Đang tải... (xem toàn văn)
Chøng minh r»ng tø gi¸c ABCD lµ tø gi¸c néi tiÕp.[r]
(1)Đề thi học sinh giỏi môn toán lớp
(Thời gian làm bài: 150 ) Câu 1: Cho biÓu thøc.
(x + 2006 22006 2006 )
y y ( ) x
H·y tÝnh tỉng: S = x + y
C©u 2: Trong cặp số thực (x;y) thoả mÃn:
2
2
y x
y y x x
HÃy tìm cặp số có tỉng x+2y lín nhÊt C©u 3:
Tìm số nguyên dơng n cho x = 2n + 2003 y = 3n + 2005 số phơng
Câu 4: Cho hai đờng trịn (C1) (C2) tiếp xúc ngồi điểm T Hai đờng tròn
này nằm đờng tròn (C3) tiếp xúc với (C3) tơng ứng M N Tiếp tuyến chung
tại T (C1) (C2) cắt (C3) P PM cắt đờng tròn (C1) diểm thứ hai A MN cắt (C1)
tại điểm thứ hai B PN cắt đờng tròn (C2) điểm thứ hai D MN cắt (C2) điểm thứ hai
C
a Chứng minh tứ giác ABCD tứ giác nội tiếp b Chứng minh AB, CD PT đồng quy
Câu 5: Giải phơng trình.
x2 + 3x + = (x+3)
1
2
x
Đáp án Đề số Câu 1: (2 ®iÓm) Ta cã:
( 2006)( 2006)( 2006 )( 2006)
x y y x x x y y
x
) 2006 (
) 2006 (
2006 x x2 y y2 x
2006(x x22006))(y y2 2006)
VËy(x x2 2006)(y y2 2006)(x x22006)(y y2 2006) 2006
2006
2
x y y
(2)NÕu x = => y = => S =
NÕu x => y tõ (*) => 2006 2006 2 y x y x
=> xy <
VËy 2
2 2 2006 2006 y x y x
=> 2006x2 = 2006y2 => x2 = y2
=> (x-y)(x+y) = mµ xy < => x - y Câu 2: (2 điểm )
Đặt S = x +2y => x = S - 2y XÐt trêng hỵp:
a x2+y2 > tõ gi¶ thiÕt => x2 + y2 < x + y <=> (S - 2y)2 + y2 < S - y
=> 5y2 - (4S - 1)y + S2 - S < (1)
Xem (1) bất phơng trình bậc ẩn y
=> = (4S -1)2 - 20 (S2 - S) > => 4S2 - 12S - < => S <
2 10
3
Đẳng thức xảy x =
2 10
5 tho¶ m·n x2 + y2 > VËy S max =
2 10
3
b NÕu x2 + y2 < th× x + y < x2 + y2.
=> S = x + 2y < x2 + y2 + y < + = => S <
2 10
3
VËy S lín nhÊt lµ
2 10
3 x =
10 10
5 vµ y =
10 10
5
Câu 3: (2 điểm)
Giả sử 2n + 2003 = a2 vµ 3n + 2005 = b2 (a, b nguyên dơng).
Khi ú 3a2 - 2b2 = 1999 (1) => a l
Đặt a = 2a1 + 1(a1 Z) => 2b2 = 3.4a1 (a1+1) - 1996 = 3.4a1 (a1+1) - 2000 +
=> b2 ( mod 4) v« lý Vậy không tồn số nguyên dơng thoả mÃn
Câu 4: (2 điểm)
a Gọi O1, O2, O3 tơng ứng tâm
ng trũn (C1), (C2), (C3) ta có M, O1, O3
thẳng hàng => BO1 // NO3
= > N O B O MN MB
T¬ng tù:
P O A O MP MA => MN MB MP MA
=> AB//NP
Tơng tự CD// PM => AEDP hình bình hành (với E = AB CD) Do PAT ~ PTM
=> PT2 = PA.PM t¬ng tù PT2 = PD.PN
VËy PA PM = PD.DN =>
EA ED PD PA PM PN EC EB
=> EBC ~ EDA => EBC = EDA => EDA + CBA = 1800 => ABCD nội tiếp.
b Nối E O2 cắt (C2) C' vµ D' = >ECC' ~ ED'D
=> S = x + y =
(3)=> ED.EC = ED'.EC' => EC.ED = (EO2 - R2)(EO2+R2)
=> EC.ED = EO22 - O2T2
T¬ng tù EB.EA = EO12 - O1T2
Mµ 2
1 2
.EA ECED EO EO OT OT
EB EA
ED EC EB
Hạ ET' 0102 theo định lý Pitago ta có:
EO12 - EO22 = (O1T' + T' E2) - (02T' + T' E2) = O1T' - O2T'
=> O1T - O2T = 01T' - 02T' v× O1T + O2T = 0102 = O1T' + O2T'
=> O1T = O1T => T T' tøc PI ®i qua E
Câu : (2 điểm)
Phơng trình đa dạng ( x2 3)( x2 1 x)O
x 2 2
x 1 x
x
2