Đề và đáp án luyện thi đại học 2010 khối A-B-C-D đề 14 nhằm giúp các em học sinh có tài liệu ôn tập, luyện tập nhằm nắm vững được những kiến thức, kĩ năng cơ bản, đồng thời vận dụng kiến thức để giải các đề ôn thi một cách thuận lợi và tự kiểm tra đánh giá kết quả học tập của mình. Các bạn nên ôn tập kiến thức trước khi làm bài. Sau khi làm bài, sử dụng đáp án để tìm hiểu phương pháp trình bày bài, tự đánh giá mức độ...
Trường THPT Chuyên LƯƠNG VĂN CHÁNH PHÚ YÊN Đề số 14 ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC VÀ CAO ĐẲNG NĂM 2010 Mơn thi: TỐN – Khối A Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề) I PHẦN CHUNG (7 điểm) Câu I (2 điểm): Cho hàm số y = 2x x +2 1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị (C) hàm số 2) Viết phương trình tiếp tuyến đồ thị (C), biết khoảng cách từ tâm đối xứng (C) đến tiếp tuyến lớn Câu II (2 điểm): 1) Giải phương trình: 2) Giải hệ phương trình: ỉ ỉ pử pử cos2 x tan ỗ x - ữ tan ỗ x + ữ = 4ứ ø tan x - cot x è è ì y +2 =1 ï 2 x ï x + y -1 í ï x + y + x = 22 ïỵ y Câu III (1 điểm): Tính tích phân: I= I =ị ln x x +1 dx Câu IV (1 điểm): Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có độ dài cạnh đáy a, mặt bên tạo với mặt đáy góc 600 Mặt phẳng (P) chứa AB qua trọng tâm tam giác SAC cắt SC, SD M, N Tính thể tích hình chóp S.ABMN theo a Câu V (1 điểm): Cho số thực a, b, c thỏa mãn : < a £ 1; < b £ 1; < c £ Chứng minh rng: ổ 1 ỗ1 + ÷ (a + b + c) ³ + + + a b c è abc ø II PHẦN TỰ CHỌN (3 điểm) Theo chương trình chuẩn Câu VI.a (2 điểm): ( ) ( ) ỉ 7ư è 3ø 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có A -3; , trc tõm H 2;1 , trng tõm G ỗ ; ÷ Xác định toạ độ đỉnh B C 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho mặt cầu ( S ) : x + y + z2 - x + y - 8z - = mặt phẳng (a ) : x - y + z - = Xét vị trí tương đối mặt cầu (S) mặt phẳng (a ) Viết phương trình mặt cầu (S¢) đối xứng với mặt cầu (S) qua mặt phẳng (a ) Câu VII.a (1 điểm): Một đội dự tuyển bóng bàn có 10 nữ, nam, có danh thủ nam Vũ Mạnh Cường danh thủ nữ Ngô Thu Thủy Người ta cần lập đội tuyển bóng bàn quốc gia từ đội dự tuyển nói Đội tuyển quốc gia bao gồm nữ nam Hỏi có cách lập đội tuyển quốc gia cho đội tuyển có mặt hai danh thủ Theo chương trình nâng cao Câu VI.b (2 điểm): 1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có đỉnh A thuộc đường thẳng d: x – 4y – = 0, cạnh BC song song với d, phương trình đường cao BH: x + y + = trung điểm cạnh AC M(1; 1) Tìm toạ độ đỉnh A, B, C 2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình thang cân ABCD với A ( 3; -1; -2 ) , B (1; 5;1) , C ( 2;3;3 ) , AB đáy lớn, CD đáy nhỏ Tìm toạ độ điểm D Câu VII.b (1 điểm): Giải hệ phương trình: ìï23 x +1 + y -2 = 3.2 y +3 x í ïỵ x + + xy = x + ============================ Trần Sĩ Tùng Hướng dẫn: I PHẦN CHUNG Câu I: 2) Tiếp tuyến đồ thị (C) điểm M có hồnh độ a ¹ -2 thuộc đồ thị (C) có phương trình: y= (a + 2) ( x - a ) + a Û x - ( a + )2 y + a = a+2 ( ) a+2 ( ) Tâm đối xứng I -2; Ta có d I , d = 16 + ( a + ) (d ) a+2 £ 2.4 ( a + ) = a+2 a+2 =2 2 éa = d ( I , d ) lớn Û ( a + ) = Û ê ë a = -4 Từ suy có hai tiếp tuyến y = x y = x + ỡ ổ ổ pử pử cos ỗ x + ữ ùcos ỗ x - ữ 0; Câu II: 1) Điều kiện í (*) 4ø 4ø è è ïsin x ¹ 0; tan x - cot x ợ ổ ổ ổp ổ æ æ pö pö pö pö pö Để ý rằng: tan ỗ x - ữ tan ỗ x + ữ = - tan ỗ - x ữ tan ỗ x + ữ = - cot ç x + ÷ tan ç x + ÷ = -1 4ø 4ø 4ø 4ø 4ø è è è4 ø è è è cos2 x Û cot x - tan x = cos2 x tan x - cot x 2 - tan x Û =4 Û = Û ( tan x - 1) = tan x tan x + tan 2 x + tan 2 x p p p Û tan x = Û x = + mp Û x = + k ( k Ỵ Z ) : Khơng thoả điều kiện (*) Khi PT trở thành: -1 = Vậy phương trình cho vơ nghiệm 2) Điều kiện: x ¹ 0, y ¹ 0, x + y - ¹ x Đặt u = x + y - 1; v = Hệ PT trở thành: y 2 ì3 ì3 ï + =1 ï Û íu + v = íu v ïỵu + + v = 22 ïỵu = 21 - 4v (1) (2) év = 3 2 Thay (2) vào (1) ta được: + = Û 2v - 13v + 21 = Û ê êv = 21 - v v ë ì x2 + y2 - = ì ï ìx = ì x = -3 · Nếu v = u = 9, ta có Hệ PT: í x Û í x + y = 10 Û í Úí ỵy = ỵ y = -1 ỵ x = 3y ïy = ỵ ì ì 2 ì x2 + y2 - = ì x + y2 = ï y = ï y = -4 ï ï ï ï 53 Ú 53 · Nếu v = u = 7, ta có Hệ PT: í x Ûí Ûí í = ï ïỵ x = y ï x = 14 ï x = -14 ỵy ïỵ 53 ïỵ 53 So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT ìu = ln x ì dx 8 x +1 ï ïdu = ( ) dx Câu III: Đặt í Þí Þ I = x + 1.ln x - ò dx = ln - ln - J x dv = x ïỵ ï x +1 ỵv = x + · Tính J = ị 3 3 æ x +1 t t2 1 ö dx Đặt t = x + Þ J = ò 2tdt = ò dt = ò ç + ÷ dt 2 x t t + t t è ø 2 ổ t -1 = ỗ 2t + ln ÷ t +1 ø è Trần Sĩ Tùng = + ln - ln Từ I = 20 ln - ln - Câu IV: Kẻ SO ^ (ABCD) O giao điểm AC BD Gọi I, J trung điểm AB CD; G trọng tâm D SAC Góc mặt bên (SCD) đáy (ABCD) ¶ SJI = 60 Þ DSIJ cạnh a Þ G trọng tâm DSIJ IG cắt SJ K trung điểm SJ; M, N trung điểm SC, SD 3a 3a2 a ; S ABMN = ( AB + MN )IK = ; SK ^ ( ABMN ); SK = 2 3a Suy ra: V = S ABMN SK = 16 IK = ( )( ) Câu V: Vì < a £ 1, < b £ nên a - b - ³ Þ ab - a - b + ³ Þ ³ a + b - ab Þ 1 ³ + - (3) ca c a æ1 1ö 1 Cộng BĐT (1), (2), (3) v theo v ta c: + + 2ỗ + + ÷ -3 ab bc ca èa b cø Tương tự : 1 ³ + - (1) ab a b 1 ³ + - (2), bc b c (4) Sử dụng BĐT (4) BĐT Cơ–si ta có: ỉ ỉ1 1ư ö 1 + + ³ a + b + c + 2ỗ + + ữ - ỗ1 + ÷ (a + b + c) = a + b + c + ab bc ca è abc ø èa b cø ( a + b + c ) ổỗ 1a + 1b + 1c ửữ + 1a + 1b + 1c - ³2 ( ) è ø ỉ 1 1ư + + ÷³9 èa b cø Cũng theo BĐT Cơ–si ta có : a + b + c ỗ ổ Do ú: ỗ + ố 1 1 1 ÷ ( a + b + c ) ³ + + + - = + + + (đpcm) abc ø a b c a b c Dấu "=" xảy Û a = b = c = II PHẦN TỰ CHỌN Theo chương trình chuẩn uuur Câu VI.a: 1) Gọi I trung điểm BC Ta có AG = ỉ7 1ư uur AI Þ I ç ; ÷ è2 2ø Đường thẳng BC qua I vng góc với AH có phương trình: x – y – = ỉ7 1ư ( Vì I ç ; ÷ trung điểm BC nên giả sử B x B ; yB 2 è ø uuur ) C ( - xB ;1 - yB ) xB - yB - = ( ) uuur ( H trực tâm tam giác ABC nên CH ^ AB ; CH = -5 + x B ; yB , AB = x B + 3; yB - uuur uuur ìï x - y = ìx = ìx = CH AB = Û í B B Ûí B Úí B ïỵ( xB - 5)( xB + ) + ( yB - ) = ỵ yB = -2 ỵ yB = Vậy B (1; -2 ) , C ( 6;3) B ( 6;3 ) , C (1; -2 ) 2 ( ) 2) (S ) : ( x - 1) + ( y + ) + ( z - ) = 25 có tâm I 1; -2; R = Khoảng cách từ I đến (a) là: d ( I ,(a ) ) = < R Þ (a) mặt cầu (S) cắt ì x = + 2t ï Gọi J điểm đối xứng I qua (a) Phương trình đường thẳng IJ : í y = -2 - t ïỵz = + 2t ì x = + 2t ìt = - ïï y = -2 - t ïï x = -1 Toạ độ giao điểm H IJ (a) thoả í Ûí Þ H ( -1; -1;2 ) = + = z t y ï ï ïỵ2 x - y + z - = ïỵ z = Trần Sĩ Tùng ) Vì H trung điểm IJ nên J ( -3; 0; ) Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = nên có phương trình: (S¢ ) : ( x + ) + y + z2 = 25 Câu VII.a: Có trường hợp xảy ra: · Trường hợp 1: Đội tuyển có Vũ Mạnh Cường, khơng có Ngơ Thu Thuỷ Số cách chọn nam lại C63 Số cách chọn nữ khơng có Ngơ Thu Thuỷ C93 Suy số cách chọn trường hợp C63 C93 = 1680 (cách) · Trường hợp 2: Đội tuyển có Ngơ Thu Thuỷ, khơng có Vũ Mạnh Cường Số cách chọn nam khơng có Vũ Mạnh Cường C64 Số cách chọn nữ lại C92 Suy số cách chọn trường hợp C64 C92 = 540 (cách) Vậy số cách chọn đội tuyển bóng bàn Quốc gia là: 1680 + 540 = 2220 (cách) Theo chương trình nâng cao Câu VI.b: 1) Ta có AC vng góc với BH qua M(1; 1) nên có phương trình: y = x ì ïx = - ỉ 2ư ìx - 4y - = Toạ độ đỉnh A nghiệm hệ : ớ ị Aỗ - ;- ữ ợy = x è 3ø ïy = - ỵ ỉ8 8ư Vì M trung điểm AC nên C ç ; ÷ è3 3ø Vì BC qua C song song với d nên BC có phương trình: y = x +2 ìx + y + = ï ì x = -4 BH Ç BC = B : í Ûí Þ B ( -4;1) x y = y = + ỵ ïỵ 2) Do ABCD hình thang cân nên AD = BC = Gọi D đường thẳng qua C song song với AB, (S) mặt cầu tâm A bán kính R = Điểm D cần tìm giao điểm D (S) uuur ( ì x = - 2t ï ) Đường thẳng D có vectơ phương AB = -2; 6;3 nên có phương trình: í y = + 6t ( )( Phương trình mặt cầu S : x - Toạ độ điểm D thoả Hệ PT: 2 ) + ( y + 1) + ( z + ) ïỵz = + 3t =9 ì x = - 2t ét = -1 ï y = + 6t ï ê Þ 49 t + 82 t + 33 = Û 33 í z = + 3t êt = ï 2 49 ë ïỵ( x - ) + ( y + 1) + ( z + ) = · Với t = – 1, D(4; – 3; 0) : khơng thoả AB = CD = · Với t = - ỉ 164 51 48 33 ị Dỗ ; - ; ữ (nhn) 49 49 49 ø è 49 ìï23 x +1 + y -2 = 3.2 y + x Câu VII.b: í (1) (2) ïỵ x + + xy = x + ì x ³ -1 ìx +1 ³ ì x ³ -1 Ta có: ( ) Û í Ûí Ûí ỵ x = Ú y = - 3x ỵ3 x + + xy = x + ỵ x ( x + y - 1) = Trần Sĩ Tùng y -2 = 3.2 y Û + y = 12.2 y Û y = · Với x = thay vào (1) ta được: + ì x ³ -1 thay y = – x vào (1) ta : 23 x +1 + -3 x -1 = 3.2 y = x î · Với í Đặt t = 23 x +1 , x ³ -1 nên t ³ - 8 Û y = log2 11 11 (3) ét = - 2 1 Khi đó: (3) : t + = Û t - 6t + = Û ê t ët = + 2 1é log ( + 2 ) - 1ùû ; y = - x = - log2 ( + 2 ) 3ë ì ìx = ï x = éë log2 ( + 2 ) - 1ùû ï Vậy Hệ PT cho có nghiệm í í y log = ï y = - log ( + 2 ) ïỵ 11 ỵ Suy ra: 23 x +1 = + 2 Û x = ===================== Trần Sĩ Tùng (loại ) (thoả) ... -4 ï ï ï ï 53 Ú 53 · Nếu v = u = 7, ta có Hệ PT: í x Ûí Ûí í = ï ïỵ x = y ï x = 14 ï x = -14 ỵy ïỵ 53 ïỵ 53 So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT ìu = ln x ì dx 8 x +1 ï ïdu = ( ) dx Câu III: Đặt... x + y - 1) = Trần Sĩ Tùng y -2 = 3.2 y Û + y = 12.2 y Û y = · Với x = thay vào (1) ta được: + ì x ³ -1 thay y = – x vào (1) ta : 23 x +1 + -3 x -1 = 3.2 y = x ỵ · Với í Đặt t = 23 x +1 , x ³... x - y + z - = ïỵ z = Trần Sĩ Tùng ) Vì H trung điểm IJ nên J ( -3; 0; ) Mặt cầu (S¢) có tâm J bán kính R¢ = R = nên có phương trình: (S¢ ) : ( x + ) + y + z2 = 25 Câu VII.a: Có trường hợp xảy