2 −1)(c2 −1)+c(a2 −1)(b2 −1)=4abc
b) Chứng minh tam giác ∆ABC ta ñều có:
2 sin
2 cos
sin
2 cos
sin
2 cos
3 <
+ + +
+ +
≤
C C B
B A
A
Câu ( điểm)
Cho hình chóp S.ABCD có cạnh SA = x (0< x< 3), tất cạnh cịn lại có độ dài
a) Chứng minh rằng: SA⊥ SC
b) Gọi h khoảng cách từ S ñến mặt phẳng (ABCD), T diện tích hình thoi ABCD Chứng minh rằng: T.h
4
≤