So Phuc

thành 1 vectơ mới cùng phương với u  và có độ dài gấp k lần độ dài của u  , thì ta sẽ thấy là các số thực chưa đủ để biểu diễn hết các ‘lệnh’(tức các phép biến hình), vì các số t[r]

SỐ PHỨC - LƯỢNG GIÁC – HÌNH HỌC I.Số phức – công thức c :

1) Định nghĩa phép tính bản:  Số ảo i số thoả: i2 1

 Số phức z có dạng: z a bi  a gọi phần thực, b gọi phần ảo

Cho số phức z1 a1b i z1, a2b i2 Khi đó:

 1 2

1 a a z z

b b     

 

 z1z2 a1a2  b b i1 2

 z z1 2 a1b i1   a2b i2  a a1 2 b b1 2a b1 2a b i2 1

    

   

 

1 2 2 2

1 1

2

2 2 2 2 2

a b i a b i a a b b b a b a i z a b i

z a b i a b i a b i a b

    



  

   

(Các phép toán với số phức thực y với số thực, cần nhớ thêm

2 1

i  )

 Với số phức z a bi  đại lượng a2 b2

 gọi môđun số phức z Ký hiệu z a2 b2

  Ý nghĩa z làm rõ phần

 Số phức a bi gọi số phức liên hợp z ký hiệu z Ta có:

z z z

2) Cơng thức De – Moivre:

Có thể nói cơng thức De – Moivre công thức thú vị tảng cho loạt công thức quan trọng khác sau phép luỹ thừa, khai số phức, công thức Euler Chúng ta tìm hiểu chuỗi cơng thức kỳ diệu

Trước hết ta có:

Công thức 1:

cosx i sinx  cosy i siny cosxyisinxy Thật vậy:

     

 

2

cos sin cos sin cos cos sin sin

sin cos cos sin

x i x y i y x y i x y

x y x y i

    

 

Nếu i2 1 hồn tồn chẳng có cả, i2 1 nên ta thu được:

     

 

   

cos sin cos sin cos cos sin sin

sin cos cos sin

cos sin

x i x y i y x y x y

x y x y i

x y i x y

    

 

   

cosx i sinx2 cos 2x i sin 2x

và tiếp tục là:

     

   

3

cos sin cos sin cos sin

cos sin cos sin cos3 sin

x i x x i x x i x

x i x x i x

x i x

   

  

 

Bằng phép quy nạp ta thu công thức

Công thức (Công thức De - Moivre):

cosx i sinxn cosnx i sinnx

Từ phép tính khơng phức tạp ta thu công thức hay  Bây ta tìm hiểu ứng dụng công thức

II. Các ứng dụng cơng thức De – Moivre: 1) Tính – rút gọn tổng l ợng giác :

Các bạn học lượng giác phải rút gọn tổng sau: cos cos cos3 cos

sin sin sin sin

A x x x nx

B x x x nx

    

    

Dùng cơng thức De - Moivre ta tính dễ dàng A, B tính đồng thời A, B Thật vậy:

     

     

 

 

   

2

1 cos sin cos sin cos sin

1 cos sin cos sin cos sin

1 cos sin cos sin

1 cos sin cos sin

n n

A iB x i x x i x nx i nx

x i x x i x x i x

x i x n x i n x

x i x x i x



         

       

     

 

   

Ta áp dụng công thức nhân để rút gọn VP:

 

2

2

1 1

2sin sin cos

2 2

2sin sin cos

2 2

1 1

sin sin cos

2 . 2

sin sin cos

2 2

1

1 sin cos sin cos

sin

2 2

2 .

1 sin

2

1

sin sin

2 cos sin

2

sin

n n n

x i x x

VP

x x x

i

n n n

x x i x

x x x

i

n n x x

n x i x i

x x

n x

n

x nx nx

i x

  

 



  

 



 

   

  

   

   



 

 

    

 

1

cos sin sin

2 2

sin sin

2

nx n nx

x i

x x

 

 1

sin cos

2

1

sin sin sin

2

sin

n x nx

A

x

n nx

x B

x

  

 

Vậy ta rút gọn tổng A, B Tuy nhiên có lưu ý nhỏ với x k 2 dễ dàng tính trực tiếp A, B mà không cần dùng đến công thức De – Moivre (và thật dùng công thức De – Moivre, sao?)

Ngồi bạn rút gọn phân số

1

sin cos

2

sin cos

2

n n

x i x

x x

i

 

 

bằng công thức De – Moivre, phần dành cho bạn xem tập 2) Luỹ thừa – Khai số phức :

 Luỹ thừa:

VD: tính 1i121 i12

Ta có:

1

1 2 cos sin ,1 cos sin

4 4

2

i  i   i   i   i  

            

   

 

nên

   

 

12 12

12

12 12

1 cos sin cos sin

4 4

64 2cos3 128

i i  i   i 



    

          

   

 

 

 

Như để áp dụng công thức De – Moivre cho luỹ thừa số phức, ta cần chuyển số phức thành dạng lượng giác, điều ln làm được! Thật vậy, với số phức z a bi  ta có:

   

2

2 2

cos sin cos sin

a b

z a bi a b i

a b a b

z  i  r  i 

 

      

 

 

   

với rz góc  gọi argument z, ký hiệu arg z Ngược với phép luỹ thừa ta có phép khai

 Khai số phức: Giả sử t bậc n số phức

cos sin 

z r i 

Ta có :

cos sin  n ncos sin 

Do đó:

   

 

cos sin cos sin

cos cos

sin sin

2

0,1, ,

n n

n

n

t z t n i n r i

t r n n

t r

k k n

n n

   

 

 

 



    

   

  

 

      

   

 

(Tại ta lấy k0,1, ,n1 ?) Vậy số phức có n bậc n

Về bậc n số có nhiều điều thú vị, xin nêu phối hợp chúng với định lý Viet để tính tổng, cụ thể ta tính tổng sau đây:

2

cos cos cos

2 2

n S

n n n

  

   

  

Trước hết ta có nhận xét hữu ích sau: Nhận xét:

Nếu t bậc n t1 t nghiệm phương trình

1 1 0

n n

z  z  z

     Thật vậy:

  

1

1

(*)

n n n

n n

t t t t t

t t t

 

 

        

     

Với 2n bậc 2n+1 số là:

1

2

2 4

cos sin , cos sin , ,

2 2

2 4

cos sin , , cos sin

2 2

k n

t i t i

n n n n

k k n n

t i t i

n n n n

   

   

   

   

   

   

ta áp dụng nhận xét suy 2n số phức 2n nghiệm phân biệt (?) phương trình :

2n 1n 1 0

z z  z

     theo định lý Viet thì:

2

1

n k k

t 





đồng phần thực vế ta được:

2 2

2

cos cos cos cos

2 2

1

2

2

n

n n

n n n n

S S



     

 

     

 

   

   

Tiếp theo ta tìm hiểu kỹ ý nghĩa hình học số phức công thức De – Moivre

III. Ý nghĩa hình học số phức:

Trước hết ta coi số phức z a bi r   cosisinnhư điểm  , 

M a b OM a b r,  z  a2b2 OM ,argzOM Ox, 

 

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

  

Nếu ta xem số thực k ‘lệnh’, tức ku ‘lệnh’ biến vectơ u

thành vectơ phương với u có độ dài gấp k lần độ dài u, ta thấy số thực chưa đủ để biểu diễn hết ‘lệnh’(tức phép biến hình), số thực ứng với ‘lệnh‘ (PBH) phương, ‘lệnh’ khác phép quay, phép đồng dạng, phép đối xứng sao? Rõ ràng để biểu diễn PBH ta cần thêm số mới, nằm tập số thực, câu trả lời thật bất ngờ, số phức biểu diễn phép quay, phép đồng dạng Thật ta xét lại phép nhân vectơ ux y,   x iy mặt phẳng phức với

số phức zcosisin Ta có:

       

 

cos sin cos sin sin cos

cos sin , sin cos

z u i x iy x y i x y

x y x y

     

   

      

  



nếu bạn nhớ lại công thức toạ độ phép quay (mà tơi có dịp trình bày) phép quay với góc .

Vậy số phức zcosisin đồng với phép quay góc  Đặc biệt số ảo i phép quay góc 900

 vì: icos 900isin 900 Với cách nhìn đẳng thức i2 1

 trở nên hoàn toàn hợp lý, i2chính thực liên tiếp phép quay góc 900

 nên kết phép quay góc 1800, tức –1 Và với cách giải thích cơng thức (hay cơng thức De – Moivre) có ý nghĩa hh rõ ràng là: tích phép quay góc x góc y phép quay với góc x+y

Tổng quát số phức z r cosisin biểu diễn phép đồng dạng gồm

phép quay với góc  phép vị tự với tỉ lệ r Cm chi tiết điều dành cho bạn

Sau xin chuyển sang công thức kỳ diệu khác mang tên nhà toán học vĩ đại Euler, cơng thức cho ta thấy hố hàm lượng giác hàm mũ có ‘bà con’ gần với

IV. Công thức Euler: ei cos isin

 

 

Tại Euler lại nghĩ cơng thức táo bạo thế? Điều lý giải nhờ vào tương tự công thức De – Moivre với tính chất hàm mũ

  x

f x a Ta nhớ lại hàm f x  có tính chất sau đây:

     

f x f y f x y

Và ta xét hàm g x cosx i sinx cơng thức De – Moivre hàm g x 

Điểm giống có lẽ sở để Euler đề công thức tuyệt vời

cos sin

i

e i

 

 

Dĩ nhiên để cm chặt chẽ cơng thức cịn phải dùng đến cơng cụ mạnh khai triển Taylor hàm ex,sin ,cosx x Ở chấp nhận công thức khai triển này, cụ thể ta có:

   

   

2

3 4

2 4

1

2! 3! !

sin

3! 5! ! !

cos

2! 4! ! !

n x

k k

k k

x x x

e x

n

x x x x

x x

k k

x x x x

x

k k

 



      

      

 

      



Áp dụng công thức khai triển ta cm công thức Euler, chi tiết dành cho bạn

Cuối xin nêu cách giải số phức tốn hình học thú vị Berkeley Math Circle (BMC)

V. Một tốn hình thú vị BMC:

Bài toán: Cho đa giác n-cạnh A A A1 n nội tiếp đường tròn O R;  và

1 điểm M di động đường tròn Đặt

 

1

n k

k i

i

S M MA





Với giá trị số tự nhiên k S Mk  khơng phụ thuộc vị trí M

trên đường tròn O R; ?

Nếu ta cơng tốn tổng qt gặp khó khăn, ta giải toán với giá trị cụ thể n Đầu tiên với giá trị nhỏ n=3 ta có:

Bài tốn 1: cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn O R; và điểm M di động trên đường trịn Tìm giá trị tự nhiên k cho tổng

  k k k

k

S M MA MB MC

khơng phụ thuộc vị trí M. Phân tích:

 Rõ ràng k=1 không thoả (?)

 k=2 thoả Có thể cm tổng MA2MB2MC2 khơng phụ thuộc M

bằng cách dùng công thức tâm tỉ cự

Với k3 việc tính tổng S Mk  trở nên phức tạp, với k lẻ ta

khơng cịn dùng cơng cụ vectơ (có thể bạn tìm cách lý luận để xử lý riêng trường hợp k lẻ) để tính tổng Cịn với k chẵn k=4 ta cần tính tổng:

  4

4

4

S tính theo S2bằng cách dùng đẳng thức nhiên tính tốn dài cách mở rộng cho số mũ k lớn Để giải khó khăn nói trên, tơi nghĩ đến việc chuyển sang dùng định lý hàm sin thật bất ngờ cách cho lời giải cho trường hợp k chẵn số gợi ý cho trường hợp k lẻ Cụ thể sau:

Đặt MOA 2 Do tính đối xứng nên ta giả sử MAC, dùng định lý hàm sin ta tính được:

2 sin , sin ,

3

MA R  MB R   MC R 

   

Khơng tính tổng qt ta cho R=1 Khi

  sin sin sin

3

k k k k

k

S M       

   

 

và tốn trở thành:

Tìm giá trị k cho tổng

' sin sin sin

3

k k k

k

S        

   

không phụ thuộc  .

Để cho tiện ký hiệu S'k Sk Ta nhận thấy

sin sin sin

3

2

sin sin sin

3

k k k

k

k k k

S     

 

  

   

       

   

   

       

   

xét góc

2

, ,

3

t  t    t   

  Dễ kiểm chứng

 

sin 3ti sin 3 i1, 2,3 , đó: sin 3 sin 3ti 3sinti 4sin ti

Suy số xi sintiđều nghiệm phương trình

3

4x  3xsin 3 0

Từ ta dùng định lý Viet cho phương trình bậc được:

1

1 2 3

1

0

3 sin

4 x x x x x x x x x

x x x 



   



  

 

 



Khi biết biểu thức đối xứng ta tính tổng:

1

k k k k

nhờ vào công thức truy hồi 4Tk 3Tk2 sin 3.Tk3 tổng

0 2

3

, , 3, 0,

2 T T T T  T  T  

 

Tuy nhiên ý chưa phải tổng mà ta cần tính sin

3 x   

  Do với k chẵn Sk Tk, cịn k lẻ 2sin

3

k k k

S T     Ta xét số trường hợp :

 k=4: 4

3

sin

4

S T  T  T   k=3:

3

3

3

3

3

sin sin

4 4

3

2sin sin 2sin

3

9

sin sin

4

T T T

S T

t t

 

 

  

  

   

         

   

 

với

3 t   

Rõ ràng S3 phụ thuộc vào góc 

Tuy nhiên cách giải mở rộng lên trường hợp n-giác bị số khó khăn việc tính Tk trở nên phức tạp tính Sk phức tạp

hơn Do ta lại phải tìm hướng khác

Một suy nghĩ tự nhiên gặp lũy thừa bậc cao hàm lượng giác tìm cách hạ bậc chúng (vd: cos4 1cos 1cos

8

x x x )

Ở ta “hạ bậc” lũy thừa nhờ vào trợ giúp số phức Từ ý tưởng tơi tìm lời giải hồn chỉnh cho trường hợp k chẵn, k=2l Xin nêu lên ý tốn tổng qt cho n-giác đều.

Trước hết đặt MOA 2 , R1 dùng định lý hàm sin ta được:

 

 

1 2sin , 2sin , 2sin , 2sin

2sin , 1,

n

j

MA MA MA MA n

n n n

i e MA j j n

n

  

   

 

     

             

     

 

     

 

Do tổng cần tính trở thành:

  2   2

2

1

2 l n sin l ln sin l l

j j

S j j

n n

 

  



 

   

       

   

 

  2 sin n l l j S j n              

Dùng cơng thức nhân ta có:

  1 2 0 cos

sin l n n l l j j j n S j n                                     

Sở dĩ ta đưa góc j2 n



  chúng có mối “liên quan” đến bậc n đơn vị mà ta thấy sau Dùng cơng thức Euler nhận xét tính chất bậc n đơn vị ta cm bổ đề quan trọng sau:

Bổ đề: Với số tự nhiên m góc  bất kỳ, đặt

 

0 cos n m j m T j n               Khi đó:

 nếu m khơng bội số n tổng Tm  khơng phụ thuộc .

Chính xác Tm   0,  .

 Nếu m bội số n Tm  ncos .

Đến bạn nhận điều cần làm, liên kết tổng S2l

với tổng Tm Thật dùng công thức khai triển nhị thức cho số

hạng tổng S2lta được:

 

0

1 cos

1

1 cos

2

l

l

m m m l l

m

j

n C j

n                                   Suy ra:     1

0 0

1

0

2 cos

1

1 cos

2

1

1 cos (*)

2

l

n n l

m m m

l l l

j j m

l n m m m

l l

m j

j n

S C j

n C j n                                                             

Đến ta cần “hạ bậc” số hạng cosm j2 n       

1

0

2

cos (**)

n m j j n            

với tổng Tm Việc “hạ bậc” thực quy nạp dựa vào công

thức biểu diễn cosmxtheo cosx

Tóm lại quy trình giải tốn tổng qt sau: Tìm cơng thức “hạ bậc hồn tồn” cho cosmx.

2 Thế công thức “hạ bậc” vào để tính tổng (*) Cuối kết vào cơng thức (**) để tính S2l

Ví dụ với m=4 ta có cơng thức hạ bậc cos4 1cos 4 1cos 2

8

x x x , vào

ta được:

1 1

4

0 0

1

0

2 2

cos cos cos 2

8

1 2.4 2.2

cos cos

8

n n n

j j j

n n

j j

j j j n

n n n

j j n

n n                                                                 Trong   2.4

cos 8

n j j T n              

 không bội n

Và  

1

2

2.2

cos 4

n j j T n              

 không bội n

Do đó:

4

2

cos ,

8 n j j n n               

Tương tự với m=2:

2

2

cos ,

2 n j n j n               

Và với m=3:

3

2

cos 0,

n j j n               

Thế vào cơng thức (*) tính được: 35

,

128

S  n n  Tổng quát với số mũ m<n tổng

1 cos n m j j n           



số m n tổng khơng cịn số nữa, 2l co ,

S  nst  l n, cịn S2l phụ thuộc góc  ,  l n