Giai tich 11 Nang cao

Giíi thiÖu ph¬ng ph¸p chøng minh b»ng quy n¹p to¸n häc.. B..[r]

(1)

Ch¬ng 3:

D·y Sè CÊp số cộng cấp số nhân A Mục tiêu:

Trên sở kiến thức hàm số học lớp 10, giới thiệu dãy số, tiếp đến hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng cấp số nhân Giới thiệu phơng pháp chứng minh quy nạp toán học

B Nội dung mức độ:

- Phơng pháp quy nạp toán học: Chứng minh mệnh đề chứa biến số tự nhiên dùng quy nạp khơng hồn tồn để phát quy luật dãy số

- Dãy số trình bày theo quan điểm hàm số với đối số số tự nhiên

- Hai dãy số đặc biệt: Cấp số cộng cấp số nhân Các định nghĩa, số hạng tổng quát, tính chất số hạng, tổng n số hạng đầu áp dụng phơng pháp quy nạp toán học chứng minh

- Bổ sung số kiến thức để học sinh tự học: phơng pháp suy luận, dãy Phi-bơ-na-xi, dãy số hình bơng tuyết Vơn - kốc hình học Fractal

C Yêu cầu mức độ đạt đợc:

- Nắm vững nội dung bớc tiến hành phơng pháp quy nạp toán học Biết cách chứng minh toán quy nạp toán học

- Nắm vững khái niệm dÃy số: Định nghĩa, cách cho d·y sè, biĨu diƠn h×nh häc cđa d·y sè, tính tăng, giảm, bị chặn dÃy số

- Nắm vững định nghĩa, tính chất số hạng, công thức số hạng tổng quátm tổng n số hạng đầu của cấp số cộng cấp số nhân Biết vận dụng cơng thức tính chất để giải toán cấp số cộng cấp số nhân

- Tự đọc tự học mục “ Bạn có biết “ đọc thêm cuối chơng

TiÕt 47 : Đ1 Phơng pháp quy nạp toán học ( tiết)

A - Mơc tiªu:

- Nắm đợc nội dung phơng pháp quy nạp toán học - áp dụng đợc vào tập

B Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - S¸ch gi¸o khoa, s¸ch giáo viên, sách tập, thiết kế học, m¸y tÝnh bá tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành: Phối kết hợp phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề và giải vấn đề, luyện chữa

D - Tiến trình học : 1 ổ n định tổ chức :

2 Kiểm tra cũ: * HS: Xét tính sai mệnh đề: a) Nếu a > b an > bn, b)

NÕu a > b > an > bn

3 Bài mới

Hot động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - TRả lời câu hỏi giáo

viên

- Dùng máy tính bỏ túi tính 3n

và 100n + để so sánh đa kết luận với n = 1, 2, 3, 4,

- Nêu đợc: Phép thử chứng minh muốn chứng tỏ mệnh đề chứa biến phải chứng minh đợc trờng hợp, ngợc lại để chứng tỏ mệnh sai, thỡ ch cn ch

- Nêu to¸n:

+ Hãy kiểm tra n = 1? + Có thể kiểm tra (1) với n không?

Cho mệnh đề chứa biến: p(n) = “ 3n < 100n + “ Chứng

minh mệnh đề với n = 1, 2, 3, 4,

- Hớng dẫn học sinh lập bảng dùng máy tính bỏ túi tính tốn so sánh, đa kết luận - ĐVĐ: Có thể khẳng định p(n) với giá trị n 

I - Phơng pháp quy nạp Toán học:

* Các bớc chứng minh quy nạp:

- Để chứng minh mệnh đề chứa biến A(n) với n nguyên dơng ta thực nh sau:

+ Chứng minh A(n) mệnh đề n =

+ Với k số nguyên dơng tuỳ ý, xuất phát từ giả thiết A(n) mệnh đề

n = k chøng minh A(n)

Lớp Ngày dạy Sĩ số

(2)

ra trờng hợp sai đủ - Đọc sách giáo khoa

- Nêu đợc bớc chứng minh

- Thực yêu cầu GV + Ta thấy (3) n = + Với n = k + ta có (3): 13 + 23 + + k3 + (k + 1)3=

4 ) ( )

( 2

  k k

Tiếp tục đọc SGK

N* hay không ? Tại ? Để chứng minh mệnh đề chứa biến n  N* với n mà trực tiếp đợc, ta phải làm nh ? - Tổ chức cho học sinh đọc sách giáo khoa phần “Phơng pháp quy nạp Toán học “ - Nêu bớc chứng minh phơng pháp quy nạp Toán học ?

+ Hãy kiểm tra n = 1? + Giả sử (3) n = k Hãy thiết lập công thức n = k + chứng minh cơng thức đó?

là mệnh đề dúng n = k +

2 VÝ dơ ¸p dơng * VÝ dơ 1:

Chứng minh với số nguyên dơng n ta lu«n cã: 13 + 23 + + n3 =

4 )

(

2 n

n

4 Cđng cè: + C¸ch chứng minh quy nạp toán học? + Làm bµi tËp sau:

* Bµi 1: Chøng minh r»ng Sn = + + + + n =

n(n 1) 2



víi n  N*

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Với n = ta có S1 =

1(1 1) 1 2



 - giả sử với n = k  1, tức là: Sk = + + + + k =

k(k 1) 2



đẳng thức

Ta ph¶i chøng minh Sk + = (k 1)(k 2)

2

 

ThËt vËy, ta cã: Sk + 1= + + + + k + ( k + )

= Sk + ( k + )

= k(k 1) 2



+ ( k + ) = (k 1)(k 2) 2

 

Híng dÉn häc sinh thùc hiƯn tõng bíc quy n¹p:

- Thư víi n =1 ?

- Thế với n = k ? - Phải chứng minh với n = k + có nghĩa chứng minh đẳng thức ?

- Cñng cố bớc chứng minh phơng pháp quy nạp

5 VỊ nhµ: Häc bµi Lµm bµi tËp SGK. Ngày soạn:

Tiết 48 : Phơng pháp quy nạp toán học (tt)

A - Mục tiªu:

- áp dụng đợc phơng pháp quy nạp toán học vào giải toán - Hiểu rõ chất phơng pháp

B Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

(3)

2 KiĨm tra bµi cị:

* HS1: Chứng minh đẳng thức sau với n  N*: a) + + + + 3n - = n(3n 1)

2  b)

n

n n

1 1 1 2 1

2 8 2 2

     

c) 12 + 22 + 32 + + n2 = n(n 1)(2n 1)

6

 

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Với n = 1, ta có đẳng thức

Giả sử đẳng thức với n = k  1, tức là: + + + + ( 3k - ) = k(3k 1)

2 

đẳng thức

Ta chứng minh đẳng thức với n = k + 1, tức phải chứng minh:

2 + + + + ( 3k - ) + [ 3( k + ) - ] = (k 1)(3k 4)

2

 

ThËt vËy: + + + + ( 3k - ) + ( 3k + ) = k(3k 1)

2 

+ ( 3k + ) = k(3k 1) 2(3k 2)

2

  

2

3k 7k 4 2

 

 = (k 1)(3k 4) 2

 

( ®pcm )

- Gọi học sinh lên bảng thực tập chuẩn bị nhà

- Nêu câu hỏi:

Nội dung phơng pháp chứng minh quy nạp Toán học ?

- Hớng dẫn học sinh giải tập phần b, c

3 Bµi míi:

* Bµi 1: Chøng minh r»ng + + + + ( 2n - ) = n2 víi n  N*

( Tổng n số lẻ )

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Đặt Sn = 1+3+5+ +(2n-1)

Thư víi n = 1: S1 = = 12

đúng

- Giả sử với n = k  1, tức là:Sk = 1+3+5+

+(2k-1) = k2 đẳng

thức Ta phải chứng minh

Sk + = ( k + )2

- Tr¶ lêi câu hỏi GV: + Với n = thì:

12 = =

3 ) 1 (

1



+ Víi n = k + th× ta cã:

Hớng dẫn học sinh thực toán phơng pháp quy nạp, nêu đợc bớc quy nạp

Viết đợc đẳng thức: S1 = 12, Sk = k2,

Sk + = ( k + )2

+ Hãy kiểm tra n = 1? + Giả sử công thức n = k Hãy thiết lập công thức

+ Hãy thiết lập công thức n = k + chứng minh cơng thức đó?

2 Mét sè vÝ dơ ¸p dơng * H2:

Chøng minh r»ng

1+3 + + + (2n -1)=n2

với số nguyên dơng n * H3:

Chøng minh r»ng 12 + 32 + + (2n - 1)2 =

3 ) (

 n

n

(4)

12+32+ +(2k-1)2+

(2(k+1)-1)2=

 

3

1 ) ( ( )

(

 

 k

k

- Lên bảng chứng minh tiếp

+ Trình bày đợc: Với n = (*) Giả sử cơng thức với n = k tức 2k > 2k +

Ta chứng minh công thức với n = k + 1:

ThËt vËy:

2k + 1 = 2k > 2.k (do gt).

Mặt khác 2.k = k + k nªn: 2k + =2 2k >2.k =k+k

k+1

- Trình bày đợc:

+ Với n = ta có 12 chia hết mệnh đề + Giả sử mệnh đề với n = k 1 tức k3 + 11k

chia hết cho ta phải c/m mệnh đề với n = k +1 tức là:

( k + )3 + 11( k + )



ThËt vËy:

( k + )3 + 11( k + ) = k3

+ 3k2 + 3k + + 11k + 11 =

( k3 + 11k ) + 3( k2 + k + )

=(k3+11k)+3[k(k+1)+2]

 gi¶ thiÕt quy n¹p

k3+11k

 6, k( k + 1)+2  a) Lập bảng tính so sánh để kết luận đợc: 3n > 8n

với n  N* n  b) Dùng PP quy nạp để chứng minh nhận định - Thử với n = 3, thấy - Giả sử mệnh đề với n = k  3, tức là: 3k > 8k

Ta phải chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức 3k + 1 > 8(k + ) Thật

vËy:

Ta cã 3k + 1 = 3.3k > 3.8k =

8( k + ) + 16k -

= 8( k + ) + 8( 2k - ) > 8( k + ) 8( 2k + ) > víi mäi k 

+ Xét tính sai cơng thức với n = + Giả sử công thức n = k Hãy thiết lập công thức

- Phát vấn: Nêu bớc chứng minh quy nạp ? + Xét tính sai công thức với n = + Giả sử công thức n = k Hãy thiết lập công thức

+ Hãy thiết lập công thức n = k + chứng minh công thức đó?

- Híng dÉn häc sinh lËp b¶ng so sánh tr-ờng hợp

n = 1, 2, 3, 4,

n 3n ? 8n

1 <

2 < 16

3 27 > 24

4 81 > 32

5 243 > 40

* VÝ dô 2:

Chứng minh với số nguyên dơng n ta lu«n cã:

2n > 2n + (*)

Bµi 1: Chøng minh r»ng víi n  N* th× n3 + 11n chia

hÕt cho

Bµi 2:

Cho 3n vµ 8n víi n  N*

a) So s¸nh 3n vµ 8n n =

1, 2, 3, 4,

b) Dự đoán kết tổng quát chứng minh phơng pháp quy nạp

4 Cđng cè:

+ C¸ch chøng minh b»ng quy nạp toán học? + Làm 4, 5, 6, (SGK – T100)

(5)

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Đọc, nghiên cu v tho lun theo nhúm c

phân công

- Trả lời câu hỏi giáo viên - Trình bày lời giải toán

- Phõn nhóm học sinh, đọc nghiên cứu tốn

- Phát vấn kiểm tra đọc hiểu học sinh

- Củng cố phơng pháp chứng minh quy n¹p

* Bài 2: Chứng minh bất đẳng thức: 1 1 1 1

n n 2    3n 1  với n  N* Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Đặt Sn =

1 1 1

n n 2    3n 1 th× ta cã: S1 =

1 1 13 1

2 12    bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n = k  1, tức ta có: Sk =

1 1 1

1

k k 2    3k 1  bđt ta chứng minh

Sk + 1=

1 1 1

1 (k 1) (k 1) 2      3(k 1) 1   bất đẳng thức Thật vậy:

Sk + 1=

1 1 1 1

k 2  k 3  3k 3k 4   = Sk -

1 1 1 1

k 3k 3k 3k 4       = Sk +

2

(3k 2)(3k 3)(3k 4)   >

- Hớng dẫn học sinh thực giải toán phơng pháp quy nạp

- Hng dn hc sinh vit S1 Sk, Sk+1

* Bµi 3: Chøng minh r»ng víi n  N* ta cã: a) n3 + 3n2 + 5n



b) 4n + 15n -

 9

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Với n =1 ta có n3 + 3n2 + 5n =



Gi¶ sư víi n = k  1, ta cã k3 + 3k2 + 5k  Ta

chøng minh víi n = k + 1, tøc lµ: ( k + )3 + 3( k + )2 + 5( k + )

 ThËt vËy: ( k + )3 + 3( k + )2 + 5( k + ) = k3 + 3k2 + 5k

+ 3k2 + 9k + = ( k3 + 3k2 + 5k ) + 3( k2 + 3k +

3) chia hÕt cho [ v× k3 + 3k2 + 5k

 vµ 3( k2 + 3k + 3)

]

b) Đặt Sn = 4n + 15n - víi n = 1, S1 = 18 

Gi¶ sư víi n = k  1, ta cã Sk = k4 + 15k - 

Ta ph¶i chøng minh Sk + = 4k + + 15( k + 1) - 1

(6)

9

ThËt vËy Sk + = 4(k4 + 15k - 1) - 45k + 18

= 4Sk - 9( 5k - )  ( ®pcm )

* Bµi 4:

Chứng minh bất đẳng thức x1 + x2 + + xn  n, n  N*; x1, x2,,,,xn > x1.x2 xn =

1.

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Với n = x1 = 1, bất đẳng thức xảy dấu “ =

“

Giả sử bất đẳng thức với n = k  1, tức là: x1 + x2 + + xk  k, k  N*; x1, x2,,,,xk >

x1.x2 xk = Ta chứng minh bất đẳng thức

víi n = k + 1, tức phải chứng minh: x1 + x2 + + xk + xk + 1 k + víi k  N*;

x1, x2,,,,xk, xk + > vµ x1.x2 xk xk + 1= ThËt vËy:

+ NÕu x1 = x2 = = xk = xk + = th×:

x1 + x2 + + xk + xk + = k + >

+ Nếu k + số nói khác tồn hai số ch số lớn số nhỏ Không làm tính tổng quát, giả sử xk > cßn

xk + < 1, ta cã:

x1.x2 xk xk + 1=(x1.x2 xk - 1) (xk xk + 1) =

áp dụng giả thiết quy nạp cho k số dơng: x1, x2,

xk - 1, (xk xk + 1) ta có bất đẳng thức:

x1 + x2 + + xk.xk + > k hay

x1 + x2 + + xk - > k - xk.xk + Từ đó:

x1 + x2 + + xk + xk + > k - xk.xk + + xk + xk +

= ( k + ) + ( xk - )( -xk + 1) > k +

do ( xk - )( -xk + 1) >

- Hớng dẫn học sinh giải toán - Phân biệt đợc bớc quy nạp

5.C ủng cố :

- Nhắc lại phương pháp chứng minh quy nạp - Häc bµi Lµm hoµn thành tập SGK SBT> - Đọc trớc bµi: D·y sè

E Rút kinh nghiệm:

(7)

Tun 19 Ngày soạn:

Tiết 49 D·y sè ( tiết) A - Mơc tiªu:

- Nắm đợc định nghĩa, cách cho cách biểu diễn hình học dãy số - áp dụng đợc vào tập

B Ph ¬ng tiƯn thùc : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 KiĨm tra bµi cò:

HS: Chứng minh với số tự nhiên n  2, ta có bất đẳng thức: a) 3n > 3n + b) 2n - n > 3

2

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Với n = 2, ta có 32 = > 3.2 + = bất

đẳng thức

Giả sử bất đẳng thức với n = k  2, tức là: 3k > 3k + bất đẳng thức k  2

Ta chøng minh víi n = k + th×:

3k + 1 > 3( k + ) + =3k + ThËt vËy, ta cã:

3k + 1 = 3.3k > 3( 3k + ) ( theo gt quy n¹p )

= 9k + = 3k + + ( 6k - ) > 3k + ( k số tự nhiên th× 6k -1  11 > ) b) Víi n = 2, ta cã 22 - = > 3

2 bất đẳng thức Giả sử bất đẳng thức với n=k  2, tức là: 2k - k > 3

2 bất đẳng thức k 2

Ta chøng minh víi n = k + th×: 2k + 1 - ( k + ) > 3

2 ThËt vËy, ta cã:

2(2k - k ) = 2k + 1 + 2k > ( theo gt quy n¹p )

Hay 2k + 1 - ( k + ) - k + > 3

 2k + 1 - ( k + ) > k + > > 3

2 k 

- Uốn nắn cách trình bày học sinh

- Củng cố phơng pháp quy nạp toán học

- Hớng dẫn thực phần b)

3 Bài míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Tính tốn ghi kết vào

b¶ng:

n

f(n)

1

1 10

1 17

1 26

- Hớng dẫn học sinh dùng máy tính bỏ túi để tính tốn ghi kết vào bảng cho sẵn

- Nhận xét tập xác định hàm cho Đặt yn = f(n)

( hay un = f(n) ) ta cã giá

trị y1, y2, y3, y4, y5

I Định nghĩa ví dụ: Cho hàm số f(n) = 21

n 1 víi n  N* H·y tính f(1), f(2), f(3), f(4), f(5)

Lớp Ngày dạy SÜ sè

(8)

- Đọc, nghiên cứu phần định nghĩa dãy số SGK Cho ví dụ dãy số đọc đợc số hạng tổng quát dãy số cho

- Tính đợc:

; 1000

1

; 100

1 ;

10

999

99



 

u

u u

- Thực yêu cầu giáo viên

- Đọc nghiên cứu VD2 (SGK T102) trả lời câu hỏi giáo viên

Đọc, nghiên cứu phần cách cho dÃy số công thức số hạng tổng quát SGK Cho ví dụ cách cho

- Tịnh đợc:

; 225

83 25

8

333  u 

u

Đọc, nghiên cứu phần cách cho dÃy số c«ng thøc truy håi ë trang 103 - SGK Cho ví dụ cách cho - Trả lời câu hỏi GV? Đọc, nghiên cứu phần cách cho dÃy số mô tả trang 104 - SGK Cho ví dụ cách cho

- Trỡnh by c:

+ BAMnvuông Mn

un = AMn = ABsinABMn

= 2OAsin

n

AOMn 

sin 2 

- Cho học sinh đọc, nghiên cứu định nghĩa dãy số trang 101 - SGK

- Nêu VD1 sau cho HS thực VD1?

+ H·y nªu xác đinh số hạng thứ 9, 99, 999?

+ Hãy nêu VD dãy số cho dới dạng khai triển tổng quát tìm số hạng thứ 10, 100 dãy đó?

- H·y nªu sù khác dÃy số hữu hạn dÃy số vô hạn?

- Hóy c v nghiờn cu VD2 nêu số hạng đầu cuối dãy số

- Một dãy số đợc xác định nào? Cho VD

- Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số cho công thức số hạng tổng quát trang 103

- Yêu cầu HS thực H2? Hãy xác định số hạng thứ 33, 333?

- Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số công thức truy hồi trang 103 - Phát vấn kiểm tra đọc hiểu học sinh

- Thùc hiÖn H3?

- Cho học sinh đọc, nghiên cách cho dãy số mô tả trang 104

- Thùc hiƯn H3?

+ NhËn xÐt g× vỊ tam giác BAMn?

+ Tìm công thức số hạng tổng quátcủa dÃy số (un)

* Định nghĩa:

Một hàm số u xác định tập hợp số nguyên dơng đ-ợc gọi dãy số vụ

hạn(hay gọi dÃy số) - Mỗi số hạng hàm số u gọi số hạng dÃy số, u(1): số hạng thứ nhất, u(2) số hạng thứ hai

+ Kí hiệu: u = u(n)

un: số hạng tổng quát dÃy

+ Khai triÓn: u1, u2, u3

* Chú ý: DÃy số có hữu hạn số hạng: u1, u2, u3 , um

u1: Số hạng đầu

um: Số hạng cuối

II - Cách cho dÃy sè: 1 - D·y sè cho b»ng c«ng thøc số hạng tổng quát:

2 DÃy số cho b»ng c«ng thøc truy håi:

2 Diễn đạt lời cách xác đinh số hạng dãy số:

(9)

1

3 5

3 2  2 , 2

  

 

      

 n n n

u u

u u u n N n

a) TÝnh u9 vµ u33 ?

b) Tính tổng 33 số hạng tích số hạng dãy cho ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Học sinh thực hiện:

Sau ấn = thấy xuất D = đọc: u9 = 19, S9 = 99 P9 = 654729075 ấn tiếp =

cho đến D = 33 đọc u33 = 67, S33 =

1155

Chú ý: Có thể dùng dãy phím lặp đẻ giải tập này: Gán A = 3, B = ghi vào hình: C = 3B - 2A - 2: A = 3C - 2B - 2: B = 3A - 2C - ấn: = = = = ta đợc giá trị số hạng u1, u2, , un

- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính tốn:

G¸n A = ( sè h¹ng u1) B = ( sè

h¹ng u2 )

C = ( Tỉng cđa u1 vµ u2 )

D = ( Biến đếm )

E = 15 ( TÝch cña u1 u2 )

Ghi vào hình: D = D + 1: A = 3B - 2A - 2: C = C + A: E = EA: D = D+1: B = 3A - 2B -2: C = C+B: E = EB

- Cđng cè kh¸i niƯm vỊ d·y sè 5.Củng cố:

- Nhắc lại nội dung vừa học - Các cách thành lập dãy số

-Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp SGK, SBT E Rút kinh nghiệm:

(10)

Tun 20 Ngày soạn:

Tiết 50 : D·y sè ( TIẾP THEO)

A - Mục tiêu: - Nắm đợc k/n dãy số tăng, giảm, bị chặn - áp dụng đợc vào tập

B Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 KiĨm tra bµi cị: HS1 lµm bµi tËp: Cho d·y ( un), biÕt r»ng:

 

1

2

1

1 5 2 1

3 , 3

2  

    

   

    



 n n n

u u

u u u n N n

a) ViÕt số hạng dÃy số ?

b) Viết chứng minh công thức số hạng tỉng qu¸t un ?

HD: a) TÝnh sè hạng đầu ghi vào bảng

b) Dự đoán un =

1

2 3

2

 



n

n = -

3 2n

và dùng PP chứng minh quy nạp để chứng minh: Với n = 1, ta có u1 = - 1 1

3

2  = - = hệ thức

Giả sử hệ thức với n = k  1, tức ta có: uk = - 1

3

2k dẳng thức

k1 Ta cần chứng minh hệ thức với n = k + Tức phải chứng minh: uk + =

- 3

2k ThËt vËy, theo c«ng thøc cđa d·y số theo gt qui nạp, thì: uk + =

 1

1 1 3 3

3 3 4 4

2 uk uk 2 2k 2k

    

        

   

 

=

1

1 9 3 1 3

12 4 8

2 2k 2k 2 2k

   

    

   

    =

3 4

2k

 ( ®pcm ) 3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt Xét hiệu un + 1- un = - - Gọi học sinh lên bảng

thùc hiÖn toán III DÃy số tăng, dÃy số giảm

11A

n

un

5 2

13 4

29 8

(11)

1 1

n  - +

1

n =

1 ( 1)

n n  >

0 víi mäi n * nªn ta cã un < un + víi mäi n  N*

XÐt hiÖu - + = (

-3n ) - [ - 3( n + ) ] = - <

Nªn >vn + víi mäi nN*

- TRả lời đợc câu hỏi GV

- Trao đổi thảo luận lên bảng trình bày lời giải

- Trả lời đợc:

Khẳng định đúng: b, c, d, e

- Thuyết trình định nghĩa dãy số tăng, dãy số giảm :

Dãy số đơn điệu - Dãy (un) dãy đơn điệu

tăng, dãy ( vn) dãy đơn

®iƯu giảm

- Nhận xét tăng giảm d·y sè sau: (un) = n +

vµ (un) = - n +

- Nếu dãy số khơng tăng giảm Nếu dãy số khơng giảm tăng hay sai?

- Hãy đọc nghiên cứu VD6 thực H5?

- Đặt vấn đề: Cho dãy số: (un) =

n

Tính u1 đến u9

Từ chứng minh un

- Nêu VD7 yêu cầu HS lấy thêm số VD khác?

- Thực H6 + Nhắc lại định nghĩa dãy

số chọn khẳng định đúng?

Cho c¸c d·y sè ( un) víi un

= - 1

n vµ (vn) víi vn=2-3n

Chøng minh r»ng: un < un +

vµ

vn > + víi mäi n  N*

* Định nghĩa:

- DÃy số (un) gọi tăng nÕu

víi mäi n ta cã: un < un+1

- DÃy số (un) gọi giảm

nếu víi mäi n ta cã: un >un+1

* Chó ý:

- DÃy số (un) gọi tăng

víi mäi n ta cã:

1





n n u

u

- DÃy số (un) gọi giảm

nếu với mäi n ta cã:

1





n n u

u

IV DÃy số bị chặn: * Định nghĩa:

- DÃy số (un) gọi dÃy số

bị chặn nÕu tån t¹i mét sè M: nN* ta cã: un 

M

- D·y sè (un) gäi lµ dÃy số

bị chặn dới tồn sè m: nN* ta cã: un 

m

- DÃy số (un) gọi dÃy số

bị chặn vừa bị chặn vừa bị chặn dới hay tồn số M, số m:

nN* ta cã: m  un 

M 4 Cđng cè:

- ThÕ nµo lµ d·y số tăng, dÃy số giảm? dÃy số bị chặn trên, bị chặn dới? dÃy số bị chặn?

* Bài tËp 1: Chøng minh r»ng d·y ( un) víi un = n - 2n dÃy giảm dÃy ( vn) víi

vn = nan ( a  ) dÃy số tăng

Hot ng ca hc sinh Hoạt động giáo viên - Xét hiệu un + 1- un = n + - 2n + - n + 2n

= - 2n < n  N*

- XÐt

1

1 ( 1) ( 1)

n n

u n a n a

u na n



     >

do a  cßn n  N* Suy ra: + > n  N*

Gäi häc sinh thực giải toán

( học sinh giải phần )

(12)

* Bµi tËp 2: Cho d·y sè ( un) víi un =

2n 1

n



Chøng minh r»ng < un < n 

N*

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - n  N* 2n - > > 0, nên un > n  N*

- XÐt hiÖu un - =

2n 1

n



- = 1

n

 < n  N* nªn ta cã < un < n  N*

- Gọi học sinh lên bảng thực tập Các học sinh lại thực giải tập chỗ - Thuyết trình định nghĩa dãy số bị chặn trên, chặn dới dãy số bị chặn

5 VỊ nhµ: - Häc bµi Lµm bµi tËp: 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18 (SGK – T106, 109) E Rỳt kinh nghim:

(13)

Ngày soạn:

TiÕt 51 Luyện tập D·y sè

A - Mơc tiªu:

- Rèn luyện kĩ tính toán chứng minh dãy số tăng, giảm, bị chặn - áp dụng đợc vào tập

B Ph ¬ng tiƯn thùc hiƯn :

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

- HS1: Thế dÃy số tăng, dÃy số giảm? dÃy số bị chặn trên, bị chặn dới? dÃy số bị chặn?

- HS2: Làm tập: Chứng minh d·y sè ( un) víi un =



2

1

n

n n  N* dÃy

bị chặn

Hot ng ca học sinh Hoạt động giáo viên - Do n  N* nên un =



2

1

n

n >  un bÞ chặn dới

- Lại có   

  

2

2 2

1 2 1 ( 1)

0

2 1 1 1

n n n n

n n n

n  N* nên dÃy un bị chặn

- Do dãy cho dãy bị chặn

- Gọi học sinh lên bảng thực tập Các học sinh lại thực giải tập chỗ

- Củng cố dÃy bị chặn

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Tr li c:

.- DÃy số (un) tăng víi n th× un < un+1 hay

1





n n u

u

- D·y sè (un) gi¶m nÕu víi n th×: un > un+1 hay

1





n n u

u

- Trình bày đợc: Với n N*

 ta cã: un+1 = An+1Bn+1 =

2

1 ) ( )

(AnBn  BnBn =

)

(  2

n nB

A =

1 )

(  

n

u

+ Víi n=1 th× u1=1= 21+1-

cơng thức với n =

- Yªu cầu HS hệ thống lại kiến thức: dÃy số tăng, giảm, bị chặn

- Trao i tho lun lập dãy số?

- Lên bảng trình bày toán chuẩn bị nhà?

+ Xét tính sai cơng thức với n = + Giả sử công thức n = k Hãy thiết lập công thức?

A KiÕn thøc: DÃy số tăng, giảm DÃy số bị chặn trên, bị chặn dới, bị chặn?

B Bài tập:

* Bµi 11: ( SGK – T106 )

* Bài 12: ( SGK – T106 ) Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 1, un = 2un-1 +3 với n Bằng phơng pháp quy n¹p chøng minh víi  n  ta cã: un =

2n+1– (1)

Líp Ngày dạy Sĩ số

(14)

+ Gi sử cơng thức n = k Ta có:

uk+1 = 2uk+3 = 2(2k+1– 3)

+3

= 2(k+1)+1 – 3

Vậy (1) với n  N*

un-1–un= 

  

 

 



1

n n

<0

Mµ: un = 3(3 2)

5

2

 

n suy

1 ,

1

2

  

un n VËy d·y

số giảm bị chặn - Trình bày đợc:

un-1–un = (n+1).2n > 0,n

1 nên dÃy số tăng + Với n=1 th×

u1 = = + (1 - 1)21

công thức với n = + Giả sử công thức n = k Ta có:

uk+1 = uk + (k + 1)2k

= + (k – 1)2k + (k + 1)2k

= + k.2k+1

Vậy (1) với n  N*

+ Víi n = ta cã u1 =

+ Bàng quy nạp chứng minh đợc un = với  n 

- Trình bày đợc;

a) sn + = sin(4(n + 3) – 1)

6 

= sin((4n - 1)

6 

+ 2 ) = sin(4n – 1)

6 

= sn

VËy sn = sn + víi  n 

b) Cã: S15 =

- Dựa vào định nghĩa dãy số tăng, giảm, bị chặn

+ XÐt hiÖu: un-1 – un?

+ Từ kết luận?

- XÐt hiƯu: un-1 – un?

+ Từ nhận xét kết luận?

- Hãy c/m quy nạp + Xét tính sai công thức với n = 1? + Giả sử công thức n = k Hãy thiết lập công thức?

+ Hãy thiết lập công thức n = k + chứng minh công thức đó?

- Với n = cơng thức có khơng?

- H·y chøng minh un =

víi mäi n?

- TÝnh sn + so s¸nh víi s1

- Từ lết lun bi tp?

- Trong 15 số hạng đầu số hạng nhau?

- Tớnh tng 15 số hạng dãy số cho?

* Bµi 14: ( SGK – T106 ) Chøng minh d·y sè (un) víi

un =

2

3

  n n

dÃy số giảm bị chặn

* Bài 16: ( SGK – T106 ) Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = 1, un+1=un+(n+1).2n

víi  n 

a) Chøng minh dÃy số (un)

là dÃy số tăng

b) Chøng minh víi  n  ta cã: un = + (n - 1).2n

(1)

* Bµi 17: ( SGK – T106 ) Cho d·y sè (un) víi: u1 = 1,

un+1 =

1

2



n

u víi  n 

Chøng minh d·y sè (un) lµ

một dãy số khơng đổi (dãy số có tất số hạng nhau)

* Bµi 18: ( SGK – T106 ) Cho d·y sè (sn) víi

sn = sin(4n – 1)

6 

a) Chøng minh: sn = sn + víi  n 

b) Hãy tính tổng 15 số hạng dãy số cho?

4 Củng cố: - Cách sử dụng phơng pháp chứng minh quy nạp để tìm số hạng tổng quát dãy số

(15)

* Bài tập:Dãy số ( un) xác định bởi:



   

  

 

1

3 1

( 1) *

2

n n

u

u u n N

a) ViÕt số hạng dÃy Chứng minh dÃy ( un) giảm bị chặn

b) Chứng minh un =



 12 1

2n phơng pháp quy nạp.

Hot ng ca học sinh Hoạt động giáo viên a)

n

un 3

2

5 4

9 8 Chøng minh dÃy giảm quy nạp:

Với n = 1, ta cã u2 = < u1 =

Giả sở khẳng định với n = k + 1, tức ta có: uk > uk +  k 

Ta phải chứng minh khẳng định với n = k + Thật vậy, theo công thức dãy số theo giả thiết quy nạp, ta có: 1 1 1 1 1 1  2

2 2

k k k k

u u u u

Nªn uk + > uk + suy d·y ( un) dÃy giảm

Ta thấy un > với n N* nên ( un) bị chặn dới

Mặt khác un u1 = n N* ( dÃy giảm ) nên

dóy b chặn dãy cho bị chặn b) Với n = 1: u1 = +



1

2 = 3, công thức Giả sử công thức với n = k  1, tức ta có:

uk =



 12 1

2k k 

ta chứng minh công thức với n = k + 1, tức là: uk + =



 11 1

2k

ThËt vËy: Theo công thức dÃy số theo công thức quy nạp, ta cã:

 

  

 

      

 

1

1 1 1 1

1 2 1

2 2 2 2

k k k k

u u

- Gọi học sinh lên bảng thực tập Các học sinh lại thực giải tập chỗ

- Hớng dẫn học sinh giải tập

- Củng cố dÃy bị chặn, dÃy tăng, dÃy giảm phơng pháp chứng minh quy nạp toán học

5 Về nhà: Học hoµn thµnh bµi tËp SBT. E Rút kinh nghiệm:

(16)

Tuần 20

Ngµy so¹n:

TiÕt 52 CÊp sè céng (2 tiết) A - Mơc tiªu:

- Biết đợc định nghĩa, số hạng tổng quát tính chất số hạng cấp số cộng - áp dụng đợc vào tập

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ túi fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

HS1: Ngời ta dùng khối lập phơng giống để xếp thành tháp Giả sử tháp có n tầng đặt un khối lập phơng phần đáy tháp Sn tổng số

lập phơng tháp

a) Tính un vµ Sn theo n

b) BiÕt r»ng sè khèi lập phơng tháp gấp 77 lần số tầng Hỏi tháp có tầng?

Hot ng ca hc sinh Hoạt động giáo viên a) Số khối lập phơng đáy tháp là:

un = + + + + n = ( 1)

2

n n

= 1(  2) 2 n n Suy tỉng sè c¸c khèi lập phơng tháp: Sn = u1 + u2 + + un

=         

 

2 2

1

1 1 2

2 n n

=      

 

1 ( 1) ( 1)(2 1)

2 2 6

n n n n n

=

 

( 1)( 2) 6

n n n

b) Theo giả thiêt Sn = 77n hay ta cã:

 

( 1)( 2) 6

n n n

= 77n  ( 1)( 2) 6

n n

= 77 Hay ta có phơng trình n2 + 3n - 460 =  n = 20

- Hớng dẫn học sinh vẽ hình chiếu phần đáy tháp n tng trờn mt phng

- Ôn tập công thøc:

Sn = + + + + n = ( 1)

2

n n

Tn=12+22+ +n2=

 

( 1)(2 2) 6

n n n

§· chøng minh phép quy nạp toán học

- Hớng dẫn cách viết tổng cần tính dạng tổng biết cách tính:







( 1) 2

n

k

k k

=

 

 



 

  

2

1

1 2

n n

k k

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Nhận xét: - + + + 11

= 20

nªn u5 + u6 + u7 + u8 = 20 ,

cßn u9 tïy ý

Kết vô số

- Nhn xột: Hiu số liên tiếp không đổi, nên số

- Ph¸t vÊn, gäi häc sinh ph¸t hiƯn quy luật viết số hạng

- Xác định tinhd quy luật để đa cách viết - Nêu định nghĩa cấp số cộng v a cụng thc

I - Định nghĩa:

* VD: Biết số hạng đàu dãy số là: - 1, 3, 7, 11,

Hãy quy luật viết tiếp s hng theo quy lut ú

Lớp Ngày dạy SÜ sè

(17)

viết thêm có quy luật đó: u5 = 15, u6 = 21, cách

viết - Trả lời đợc H1:

a) D·y sè lµ cÊp sè céng víi c«ng sai nb»ng

b) D·y sè kh«ng lµ cÊp sè céng

- Ta cã: uk - = u1 + (k - 2)d;

uk=u1+(k-1)d vµ uk + 1=u1+kd

víi k  2, k  N*

- Suy đợc: uk - + uk + =

2u1 + 2( k - )d

1    k

k u

u

= u1+(k–1)d =

uk

- Trả lời đợc: u2 = 1, u4 =

- Víi n =1: u2 =u1+d=(2-1)d

cơng thức

- Giả sử công thức với n=k1, tức là: uk=u1+(k-1)d

là đẳng thức - Với n = k + ta có: uk + 1=uk+d=u1+(k-1)d+d

= u1 + kd ( ®pcm )

- Tính đợc: u31 = - 37 nhờ áp

dụng định lí

truy håi:

un = un-1 + d

- Nêu trờng hợp d = 0, - Một cấp số cộng có hai cơng sai đợc không? - Hãy thực H1? + Hãy so sánh u2 – u1,

u3–u2, u4 – u3

Cho cÊp sè céng ( un) cã sè

hạng đầu u1 công sai d

HÃy viết công thức số hạng: uk - 1; uk ; uk + vµ

tìm mối liên hệ chúng? - Uốn nắn cách biểu đạt HS: Ngơn ngữ diễn đạt, cách trình bày lời giải - Phát biểu thành định lí - Hãy thực H2? + Cách tính u2, u4?

- Tổ chức cho học sinh dùng phơng pháp quy nạp chứng minh định lí

- Tổ chức cho học sinh đọc nghiên cứu sách giáo khoa phần chứng minh định lí

- H·y thùc hiƯn H3? + §Ĩ tÝnh u31 ta ¸p dơng

định lí nào? Từ tớnh u31?

* Định nghĩa: (un) cấp sè céng 



n 2, un = un-1 + d

d: gọi công sai

II Tính chất số hạng của cấp số h¹ng:

* Định lí 2: Cho cấp số cộng (un) đó:

uk =

2

1    k

k u

u

, k 2, k N*

III Số hạng tổng quát: * Định lí 2: Cho cấp số cộng (un) có số hạng đầu u1

và cơng sai d số hạng tổng qt un xác định

c«ng thøc:

un = u1 + ( n - )d

4 Củng cố: - Nhắc lại định nghĩa định lí? * Bài 1: Cho (un) số cấp số cộng có u1

=-1

3, d=3 H·y viÕt d¹ng khai triĨn cđa nã?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên u1= - 1

3, u2 = 8 3, u3 =

17

3 , , un = un -1 =

Củng cố định nghĩa cấp số cộng Cách xác định cấp số cộng * Làm tập 19, 22 (SGK T114)

5 Vê nhà:- Học vµ lµm bµi tËp SGK vµ SBT

Ngày soạn:

Tiết 53 Cấp số cộng ( tt)

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc cơng thức tính tổng n số hạng đầu cấp số cộng - áp dụng đợc vào tập

(18)

- Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, máy tính bỏ tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 KiĨm tra bµi cò:

* HS1: Mai Hùng chơi trò xếp que diêm thành hình tháp mặt sân Cách xếp đợc thể nh hình:

Hỏi tháp có 100 tầng cần que diêm để xếp tầng đế tháp? Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Gọi u1, u2, u100 lần lợt số que diêm tầng 1,

tÇng 2, , tÇng 100 DÉy sè ( un) lµ mét cÊp sè

céng cã u1 = 3, d =

NhËn xÐt:

u2 = u1 + 4, u3 = u1 + 2.4, , u100 = u1 + 99.4

Suy đợc tầng thứ 100 có: + 396 = 399 que diêm

- Hớng dẫn: Cho học sinh vẽ hình, tính vài tầng từ phát quy luật để tính đợc số que diêm tầng thứ 100 - Đặt vấn đề:

Cho cÊp sè céng ( un) víi u1 vµ

d, biĨu diƠn un theo u1 vµ d ?

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Đọc trao đổi thảo luận

vÝ dơ nµy Ta cã:

Sn = u1 + u2 + + un

Sn = un + un-1 + + u1

Suy ra: 2Sn=(u1 + un) + ( u2

+ un - 1) + + ( un + u1)

Do u2+un - 1=( u1+d)+(un-d)

= u1 + un

u3 + un - = (u2+d) + (un -

-d) = u2 + un - = u1 + un

do 2Sn = n(u1 + un) suy

ra: n

n

(u u )n

S

2  

- Đọc trao đổi thảo luận ví dụ

- Trả lời đợc: áp dụng định lí tính đợc: S17 = 238

- Trình bày đợc: + T1 =

2 ) 23 ( 3n n

+ T2 =

2

) , ) ( (

4n  n

- Nêu VD2 hớng dẫn HS giải ví dụ này? Cho cÊp sè céng ( un)

TÝnh Sn = u1 + u2 + + un

theo

- Híng dÉn häc sinh tÝnh theo tõng bíc:

- TÝnh u2 + un - 1, u3 + un - 2,

- TÝnh 2Sn

- Phát biểu nội dung định lí 3u1, un, n ?

- Nêu VD2 hớng dẫn HS giải ví dụ này? - HÃy thực H4? + Để tính S17 ta ¸p dơng

định lí nào? Từ tính S17?

- H·y thùc hiƯn H4? + Theo ph¬n án hÃy tính lơng tổng n năm? + Theo phơn án hÃy tính lơng tổng n năm? + So sánh hai phơng án?

IV Tổng n số hạng đầu của cấp số cộng * Định lí:

Cho cấp số cộng (un) Khi

đó tổng n số hạng là:

Sn = u1 + u2 + + un n

n

(u u )n

S

2 

 víi n

* 

Z

* Chó ý: - Víi n * 

Z

 

1 n

2u n d n

S

2

   

 

,

(19)

= 2n(2n + 13,5) + T1 – T2 =

2 5n

(3 – n) T1 – T2   n3

T1 – T2   n3

+ KL

4 Củng cố: - Công thức tính tổng n số hạng cấp số cộng?

* Bài tập 1: Cho cÊp sè céng: ( un) víi:

1

u = - 5 1 d =

2 

   

a) số 45 số hạng thứ cấp số cộng cho b) Số 1

3 có phải số hạng cấp số cộng cho không ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Theo CT số hạng TQ, ta có: un=-5+1

2 (n-1) Giả sử un=45 ta có: 45 = -5 +

1

2 (n - 1)  n = 101

Vậy số 45 số hạng thứ 101 cấp số cộng cho

b) Gi¶ sư sè 1

3 số hạng thứ n cấp số cộng cho ta phải có: 1

3=-5+ 1

2 (n-1 ) , n  N* Suy đợc: n = 35

3  N* nªn sè 1

3 số hạng cấp số cộng cho

- Gọi học sinh lên bảng thực giải tập

- Un nn cỏch biu đạt học sinh:

Ngôn ngữ diễn đạt, cách trình bày lời giải

- Cđng cè kh¸i niƯm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát

* Bµi 2: Cho d·y sè ( un) víi un = 3n -

a) chøng minh ( un) lµ mét cÊp sè céng

b) TÝnh tỉng cđa 50 số hạng ( un)

c) Cho biÕt un = 260 T×m n ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Ta có u1 = Với n  1, xét hiệu:

un + - un = 3( n + ) - -( 3n - ) = khụng i,

nên ( un0 cÊp sè céng cã u1 = 2, d =

b) Ta cã S50 = u1 + u2 + + u50 víi u1 = 2, u50 = 149

S50 = n

(u u )n 2 

= (2 149)50 2 

= 3775

c) Theo gi¶ thiÕt: Sn = (2u1 (n 1)d n 260

2  

 Hay [2.2 + ( n - 1).3].n = 520

 3n2 + n - 520 = víi n  N*

 n = 13 hc n = - 40

3 ( lo¹i )

- Gäi mét học sinh lên bảng thực tập

- Củng cố công thức tính Sn Tính

chất sè h¹ng cđa cÊp sè céng

- Uốn nắn cách biểu đạt học sinh:

(20)

Do Sn = 260 n = 13

* Bài 3: Viết chín số xen số -3 37 để đợc cấp số cộng có 11 số hạng?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Tta có u11 = 37 = - + 10d  d = 4, nên cấp số

céng lµ:  - ; ; 5; 9; 13; 17; 21; 25; 29; 33; 37 Chín số hạng xen giữa: 1; 5; 9; 13; 17; 31; 25; 33

- Gọi học sinh lên bảng thực giải chuẩn bị nhà - Uốn nắn cách biểu đạt học sinh:

Ngơn ngữ diễn đạt, cách trình bày lời giải

- Củng cố khái niệm cấp số cộng, công thức số hạng tổng quát * Làm tập 24, 25, 27 ( SGK – T115)

5 VỊ nhµ: - Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp SGK SBT - Đọc trớc bài: Cấp số nhân

E Rút kinh nghiệm:

(21)

Ngµy soạn:

Tiết 54 Cấp số nhân

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc định nghĩa, tính chất, số hạng tổng quát cấp số nhân - áp dụng đợc vào tập

- S¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế häc, m¸y tÝnh bá tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 Kiểm tra cũ:

* HS1: Lên bảng chữa tập:

Trong cỏc bi toỏn v cp số cộng ta thờng gặp đại lợng u1, n, d, un, Sn

Hãy viết hệ thức liên hệ đại lợng đó? Cần phải biết đại lợng để tìm đợc đại lợng lại?

+ HD: Cần biết đậi lợng u1, d, n, un, Sn tính đợc đại lợng cịn lại

- Củng cố công thức: n n

(u u )n S

2 

 vµ  

n

2u n d n

S

2

   

 



3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Đọc trao đổi, thảo luận

và tìm đợc:

un = un – +un – 0,004

= un – 1,004 víi n 

- Đọc, nghiên cứu phần định nghĩa cấp số nhân SGK

- Trả li c:

a) DÃy số cấp số nhân víi c«ng béi q =

2

b) DÃy số không cấp số nhân

c) DÃy số cấp số nhân với công bội q =

a) u1 = - 5, u2 = 10, u3 = -

0, u4 = 40, u5 = - 80

b) 2

u = 100 = u1.u3,

2

u = 400 = u2 u4

Nhận xét đợc: Với k  N*

2

k k k

u u  u  víi k2,

Sư dơng c«ng thøc:

un= u1qn-1 víi k  2, ta cã:

uk - = u1qk - 2, uk + = u1qk

Suy ra: uk - uk + =

- Nêu toán thiết lập công thức tổng quát dÃy số?

- Nêu đ/nghĩa cấp số nhân?

- Nêu sè vÝ dơ vỊ cÊp sè nh©n?

- Nêu trờng hợp đặc biệt: q = 0, q =

- Nêu VD1 KL dÃy số VD1 cấp số nhân

- HÃy thực hiÖn H1? + TÝnh

1

u u

,

2

u u

,

3

u u

từ KL

- Nêu cho học sinh thực VD2

Cho cÊp sè nh©n ( un) víi

u1 = - 5, q = -

a)Viết số hạng đầu

b) So s¸nh 2

u víi tÝch u1u3, u23 víi u2u4 ?

- Tæ chøc cho häc sinh thùc giải tập chỗ

I - Định nghĩa: * Định nghĩa: (un) cấp số nhân

  2, un = un – 1.q

q: gọi công bội

II Tính chất số hạng của cấp số nhân:

* Định lí 1:

Cho cấp số nhân ( un), ta

luôn cã:

2

k k k

u u  u  víi k2

k  N*

(22)

 2

2 k 2 k

1 k

u q   u q  u

- Tính đợc: u2

100 = (-99).101 < nên không tồn cÊp sè nh©n - Víi n = 1, ta cã u1 = u1

công thức

- Giả sử công thức với n = k  1, tức là: uk =

u1qk -

- Ta cÇn chøng minh: uk + = u1qk ThËt vËy, theo

định nghĩa cấp số nhân uk + 1= uk.q = u1qk - q

= u1qk ( ®pcm)

+ un = 3.106.(1 + 0,002)n

+ u2 = 3012012 (ngêi)

- Nêu nội dung nh lớ:

- Gọi học sinh lên bảng thùc hiÖn phÐp chøng minh

- Củng cố định lí

- Uốn nắn cách biểu đạt học sinh

- Hãy thực H2? + Tính u1002 ? Từ kết luận?

- Nªu VD2, cho HS tự giải

- Dùng phơng pháp quy nạp chøng minh c«ng thøc: un = u1qn - víi ( un)

là cấp số nhân ? - Gọi học sinh lên bảng thực phép chứng minh công thức quy nạp

- Cho HS thùc hiÖn VD4 TÝnh u6, u12?

- Hãy thực H3? + Hãy xác định công thức tổng quát cấp số nhân?

TÝnh u2?

III - Số hạng tổng quát: * Định lí 2:

Cho cấp số nhân ( un) với

công bội q, ta lu«n cã: un = u1qn -1 víi n  N*

vµ n 

4 Củng cố: - Định nghĩa định lí cấp số nhân?

* Bài tập: Viết số hạng xen số 192 để đợc CSN gồm số hạng

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ta có u1 = 3, u7 = 192 nên theo định lý 1, ta có:

u7 = 3.q6 = 192  q6 = 64  q = 

Víi q = - 2, ta cã: 3; - 6; 12; - 24; 48; -96; 192 Víi q = 2, ta cã: 3; 6; 12; 24; 48; 96; 192

- Gäi mét häc sinh lên bảng thực giải tập

- Un nắn cách biểu đạt học sinh

* Lµm bµi 29, 31, 32, 33 (SGK – T121)

5 VỊ nhµ: - Häc bµi vµ lµm bµi tËp SGK, SBT.

–––––––––––––––––––––––––––––––––– –

Ngµy soạn:

Tiết 55 Cấp số nhân

A - Mơc tiªu:

- Biết đợc cơng thức tính tổng n số hạng cấp số nhân - áp dụng đợc vào tập

- S¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế häc, m¸y tÝnh bá tói fx - 500MS, fx - 570MS, fx - 500A

(23)

2 KiÓm tra cũ:

Gọi học sinh lên bảng làm tập: Cho câp số nhân ( un)

a) BiÕt u1 = 2, u6 = 486 T×m q ?

b) BiÕt q = , u4 = 8

21 T×m u1 ?

c) BiÕt u1 = - 3, q = - Hái sè - 768 lµ sè h¹ng thø mÊy ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên áp dụng công thức un= u1qn-1 ta có:

a) 486 = 2q5 suy q5 = 243  q = 3

b) 8

21 = u1 ( )

3  u =

8 8 9

:

21 27 7

c) - 768 = - ( - )n - 1  ( - )n - 1 = 256  n = 9

- Cđng cè c«ng thøc: un= u1qn-1

- Biết đại lợng: un, u1, q, n

Tính đại lợng cịn lại

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Tổng cần tính là:

S11 = 1+2+22 + 23 + +

210

= 2047

- Chứng minh đợc:

Ta cã Sn = u1 + u2 + + un

= u1 + u1q+ + u1qn -

hay qSn=u1q+u1q2+ +

u1qn

Trừ vế bất đẳng thức trên, ta đợc:

( - q )Sn = u1( - q )

NÕu q1 th× Sn =

n

u (1 q ) 1 q

 

NÕu q=1 th×

Sn = u1 + u1 + + u1 = nu1

- Đọc nghiên cứu VD5 - Trao đổi thảo luận đa kết quả?

- Trình bày đợc: - Ta có u3 = u1q2 

q2 = 18 : =  q =  3.

- Víi q = th× S10 =

10

2(1 )

59048 1 3



 

Víi q = - th× S10=

 10

2 1 3

29524 1 ( 3)

   

  

 

Cho cÊp sè nh©n (un) biÕt

u1 = 1, q = TÝnh tæng S11

= u1 + u2 + + u11 ?

ĐVĐ: Có cách tính nhanh đợc tổng mà khơng qua cách tính trực tiếp tổng số hạng ? - Hớng dẫn tính tổng: Dùng phơng pháp nhân thêm vế tổng

Củng cố định lí: Nếu q  1: Sn =

n k k

u



 =

n

u (1 q ) 1 q

 

NÕu q = 1: Sn = nu1

- Nêu VD5 cho HS thực hiện?

- Cho HS trao đổi thảo luận phần đố vui theo nhóm cho đại diện nhóm nêu kt qu?

Để tính tổng Sn cần xác

định yếu tố ? - Tổ chức cho học sinh thực giải tập - Củng cố cơng thức tính Sn

IV - Tỉng cđa n số hạng đầu cấp số nhân:

Định lý 3:

Cho cấp số nhân (un) với

công bội q tổng n số hạng cấp số nhân là:

Sn = u1 + u2 + + un =

n k k

u



 =

n

u (1 q ) 1 q

 

* Chó ý: NÕu q = th× Sn = n.u1

VD: Cho cÊp sè nh©n ( un)

biÕt u1 = 2, u3 = 18

TÝnh S10 = u1 + u2 + +

u10

Líp Ngµy d¹y SÜ sè

(24)

4 Cđng cè: - Công thức tính tổng n số hạng đầu cÊp sè céng? * Bµi tËp: TÝnh tỉng: S =

n

1 1 1

1

5 25 5     

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Nhận xét: số hạng tổng n số hng u

tiên cấp số nhân có u1 = 1, q = 1

5 - Nªn S =

n

1 1 1

5 1

5

1

1 4 5

1 5

 



 

 

   

 

 



- HD: + Nhận xét xem số hạng tổng số hạng cấp số cộng hay cấp số nhân + Xác định đậi lợng cần tính áp dụng cơng thức tính tổng Sn tơng ứng

- Củng cố: + Tính chất số hạng cấp số nhân

+ Công thức Sn =

n k k

u

 

5 VỊ nhµ: - Häc bµi vµ hoµn thµnh bµi tËp SGK , SBT.

Ngày soạn:

Tiết 56 Bài tập

A - Mục tiêu:

- Giải thành thạo loại toán cấp số nhân: Xác định cấp số nhân, tìm số hạng cấp số nhân áp dụng cấp số nhân giải tốn mang tính thực tiễn

- Cđng cè khắc sâu kiến thức B Ph ơng tiƯn thùc hiƯn :

- S¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế học, m¸y tÝnh bá tói fx -500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 KiÓm tra bµi cị:

* HS1: Gäi mét häc sinh chữa tập: Tìm cấp số nhân có số hạng, biết tổng số hạng đầu

là 31 tổng số hạng sau lµ 62

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Theo gt: u1 + u2 + u3 + u4 + u5 = 31 ( )

vµ u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 62 ( )

Nhân hai vế ( ) với q ta đợc:

u1q + u2q + u3q + u4q + u5q = 31q

Hay theo định nghĩa cấp số nhân, ta có:

u2 + u3 + u4 + u5 + u6 = 31q  62 = 31q hay q=2

- L¹i do: S5 =

5

1

u (1 )

31 u 1

1 2 

  



Nªn ta cã cÊp sè nh©n: 1; 2; 4; 8; 16; 32

- Củng cố định nghĩa cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân:

un + =qun, un + = u1qn

Sn =

n

u (1 q ) 1 q

 

- Uốn nắn cách biểu đạt ca hc sinh

(25)

* HS2: Trả lời câu hỏi 38 vµ lµm bµi 37 ( SGK – T121) 3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Tự hệ thng kin thc theo

yêu cầu giáo viên trình bày vào

- Trỡnh by c: + Từ giả thiết ta có:

  

    

) 3 )( 1 ( )2 (

3

2 x x y

y y x

hay

  

 

2 6

y x

+ Do cấp số cộng có cơng sai khác nên u1, u2, u3 đơi

mét kh¸c suy q 1 vµ q 0, u2  0

+ u1 = q.u2, u3 = u2.q2 vµ

u1 + u3 = 2u2

Từ ta có: q=-2 (Vì q1) - Trình bày đợc:

a) Víi mäi n  ta cã: un + + = 5(un + 2) +

hay + = 5vn Do (vn)

cÊp sè nhân với v1 = q =

5

+ Số hạng tổng quát: = 3.5n

b) un = = 3.5n – – víi

mäi n 

- Yêu cầu học sinh tự hệ thống kiến thức vỊ cÊp sè nh©n?

- Hãy xác định cơng thức mối quan hệ x y? - Từ tính chất cấp số nhân tìm x, y?

- Các số u1, u2, u3 đôi cú

khác không?

- Tìm mối quan hệ u1,

u2 q?

- T tính q?

- C¸ch chøng minh d·y sè (vn) víi = un + lµ mét

cÊp sè nh©n

- Xác định số hạng u v cụng bi?

- HÃy tìm số hạng tỉng qu¸t?

A KiÕn thøc:

- Định nghĩa định lí cấp số nhân?

- Tổng n số hạng đầu cấp số nhân?

B Bµi tËp:

* Bài 39 ( SGK – T122 ) Tìm x, y biết số x + 6y, 5x + 2y, 8x + y theo thứ tự lập thành cấp số nhân số x – 1, y + 2, x – 3y theo thứ tự lập thành cấp số nhân? * Bài 41 ( SGK – T122 ) Số hạng thứ hai, số hạng đầu số hạng thứ ba cấp số cộng với công sai khác theo thứ tự lập thành cấp số nhân Hãy tìm cơng bội cấp số nhân đó?

* Bài 43 ( SGK – T122 ) Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = vµ un + = 5un +

víi mäi n 

a) Chøng minh d·y sè (vn)

víi = un + lµ mét cÊp sè

nhân Hãy tìm số hạng tổng quát cấp số nhân đó? b) Dựa vào kết phần a) tìm số hạng tổng quát dãy số (un)

4 Củng cố: - áp dụng định nghĩa, định lí cơng thức tính tổng n cấp số nhân để giải tốn

* Bµi tập1: Cấp số nhân gồm số hạng, tổng số hạng đầu số hạng cuối 27, tích hai số hạng lại 72 Tìm số hạng

Hot ng ca hc sinh Hoạt động giáo viên Từ giả thiết, suy ra:

2

u u 27 u u 72

 

 

 

Hay:

3

1

2 1

u u q 27 u qu q 72

  

 

 





- Phân tích giả thiết tốn - Lập chơng trình giải toán - Uốn nắn cách biểu đạt học sinh

- Củng cố: Phơng pháp giải tập xác định cấp số nhân

+ Sự xác định cấp số nhân: Cần biết u1 q

(26)

3

2

u (1 q ) 27 (1) u q 72 (2)

  

 

 



Tõ (2)  q3=

2

72

u (3) thay vào (1), đợc:

2

1

u  27u 720  u1 = hc u1 = 24

- Với u1=3 ta có q=2 nên cấp số nhân: 3; 6; 12; 24

- Víi u1=24 ta cã q=1

2 nên cấp số nhân: 24;12; 6;3

phơng trình có ẩn u1 q

* Bài 2: Tỷ lệ tăng dân số tỉnh X 1,4% Biết số dân tỉnh 1,8 triệu ngời Hỏi với mức tăng nh sau năm, 10 năm số dân tỉnh ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Gọi số dân tỉnh N ( N nguyên dơng )

Sau năm số dân tỉnh tăng thêm 1,4%N Vậy số dân tỉnh vào năm sau là:

N + 1,4%N = 101,4N

Số dân tỉnh sau năm lập thành cấp số nhân: N ; 101, 4N

100 ;

2

101, 4 N 100

 

 

 

; - Theo gi¶ thiÕt N = 1, triƯu nªn:

+ Sau năm số dân tỉnh là:

5

101, 4

1,8 1,9 100

 

 

 

 

triệu ngời + Sau 10 năm số dân tỉnh là:

10

101, 4

1,8 2,1 100

 

 

 

 

triÖu ngêi

- Phân tích giả thiết tốn - Lập chơng trình giải toán - Uốn nắn cách biểu đạt hc sinh

Phát vấn: Công thức số hạng tổng quát cấp số nhân thiết lập đ-ợc toán ?

un + = = u1qn

Hay un + = 18000000

n

507 500

 

 

 

- Giíi thiƯu c«ng thøc tÝnh lÃi kép dùng ngân hàng:

un + = V

t

L 1

t

 



 

 

V: Vèn ( sè tiÒn gõi vào ban đầu ) L: phơng án tính lÃi ( % )

t: thêi gian gưi tiỊn * Bµi 3: Cho hình vuông C1 có cạnh Chia cạnh

ca hỡnh vuụng thnh phn nối điểm chia cách thích hợp để có hình vng C2

lại tiếp tục làm nh để có hình vng C3,

Tiếp tục trình trên, ta nhận đợc dãy hình vng C1, C2, C3, , Cn

Gọi an Sn lần lợt cạnh diện tích

hình vuông Cn Tìm công thức truy hồi số hạng tổng

quát dÃy số ( an) ( Sn)

n

3 a 4

n

1 a

4 a

(27)

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên - Nhận xét đợc an + độ dài cạnh huyền tam

giác vuông có cạnh góc vuông 1an

4 vµ n 3

a 4 Suy đợc: an + =

2

n n n

1 3 10

a a a

4 4 4

   

 

   

   

VËy c«ng thøc truy håi cđa d·y ( an) lµ:

1

n n

a 4 10

a a

4



 

 

 



n  vµ n N

( an) cấp số nhân có a1 = 4, q = 10

4

nªn sè

hạng tổng quát an =

n

10 4



 

 

 

n1, n N

Từ suy ra: S1 = 16, Sn + 1= a2n 1 = 10a2n

16 = n 5

S 8 nên ( Sn) có công thøc truy håi lµ:

1

n n

S 16 5

S S

8



 

 

 



víi n  n N

Công thức số hạng tổng quát: Sn = 16

n

5 8



     

n 

- Híng dÉn:

- Phân tích giả thiết tốn - Lập chơng trình giải toán - Uốn nắn cách biểu đạt học sinh

Tính độ dài cạnh an + ca hỡnh

vuông Cn + cách tìm mối

liên hệ an an +

- Củng cố định nghĩa cấp số nhân, công thức số hạng tổng qt, cơng thức tính tổng n số hạng cấp số nhân:

un + = qun un + = u1qn

Sn =

n

u (1 q ) 1 q

 

* Bµi 4: Cho sè xn =

n ch ÷ sè

0,999 9  HÃy tìm công thức biểu thị x

n theo n ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Ta có xn = 0,9 + 0,09 + 0,009 + +

n ch ÷ sè

0, 000 9     =

2 n

1 1 1

0,9 0,9 0,9 0,9

10 10 10 

      

=

n

1 0,9 1

1 10

1

1 10

 



 

   



- Tổ chức chia nhóm để học sinh thảo luận đa li gii

- Nhận xét lời giải đa trờng hợp tổng quát:

xn =

n ch ÷ sè a

0, aa a =

n

a 1

1 9 10

 



 

 

(28)

Ngày soạn:

Tiết 57 Câu hỏi tập ôn chơng 3

A - Mc tiêu: - Ôn tập khắc sâu đợc kiến thức dãy số, cấp số - Kĩ giải toán phơng pháp quy nạp toán học tốt

B Ph ơng tiện thực : - Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế häc, m¸y tÝnh bá tói fx -500MS, fx - 570MS, fx - 500A

2 Kiểm tra cũ: Cho bảng với nội dung:

Định nghĩa Số hạng tổng quát Tính chất số hạng

Tổng n số hạng đầu

HÃy hệ thống kiến thức ghi nội dung vào bảng trên

Hot ng ca hc sinh Hoạt động giáo viên - Thảo luận theo nhóm v c i din ghi ni

dung vào bảng

- Ghi đợc nội dung ( theo bảng trình bầy dới )

- Tổ chức học sinh thành nhóm, thảo luận ghi kết đợc lựa chọn vào bảng

KiÕn thøc CÊp sè céng CÊp số nhân

Định nghĩa un + = un + d víi n  N* un + 1 = unq víi n  N*

Sè h¹ng

tỉng qu¸t un = u1 + ( n - ) d víi n  un = u1qn - víi n 

TÝnh chÊt c¸c sè

h¹ng uk =

k k

u u

víi k 2 2

   

k k k

u u  u  víi k2

Tỉng cđa n số hạng

đầu

Sn = n(u1 u )n

2 

víi n  N*

Sn = n 2u (n 1)d

2   

Sn =

n

u (1 q )

víi q 1,n N* 1 q



 

 Sn = nq víi q =

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt - Tự hệ thống kiến thức

theo yêu cầu giáo viên trình bày vào

- Trả lời câu hỏi GV - Víi n = th× u1 =

1 1

2

 

- Yêu cầu học sinh tự hệ thống kiến thức chơng?

- Tr li cõu hỏi trắc nghiệm từ 52 đến 57? - Chứng minh công thức (*) với n = 1?

A Kiến thức:

1 Phơng pháp quy nạp toán häc

2 D·y sè

3 CÊp sè céng cấp số nhân

B Bài tập:

* Bài 45 ( SGK – T123 ) Cho dãy số (un) xỏc nh

(29)

do cơng thức n = Ta có: uk +1 =

2 

k u

=

k k k

k

2 2

1

   

 

nªn

(*) với n = k + - Trình bày đợc: pn+1 – pn =

4(un + – un) = 4d nên (pn)

là cấp số cộng Sn+1–Sn = (un + 1–un)(un + 1+un) = d(un + 1+un))

nên (Sn) không cấp số

cộng

b) Tơng tự pn Sn

cÊp sè nh©n

- Lên bảng làm tập chuẩn bị nhà đ-ợc (un) cấp số cộng với d

= 0, võa cấp số nhân với q =

a) Với n =1 ta có 3 khẳng định

Giả sử khẳng định với n = k 1, tức k3-k

3 

Ta phải chứng minh với n = k + thì: ( k +1)3 - (k+1)

3 

ThËt vËy: (k +1)3 - ( k + )

= ( k + )( k2 + 2k ) = k3-

k+3( k2 + k )

3

 gt quy

n¹p vµ 3(k2+k)

3 

b) Víi n=1, ta cã 13-1=12 chia hÕt cho

Giả sử khẳng định với n=k1 tức 13k –  6

ta phải chứng minh khẳng định với n = k + tức là: 13k + 1 - chia hết cho 6

ThËt vËy: 13k + 1 -1=13.13k

-13+12=13(13k-1)+12

 13(13k-1)

6 theo gt quy

n¹p

- Chøng minh c«ng thøc: un = 1

1

2

 



n n

?

- Hãy xác định pn+1 – pn?

- Hãy xác định Sn+1 – Sn?

- áp dụng quy nạp hÃy chứng minh un = 3?

- Từ chứng minh (un)

vừa cấp số cộng vừa cấp số nhân?

- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính tốn - Uốn nắn cách biểu đạt hc sinh

- áp dụng quy nạp hÃy chứng minh

bëi: u1 = vµ un =

2

1 

n u

víi mäi n 

Chøng minh r»ng víi mäi số nguyên dơng n thì: un = 1

1

2

 



n n

(*)

* Bµi 49 ( SGK – T123 )

* Bài 50 ( SGK – T123 ) Cho dãy số (un) xác định

bëi: u1 = vµ un+1 = un6

víi mäi n  Chøng minh (un) võa lµ cÊp số

cộng vừa cấp số nhân * Bài tËp 1: Cho d·y sè (un) biÕt u1 = 1, un = 2un - +

3 víi n

a) viết số hạng đầu cña d·y ?

b) Chøng minh r»ng: un = 2n + -

4 Cñng cè:

- Cách áp dụng phơng pháp quy nạp để chứng minh dãy số cấp số cộng hay cấp số nhân

* Bµi tËp 1: Chøng minh r»ng víi mäi n  N* ta cã:

a) n3 - n chia hÕt cho b) 13n - chia hÕt cho 6

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) Với n =1 ta có chia hết cho khẳng định

(30)

Giả sử khẳng định với n = k  1, tức ta có: k3 - k

3 

Ta phải chứng minh với n = k + thì: ( k + )3 - ( k + )

3 

ThËt vËy: (k +1)3 - ( k + ) = ( k + )( k2 + 2k )

= k3- k+3( k2 + k )

3

gt quy nạp 3(k2+k)

3 

b) Với n = 1, ta có 13 - = 12 chia hết cho Giả sử khẳng định với n=k1 tức 13k – 

6

ta phải chứng minh khẳng định với n = k + tức là: 13k + 1 - chia hết cho 6

ThËt vËy: 13k + 1 -1=13.13k-13+12

= 13( 13k - ) + 12

 13(13k-1)

 theo gt quy n¹p

häc

5 VỊ nhµ:

- TiÕp tục ôn tập hoàn thành tập SGK vµ SBT - Bµi tËp vỊ nhµ:

1 Cho d·y sè ( un): biÕt u1 = 1, un = 2un - + víi n 

a) viết số hạng đầu dÃy ? b) Chøng minh r»ng: un = 2n + -

2 Xét tính tăng giảm, bị chặn d·y sau: a) un = n +

1

n b) un = ( - )

n - 1sin1

n c) u1 = 2, un + = 2un

–––––––––––––––––––––––––––––––––– –

Ngày soạn:

Tiết 58 Câu hỏi tập ôn chơng 3

A - Mục tiêu:

- Ôn tập khắc sâu đợc kiến thức dãy số, cấp số - Kĩ giải toán phơng pháp quy nạp toán học tốt B Ph ơng tiện thực :

- S¸ch gi¸o khoa, sách giáo viên, sách tập, thiết kế häc, m¸y tÝnh bá tói fx -500MS, fx - 570MS, fx - 500A

C Cách thức tiến hành:

Phối kết hợp phơng pháp: Gợi mở vấn đáp, đặt vấn đề giải vấn đề, luyện chữa

HS1: Khi nµo cấp số cộng dÃy số tăng ? DÃy sè gi¶m ?

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Theo định nghĩa cấp số cộng: un + - un = d

nªn suy ra:

- NÕu d > ta cÊp số cộng tăng - Nếu d < ta có cÊp sè céng gi¶m

- Củng cố khái niệm dãy số tăng, giảm định nghĩa cấp số cộng - Uốn nắn cách biểu đạt học sinh

HS2: Lµm bµi tËp sau:

Cho d·y sè ( un): biÕt u1 = 1, un = 2un - + víi n 

a) viÕt số hạng đầu dÃy ?

Lớp Ngày d¹y SÜ sè

(31)

b) Chøng minh r»ng: un = 2n + 1 - 3.

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên a) số hạng dãy cho là:

1; 5; 13; 29; 61 b) Chøng minh b»ng quy n¹p:

Với n = ta có: u1 = 22 - = khẳng định

Giả sử mệnh đề với n = k  1, tức ta có uk = 2k + - đẳng thức

Ta chứng minh mệnh đề với n = k + 1, tức phải chứng minh: uk + = 2k + - đẳng

thức Thật vậy, theo công thức xác định dãy số theo gt qui nạp, ta có:

uk + = 2uk + = 2( 2k + - ) + = 2k + -

( ®pcm )

- Hớng dẫn học sinh sử dụng máy tính để tính tốn

3 Bµi míi:

Hoạt động học sinh Hoạt động giáo viên Yêu cầu cần đạt a) Xét hiệu un + - un =

-1

n(n 1) > n  N* nªn d·y tăng Lại có n + 1

n n N* nên dÃy bị xhặn d-ới

b) Dãy khơng thể đơn điệu số hạng đan dấu Lại có

n n

1 1

u ( 1) sin sin 1

n n



   

n N* nên dÃy bị chặn c) Chứng minh quy nạp cho kết dÃy số tăng bị chặn 2, chặn dới 2

a) NÕu q > th× un + =

u1qn nªn un < n

b) NÕu q < th× un + =

u1qn nên un < n chẵn

và un > nÕu n lỴ

+ Gi¶ sư cÊp sè céng ( un)

có công sai d1 cấp số

cộng (vn) cã c«ng sai d2, ta

cã:

un = u1 + ( n -1 )d1

= v1 + ( n - )d2

Suy ra: wn =un + = (u1 +

v1 ) + ( n - 1)( d1 + d2) nªn

( wn) cịng lµ mét cÊp sè

céng cã

- Củng cố dãy số đơn điệu, dãy bị chặn

- Phơng pháp chứng minh dãy số đơn điệu, bị chặn HD học sinh giải phần c): Với n=1 u1= 2<

2

Giả sử với n =k1 tức là: uk + >ukuk + 1-uk>0

đúng Ta có: uk + - uk + =

k k

2u   2u

= k k

k k

u u

0

2 u 2 u

 





  

( gt quy nạp ) - Uốn nắn cách biểu đạt học sinh

- Củng cố định nghĩa số hạng tổng quát cấp số nhân

- Tổ chức chia nhóm để học sinh thảo luận đa lời giải - Củng cố khái niệm dãy số tăng, giảm định nghĩa cấp số cộng

* Bµi 1:

Xét tính tăng giảm, bị chặn c¸c d·y sau:

a) un = n +

1

n b) un = ( - )n - 1sin1

n c) u1 = 2, un + =

n

2u

* Bài 2:

Cho cấp số nhân có u1 <

và công bội q hỏi số hạng khác mang dấu trờng hợp sau: a) q > ? b) q < ?

* Bµi 3: Cho hai cÊp sè cộng có số số hạng: ( un) vµ ( )

Ta thiÕt lËp mét d·y sè míi: ( wn) víi wn = un + th×

(32)

w1 = u1 + v1 công sai

d = d1 + d2

VÝ dô: ( un): 2; 5; 8; ; -1 +

3n ( u1 = 2, d1 = )

(vn): - 1; 3; ; -5 + 4n ( v1

= - 1, d2 = ) Th× (wn) = 1;

11; ; -6 + 7n ( w1 = 1, d =

7 )

a) Ta cã hÖ:

1

u 2d u 6d

(u 2d)(u 6d)

          y 1

u 4d 3 (1)

(u 2d)(u 6d) 8 (2)

 

 

  



Tõ (1) cã u1=3-4d thay vµo

(2) th×: ( - 2d )( + 2d ) =  d2 = 1

4  d = 1 2  NÕu d=1

2 th× u1 = - 1 2 =

NÕu d=- 1

2 th× u1=3+4 1 2 =

b) Làm tơng tự câu a) cho: u1=0, d=3 hc d =-12, d=

21 5

a) §a vỊ hƯ:

5

6

u q 292 u q 384

       tìm đợc q = 2, u1 =

b) Đa hệ dạng:

3

1

4

1

u q u q 72 u q u q 144

          2

u q(q 1) 72 (1) u q (q 1) 144 (2)

        

Chia vế ( ) cho ( ) đợc: q = u1 = 12

Cñng cè:

- TÝnh n,u1, un, Sn, d biÕt

3 đại lợng ? - Các công thức cấp số cộng

Dùng tập phần c) để củng cố, luyện tập: Đa hệ dạng

1

(u d)(u 4d) 52

4u 10d 34

  

 

 



Giải hệ phép thế, ta đợc: u1 = 1, d =

u1 = 16, d = -

Cñng cè:

- Định nghĩa cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân: un + =qun=u1qn

Sn =

n

u (1 q ) 1 q

 

- Dùng tập phần c) để củng cố, luyn

* Bài 4: Tìm u1 d cña cÊp

sè céng, biÕt: a)

3

u u 6

u u 8

     

b) 15

2

4 12

u u 60 u u 1170

        

c)

2

u u 52

u u u u 34

 



   



* Bài 5:

Tìm u1 q cÊp sè

nh©n: a)

7 u 192 u 384     

b)

5

u u 72

u u 144

 

 

 



4 Cđng cè: - C¸ch xét tính tăng, giảm bị chặn dÃy sè?

- Vận dụng định nghĩa, tính chất định lí cấp số cộng nhân để giải tốn? * Bài tập: Ba số có tổng 15 lập thành cấp số cộng Nếu cộng ba số lần lợt với 1; 4; 19 nhận đợc số tạo thành cấp số nhân Tìm ba số ?

(33)

cã:

u1 + u2 + u3 = 15 Theo tÝnh chÊt, ta cã: u1 + u3 = 2u2

nªn suy ra: u1 + u2 + u3 = 3u2 = 15 hay u2 = gäi d lµ

cơng sai cấp số cộng u1 = - d, u3 = + d

- Theo giả thiết ta có cấp số nhân: 5-d+1; 5+4; 5+d+19

Víi d = cho u1 = số cần tìm lµ: ; ;

Víi d = - 21 cho u1 = 26 số cần tìm là: 26 ; ; -

16

- TÝnh n,u1, un, Sn, d biÕt

trong đại lợng ? - Các công thức v cp s cng

- Định nghĩa cấp số nhân, công thức số hạng tổng quát, công thức tính tổng n số hạng cấp số nhân:

5 Về nhà: - Tiếp tục «n tËp vµ hoµn thµnh bµi tËp SGK, SBT. - Chn bÞ kiĨm tra tiÕt

Ngày soạn:

Tiết 59 Bµi kiĨm tra tiÕt.

A - Mơc tiªu:

- KiĨm tra kiÕn thøc vỊ d·y số, cấp số cộng, cấp số nhân Kĩ vận dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học

- Kĩ biểu đạt giải toán B - Ni dung v mc :

- Bài toán tự luận áp dụng phơng pháp chứng minh quy nạp toán học - Toán cấp số cộng, cấp số nhân

- Có thể cho thêm phần toán trắc nghiệm ( điểm )

Đề bài:

Bài 1:( điểm )

Cho dóy s xỏc định công thức:

n n

u 1

u  3u 1 víi n 1 

  

 

Dùng phơng pháp chứng minh quy nạp, hÃy chứng minh dÃy ( un) tăng

Bài 2: ( điểm )

Mt hi trng có 10 dãy ghế Biết dãy ghế sau nhiều dãy ghế trớc 20 chỗ ngồi dãy sau có 280 chỗ ngồi Hỏi hội trờng có chỗ ngồi ?

Bµi 3: ( điểm )

Tìm cấp số nhân có sè h¹ng, biÕt r»ng:

3

4

16 u u

9 16 u u

27 

  

 

  

 

Đáp án thang điểm:

Bài ( điểm )

Đáp án Thang điểm

Với n = ta cã: u1 = vµ u2 = 3.1 1  0,5

(34)

Giả sử khẳng định với n = k  1, tức ta có: uk + > uk

một bất đẳng thức 0,5

Ta phải chứng minh khẳng định với n = k + 1, tức phải chứng

minh uk + > uk + 0,5

Thật vậy, ta có: uk + = 3uk 1  ( theo công thức xác định dãy số ) 0,5

Mà theo gt quy nạp: uk + > uk nªn suy ra:

uk + = 3uk 1  > 3uk  1= uk + ( đpcm ) 0,5

Bài 2: ( điểm )

Gọi u1, u2, , u10 lần lợt số chỗ ngåi cña d·y ghÕ sè 1, 2, , 10

cđa héi trêng Theo gi¶ thiÕt, ta cã ( un) lµ mét cÊp sè céng cã d = 20,

u10 = 280 ( n = 10 )

1,0 Ta cã: u10 = u1 + ( 10 - ).20 = 280  u1 = 100 1,0

Suy đợc S10 =

10(100 280)

1900 2



 hội trờng có 1900 chỗ ngồi

1,0

Bµi 3: ( điểm )

Đa đợc hệ cho dạng:

2

1

3

1

16 u q u

9 16 u q u q

27 

  

 

  

 

1.0

Hay:

2

16 u (q 1)

9 16 u q(q 1)

27 

  

 

  

 

1,0

Giải đợc: q = - 1

3 vµ u1 = 1,0

Tìm đợc cấp số nhân: ; - 2 3 ;

2 9 ; -

2 17 ;

2

Định dạng
Số trang	34
Dung lượng	0,95 MB