Tài liệu ĐỀ HSG T8

ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2) MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT NĂM HỌC: 2007-2008 Bài 1: (2đ) a/ Cho x + y = a , x 2 + y 2 = b, x 3 + y 3 = c. Chứng minh a 3 + 2c = 3ab b/ Với giá trị nào của x thì phân thức sau bằng 0 P = 12 1 234 34 +−+− +++ xxxx xxx Bài 2: (1,5đ) Cho biểu thức: Q = 41292 4104 23 2 +++ ++ aaa aa a/ Rút gọn Q. b/ Tìm các giá trị của a để Q đạt giá trị nguyên. Bài 3: (1,5đ) Giải phương trình: 5 2012 4 2011 3 2010 2 2009 1 2008 = + + + + + + + + xxxxx Bài 4: (2đ) Cho tam giác ABC , ba đường cao AA', BB', CC' cắt nhau tại H. Chứng minh: 1 ' ' '' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA Bài 5: (3đ) Cho hình vuông ABCD . M là điểm tùy ý trên đường chéo BD .Kẻ ME vuông góc với AB, MF vuông góc với AD. a/ Chứng minh DE = CF, DE vuông góc với CF. b/ Chứng minh DE, BF, CM đồng quy. c/ Xác định vị trí điểm M trên BD để diện tích tứ giác AEMF lớn nhất. ****************************** j H C' B' A' CB A ĐÁP ÁN TOÁN 8 Bài 1: (2đ) a/ (0,75đ) a 3 + 2c = (x + y) 3 + 2(x 3 + y 3 ) = 3x 3 + 3y 3 + 3x 2 y +3xy 2 (0,25) 3ab = 3(x + y)(x 2 + y 2 ) = 3x 3 + 3y 3 + 3x 2 y +3xy 2 (0,25) Vậy: a 3 + 2c = 3ab (0,25) b/ (1,25đ) Biến đổi được P = )1)(1( )1()1( )1()1( )1)(1( 22 22 222 3 +−+ +−+ = +−+ ++ xxx xxx xxx xx (0,5) Lý luận được mẫu thức > o với mọi x. (0,25) P = 0 ⇔ (x +1) 2 (x 2 - x + 1) = 0 (0,25) ⇔ (x +1) = 0 ⇔ x = -1 (0,25) Bài 2: (1,5đ) a/ Biến đổi Q = )12()2( )12)(2(2 2 ++ ++ aa aa = 2 2 + a (a ≠ -2; a ≠ - 2 1 ) (1đ) Thiếu điều kiện trừ 0,25đ b/ Q nguyên ⇔ a + 2 là ước của 2 ⇔ a+2 { } 2;2;1;1 −−∈ (0,25) ⇔ a { } 4;0;3;1 −−−∈ (0,25) Bài 3: (1,5đ) 5 2012 4 2011 3 2010 2 2009 1 2008 = + + + + + + + + xxxxx ⇔ 0)1 2012 4 ()1 2011 3 ()1 2010 2 ()1 2009 1 ()1 2008 ( =− + +− + +− + +− + +− xxxxx (0,25) ⇔ (x-2008) 0) 2012 1 2011 1 2010 1 2009 1 2008 1 ( =++++ (0,25) Vì 0) 2012 1 2011 1 2010 1 2009 1 2008 1 ( ≠++++ (0,25) Nên x -2008 = 0 ⇔ x = 2008 (0,5) Vậy S = { } 2008 (0,25) Bài 4: (2đ) Hình vẽ 0,25đ ABCHABHACHBC SSSS =++ (0,5) ⇔ 1 =++ ABC HAB ABC HAC ABC HBC S S S S S S (0,5) ⇔ 1 '. '. '. '. '. '. =++ ABCC ABHC ACBB ACHB BCAA BCHA (0,5) M F E D C B A ⇔ 1 ' ' ' ' ' ' =++ CC HC BB HB AA HA (0,25) Bài 5: (3đ) Hình vẽ 0,25đ a/ (1đ) C/m AEMF là hình chữ nhật suy ra MF = AE C/m ∆MFO vuông cân tại F suy ra MF = FD Suy ra AE = FD (0,25) C/m ∆DAE = ∆CDF (c.g.c) suy ra DE = CF (0,25) ADE = DCF ADE+ EDC = 90 0 ⇒ DCF+ EDC = 90 0 (0,25) ⇒ CF ⊥ DE (0,25) b/ (0,75đ) C/m tương tự ta có EC = FB và EC ⊥ FB C/m ∆FEB = ∆CME (EC = FB, ADE = DCF, ME = EB) ⇒ MCE = EFB (0,25) ⇒ MCE+ FEC = EFB+ FEC = 90 0 ⇒ CM ⊥ EF (0,25) ∆CEFcó CM,DE,BF là các đường cao nên chúng đồng qui. (0,25) c/ (1đ) ME+MF=AE+EB=AB không đổi (0,25) ⇒ ME.MF lớn nhất ⇔ ME=MF (0,25) ⇔ AEMF là hình vuông (0,25) ⇔ M ≡ O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2) NĂM HỌC: 2008 - 2009 THỜI GIAN : 90 PHÚT Bài 1: (2,5đ) a/ Phân tích đa thức sau thành nhân tử: x 5 – 5x 3 + 4x b/ Cho a + b = 1. Tính giá trị của biểu thức: A = a 2 (2a - 3) + b 2 (-3 + 2b) Bài 2: (2,5đ) a/ Cho a;b;c ≠ 0, a + b + c =1 và cba 111 ++ = 0 Chứng minh rằng: a 2 + b 2 + c 2 = 1 b/ Giải phương trình: 4 1994 15 1993 16 1992 17 1991 18 −= + + + + + + + xxxx Bài 3: (2đ) Cho biểu thức: M = )1)(1()1)(()1)(( 2222 yx yx xyx y yyx x −+ − ++ − −+ a/ Tìm điều kiện xác định của biểu thức M. b/ Rút gọn biểu thức M. c/ Tìm các cặp số nguyên (x;y) để biểu thức M có giá trị bằng 3. Bài 4: (3đ) Cho hình thang ABCD (AB//CD) và O là giao điểm của hai đường chéo AC, BD. Chứng minh rằng: a/ Diện tích tam giác AOD bằng diện tích tam giác BOC. b/ Tích của diện tích tam giác AOB và diện tích tam giác COD bằng bình phương diện tích tam giác BOC. --------------Hết------------- ĐÁP ÁN TOÁN 8: Bài 1: (2,5đ) a/ (1,5đ) x 5 – 5x 3 + 4x = x(x 4 -5x 2 + 4) (0,25) = x[x 2 ( x 2 -1)-4(x 2 -1)] (0,5) = x( x 2 -1)(x 2 -4) (0,25) = (x-2)(x-1)x(x+1)(x+2) (0,5) b/ (1đ) A = a 2 (2a - 3) + b 2 (-3 + 2b) = 2(a 3 +b 3 )-3(a 2 +b 2 ) (0,25) = 2(a+b)(a 2 –ab + b 2 ) -3(a 2 +b 2 ) (0,25) = 2(a 2 –ab + b 2 ) -3(a 2 +b 2 ) (vì a+b=1) (0,25) = -2ab-a 2 -b 2 = -(a+b) 2 = -1 (0,25) Bài 2: (2,5đ) a/ (1đ) (a + b + c) 2 = a 2 + b 2 + c 2 + 2ab + 2ac + 2bc = 1 (0,25) cba 111 ++ = 0 abc bcacab ++ ⇒ = 0 (0,25) ⇒ ab + ac + bc = 0 (0,25) ⇒ 2ab + 2ac + 2bc = 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 = 1 (0,25) b/(1,5đ) 4 1994 15 1993 16 1992 17 1991 18 −= + + + + + + + xxxx 0 1994 2009 1993 2009 1992 2009 1991 2009 = + + + + + + + ⇔ xxxx (0,5) ⇔ (x+2009) 0) 1994 1 1993 1 1992 1 1991 1 ( =+++ (0,25) ⇔ (x+2009) = 0 (vì )0 1994 1 1993 1 1992 1 1991 1 ≠+++ (0,5) ⇔ x =-2009 (0,25) Bài 3: (2đ) a/ (0,5đ) x ≠ -1, y ≠ 1, x ≠ y (Thiếu,sai 1ĐK trừ 0,25đ) b/ (1đ) M = )1)(1()1)(()1)(( 2222 yx yx xyx y yyx x −+ − ++ − −+ = )1)(1)(( )()1()1( 2222 xyyx yxyxyyxx +−+ +−−−+ (0,25) = [ ] )1)(1)(( )1()1()1)(1( 22 xyyx xyyxyx +−+ −++−+ (0,25) = )1)(1)(( ))()(1)(1( xyyx xyyxyxyx +−+ +−+−+ (0,25) = x – y + xy (0,25) c/ (0,5đ) M = 3 ⇔ x – y + xy = 3 ⇔ (x –1) (y+1) = 2 (0,25)    = = ⇔    =+ =− ⇒ 1 2 21 11 y x y x (loại) Hoặc    −= = ⇔    −=+ −=− 3 0 21 11 y x y x (thỏa) Vậy (x;y) = (0;-3) (0,25) Bài 4: (3đ) Hình vẽ phục vụ câu a (0,5), ( Hình vẽ chưa phục vụ chứng minh (0,25)) a/ (1,25đ) A B M O N D C H K Vẽ AH ⊥ DC, BK ⊥ DC (H,K ∈ DC) )25,0( )25,0( )25,0)(( )25,0(. 2 1 )25,0(. 2 1 BOCAOD DOCBOCDOCAOD BDCADC BDC ADC SS SSSS BKdoAHSS DCBKS DCAHS =⇒ +=+⇒ ==⇒ = = b/ (1,25đ) Vẽ DM ⊥ AC (M ∈ AC), BN ⊥ AC (N ∈ AC) Ta có: OC AO OCBN AOBN S S BOC AOB == . 2 1 . 2 1 (0,25) OC AO OCDN AODN S S DOC AOD == . 2 1 . 2 1 (0,25) COD AOD BOC AOB S S S S =⇒ (0,25) BOCAODCODAOB SSSS =⇒ (0,25) )()( 2 BOCAODBOCCODAOB SdoSSSS ==⇒ (0,25) ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2) MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT NĂM HỌC: 2009-2010 Bài 1: (2,5đ) a) Xác định a để cho đa thức x 3 - 3x + a chia hết cho (x - 1) 2 b) Tìm x biết: x 2 (x -1) + 2x (1-x) = 0 Bài 2: (2,5đ) a) Cho biểu thức: P = 223 1 234 34 ++++ +−− xxxx xxx Rút gọn rồi chứng minh P không âm với mọi giá trị cuả x. b) Chứng minh rằng: Nếu a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc thì a = b = c Bài 3: (2đ) a) Phân tích đa thức sau thành nhân tử: A = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 - a 4 - b 4 - c 4 b) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì A > 0 Bài 4: (3đ) Cho hình bình hành ABCD. Các tia phân giác của các góc A,B,C,D của hình bình hành lần lượt cắt nhau tại E,F,G,H. a) Tứ giác EFGH là hình gì? Vì sao? b) Chứng minh rằng EG = FH và bằng hiệu giữa hai cạnh kề một đỉnh của hình bình hành ABCD. c) Hình bình hành ABCD cần có thêm điều kiện gì để EFGH là hình vuông? ************************* HƯỚNG DẪN CHẤM: Bài 1: (2,5đ) a) (1,25đ) x 3 - 3x + a = (x 2 - 2x +1)(x +2) + a - 2(0,75) (x 3 - 3x + a) chia hết cho (x - 1) 2 ⇔ a-2 = 0 ⇔ a = 2 (0,5) b) (1,25đ) x 2 (x -1) + 2x (1-x) = 0 ⇔ x(x-1)(x-2) = 0 (0,5) Vậy x ∈ {0;1;2} (0,75) Bài 2: (2,5đ) a) (1,25đ) P = 223 1 234 34 ++++ +−− xxxx xxx = 2 )1( 2 2 + − x x (0,5) Vì x 2 ≥ 0 với mọi x, nên x 2 + 2 > 0 Và (x - 1) 2 ≥ 0 với mọi x. (0,5) Suy ra 2 )1( 2 2 + − x x ≥ 0 với mọi x, hay P ≥ 0 (0,25) b) (1,25đ) a 2 + b 2 + c 2 = ab + ac + bc ⇔ 2a 2 +2b 2 +2c 2 -2ab -2ac-2bc = 0 ⇔ (a-b) 2 +(a-c) 2 +(b-c) 2 = 0 (0,5) ⇔      =− =− =− 0 0 0 cb ca ba (0,25) ⇔ a = b = c (0,5) Bài 3: (2đ) a) (1đ) A = 2a 2 b 2 + 2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 - a 4 - b 4 - c 4 = 4a 2 b 2 - ( a 4 + 2a 2 b 2 + b 4 ) + (2b 2 c 2 + 2a 2 c 2 ) - c 4 (0,5) = (2ab) 2 - [(a 2 +b 2 ) 2 -2c 2 (a 2 +b 2 )+c 4 ] = (2ab) 2 -[(a 2 +b 2 ) - c 2 ] 2 (0,25) = (2ab + a 2 + b 2 - c 2 )(2ab - a 2 - b 2 +c 2 ) = (a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b) (0,25) b) (1đ) Nếu a,b,c là ba cạnh của một tam giác thì a >0, b >0, c >0 (0,25) và các nhân tử của biểu thức trên đều dương (theo bất đẳng thức tam giác) (0,5) Nên A >0 (0,25) Bài 4: (3đ) Hình vẽ 0.25đ a) (1đ) Tam giác AHD có: HAD + HDA = 1/2( A+ D) =90 0 .Nên AHD=90 0 (0,5) Tương tự: BFC=90 0 , AEB=90 0 (0,25) Do đó tứ giác EFGH là hình chữ nhật. (0,25) N M H G F E D C B A b) (1đ) C/m tam giác ABM cân tại B, do đó E là trung điểm của AM. (0,25) C/m tương tự G là trung điểm của CN . Nên BG là đường trung bình của hình bình hành AMCN nên EG = 1/2(MC+AN)=MC. (o,25) Suy ra MC=CB-BM= CB-BA (o,25) Vậy EG=FH=CB-AB (0,25) c) (0,75đ) C/m EG//AD , FH//AB (0,25) Hình chữ nhật EFGH là hình vuông ⇔ EG ⊥ FH ⇔ AD ⊥ AB ⇔ A =90 0 ⇔ ABCD là hình chữ nhật (0,5) ( Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa) ********************** . ĐỀ KIỂM TRA HỌC SINH GIỎI LỚP 8 (VÒNG 2) MÔN : TOÁN - THỜI GIAN : 90 PHÚT NĂM. vuông (0,25) ⇔ M ≡ O là giao điểm hai đường chéo AC và BD của hình vuông ABCD ĐỀ KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN : TOÁN - LỚP 8 (VÒNG 2) NĂM HỌC: 2008 - 2009