• ðối với nhiều tích phân khó ta phải ñổi biến trước khi lấy từng phần.[r]
(1)Tích phân
1.1
ðịnh nghĩa
- Hàm F x( ) nguyên hàm hàm ( )f x : F x′( )= f x( )
- Tập hợp tất nguyên hàm hàm ( )f x gọi tích phân bất định ( )f x kí hiệu :
( ) ( ) f x dx=F x +C
∫
(trong C số) Tính chất
1
∫
dx= +x C2
∫
( ( )f x +g x dx( )) =∫
f x dx( ) +∫
g x dx( ) k∈ℝ,∫
k f x dx ( ) =k.∫
f x dx( )2 9)
os dx
tgx C
c x = +
∫
9) 10) 2 cotsin dx
gx C
x= − +
∫
11) ln
( )() )
dx x a
C
x a x b a b x b
−
= +
− − − −
∫
Ví dụ : Tính tích phân I (3x2 cos )x dx x
=
∫
+ +Bảng nguyên hàm cần nhớ
1)
∫
a dx
.
=
ax
+
C
, a
∈
ℝ
2)
1
,
1
1
x
x dx
C
α+
α
=
+
α ≠ −
α +
∫
3)
dx
ln
x
C
x
=
+
∫
;
4)
dx
2
x
C
x
=
+
∫
5)
∫
e dx
x=
e
x+
C
;
6)
ln
x
x
a
a dx
C
a
=
+
∫
(2)Giải
2
2
3
1
(3 cos )
3 cos
3 ln sin
I x x dx
x
x dx dx xdx
x x
x x C
= + +
= + +
= + + +
∫
∫
∫
∫
Ví dụ : Tính tích phân I lnx 1dx x
+ =
∫
Giải
lnx
I dx
x
+ =
∫
ðặt
ln
t x
dx dt
x dx x dt
= +
⇔ =
⇒ =
2 ( )
2 (ln 1)
2 t
I x dt
x t
tdt C
x
C
=
= = +
+
= +
∫
∫
1.2 Phương pháp ñổi biến
a) ðịnh lý
• Nếu
∫
f x dx
( )
=
F x
( )
+
C
thì:
(3)Ví dụ : Tính tích phân
∫
xlnxdxVí dụ : Tính tích phân I =
∫
xe dxx Giảix I =
∫
xe dx ðặtex x
x x
x x
u x du dx
dv dx v e
I xe e dx
xe e C
= =
⇒
= =
= −
= − +
∫
1.4 Tích phân xác định
1.3 Phương pháp phần
a) Công thức
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
u x v x d x
′
=
u x v x
−
u x v x dx
′
∫
∫
hay
∫
udv
=
uv
−
∫
vd u
.
Giải. ðặt
2
ln
,
2
u x dx x
du v dv xdx x
=
⇒ = =
=
2
1
ln
2
I x x xdx
⇒ = −
∫
ln2 x x x C
= − +
b) Các dạng thường gặp
• ðối với dạng tích phân
∫
P x e
( )
αxdx
, ta ñặt
( ),
xu
=
P x
dv
=
e
αdx
• ðối với dạng tích phân
∫
P x
( ) ln
αx dx
, ta ñặt
ln
,
( )
u
=
αx dv
=
P x dx
(4)
Tính chất
1 b
a
dx= −a b
∫
2 ( ( ) ( )) ( ) ( )
b b b
a a a
f x +g x dx= f x dx+ g x dx
∫
∫
∫
3 , ( ) ( )
b b
a a
k∈ℝ
∫
k f x dx=k∫
f x dx2.2 Công thức Newton – Leibnitz
• Nếu
f x
( )
liên tục
[ ; ]
a b
F x
( )
nguyên hàm
tùy ý thì:
( )
( )
( )
( ).
b
b a a