Huong dan giai toan tren may tinh

C¸c phÝm sè, nhËp trùc tiÕp tõ bµn phÝm... Quy trình này như sau:.[r]

THC HNH GIảI TOáN TRÊN MáY TíNH CÇM TAY

PhÇn I

Giíi thiƯu chung vỊ máy tính Casio 1/ Giới thiệu chung dòng m¸y tÝnh Casio:

Trong dịng máy tính hãng BITEX cung cấp gồm nhiều loại từ fx 220, fx 500A đến fx 500MS, fx 570 MS, fx 500 ES, fx 570 ES hay fx 500 plus v.v… đa số với hệ THCS thờng dùng loại fx 500MS chất lợng, tính giá cả phù hợp với mặt kinh tế chung xã hội.

Loại fx 220 fx 500A dừng sản xuất từ lâu với lý hình một dịng, khơng phù hợp với cách nhập liệu giấy học sinh.

Máy tính fx 500A có 140 chức năng, hình dòng.

Máy tính fx 500 MS có 244 chức năng, hình dòng

Máy tính fx 570 MS có 401 chức năng, hình dòng.

T th dũng mỏy tớnh fx 500 MS trở có hình dịng, việc nhập liệu thuận nh ghi chép nên tiện lợi cho học sinh quá trình tính tốn.

Khi mua máy tính Cơng ty Cổ phần Xuất nhập Bình Tây ( BiTex) bạn đợc cung cấp tài liệu hớng dẫn sử dụng máy kèm theo, tuy nhiên bạn mua phải hàng nhái khơng đợc cung cấp tài liệu này. Khi mua máy tính bạn cần ý kiểm tra tem chống hàng giả Bộ Công an cp.

2/ Riêng với dòng máy tính Casio fx 500 MS

Chú ý: Máy tính fx 500 MS có 244 chức năng, hình dịng Máy chỉ nhận số ngun có khơng q 10 chữ số, bạn nhập tất cả các chữ số nhập sau đợc coi số không nhập liên tục 73 bớc. a/ Mở máy, tắt máy cách ấn phím:

Më m¸y : ấn ON Tắt máy: ấn SHIFT OFF

Xo¸ sè võa nhËp: DEL

Các phím chữ màu trắng DT : ấn trực tiếp. Các phím chữ màu vàng: ấn sau SHIFT

Các phím màu đỏ: ấn sau ALPHA

Khi tính tốn máy, nên thực phép tính cách liên tục cho đến kết cuối cùng, hạn chế việc ghi chép kết giấy nháp có thể dẫn đến sai số lớn kết Máy tự động tắt sau khảng phỳt nu bn khụng n phớm.

b/ Các loại phím máy:

Phím Chức năng

ON Mở máy

SHIFT OFF Tắt máy

Các phím di chuyển trỏ hình 0 C¸c phÝm sè, nhập trực tiếp từ bàn phím

. Dấu ngăn cách phần nguyên phần thập phân + - x Dấu phép tính cộng, trừ, nhân chia

AC Xoá hết hình thực hiƯn

DEL Xo¸ ký tù hay sè võa nhËp

( - ) DÊu ©m

SHIFT CLR = Xố nhớ SHIFT CLR = Xoá cài đặt SHIFT CLR = Xoá tất

A B C D E

F X Y M Là ô nhớ, ô chứa đợc số trừ ô M dùng đểlu kết với chức M+, M- để gán thêm hay bớt

M+ Thêm vào số nhớ M

M- Bớt số nhớ M

SHIFT Phím điều khiển dùng kênh chữ màu vàng

ALPHA Phím điều khiển dùng kênh chữ màu đỏ ( nhớ) MODE Phím điều khiển chọn kiểu tính tốn

( ) Phím dấu ngoặc

EXP Nhân víi l thõa cđa 10 víi sè mị nguyªn

 LÊy sè pi

0

,,,

o Đọc số đo góc

DRG Chuyển đổi đơn vị độ, rađian, grad

Rnd Làm tròn giá trị

nCr Tính tổ hợp chập r n phần tử nPr Tính chỉnh hợp chËp r cđa n phÇn tư

Ans Lu kÕt qu¶ bÊm phÝm dÊu =

SHIFT INS ChÌn số vào vị trí trỏ hiển thị Phím hàm

Phím Chức năng

Sin cos tan Hàm số lợng giác sin, cosin, tang

Sin-1 cos-1 tan-1 Nghich đảo sin, cosin, tang (tan-1 = cotang)

log ln Logarit thập phân, logarit tự nhiên ex 10x Hàm mũ số e, số 10

x2 x3 Bình phơng, lập phơng số x

3 x Căn bậc 2, bậc 3, bËc x

x-1 Nghịch đảo x

^ Luü thõa

x! x giai thõa

% Phần trăm

abc Nhp phõn s hoc hn s, đổi phân số, hỗn số d/c Đổi hỗn số phân số ngợc lại

ENG ChuyÓn dạng a x 10n với n giảm

ENG

 Chun d¹ng a x 10n víi n tăng

Pol( i to Cỏc to độ cực Rec( Đổi toạ độ cực toạ độ Cỏc

RAN# Nhập số ngẫu nhiên

Phần thống kê

Phím Chức năng

S-SUM Gäi x2

 , x, n

S-VAR Gäi x ,

n

 , n1

n Tổng tần số

x Giá trị trung bình cộng biến lợng n

Độ lệch tiêu chuẩn theo n

1 n

Độ lệch tiêu chuẩn theo n 1

x

Tổng biến lợng

2 x

Tổng bình phơng biến lợng

Các kiểu tính toán

Nhóm phím Chức năng

MODE 1 Kiểu COMP : Màn hình D góc bên phải, thông báo máy trạng thái tính toán bản

MODE 2 Kiểu SD : Màn hình SD góc bên phải, thông báo máy trạng thái giải toán thông kê biÕn

MODE MODE 1

KiÓu EQN : Màn hình EQN góc bên phải, thông báo máy trạng thái giải phơng trình:

Unknowns ? ( số ẩn hệ phơng trình ) NÕu + Ên tiÕp : Gi¶i hƯ bËc nhÊt Èn

+ Ên tiÕp : Gi¶i hƯ bËc nhÊt Èn. Degree ? ( sè bậc phơng trình ) Nếu + ấn tiếp : Giải phơng trình bậc ẩn + ấn tiếp : Giải phơng trình bậc mét Èn MODE MODE

MODE 1 Kiểu Deg : Màn hình D phía trên, thơng báo máyở trạng thái tính tốn với đơn vị đo góc độ. MODE MODE

MODE 2 Kiểu Rad : Màn hình R phía trên, thơng báo máyở trạng thái tính tốn với đơn vị đo góc radian. MODE MODE

MODE MODE 1 Kiểu Fix: Màn hình Fix phía trên, chọn ấn tiếp 1số để quy định làm tròn đến chữ số phần thập phân

MODE MODE

MODE MODE

MODE MODE 3 Kiểu Norm : ấn tiếp số để thay đổi haicách ghi số dạng thơng thờng xố cách ghi kết quả tính tốn dạng khoa học a.10n

MODE MODE MODE MODE

MODE 1

Chän c¸ch kết dạng phân số hỗn số hoặc dạng phân số

MODE MODE MODE MODE

MODE 

Kiểu Dot (dấu ), Comma (dấu ,): Dùng để đổi dấu ngăn cách phần nguyên phần thập phân dấu phân định nhóm chữ số phần ngun

Các dịng máy tính khác, bạn tự tìm hiểu thơng qua tài liệu hớng dẫn sử dụng riêng gửi kèm theo máy; nhiên nên định hớng sâu vào một loại định để khai thác tốt chức đợc cài đặt máy

Các dòng máy tính Cơng ty Điện tử Việt – Nhật đợc cài đặt nhiều phím chức cao dịng máy tính ký hiệu hãng Casio nhiên độ nhạy phím khơng cao, dùng thờng phải bấm mạnh tay Vì bạn dùng cần ý điều này.

Tất loại máy tính trớc dùng bạn phải kiểm tra nguồn (pin) xoá cài đặt trớc lựa chọn kiểu tính tốn riêng để đảm bảo khơng nhầm lẫn làm tính.

Cuối tất ngời ! Nhân tố định quan trọng nhất ! Chúc bạn thành công !

Phần II

Một số dạng tập phổ biến

Dạng 1: Tính giá trị biểu thøc:

Bµi tËp 1:

a/ A =

3 3 3

1 1 4

( ): ( ).( )

2 4 7 5

7 3 2 3 3

( ) ( ):( )

8 5 9 4

                  GIẢI:

Cách 1: Biến đổi biểu thức dạng biểu thức hữu tỷ tính tốn máy: A = : : :

2 7

                                                 

Cách 2: Tính tốn bình thường biểu thức tử biểu thức mẫu theo cách Đặt B = :

2 7

 

     

  

     

      Tính B = 3675

344

; C= :

8

 

     

  

     

      Tính C = 2183

150

=> A = B

C

3675 / 344

0, 734068222 2183 /150

 

b/ B = 3 3 20 cot , : 42 sin 25 40 15 20 cos 35 sin g tg tg 

GIẢI: Quy trình bấm máy tính casio fx 500 MS sau :

Tính tử số: ( sin 35 ) x2 ( cos 20 ) x3 - 15 ( tan 40 ) x2 ( tan

25 ) x3 = SHIFT STO A

Tính mẫu số: a b c ( sin 42 ) x3 ÷ 0,5 ( ÷ ( tan 20 ) x3 =

Tiếp tục tính: ALPHA A ÷ Ans = (kq:  - 36,82283812 ) Bµi tËp 2:

Tính kết tích sau:

a/ M = 2222255555 2222266666 b/ N = 20032003 20042004

GIẢI: a/ Đặt A = 22222; B = 55555 ; C = 66666 ta có : M = (A.105 + B)(A.105 + C) = A2.1010 + A.B.105

+ A.C.105 + B.C

Tính máy được: A2 = 493817284 ; A.B =

1234543210 ; A.C = 1481451852

4938444443209829630

b/ Làm tương tự tính N = 401481484254012

Đây loại tập tính tốn máy kết hợp dùng giấy nháp nhớ máy khơng đủ cho tính tốn tồn máy tính cá nhân.

Bµi tËp 3:

Tính giá trị biểu thức:

a/ P = +

3 5    

Đáp số P = 4233 1761 4,609947644 382382 

b/ Q = +

4 3  

 Đáp số Q = 7 43 1037 7,302816901 142 142 

Cách 1: Sử dụng dấu ngoặc đưa dạng phép chia cho tổng Cách 2: Dùng phương pháp tính ngược từ cuối

Bài tập 4 :

Tính giá trị cđa biĨu thøc:

a/ Cho sin = 0,3456 ; ( <  < 900 ).

TÝnh M =

      3 3 cot ) sin (cos ) sin ( cos g tg   

b/ Cho cos2 = 0,5678 ; ( <  < 900 ).

TÝnh N =

       3 3 cos ) cot ).( ( ) sin ( cos ) cos ( sin       g tg

GIẢI: a/ SHIFT sin-1 0,3456 = ( ( cos Ans ) x3 ( + ( sin Ans

) x3 ) + ( tan Ans ) x2 ) ÷ ( ( ( cos Ans ) x3

+ ( sin Ans ) x3 ) ( ÷ ( tan Ans ) x3 ) ) =

Đáp số 0,057352712 b/ Làm tương tự câu a Đáp số 0,280749911

D¹ng : Khai thác khả tính toán tìm số d :

Bµi tËp :

a/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tìm số d chia số 18901969 cho số 2382001 ( Đỏp số dư 2227962 )

c/ ¸p dơng t×m sè d phÐp chia sè 1234567890987654321 cho sè 123456

GIẢI: Do máy Casio fx 500 MS nhận số ta

nhập không 10 chữ số vào máy nên ta chia sau: Bỏ qua nhóm chữ số 123456; bắt dầu chọn nhập vào máy tính từ 7890987654 chia cho 123456 sau dùng phím REPLAY để sửa dấu chia thành dấu trừ hình ta có phép tính 789098765- 123456 63917=50502 (Số 63917 phần nguyên phép chia ban đầu) Sau ta ghép thương tìm với chữ số cịn lại số bị chia để chia tiếp ta tìm số dư 8817

d/ T×m sè d phÐp chia sè 200620062006 cho sè 2001

(Làm ta có sốdư 105 )

e/ Tìm số dư chia số 919 cho 2007.

Gợi ý: Tách 919 = 910.99 sau tìm số dư thừ số chi cho 2007, lấy tích của 2 số dư để tiếp tục chia cho 2007 ta tìm số dư phép chia ban đầu

( Đáp số dư 1890 )

Tuy nhiên hãng điện tử Việt - Nhật cài đặt phần mềm đồng dư thức trên máy tính vinacal 500 MS nên dạng tập sử dụng

D¹ng 3: Giải ph ơng trình bậc ẩn số:

Bài tập :

Giải phơng trình sau:

a/

3 1

1 (0,3 ).1

(x ):0,003

20 2

2 : 62 1 17,81: 0,0137 1301

1 1 3 1 20

(32 2,65).4:5 (1,88 2 ). 25 8

   

    

   

 

 

( Đáp số x= 7,6875 )

b/

13 2 5 1 1

( :2 ).1

15,2.0,25 48,51:14,7 44 11 66 2 5

x 3,2 0,8.(51 3,25)

2

 





 

c/

3 4 4 1

(0,5 ).x 1,25.1,8 :( 3 )

7 5 7 2 5, : (2,5 3)

3 1 3 4

15,2.3,15 :(2 4 1,5.0,8)

4 2 4

    

 

   

 

( Đáp số x= - 903,4765135 )

d/

2 2 3 4

(0,15 0,35 ):(3x 4,2) ( )

4 5 3 : (1, 3,15)1 2

3

2 12

12,5 : (0,5 0,3.0,75):

7 5 17

    

 

   

 

 

 

 

( Đáp số x= - 1,393363825 )

Dạng tập gần giống dạng tính ngc t cui.

Dạng 4: Giải toán ph ơng pháp thử chọn.

Bài tập :

a/ Tìm chữ số a , b , c , d , e biết a8 bcde = 96252 b/ Tìm chữ số a , b , c , d để ta có a5 bcd = 7850 c/ Tìm chữ số a , b số tự nhiên y biết a7b y = 217167

GIẢI: a/ Từ điều kiện a8 bcde = 96252 => 96252 chia hết cho a8

Dùng máy để thử chọn với a từ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; có a = thỏa mãn 96252 chia hết cho 78 Với a = ta có 96252 : 78 = 1234

Vậy a = 7; b = 1; c = ; d = 3; e = 4

b/ Làm tìm a = 2; b = 3; c = 1; d = 4 c/ Vì tích số có tận nên b là các số 1; 3; 7; cịn a nhận giá trị từ 0 đến 9.

Dùng máy thử chọn thấy có b = số 573 b = số 379 thỏa mãn

+ b = ta có 217167 : 573 = 379 => a = 5; b = và y = 379

y = 573

D¹ng : Các toán đa thức.

Định lý Bơdu: D phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x a) số f(a)

Hệ quả : Nếu a nghiệm đa thức f(x) f(x) chia hết cho (x – a)

 ứ ng dụng định lý Bdu:

Định lý: Nếu đa thức với hƯ sè nguyªn f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0 cã

nghiệm nguyên nghiệm nguyên phải ớc hạng tử tự a0

T

ổ ng quát: NÕu ®a thức với hệ số nguyên f(x) = anxn + an-1xn-1 + + a1x + a0

cã nghiÖm hữu tỷ dạng p/q p phải ớc a0 vµ q lµ íc cđa an nÕu an = th× mäi

nghiệm hữu tỷ nghiệm nguyên

CÁC DẠNG BÀI TẬP VỀ ĐA THỨC

Dạng 5.1: Tính giá trị đa thức f(x) x = a

Bµi tËp 5.1:

Cho ®a thøc f(x) = 2x5 + 3x4 – 4x3 – 5x2 + 3x + 1

Tính giá trị đa thức cho x= 2 ; x =  .

GIẢI: Ta tính giá trị đa thức f(x) x = 2 ; x =  .bằng cách khai báo giá

trị biến nhập vào phím Ans tính tốn

Đáp số f( 2) 7,242640687; f()741,3182919

Dạng 5.2: Tìm số d phép chia đa thức f(x) cho nhị thức (x a)

Bài tập 5.2:

Cho ®a thøc f(x) = x4 + 3x3 – 2x2 – x + H·y t×m sè d khi chia đa thức cho nhị thức (x -  )

GIẢI: Ta tính giá trị đa thức f(x) tại x =  bằng cách khai báo giá trị biến nhập vào phím Ans tính tốn vừa làm trên

Đá

p số f()172,5471196

Dạng 5.3 : Tìm giá trị chữ cha biết để hai đa thức chia hết cho nhau

Cho ®a thøc P(x) = 6x3 – 7x2 – 16x + m ( m lµ tham sè)

a/ Tìm m để P(x) chia hết cho nhị thức 2x + 3.

b/ Với giá trị vừa tìm đợc m , tìm số d chia đa thức P(x) cho nhị thức 3x – 2

c/ Với m tìm đợc Hãy phân tích P(x) thành tích đa thức bậc

GIẢI: a/ Đặt Q(x) = 6x3 – 7x2– 16x ta có P(x) chia hÕt cho nhÞ thøc 2x + 3 và

chỉ Q(-3/2) + m = P(-3/2) = => m = - Q(-3/2)

Tính máy ta tìm Q(-3/2) = - 12 m = 12. b/ Với m = 12 ta tính P(2/3) = số dư 0.

c/Dùng phép chia đa thức biến cho hai nhị thức biết để tìm nhị thức thứ x – ta P(x) = 6x3– 7x2– 16x + 12 = (2x + 3)(3x – 2)(x – 2)

Nếu khơng sử dụng phép chia làm sau: Ta dễ dàng nhận thấy tích 2 nhị thức 2x + 3x – chứa hệ số cao đa thức P(x) nghiệm thứ P(x) nghiệm nguyên ước 12, từ ta dùng định lý nghiệm đa thức để tìm nghiệm cịn lại sau thay vào nhị thức thứ

D¹ng 5.4: Đa thức với hệ số chữ

Bài tập 5.4:

5.4a/ Cho đa thức F(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

BiÕt F(1) = ; F(2) = ; F(3) = 10 ; F(4) = 17 ; F(5) = 26 H·y tÝnh F(7) ; F(8) ; F(9) ; F(10)

GIẢI : Phân tích dãy số ; ; 10 ; 17 ; 26 ta thấy :

2 = 12 + ; = 22 + ; 10 = 32 + ; 17 = 42 + ; 26 =

52 + 1

=> ; ; 10 ; 17 ; 26 giá trị đa thức H(x) = x2 +

khi x = ; ; ; ; 5

Vậy ta có F(1) = H(1) ; F(2) = H(2) ; F(3) = H(3) ; F(4) = H(4) ; F(5) = H(5)

Chứng tỏ tồn đa thức bậc G(x) = F(x) – H(x) (1)

Có nghiệm ; ; ; ; Vì hệ số cao F(x) và H(x) nên ta có

G(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) (2)

Từ (1) (2) => F(x) = G(x) + H(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2 + 1

; F(10) = 15221

5.4b/ Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e

BiÕt P(1) = ; P(2) = ; P(3) = ; P(4) = 16 ; P(5) = 25

H·y tÝnh P(6) ; P(7) ; P(8) ; P(9) ; P(10)

GIẢI : Tương tự ta có P(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4)(x – 5) + x2

Từ tính P(6) = 156 ; P(7) = 769 ; P(8) = 2584 ; P(9) = 6801 ; P(10) = 15220

5.4c/ Cho ®a thøc Q(x) = x4 + mx3 + nx2 + px + q BiÕt Q(1) = ; Q(2) = ; Q(3) = ; Q(4) = 11

H·y tÝnh Q(10) ; Q(11) ; Q(12) ; Q(13) ; Q(14) ; Q(15)

GIẢI : Tương tự ta có Q(x) = (x – 1)(x – 2)(x – 3)(x – 4) + 2x + 3

Từ tính được Q(10) = 3047 ; Q(11) = 5065 ; Q(12) = 7947 ; Q(13) = 11909 ; Q(14) = 17191 ; Q(15) = 24057

5.4d/ Cho đa thức P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + 132005.

Biết cho x ; ; ; giá trị P(x) lần lượt ; 11 ; 14 17.

Tính giá tr c a P(x) v i x = 11ị ủ ; 12 ; 13 ; 14 ; 15

GIẢI : Phân tích dãy số ; 11 ; 14 ; 17 ta thấy :

8 = 3+5=3.1+5 ; 11 = 6+5 = 3.2+5 ; 14 = 9+5=3.3+5 ; 17=12+5=3.4+5 => ; 11 ; 14 ; 17 giá trị đa thức 3x+5 x = ; ; ; 4.

Xét đa thức H(x) = P(x) – (3x +5) ; ta có H(1) = H(2) = H(3) = H(4) = 0 Vậy đa thức H(x) có nghiệm ; ; ; có dạng :

H(x) = P(x) – (3x +5) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4).Q(x)

Vì đa thức có bậc nên Q(x) có bậc Q(x) = x + n. Ta có H(0) = + 132005 - (0 + 5) = (-1)(-2)(-3)(-4)(0+n) Hay 132000 = 24n => n = 5500 từ suy

P(x) = (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x + 5500) + (3x + 5) Với x = 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ta có

P(11) = 27775478 ; P(12) = 43655081 ; P(13) = 65494484 P(14) = 94620287 ; P(15) = 132492410.

khi chia cho tam thức (x2 – 12x + 25) có đa thức dư là: 431x – 2933

GIẢI : - Vì P(x) chia cho (x – 25) dư 29542 => P(25) = 29542 Hay thay x = 25 ta có 15625a + 625b + 25c = 31550 (1)

- Vì P(x) có bậc cịn đa thức chia (x2 – 12x + 25) có bậc nên

thương phép chia P(x) cho (x2 – 12x + 25) phải có bậc 1;

Gọi thương phép chia (mx + n)

Ta có ax3 + bx2 +cx – 2008 = (x2 – 12x + 25)(mx + n) + (431x – 2933)

= mx3 + (n – 12m)x2 +(25m- 12n + 431)x +

25n – 2933

Đồng hệ số tương ứng hai đa thức ta có hệ phương trình:

25 1212 431

2008 25 2933

a m

b n m

c m n

n

 

   



  



  



từ phương trình – 2008 = 25n – 2933 => n = 37

Thay n = 37 vào hệ ta có : b = 37 – 12m ; c = 25m – 13 ; a = m tiếp tục thay giá trị a ; b ; c ; theo m vào (1) phương trình:

15625m + 625(37 – 12m) + 25(25m – 13) = 31550 => m = 1

Với m = => a = ; b = 25 c = 12 => P(x) = x3 + 25x2 +12x –

2008

D¹ng : D·y sè viÕt theo quy luËt.

Bµi tËp 1 :

Cho d·y sè U1= ; U2= 10 ; , Un+1= 3Un + Un-1

a/ TÝnh U3 ; U4 ; U5 ; U6

b/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính Un với U1= ; U2= 10

c/ Dùng quy trình để tính U15 ; U16 ; U17 ; U18 ; U19 ; U20 ; U21

GIẢI :

b/ Bấm 10 SHIFT STO A x + SHIFT STO B

lặp lại dãy phím x + ALPHA A SHIFT STO A

x + ALPHA B SHIFT STO B

Tiếp tục ấn REPLAY  SHIFT REPLAY  sau ấn liên tiếp =

c/ Áp dụng quy trình ta tính số hạng dãy

U15 = 54059072 ; U16 = 178544986 ; U17 = 589694030 ; U18 = 1947627076 ;

U19 = 6432575258 ; U20 = 21245352850 ; U21 = 70168633808.

Bµi tËp 2 :

Cho dãy số xác định công thức : Un+1 =

2 4Un

2 Un

 

n số tự nhiên ; n

a/ Cho biết U1 = 0,25 Viết quy trình ấn phím liên tục để tính đợc giá trị

cña Un

b/ TÝnh U100

GIẢI : a/ Ta cóUn+1 = 4Un

2 Un



 = +

Un1 từ ta có quy trình tính sau : Khai báo 0,25 = và lặp lại dãy phím + ÷ ( Ans x2 + ) =

Sau nhấn liên tiếp phím = để tìm giá trị Un

b/ Sau lần ấn phím = ta nhận thấy giá trị Un không thay đổi Vậy U100 = 4,057269071

Bµi tËp 3 :

Cho d·y sè : Un =

7

) ( )

(  n  n víi n = , , , a/ TÝnh sè hạng đầu dÃy số U0 , U1 , U2 , U3 , U4

b/ Chøng minh r»ng : Un+2 = 10Un+1 – 18Un

c/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2

GIẢI : a/ Dùng máy tính bấm theo qui trình sau để tính :

- SHIFT STO A ALPHA A + SHIFT STO A  ALPHA :

( ( +  ) ^ ALPHA A - ( -  ) ^ ALPHA A

) ÷  sau nhấn phím = liên tiếp để tính số hạng dãy.

Hoặc sử dụng phím Ans để nhập cho số mũ sau:

Khai báo: = nhập biểu thức để tính U0 với số mũ Ans, tiếp tục khai báo 1 = Replay ấn = thay số mũ liên tục ta tìm số

= ( ( +  ) ^ Ans - ( -  ) ^ Ans ) ÷  =

tiếp tục ấn = Replay = ; = Replay = …n để tìm số

hạng dãy

U0 = 0 ; U1 = ; U2 = 10 ; U3 = 82 ; U4 = 640

U5 = 4924 ; U6 = 37720 ; U7 = 288568.

b/ Chứng minh : Un+2 = 10Un+1 – 18Un Đặt an (5 7)n;bn (5 7)n

2 7

 

  với n € N

Ta có Un = an - bn

=> Un+1 = (5+ 7)an – (5 - 7)bn Un+2 = (5+ 7)2 an – (5 - 7)2bn

= (32+10 )an – (32 - 10 7)bn

= (50+10 )an – (50 - 10 7)bn – 18(an – bn)

= 10(5+ )an – 10(5 - 7)bn – 18(an – bn)

= 10[(5+ 7)an – (5 - 7)bn] – 18(an – bn)

= 10Un+1 – 18Un

c/ Quy trình : 1 SHIFT STO A x 10 - 18 x SHIFT STO B Lặp lại dãy phím sau

x 10 - 18 x ALPHA A SHIFT STO A

x 10 - 18 x ALPHA B SHIFT STO B

Tiếp tục ấn REPLAY  SHIFT REPLAY  sau ấn liên tiếp =

Bµi tËp 4 :

Cho d·y sè : Un = 2 2

) ( )

(  n  n

víi n = , , a/ Tính số hạng đầu dÃy số U1 , U2 , U3 , U4 , U5

b/ Chøng minh r»ng : Un+2 = 6Un+1 – 7Un

c/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính Un+2

GIẢI : a/ Dùng máy tính được U1 = ; U2 = ; U3 = 29 ; U4 = 132 ; U5 = 589.

b/ Chứng minh trên.

c/ Quy trình : 6 SHIFT STO A x - x SHIFT STO B Lặp lại dãy phím sau

x - x ALPHA A SHIFT STO A

Tiếp tục ấn REPLAY  SHIFT REPLAY  sau ấn liên tiếp =

Bµi tËp 5 :

Cho hai dãy số với số hạng tổng quát cho công thức 1

1

1; 22 15 17 12

n n n

n n n

u v

u v u

v v u

 

 

 

 



  



với n  N*

a/ Tính u5 ; u10 ; u15 ; u18 ; u19 ; v5 ; v10 ; v15 ; v18 ; v19 ;

b/ Viết quy trình ấn phím liên tục tính un1 vn1 theo un

GIẢI : a/ Các số hạng cần tìm là :

U5= - 767 U10= -192547 U15 = -47517071 U18 = 1055662493 U19 = - 1016278991

V5= - 526 V10= -135434 V15= - 34219414 V18 = 673575382 V19= - 1217168422

b/ Quy trình ấn phím :

SHIFT STO A SHIFT STO B

22 ALPHA B - 15 ALPHA A SHIFT STO C 17 ALPHA B - 12 ALPHA A SHIFT STO D 22 ALPHA D - 15 ALPHA C SHIFT STO A 17 ALPHA D - 12 ALPHA C SHIFT STO B

   SHIFT  ấn phím = liên tiếp để tính số hạng dãy

Bµi tËp 6 :

Cho d·y sè U1= ; U2= ; U3= ; , Un+3= Un+2 + 2Un+1 + 3Un với n  N ; n ≥

a/ Tính U9 đến U20

b/ Viết quy trình ấn phím liên tục để tính Un+3 theo Un+2 ; Un+1 Un

GIẢI : a/ Các số hạng cần tìm

U9= 1701 U11 = 9604 U13= 54140 U15= 305217 U17= 1720801 U19 = 9701699

U10= 4045 U12= 22797 U14=128546 U16= 724729 U18= 4085910 U20= 23035922

b/ Quy trình ấn phím :

SHIFT STO A SHIFT STO B SHIFT STO C

ALPHA A + ALPHA C + ALPHA B SHIFT STO B ALPHA B + ALPHA A + ALPHA C SHIFT STO C

  SHIFT  sau ấn phím = liên tiếp để tính số hạng ca dóy

Dạng : Bài toán lÃi xt tiÕt kiƯm :

Bµi tËp 1:

a/ Một ngời gửi vào ngân hàng số tiền gốc a đồng với lãi xuất hàng tháng m% Biết ngời khơng rút tiền lãi Hỏi sau n tháng ngời nhận đợc tiền gốc lẫn lãi ? (xây dựng công thức tổng quát để tính liên tục máy ).

b/ áp dụng với a = 10 000 000 đồng , m = 0,8% n = 12 tháng

GIẢI : a/ Số tiền có sau tháng : a + a.m% = a(1+ m%)

Sau tháng có số tiền : a(1+ m%)+ a(1+ m%).m%= a(1+ m%)2

Cứ sau n tháng người có tổng số tiền gốc lẫn lãi : a(1+ m%)n

b/Áp dụng cơng thức ta có kết quả

10(1+0,8%)12 = 11,003386 triệu đồng

a = 75 tr ; m = ? n 20 n ăm 75000000( + m%)20 = 95000000

Bµi tËp 2:

a/ Dân số nớc ta tính đến năm 2000 giả sử 75 triệu ng-ời ; dự kiến đến năm 2020 dân số nớc ta 95 triệu ngng-ời Hỏi trung bình hàng năm dân số nớc ta tăng % ?

b/ Với tỷ lệ tăng dân số nh tổng số dân tính đến năm 2000 75 triệu ngời đến năm 2050 dân số nớc ta là bao nhiêu ?; m = 1,188956448 ; a=75000000; n = 50

c/ Cũng hỏi nh câu b, hÃy tính xem năm 1950 dân số nớc ta có bao nhiêu triệu ngêi ?

a = ? m = 1,1188956448 n = 50

a( + 1,188956448%)50 = 75000000

GIẢI : a/ Áp dụng công thức ta có 75(1+ x%)20 = 95 => x (2095 1).100 1,188956448

75

Ấn phím liên tục: ( 20 SHIFT y ( 95 ÷ 75 ) - ) x 100 =

( Đọc kết hình 1,188956448 )

Vậy trung bình hàng năm dân số nước ta tăng 1,188956448 %

b/ Từ năm 2000 đến năm 2050 có thời gian 2050 – 2000 = 50 ( năm ) Áp dụng cơng thức ta có 75(1+1,188956448%)50 =135,430698 triệu người. c/ Tương tự : Gọi x dân số nước ta năm 1950 đến năm 2000 dân số nước ta là 75 triệu người Áp dụng cơng thức ta có : x(1+1,188956448%)50=75000000

50

x 75000000 : (1 1,188956448%)  41534157(người)

Ghi chú: Khi nhập máy, ký hiệu % thực theo cách chia cho 100 Một số công thức tính lãi xuất tiết kiệm:

a/ Có a đồng, gửi không kỳ hạn, lãi xuất m% tháng, sau n tháng có tổng số tiền gốc lẫn lãi là:

Nhập a = sau ấn Ans + Ans x m% = ấn n lần dấu =

b/ Có a đồng, gửi kỳ hạn p tháng, lãi xuất m% tháng, sau n tháng ( n bội p) có tổng số tiền gốc lẫn lãi là:

Nhập a = sau ấn Ans + Ans x p x m% = ấn (n:p) lần dấu = Chú ý: ( n : p ) số chu kỳ hưởng lãi

c/Một người gửi góp tiết kiệm, tháng đặn gửi vào a đồng với lãi suất m% tháng Hỏi sau n tháng người rút tất tiền (n N )

Lời giải: Số tiền có đến hết tháng thứ a + a.m% = a(1+m%) Số tiền gốc đầu tháng thứ là:

a(1+m%) + a = a[(1+m%)+1] = 1 %2 1 %2

(1 %) %

a a

m m

m     m    

  đồng

Số tiền có đến cuối tháng thứ 1 %2 1 % 1 %3 1 %

% %

a a

m m m m

m      m     

Số tiền gốc đầu tháng thứ là:

1 %3 1 % 1 %3 1 % % 1 %3

% % %

a a a

m m a m m m m

m      m       m    

Số tiền có đến cuối tháng thứ 1 %3 1 % 1 %4 1 %

% %

a a

m m m m

m      m     

Cứ tiếp tục đến đầu tháng thứ n người có số tiền là:

Cuối tháng thứ n người rút tổng số tiền là:

1 % 1 % % 1 % 1 %

% % %

n n n

a a a

m m m m m

m    m     m     

Quy trình bấm phím là:

a SHIFT STO A = sau ấn tiếp

Ans + Ans x m% + ALPHA A = sau n lần ấn liên tiếp dấu =

ấn tiếp - ALPHA A = ta có kết cần tìm

Ngồi ấn phím theo cơng thức phần lời giải

d/ Có a đồng, gửi p tháng, lãi xuất m% tháng, sau b chu kỳ, lấy c đồng, số lại gửi tiếp q tháng theo lãi xuất n%, sau d chu kỳ có tất tiền ?

a = ấn tiếp Ans + Ans x b x m% = ấn liên tiếp b chu kỳ ( b lần) Ấn tiếp - c ấn tiếp Ans + Ans x q x n% = ấn liên tiếp d lần sau đó cộng c đồng vào kết cần tỡm

Dạng : Các tập hình học:

Bài tập 1:

Cho tam giác ABC cã gãc A = 900 , AB = 4,6892 cm , BC = 5,8516 cm , AH lµ

đờng cao , CI phân giác góc C Tính: a/ Độ lớn góc B độ phút

b/ Tính AH CI xác đến chữ số thập phân

GIẢI : a/ Có cosB=AB:BC=4,6892 : 5,8516

Ấn phím: SHIFT COS-1 ( 4,6892 ÷ 5,8516 ) =

0’ ’’ ( đọc kq hình 36044’25,64 )

Vậy góc B 36 440 ’

b/ ABH vng H có sinB = AH:AB

=> AH=AB.sinB

Tính tiếp: 4,6892 x sin Ans =

5,8516

4,6892 I H

C

B A

(kq:AH2,805037763

cm)

Để tính độ dài CI có cách là Cách 1: Dùng định lý Pitago tính AC3,500375111

C 90  0 B từ ta có

cosC AC

2 CI => CI = AC: cos  C

Ấn phím: ( 5,8516 x2 - 4,6892 x2 ) SHIFT STO A 90 - SHIFT

COS-1

( kq CI  3,91575246 cm)

Cách 2: Áp dụng cơng thức tính phân giác hạ từ đỉnh C

2

CI BC.AC.p(p AB)

BC AC

 

 ;

BK = 2 BC AB p p AC ( )

BC AB 

với p=(AB+BC+ CA):2 ( kq CI  3,91575246 cm)

Bµi tËp 2:

Cho tam giác ABC có BC = 8,751 cm , AC = 6,318 cm , AB = 7,624 cm ; đờng cao AH , phân giác AD góc A bán kính đờng trịn nội tiếp r Hãy tính: AH , AD , r xác đến chữ số thập phân

(a=8,751; b=6,318; c = 7,624 TÝnh AH, ma = ? ; r = ?)

GIẢI :

+ Tính AH : Áp dụng cơng thức tính đường cao

AH p(p a)(p b)(p c) BC

  

 (p nửa chu vi tam giác)

Ấn phím: 8,751SHIFT STO A 6,318 SHIFT STO B 7,624 SHIFT STO C ( ALPHA A + ALPHA B + ALPHA C ) ÷ SHIFT STO D x

6,318cm 7,624cm

8,751cmD H

C B

A

√ ( ALPHA D ( ALPHA D - ALPHA A ) ( ALPHA D - ALPHA B ) ( ALPHA D - ALPHA C ) ) ÷ ALPHA A = (kq: AH ≈ 5,365996284 cm)

+ Tính AD : Áp dụng cơng thức tính phân giác

AD AC.AB.p(p BC) AC AB

 

 (kq: AD ≈ 5,402908929 cm) + Tính r : Áp dụng cơng thức S = p.r => r = S : p (kq: r ≈ 2,069265125 cm)

Chú ý: Đối với tập hình học, ta cần có nhìn tổng quát để tìm mối liên hệ phần, sau thiết kế qui trình ấn phím tính tốn để đảm bảo tính liên tục, hợp lý chặt chẽ, không ghi số giấy nhập trở lại máy để tránh xảy sai số !

Bµi tËp 3:

là góc vng ) Hãy tính độ dài đoạn thẳng AD , DC , BC độ lớn góc ABC , BCD ( AD= 1,88797417;DC = 5,521099898 ; BC = 6,929803608 góc BCD = 240 )

Bµi tËp 4:

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = 900 , AB = a = 7,5 cm , gãc B =

= 58025 , CD phân giác góc C , CM trung tuyến thuộc

cạnh AB Hãy tính độ dài đoạn AC , BC , diện tích S tam giác ABC , diện tích S’ tam giác CDM.

Bµi tËp 5:

Cho tam gi¸c ABC cã gãc A = = 63025’ , AB = c = 32,25

cm , AC = b = 35,75 cm HÃy tính diện tích S , cạnh BC góc B , C tam giác ABC.

Dạng 9: Một số dạng tập khác:

Bài tập 9.1: Tìm nghiệm gần phơng trình phơng pháp lặp:

Cho phơng trình f(x) = ta biến đổi tơng đơng để có x = g(x) sau chọn giá trị x1 tính x2 = g(x1)

x3 = g(x2)

xn = g(xn-1)

Nếu sau số hữu hạn bớc ta có giá trị xn số ; tức ta tìm đợc

nghiệm gần phơng trình f(x) =

Bài tập 1: Tìm nghiệm gần phơng trình x3 + x – 1000 = (1)

GIẢI : Từ phương trình cho ta có lựa chọn là

(1)  x = 1000 – x3 (2) hoặc x3 = 1000 – x (3)

Dùng máy tính ta thấy dạng (2) giải phương pháp lặp ta xét dạng (3) => x31000 x ta ấn phím để giải sau : Chọn x1 = 10 để tính

10 = SHIFT x ( 1000 - Ans ) = ấn liên tiếp phím = cho đến khi

thấy kết hình khơng thay đổi nghiệm gần phương trình cần tìm ( sau lần bấm ta có kq 9,966666791 )

Bài tập 2: Tìm nghiệm gần phơng trình 5x - x - = (I)

GIẢI : Tương tự phương trình (I) có lựa chọn : ( x ≥ )

x 5x 3 (II) hoặc 5x = x x x

5 

   (III)

Ta thấy phương trình (II) khơng dùng phương pháp lặp để giải mà phải dùng phương trình (III) Các bạn chọn x1 = thay vào để giải sau 10 lần ấn phím = ta tìm giá trị x = 0,776204993

chữ số hàng đơn vị lên đầu số tăng lên gấp lần so với số cho

GIẢI : Giả sử số cần tìm là a a a1 n n a theo ta có : a a a an n 1 = a a a1 n n a

=> a 10n n 1 a a a1 2 n 1 5(10.a a a1 2 n 1 a )n

 

  

=> a 10n n 1 5.an 50.a a a1 2 n 1 a a a1 2 n 1

 

  

=> a (10n n 1 5) 49.a a a1 2 n 1



  (*)

Ta có 10n-1 – = 99 95 ( có n – chữ số )

Thay vào (*) ta có:

99…95.an = 49.a a a1 2 n 1 vì số cần tìm có khơng q 10 chữ số nên

n – ≤ mà an số có chữ số nên an khơng chia hết cho 49

Có 49 = 7.7 số 99 95 phải chia hết cho Dùng máy thử chọn trong số 95 ; 995 ; 9995 ; 99995 ; 999995 ; 9999995 ; 99999995 ; 999999995

khi chia cho có số 99995 thỏa mãn 99995 = 7.14285 => n – = => n = vậy số cần tìm có chữ số => a6.99995 = 7.7 a a a a a1 5

Hay a6.14285= 7.a a a a a1 5 ( chia hết cho 7)

Mà 14285 không chia hết cho => a6 chia hết cho => a6 = 7

Vậy ta có 7.14285 = 7.a a a a a1 5 => a a a a a1 5 = 14285

=> số cần tìm là a a a a a a1 6 142857 và có số thỏa mãn đề bài.

Bµi tËp 9.3.1: Tìm số tự nhiên n ( 1010 ≤ n ≤ 2010 ) cho

an  20203 21n c ng l s t nhiên.ũ ố ự

GIẢI : Cách :

Với 1010 ≤ n ≤ 2010 ta có

203,5 20203 21.1010 a  n  20203 21.n  20203 21.2010 249,8 

Có n

a = 20203 + 21.n = 21.962 + 21.n + =>

n

a - = 21(962 + n) => a2n- phải chia hết cho 3.7 (chia hết cho 21 = 3.7) =>

n

a - = (an + 1)(an - 1) = 7.k.3.q (k; q € N* )

=> n n

n n

a 7k a 7k a 7k a 7k

    

 

    



* Nếu an = 7k – => 203 ≤ an = 7k – ≤ 249 => 30 ≤ k ≤ 35

Dùng máy để chọn n

a - 1= (7k – 1)2 – với 30 ≤ k ≤ 35 phải chia hết cho ta có giá trị:

30 1118 209 33 1557 230

32 1406 223 35 1873 244

* Tương tự an = 7k + => 203 ≤ an = 7k + 249 => 29 k 35 ta c ng tìm ≤ ≤ ≤ ũ

c giá tr th a mãn l

đượ ị ỏ

k n an k n an

30 1158 211 33 1601 232

31 1301 218 34 1758 239

Cách :

n

a  20203 21n => a2n= 20203 + 21.n => n = (a2n- 20203) : 21 Với 1010 ≤ n ≤ 2010 => 204 ≤ an ≤ 249

Dùng máy thử chọn với 204 ≤ an ≤ 249 qua 45 phép thử ta tìm giá trị

Chú ý: Cách nhanh giảm thiểu phần lý luận phù hợp với việc khai thác sử dụng máy tính cá nhân

Bµi tËp 9.3.2: Tìm số tự nhiên n ( 1500 ≤ n ≤ 3000 ) cho

an  52741 45n c ng l s t nhiên.ũ ố ự

GIẢI : Tương tự cách làm ta có

345 52741 45.1500 a  n 52741 45.3000 433 

=> n a2n 52741

45 

 từ ta có quy trình bấm phím để thử chọn sau:

343 SHIFT STO A ALPHA A + SHIFT STO A  ALPHA : ( ALPHA A x2 - 52741 ) ÷ 45 sau ấn liên tiếp phím = cho đến

A = 433 dừng lại, Chú ý chọn giá trị thỏa mãn đề bài.

CHỨNG MINH MỘT SỐ CƠNG THỨC HÌNH HỌC

1/ Tính diện tích tam giác biết độ dài cạnh a, b, c bán kính đường trịn ngoại tiếp R : S abc

4R



C/m: ∆AHB ∆ACE (g.g) => AB.AC = AH.AE

Hay b.c = 2R.AH <=> a.b.c = 2R.a.AH

Mà 2SABC = a.AH => S abc 4R



O H

E C B

A

2/ Tính diện tích tam giác biết nửa chu vi p = (a+b+c):2 bán kính đường trịn nội tiếp r : S = p.r

C/m: SABC = SAOB + SBOC + SAOC

Hay SABC = 1AB.OE 1BC.OD 1AC.0F

2 2 2

= 1(c a b).r

2   = p.r (OE = OD = OF = r )

Hình

O F E

D C

B A

3/ Tính diện tích tam giác biết độ dài cạnh a, b, c Công thức Hê rông

S p(p a)(p b)(p c)   

p = (a+b+c) :

C/m: Giả sử a ≥ b ≥ c ,(a cạnh lớn -> B, C góc nhọn) Ta có AB2 – BH2 = AC2 – CH2 (cùng AH2 ) Do c2 – (a – x)2 = b2 – x2=> 2ax = a2 + b2 – c2 => x a2 b2 c2

2a   

Hình

x a

c b

H C

B

A

ta có 2 2 2 2 2 2

4a b (a b c )

AH AC CH b x

4a

  

     ;

2

2 a 2 a

b HM AH ;c HM AH

2

   

       

    ( M trung điểm BC)

=> 2 2 2 2 2

1 4a b (a b c ) (a b c)(a b c)(a c b)(b c a) S ( BC.AH) a

2 4a 16

          

  

2p(2p 2c)(2p 2b)(2p 2a) 16p(p a)(p b)(p c)

16 16

     

  p(p-a)(p-b)(p-c)

4/ Tính diện tích tam giác biết độ dài cạnh góc xen ABC

1 1

S bc.sin A ac.sin B ab.sin C

2 2

   

Giải: Ta có ABC

1

S BC.AH

2

  => 2.SABC BC.AH

Mà AH = AC.sinC =>2.SABC BC.AH=BC.AC.sinC

Hay ABC

1

S BC.AC.sin C ab.sin C

2    Hình C H B A

5/ Tính độ dài đường trung tuyến AM tam giác:

2

2 a 2 a

b HM AH ;c HM AH

2

   

       

   

=> 2 2 a

a

b c 2m

2    =>

2 2

a

2b 2c a m    Hình a ma h b c M H C B A

6/ Tính độ dài đường phân giác AD tam giác: ABDAEC (g.g) (AE phân giác góc BAC) nên : AD.AE = AB.AC => AD.(AD + DE) = AB.AC

Hay AD2 = AB.AC – AD.DE = b.c – AD.DE

ABDCED(g.g) => AD.DE = BD.CD => AD2 = b.c – AD.DE = b.c – BD.CD

Mà AE phân giác góc BAC nên ta có: BD CD BD CD BC a k

AB AC AB AC AB AC b c

         Vì   2

BD CD BD.CD BD.CD a

k k

ABAC  AB.AC  b.c  b c =>   2 a bc BD.CD b c 

 Vậy

 

2

2

bc(b c a)(a b c) a bc

AD bc AD

b c b c          