Gäi I lµ giao ®iÓm cña MN víi tia Ot.[r]
(1)Sở gd & ĐT hoá Trêng thpt hËu léc 4
-*** -Đề thi chọn học sinh giỏi trờng Môn thi: Toán 10 (Năm học 2009 - 2010)
Thời gian làm bài: 120 phút không kể thời gian phỏt Cõu I.(6 im)
Cho phơng trình: (x 2) x 2 2mx 2m 2x23x 2 Giải phơng trình với m =
2 Tìm m để phơng trình có nghiệm phân biệt
Câu II. (6 điểm)
1 Giải hệ phơng tr×nh:
2
2
8
( )( ) 12
x y x y
x x y y
2 Giải bất phơng trình:
2 3 2 4 3 2 5 4
x x x x x x
Câu III.(6 điểm)
1 Trong mt phng vi h tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(4; -3) Hãy tìm điểm C thuộc đờng thẳng (d): x - 2y - = cho khoảng cách từ C đến đờng thẳng AB
2 Trong mặt phẳng, cho góc xOy 600 M, N hai điểm lần lợt thay đổi 2
tia Ox vµ Oy cho : 1 2009
2010
OM ON Chøng minh rằng: Đờng thẳng MN
ct tia phõn giỏc góc xOy điểm cố định
C©u IV.(2 điểm)
Cho x y hai số dơng thoả mÃn x y 2010 HÃy tìm giá trị nhỏ biểu thức :
2010 2010
x y
P
x y
-HÕt -Trêng thpt hËu léc 4
(2)C©u ý Nội dung Điểm
I
(3 đ)
* Với m=4 phơng trình trở thành: (x-2)(x2-8x +8) = -2x2+3x+2
(x-2)( x2-6x+9)=0
x-2=0 hc x2-6x+9=0
x=2 hc x=3
1 1 (3 ®) Ta cã:
(x-2)(x2-2mx+2m) = (x-2)(-2x-1) (1)
(x-2)[x2-2(m-1)x+2m+1]=0
x-2=0 hc x2-2(m-1)x+2m+1=0 (2)
Để phơng trình (1) có nghiệm phân biệt cần đủ phơng trình (2) phải có nghiệm phân biệt khác
,
2
( 1) (2 1) 2( 1)2
m m m m
4 h
2
m c m m 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 0.5 II (3đ) Đặt 2
u x x v y y
Khi hệ trở thành:
8 12 u v uv
Suy u, v lµ nghiệm phơng trình t2-8t+12=0 t=2 t=6
TH1 : Nếu u=2 v=6, ta có hệ :
2 2 x x y y
Ỉ
3 Ỉc
x ho c x
y ho y
Khi hệ có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2) TH2: Nếu u=6 v=2, ta có hệ:
2 x x y y
Ỉ
1 Ỉc
x ho c x y ho y
Khi hệ có nghiệm: (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
Vậy hệ cho có nghiệm: (1;-3), (1;2), (-2;-3), (-2;2), (-3;1), (-3;-2), (2;1), (2;-2)
(3)2
(3®)
* §iỊu kiƯn:
2 2
3 2 0
4 3 0
5 4 0
x x
x x
x x
x 1hoỈc x 4
(x 1)(x 2) (x 1)(x 3) 2 (x 1)(x 4) (1) TH1: Nếu x 1 Khi đó:
(1) (1 x)(2 x) (1 x)(3 x) 2 (1 x)(4 x)
1 x 2 x 1 x 3 x 2 1 x 4 x
1 x( 2 x 3 x 2 4 x)0 (2) + Víi x=1 tho¶ mÃn (2) nên x=1 nghiệm bpt +Với x1 x0 nên ta có:
(2) 2 x 3 x 2 4 x 0
2 x 3 x 2 4 x
( 2 x 3 x)2 4(4 x)
2 2 x 3 x 11 2 x
4(2 x)(3 x)(11 ) x 2(V× x1) 97
24
x không thoả m·n x1
TH2: Nếu x4Khi đó:
(1) x 1 x 2 x 1 x 3 2 x 1 x 4
x 1( x 2 x 3 2 x 4)0
x 2 x 3 2 x 4 0 ( Vì x4 nên x-1>0)
x 2 x 3 2 x 4
2 (x 2)(x 3) 2x 11 (3)
0.5
0.5
0.5
0.5
(4)+ NÕu 11 x
hiển nhiên thoả mÃn (3) VP 0 VT
+ NÕu 11
2
x ta cã:
(3) 4(x 2)(x 3) (2x 11)2
97 24
x kết hợp với điều kiện suy bpt có nghiÖm 11
2 x
VËy bpt cã tËp nghiƯm lµ: S 1 4;
0.5
III (5®)
Phơng trình đờng thẳng AB:
1
4
3 x y x y
Gi¶ sư C(x; y) Theo gi¶ thiÕt ta cã: x-2y-1=0 (1)
d(C, (AB)) =6
2
x y
37 (2 )
4 23 (2 )
x y a
x y b
* Giải hệ (1), (2a) ta đợc C1(7;3)
* Giải hệ (1), (2b) ta đợc 43 27
11 11
( ; )
C
1 0.5 1,5 1 (1®)
Gọi Ot tia phân giác góc xOy Suy Ot cố định Gọi I giao điểm MN với tia Ot Ta chứng minh I điểm cố định
ThËt vËy: OMN S = OM.ON.sinMON =
OM.ON.sin600 =
2
3 OM.ON (1)
OMN
S = SOMI SONI=
OM.OI.sinMOI + 12 ON.OI.sinNOI=
=
2
(OM+ON).OI.sin300 =
4
(OM+ON).OI (2)
Tõ (1) vµ (2) suy 1 ( 1 ) 2009
3 2010
OM ON
OI OM ON OM ON 0.25 0.25 0.25 0.25
IV (2®) 2010 2010 1
2010( ) ( )
y x
P x y
y x x y
(1) 0.5
(5)Theo B§T C«si ta cã x y x y
1
Đẳng thức xảy x=y (2)
Theo BĐT Bunhiacỗpski ta có
2
( x y) 2(xy)2.20104020 x y 4020 (3)
Đẳng thức xảy x=y
Tõ (1), (2) vµ (3) ta suy 2010.4 4020 4020 4020
P
Đẳng thức xảy x=y
Vậy P đạt GTNN 4020 x=y=1005
0.5
0.5