Để ý rằng max, min không được chọn là l hoặc r , (nghĩa là nếu so sánh ta thấy r là lớn nhất thì kết luận trong trường hợp này là hàm số không có max trên khoảng đang xét)... Giải tương [r]
(1)(Ôn Thi Tốt Nghiệp)
Phạm Đăng Minh
(2)Phương Pháp:
Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số đoạn [a;b] hàm số liên tục
• Tìm đạo hàm f0(x)
• Tìm xi, i = 1,2, , m nghiệm phương trình f0(x) = thuộc
khoảng (a;b) điểm mà f0(xi) khơng xác định • Tính f(x1), f(x2), , f(xm), f(a), f(b)
• So sánh giá trị vừa tìm được, chọn giá trị max,min hàm số Kí hiệu
max
[a;b]
f(x) =M;
[a;b]
f(x) =m
Chú ý: Nếu đoạn [a;b] thay khoảng (a;b) thay
f(a), f(b) giới hạn lim
x→af(x) = l limx→bf(x) = r, sau so
sánh giá trị lớn nhất, nhỏ Để ý max,min không chọn l r, (nghĩa so sánh ta thấy r lớn kết luận trường hợp hàm số khơng có max khoảng xét) Quy tắc sử dụng cho trường hợp a, b ký hiệu ∞
Bài Tập:
Bài 1: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn
(1) y = x3 −3x2 + 6x+ K = [−1; 1] (2) y = 14x4 −
3x
3 + 3x+ 1 K = [0; 2]
(3) y = √4−x2 K = [−1; 1]
(4) y = x
2 −x+ 1
x2 +x+ 1 K = [−2; 2]
(5) y = sin 2x−2x K = [π3; 4π3 ]
Hint:
(1)
• Hàm số liên tục đoạn xét
• Đạo hàm y0 = 3x2 −6x+ 6, ta thấy y0 > 0,∀x ∈ R • Các giá trị
f(−1) = −8;f(1) =
• Vậy
max
[−1;1]
f(x) = x = 1;
[−1;1]
f(x) =−8 x = −1 (2)
(3)• Đạo hàm y0 = x3 −4x2 + 3, ta có
y0 = ⇐⇒ x3 −4x2 + = ⇐⇒
x = ∈ K x = 3+
√
21 6∈ K
x = 3−
√
21 6∈ K • Các giá trị
f(0) = 1;f(1) = 35
12;f(2) =
• Vậy
max
[0;2]
f(x) = 35
12 x = 1; min[0;2]
f(x) =
3 x = (3)
• Hàm số liên tục đoạn xét
• Đạo hàm y0 = √−x
4−x2, ta có
y0 = ⇐⇒ −x = ⇐⇒ x = ∈ [−1; 1]
• Các giá trị
f(0) = 2;f(1) = √3;f(−1) = √3
• Vậy
max
[−1;1]
f(x) = x = 0;
[−1;1]
f(x) = √3 x = ±1 (4)
• Hàm số liên tục đoạn xét
• Đạo hàm y0 = 2x
2 −2
(x2 +x+ 1)2, ta có
y0 = 0⇐⇒ 2x2 −2 = ⇐⇒
"
x = ∈ [−2; 2] x = −1∈ [−2; 2]
• Các giá trị
f(−2) =
3;f(−1) = 3;f(1) =
3;f(2) =
• Vậy
max
[−2;2]f(x) = x = −1; [min−2;2]f(x) =
1
(4)(5)
• Hàm số liên tục đoạn xét
• Đạo hàm y0 = cos 2x−2, ta có
y0 = ⇐⇒ cos 2x = ⇐⇒ x = kπ, k ∈ Z • Xét đoạn [π3;4π3 ], y0 = có nghiệm x = π
• Các giá trị
f(π 3) =
√
3 −
2π
3 ;f(π) = −2π;f( 4π
3 ) =
√ − 8π • Vậy max [π 3; 4π ]
f(x) =
√
3 −
2π
3 x = π
3 [minπ
3; 4π
3]
f(x) =
√
3 −
8π
3 x = 4π
3
Bài 2: Tìm GTLN, GTNN hàm số đoạn cách đặt ẩn phụ
(1) y = cos 2x+ cosx−3 K = [0;π] (2) y = sinx+ cos2x+ K = [0;π]
Hint:
(1)
• Đặt t= cosx, x ∈ [0;π nên t ∈ [−1; 1]
• Hàm số viết lại
y = g(t) = 2t2 +t−4 liên tục đoạn [−1; 1]
• Đạo hàm g0(t) = 4t+ 1, ta có
g0(t) = ⇐⇒ t= −1
4 ∈ [−1; 1]
• Các giá trị
g(−1) = −3;g(−1
4) = − 33
8 ;g(1) = −1
• Vậy
max
[0;π]
f(x) = max
[−1;1]
g(t) =−1 t = ⇐⇒ cosx = ⇐⇒ x = ∈ [0;π]
min
[0;π] f(x) = min[−1;1]g(t) = −33
8 t = −
4 ⇐⇒ x = arccos(−
4) ∈ [0;π] (2) Giải tương tự
(5)(1) y = 12x+√x2 + 1
(2) y = x x2 + 1 Hint:
(1)
• TXĐ D = R, hàm số liên tục tập xác định
• Đạo hàm y0 = 12 + √ x
x2+1, ta có
y0 = ⇐⇒
2 + x
√
x2 + 1 = ⇐⇒ x = − √
3
• Các giá trị giới hạn
f(− √
3 ) =
√
3
2 ; limx→−∞f(x) = +∞; limx→+∞f(x) = +∞
• Vậy hàm số khơng có max R
min
R
f(x) =
√
3
2 x = −
√