BOIDUONGMTBT

NÕu biÕt c¸ch sö dông ®óng, hîp lý mét quy tr×nh bÊm phÝm sÏ cho kÕt qu¶ nhanh, chÝnh x¸c... XÐt tÝnh héi tô cña d·y sè:.[r]

Phần I: Các toán đa thức Tính giá trị biểu thức:

Bài 1: Cho ®a thøc P(x) = x15 -2x12 + 4x7 - 7x4 + 2x3 - 5x2 + x - 1

TÝnh P(1,25); P(4,327); P(-5,1289); P(13 4)

H.DÉn:

- LËp c«ng thøc P(x)

- TÝnh giá trị đa thức điểm: dùng chức CALC - Kết quả: P(1,25) = ; P(4,327) = P(-5,1289) = ; P(13

4) =

Bài 2: Tính giá trị cđa c¸c biĨu thøc sau:

P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 t¹i x = 0,53241

Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 t¹i x = -2,1345

H.DÉn:

- áp dụng đẳng thức: an - bn = (a - b)(an-1 + an-2b + + abn-2 + bn-1) Ta có:

P(x) = + x + x2 + x3 + + x8 + x9 = ( 1)(1 9) 10

1

x x x x x

x x

− + + + + = −

− −

Từ tính P(0,53241) = Tơng tự:

Q(x) = x2 + x3 + + x8 + x9 + x10 = x2(1 + x + x2 + x3 + + x8) =

2

1

x x

x − −

Từ tính Q(-2,1345) =

Bµi 3: Cho ®a thøc P(x) = x5 + ax4 + bx3 + cx2 + dx + e BiÕt P(1) = 1; P(2) = 4; P(3) = 9; P(4) = 16;

P(5) = 25 TÝnh P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.Dẫn:

Bớc 1: Đặt Q(x) = P(x) + H(x) cho: + BËc H(x) nhá h¬n bËc cña P(x)

+ Bậc H(x) nhỏ số giá trị biết P(x), trongbài bậc H(x) nhỏ 5, nghĩa là: Q(x) = P(x) + a1x4 + b1x3 + c1x2 + d1x + e

Bớc 2: Tìm a1, b1, c1, d1, e1 để Q(1) = Q(2) = Q(3) = Q(4) = Q(5) = 0, tức là:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1 1 1

1

16 4

81 27 9

256 64 16 16

625 125 25 25

a b c d e

a b c d e

a b c d e

a b c d e

a b c d e

+ + + + + =



 + + + + + =

 + + + + + =



 + + + + + =



+ + + + + =



⇒ a1 = b1 = d1 = e1 = 0; c1 = -1

VËy ta cã: Q(x) = P(x) - x2

⇒ P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4)(x - 5) + x2

Từ tính đợc: P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =

Bài 4: Cho đa thức P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 5; P(2) = 7; P(3) = 9; P(4) = 11

TÝnh P(5); P(6); P(7); P(8); P(9) = ? H.DÉn:

- Giải tơng tự 3, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + (2x + 3) Từ tính đợc: P(5) = ; P(6) = ; P(7) = ; P(8) = ; P(9) =

Bµi 5: Cho ®a thøc P(x) = x4 + ax3 + bx2 + cx + d BiÕt P(1) = 1; P(2) = 3; P(3) = 6; P(4) = 10

TÝnh (5) (6) ? (7)

P P

A

P −

= =

H.DÉn:

- Giải tơng tự 4, ta có: P(x) = (x -1)(x - 2)(x - 3)(x - 4) + ( 1)

x x+

Từ tính đợc:

(5) (6) (7)

P P

A

P −

= =

Bµi 6: Cho ®a thøc f(x) bËc víi hƯ sè cđa x3 k, k Z thoả mÃn:

f(1999) = 2000; f(2000) = 2001 Chøng minh r»ng: f(2001) - f(1998) hợp số H.Dẫn:

* Tỡm a thc phụ: đặt g(x) = f(x) + (ax + b) Tìm a, b để g(1999) = g(2000) =

1999 2000

2000 2001

a b a

a b b

+ + = = −

 

⇔  ⇔ 

+ + = = −

  ⇒ g(x) = f(x) - x -

* Tính giá trị f(x):

- Do bậc f(x) nên bậc g(x) vµ g(x) chia hÕt cho:

(x - 1999), (x - 2000) nªn: g(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0)

⇒ f(x) = k(x - 1999)(x - 2000)(x - x0) + x +

Bài 7: Cho đa thức f(x) bËc 4, hƯ sè cđa bËc cao nhÊt lµ thoả mÃn: f(1) = 3; P(3) = 11; f(5) = 27 Tính giá trị A = f(-2) + 7f(6) = ? H.Dẫn:

- Đặt g(x) = f(x) + ax2 + bx + c T×m a, b, c cho g(1) = g(3) = g(5) = ⇒ a, b, c lµ

nghiƯm cđa hƯ phơng trình:

9 11

25 27

a b c

a b c

a b c

+ + + = 

 + + + =



 + + + =



⇒ MTBT ta giải đợc:

1

2

a b c

= −   =   = −  ⇒ g(x) = f(x) - x2 - 2

- V× f(x) bậc nên g(x) có bậc g(x) chia hÕt cho (x - 1), (x - 3), (x - 5), vËy: g(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) ⇒ f(x) = (x - 1)(x - 3)(x - 5)(x - x0) + x2 +

Ta tính đợc: A = f(-2) + 7f(6) =

Bài 8: Cho đa thức f(x) bậc BiÕt f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = Tìm f(10) = ? (Đề thi HSG CHDC Đức)

H.Dẫn:

- Giả sử f(x) cã d¹ng: f(x) = ax3 + bx2 + cx + d V× f(0) = 10; f(1) = 12; f(2) = 4; f(3) = nªn:

10

12

8 4

27

d

a b c d

a b c d

a b c d

= 

 + + + = 

 + + + =



 + + + =

lấy phơng trình cuối lần lợt trừ cho phơng trình đầu giải hệ gồm phơng trình ẩn a, b, c MTBT cho ta kÕt qu¶: 5; 25; 12; 10

2

a= b= − c= d =

⇒ ( ) 25 12 10

2

f x = x − x + x+ ⇒ (10)f =

Bài 9: Cho đa thức f(x) bậc biết chia f(x) cho (x - 1), (x - 2), (x - 3) đ ợc d f(-1) = -18 Tính f(2005) = ?

H.DÉn:

Bµi 10: Cho ®a thøc 13 82 32

( )

630 21 30 63 35

P x = x − x + x x + x

a) Tính giá trị ®a thøc x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; b) Chøng minh r»ng P(x) nhËn giá trị nguyên với x nguyên Giải:

a) Khi x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; (tính máy) P(x) =

b) Do 630 = 2.5.7.9 vµ x = -4; -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3; lµ nghiƯm cđa ®a thøc P(x) nªn

1

( ) ( 4)( 3)( 2)( 1) ( 1)( 2)( 3( 4)

2.5.7.9

P x = x− x− x− x− x x+ x+ x+ x+

Vì só ngun liên tiếp ln tìm đợc số chia hết cho 2, 5, 7, nên với x nguyên tích: (x− 4)(x− 3)(x− 2)(x−1) (x x+1)(x+ 2)(x+ 3(x+ 4) chia hết cho 2.5.7.9 (tích số nguyên tố nhau) Chứng tỏ P(x) số nguyên với x nguyên

Bµi 11: Cho hµm sè ( )

4

x x f x =

+ H·y tÝnh c¸c tỉng sau:

1

1 2001

)

2002 2002 2002

a S = f + f  + + f 

     

2 2

2

2 2001

) sin sin sin

2002 2002 2002

b S = f  π + f π + + f  π 

     

H.DÉn:

* Với hàm số f(x) cho trớc hết ta chứng minh bổ đề sau: Nếu a + b = f(a) + f(b) =

* áp dụng bổ đề trên, ta có: a)

1 2001 1000 1002 1001

2002 2002 2002 2002 2002

S =  f  + f + + f  + f  + f  

         

   

1 1

1 1000 1000,5

2 f f 2

    

= + + +   +   = + =    

 

b) Ta cã sin2 sin2 2001 , ,sin21000 sin21002

2002 2002 2002 2002

π = π π = π

Do đó:

2 2

2

2 1000 1001

2 sin sin sin sin

2002 2002 2002 2002

S =  f  π + f  π + + f  π + f  π 

       

 

2 sin2 sin21000 sin2500 sin2501 sin2

2002 2002 2002 2002

f π f π f π f π f π

           

=   +  + +  +   +  

         

   

 

2 sin2 cos2 sin2500 cos2500 (1)

2002 2002 2002 2002

f π f π f π f π f

         

=   +  + +   +   +

       

   

 

1 1[ ] 1000 10002

6 3

2 Tìm thơng d phép chia hai đa thức:

Bài toán 1: Tìm d phép chia đa thức P(x) cho (ax + b) Cách giải:

- Ta phân tÝch: P(x) = (ax + b)Q(x) + r ⇒ P b 0.Q b r

a a

 −  =  −  +

   

    ⇒ r =

b P

a −     

Bài 12: Tìm d phép chia P(x) = 3x3 - 5x2 + 4x - cho (2x - 5)

Gi¶i:

- Ta cã: P(x) = (2x - 5).Q(x) + r ⇒ 5

2 2

P   = Q  + ⇒ =r r P  

      ⇒ r =

5

P    

Tính máy ta đợc: r =

P  =

Bài toán 2: Tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Cách giải:

- Dựng lc Hoocner để tìm thơng d phép chia đa thức P(x) cho (x + a) Bài 13: Tìm thơng d phép chia P(x) = x7 - 2x5 - 3x4 + x - cho (x + 5)

H.Dẫn: - Sử dụng lợc đồ Hoocner, ta có:

1 -2 -3 0 -1

-5 -5 23 -118 590 -2950 14751 -73756

* Tính máy tính giá trị nh sau: ( )− SHIFT STO M

1 × ANPHA M + = (-5) : ghi giÊy -5 × ANPHA M + - = (23) : ghi giÊy 23 × ANPHA M - = (-118) : ghi giÊy -118 × ANPHA M + = (590) : ghi giÊy 590 × ANPHA M + = (-2950) : ghi giÊy -2950 × ANPHA M + = (14751) : ghi giÊy 14751 × ANPHA M - = (-73756) : ghi giÊy -73756

x7 - 2x5 - 3x4 + x - = (x + 5)(x6 - 5x5 + 23x4 - 118x3 + 590x2 - 2950x + 14751) - 73756

Cách giải:

- Để tìm d: ta giải nh toán

- tìm hệ số đa thức thơng: dùng lợc đồ Hoocner để tìm thơng phép chia đa thức P(x) cho (x +b

a) sau nhân vào thơng với

1

a ta đợc đa thức thng cn tỡm

Bài 14: Tìm thơng d phÐp chia P(x) = x3 + 2x2 - 3x + cho (2x - 1)

Gi¶i:

- Thùc hiÖn phÐp chia P(x) cho

x  − 

 

  , ta đợc:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + =

2

x  − 

 

 

2

2

x x

 + −  +

 

  Từ ta phân tích:

P(x) = x3 + 2x2 - 3x + = 2.

2 x  −     

2

2

x x

 + − +

 

 

= (2x - 1)

2x 4x 8

 + −  +

 

 

Bài 15: Tìm giá trị m để đa thức P(x) = 2x3 + 3x2 - 4x + + m chia hết cho Q(x) = 3x +2

H.DÉn:

- Ph©n tÝch P(x) = (2x3 + 3x2 - 4x + 5) + m = P

1(x) + m Khi đó:

P(x) chia hÕt cho Q(x) = 3x + vµ chØ khi: P1(x) + m = (3x + 2).H(x)

Ta cã: 1

2

0

3

P−  + m= ⇒ m= −P− 

   

Tính máy giá trị đa thức P1(x)

3

x= − ta đợc m =

Bài 16: Cho hai đa thức P(x) = 3x2 - 4x + + m; Q(x) = x3 + 3x2 - 5x + + n Tìm m, n để hai đa

thøc trªn cã nghiƯm chung

1 x = H.DÉn:

x = nghiệm P(x) m =

1

P 

−    , víi P1(x) = 3x2 - 4x +

0

1

x = lµ nghiƯm cđa Q(x) th× n =

1

Q  

Tính máy ta đợc: m =

1

P 

−    = ;n =

1

Q  

−    =

Bµi 17: Cho hai ®a thøc P(x) = x4 + 5x3 - 4x2 + 3x + m; Q(x) = x4 + 4x3 - 3x2 + 2x + n.

a) Tìm m, n để P(x), Q(x) chia hết cho (x - 2)

b) Xét đa thức R(x) = P(x) - Q(x) Với giá trị m, n vừa tìm chứng tỏ đa thức R(x) chØ cã nhÊt mét nghiÖm

H.DÉn:

a) Giải tơng tự 16, ta có: m = ;n = b) P(x) M (x - 2) vµ Q(x) M (x - 2) ⇒ R(x) M (x - 2)

Ta l¹i cã: R(x) = x3 - x2 + x - = (x - 2)(x2 + x + 3), v× x2 + x + > víi mäi x nªn R(x) chØ

cã mét nghiÖm x =

Bài 18: Chia x8 cho x + 0,5 đợc thơng q

1(x) d r1 Chia q1(x) cho x + 0,5 đợc thơng q2(x) d r2 Tìm r2 ?

H.DÉn:

- Ta ph©n tÝch: x8 = (x + 0,5).q

1(x) + r1

q1(x) = (x + 0,5).q2(x) + r2

- Dùng lợc đồ Hoocner, ta tính đợc hệ số đa thức q1(x), q2(x) số d r1, r2:

1 0 0 0 0

1

− 1

2

−

4

1

−

16

1 32

−

64

1 128

−

256

2

− -1

4

1

−

16

3 16

−

64

1 16

−

VËy:

1 16

Phần II: Các toán DÃy sè

Máy tính điện tử Casio fx - 570 MS có nhiều đặc điểm u việt MTBT khác Sử dụng MTĐT Casio fx - 570 MS lập trình tính số hạng dãy số ví dụ Nếu biết cách sử dụng đúng, hợp lý quy trình bấm phím cho kết nhanh, xác Ngồi việc MTBT giúp cho việc giảm đáng kể thời gian tính tốn học mà từ kết tính tốn ta dự đốn, ớc đốn tính chất dãy số (tính đơn điệu, bị chặn ), dự đốn cơng thức số hạng tổng qt dãy số, tính hội tụ, giới hạn dãy từ giúp cho việc phát hiện, tìm kiếm cách giải tốn cách sáng tạo Việc biết cách lập quy trình để tính số hạng dãy số cịn hình thành cho học sinh kỹ năng, t thuật tốn gần với lập trình tin học

Sau số quy trình tính số hạng số dạng dÃy số thờng gặp chơng trình, ngoại khoá thi giải Toán MTBT:

I/ Lập quy trình tính số hạng dÃy số: 1) DÃy số cho công thức số hạng tỉng qu¸t:

f(n) biểu thức n cho trớc

C¸ch lập quy trình:

- Ghi giá trị n = vào ô nhớ A : SHIFT STO A - Lập công thức tính f(A) gán giá trị ô nhớ : A = A + - Lặp dấu bằng: = =

Giải thÝch:

1 SHIFT STO A : ghi gi¸ trị n = vào ô nhớ A

f(A) : A = A + : tÝnh un = f(n) giá trị A (khi bấm dấu thø lÇn nhÊt)

và thực gán giá trị ô nhớ A thêm đơn vị: A = A + (khi bấm dấu lần thứ hai)

VÝ dơ 1: TÝnh 10 sè h¹ng ®Çu cđa d·y sè (un) cho bëi:

1 5 ; 1, 2,3

2

5

n n

n

u =  +  −  −   n=

    

 

Giải:

- Ta lập quy trình tính un nh sau:

SHIFT STO A

( ÷ ) ( ( ( + ) ÷ ) ∧ ANPHA A - ( ( - ) ÷ ) ∧ ANPHA A ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + =

- Lặp lại phím: = =

Ta đợc kết quả: u1 = 1, u2 = 1, u3 = 2, u4 = 3, u5 = 5, u6 = 8, u7 = 13, u8 = 21,

u9 = 34, u10 = 55

2) D·y sè cho bëi hƯ thøc truy håi d¹ng:

f(un) biểu thức

un cho tríc

C¸ch lËp quy trình:

- Nhập giá trị số hạng u1: a =

- NhËp biĨu thøc cđa un+1 = f(un) : ( biểu thức un+1 chỗ nµo cã un ta nhËp b»ng

ANS )

- Lặp dấu bằng: = Giải thích:

- Khi bấm: a = hình u1 = a lu kết

- Khi nhập biểu thức f(un) bëi phÝm ANS , bÊm dÊu = lÇn thø nhÊt m¸y sÏ thùc hiƯn tÝnh u2 =

f(u1) lại lu kết

- Tip tc bấm dấu = ta lần lợt đợc số hạng dãy số u3, u4

VÝ dô 1: Tìm 20 số hạng đầu dÃy số (un) cho bëi:

1

n+1 n

u = a

u = f(u ) ; n N*



 ∈

1

1

2

, *

1

n n

n u

u

u n N

u

+

= 

 +

 = ∈

 +



Gi¶i:

- LËp quy trình bấm phím tính số hạng dÃy số nh sau: = (u1)

( ANS + ) ÷ ( ANS + ) = (u2)

= =

- Ta đợc giá trị gần với chữ số thập phân sau dấu phảy: u1 = u8 = 1,414215686

u2 = 1,5 u9 = 1,414213198

u3 = 1,4 u10 = 1,414213625

u4 = 1,416666667 u11 = 1,414213552

u5 = 1,413793103 u12 = 1,414213564

u6 = 1,414285714 u13 = 1,414213562

u7 = 1,414201183 u14 = = u20 = 1,414213562

Ví dụ 2: Cho dãy số đợc xác định bởi:

( )3

3

3

3

, *

n n

u

u + u n N

 =

 

= ∈



Tìm số tự nhiên n nhỏ để un l s nguyờn

Giải:

- Lập quy trình bấm phím tính số hạng dÃy số nh sau: SHIFT = (u

1)

ANS ∧ SHIFT = (u 2)

= = (u4 = 3)

Vậy n = số tự nhiên nhỏ để u4 = số nguyên

3) D·y sè cho bëi hƯ thøc truy håi d¹ng:

Cách lập quy trình: * Cách 1:

BÊm phÝm: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B Và lặp lại dÃy phím:

ì A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A × A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B Gi¶i thÝch: Sau thùc hiƯn

b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B

trong ô nhớ A u2 = b, máy tính tổng u3 := Ab + Ba + C = Au2 + Bu1 + C đẩy vào ô nhớ

B , hình là: u3 : = Au2 + Bu1 + C

Sau thùc hiƯn: × A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A m¸y tÝnh tỉng u4

:= Au3 + Bu2 + C đa vào ô nhớ A Nh ta có u4 hình nhớ A

(trong « nhí B vÉn u3)

Sau thực hiện: ì A + ANPHA B ì B + C SHIFT STO B máy tÝnh tæng u5

:= Au4 + Bu3 + C đa vào ô nhớ B Nh ta có u5 hình nh B

(trong ô nhớ A u4)

Tiếp tục vòng lặp ta đợc dãy số un+2 = Aun+1 + Bun + C

*Nhận xét: Trong cách lập quy trình trên, ta sử dụng chức COPY để lập lại dãy lặp quy trình sau (giảm đợc 10 lần bấm phím tìm số hạng dãy số), thực quy trình sau:

BÊm phÝm: b SHIFT STO A × A + B × a + C SHIFT STO B × A + ANPHA A × B + C SHIFT STO A × A + ANPHA B × B + C SHIFT STO B

∆ SHIFT COPY LỈp dÊu b»ng: = =

* Cách 2: Sử dụng cách lập công thøc BÊm phÝm: a SHIFT

ANPHA C ANPHA = A ANPHA B + B ANPHA A + C ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B

ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C LỈp dÊu b»ng: = =

Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

n+2 n+1 n

u = 1, u

u = 3u + u + ; n N*

= 

 ∈



H·y lập quy trình tính un

Giải:

- Thực hiƯn quy tr×nh:

2 SHIFT STO A × + × + SHIFT STO B

× + ANPHA A × + SHIFT STO A

× + ANPHA B × + SHIFT STO B

SHIFT COPY

∆

= =

ta đợc dãy: 15, 58, 239, 954, 3823, 15290, 61167, 244666, 978671 Hoặc thực quy trình:

1 SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA B + ANPHA A + ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA B

ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = =

4) D·y sè cho bëi hÖ thức truy hồi với hệ số biến thiên dạng:

* Thuật tốn để lập quy trình tính số hạng dãy: - Sử dụng ô nhớ: A : chứa giá trị n

B : chứa giá trị un

C : chứa giá trị un+1

- Lp cơng thức tính un+1 thực gán A : = A + B := C để tính số hạng

cđa d·y

- LỈp phÝm : =

Ví dụ : Cho dãy số đợc xác định bởi:

( )

1

n+1 n

u = n

u = u +1 ; n N* n+1

 

 ∈



H·y lËp quy trình tính un

Giải:

- Thực quy tr×nh:

SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ( ANPHA A ÷ ( ANPHA A + ) ) × ( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA =

ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C = =

ta đợc dãy: 1, 1, 3, 2, 5, 3, 7,

2 2

II/ Sư dơng MTBT việc giải số dạng toán dÃy số:

{ }

( )

1 n+1

u = a

u = f n u, n ; n N* 

 ∈



Trong f ({ n u, n}) kí

hiƯu cđa biĨu thøc un+1 tÝnh theo

1) Lập công thức số hạng tổng quát: Phơng pháp giải:

- Lp quy trỡnh MTBT để tính số số hạng dãy số - Tìm quy luật cho dãy số, dự đốn công thức số hạng tổng quát - Chứng minh công thức tìm đợc quy nạp

VÝ dơ 1: Tìm a2004 biết:

Giải:

- Trớc hết ta tính số số hạng đầu dÃy (an), quy tr×nh sau:

1 SHIFT STO A SHIFT STO B

ANPHA C ANPHA = ANPHA A ( ANPHA A + )

÷ ( ( ANPHA A + ) ( ANPHA A + ) ) ×

( ANPHA B + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + ANPHA : ANPHA B ANPHA = ANPHA C - Ta đợc dãy: 1, , 27 11 13 9, , , ,

6 20 50 15 14

- Từ phân tích số hạng để tìm quy luật cho dãy trên: a1 =

a2 = 1.5

6= 30= 3.10 ⇒ dù đoán công thức số hạng tổng quát: a3 = 2.7 2.7

20= 40 = 4.10 a4 =

27 3.9

50 = 5.10 * Dễ dàng chứng minh công thức (1)

⇒ 2004

2003.4009 20050

a =

1

0

( 1)

( 1) ; *

( 2)( 3)

n n

a

n n

a a n N

n n

+

= 

 +

 = + ∈

 + +



        

( 1)(2 1)

10( 1)

n

n n

a

n

− +

=

+ (1)

VÝ dô : XÐt d·y sè:

Chøng minh r»ng sè A = 4an.an+2 + lµ sè chÝnh phơng

Giải:

- Tính số số hạng đầu dÃy (an) quy trình:

3 SHIFT STO A × - + SHIFT STO B

× - ANPHA A + SHIFT STO A

× - ANPHA B + SHIFT STO B

SHIFT COPY

∆

= =

- Ta đợc dãy: 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, - Tìm quy luật cho dãy số:

1

1(1 1)

2

a = = +

2

2(2 1)

2

a = = + dự đoán công thức số hạng tổng quát:

3

3(3 1)

2

a = = +

4

4(4 1) 10

2

a = = +

5

5(5 1) 15

2

a = = + * Ta hoµn toµn chøng minh c«ng thøc (1)

Từ đó: A = 4an.an+2 + = n(n + 1)(n + 2)(n + 3) +1 = (n2 + 3n + 1)2 ⇒ A số phơng

Cách giải khác: Từ kết tìm đợc số số hạng đầu dãy,ta thấy: - Với n = A = 4a1.a3 + = 4.1.6 + = 25 = (2a2 - 1)2

- Víi n = th× A = 4a2.a4 + = 4.3.10 + = 121 = (2a3 - 1)2

- Víi n = th× A = 4a3.a5 + = 4.6.15 + = 361 = (2a4 - 1)2

Từ ta chứng minh A = 4an.an+2 + = (2an+1 - 1)2 (*)

Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc (*) 2) Dự đoán giới hạn dãy số:

1

*

1,

2 1;

n n n

a a

a + a a n N

= =



 = − + ∈



        

( 1)

n n n

a = +

đúng với n ∈ N*

2.1 XÐt tÝnh héi tơ cđa d·y sè:

Bằng cách sử dung MTBT cho phép ta tính đợc nhiều số hạng dãy số cách nhanh chóng Biểu diễn dãy điểm số hạng dãy số giúp cho ta trực quan tốt hội tụ dãy số, từ hình thành nên cách giải tốn

VÝ dơ 1: XÐt sù héi tơ cña d·y sè (an):

sin( ); *

n

n

a n N

n

= ∈

+

Gi¶i:

- Thùc hiƯn quy tr×nh:

4 2

MODE SHIFT STO A

sin ( ANPHA A ) ÷ ( ANPHA A + ) ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = =

ta đợc kết sau (độ xác 10-9):

n an n an n an n an

1 0,420735492 13 0,030011931 25 -0,005090451 37 -0,016935214 0,303099142 14 0,06604049 26 0,028242905 38 0,007599194 0,035280002 15 0,04064299 27 0,034156283 39 0,024094884 -0,151360499 16 -0,016935489 28 0,009341578 40 0,018173491 -0,159820712 17 -0,053410971 29 -0,022121129 41 -0,00377673 -0,039916499 18 -0,039525644 30 -0,031871987 42 -0,021314454 0,082123324 19 0,00749386 31 -0,012626176 43 -0,018903971 0,109928694 20 0,043473583 32 0,016709899 44 0,000393376 0,041211848 21 0,038029801 33 0,029409172 45 0,018497902 10 -0,049456464 22 -0,000384839 34 0,015116648 46 0,019186986 11 -0,083332517 23 -0,035259183 35 -0,011893963 47 0,00257444 12 -0,041274839 24 -0,036223134 36 -0,026804833 48 -0,015678666

- Biểu diễn điểm mặt phẳng toạ độ (n ; an):

Dùa vµo sù biĨu diƠn trªn gióp cho ta rót nhËn xÐt n lớn an gần (an 0)

và chất dãy hội tụ đến số an

2.2 Dự đoán giới hạn dÃy số:

Vớ d 1: Chứng minh dãy số (un), (n = 1, 2, ) xác định bởi:

1

2

2 ; *

n n

u

u + u n N

 =

 

= + ∈



có giới hạn Tìm giới hạn Giải:

- Thùc hiƯn quy tr×nh: =

( + ANS ) = =

ta đợc kết sau (độ xác 10-9):

n un n un

1 1,414213562 11 1,999999412

2 1,847759065 12 1,999999853

3 1,961570561 13 1,999999963

4 1,990369453 14 1,999999991

5 1,997590912 15 1,999999998

6 1,999397637 16 1,999999999

7 1,999849404 17 2,000000000

8 1,999962351 18 2,000000000

9 1,999990588 19 2,000000000

10 1,999997647 20 2,000000000

Dựa vào kết ta nhận xét đợc: 1) Dãy số (un) dãy tăng

2) Dự đoán giới hạn dãy số Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phơng pháp quy nạp ta chứng minh đợc dãy số (un) tăng bị chặn ⇒ dãy (un) có

giíi h¹n

+ Gọi giới hạn a: limun = a Lấy giới hạn hai vế công thức truy hồi xác định dãy số

(un) ta đợc:

limun = lim( 2+ un ) hay a = a+

0

2

a

a

a a

≥ 

⇔  ⇔ =

= + 

Ví dụ 2: Cho dãy số (xn), (n = 1, 2, ) xác định bởi:

1 2

1

1

2

sin( ) , *

5

n n n

x x

x x π x n N

π

+ +

= = 



 = + ∈



Chøng minh r»ng d·y (xn) có giới hạn tìm giới hạn

Giải:

- Thực quy trình:

4 2

MODE SHIFT STO A × ( ÷ SHIFT π )

+ ( SHIFT ữ ) ì sin ( ) SHIFT STO B x 2 × ( ÷ SHIFT π ) + ( SHIFT π ÷ )

× sin ( ANPHA A ) SHIFT STO A

x 2 × ( ÷ SHIFT π ) + ( SHIFT π ÷ )

× sin ( ANPHA B ) SHIFT STO B ∆ SHIFT COPY

= =

ta tính số hạng đầu dÃy số (xn) rút nhận xét sau:

1) DÃy số (xn) dÃy không giảm

2) x50 = x51 = = 1,570796327 (với độ xác 10-9)

3) NÕu lÊy xi (i = 50, 51, ) trõ cho

2

π ta nhận đợc kết 0.

⇒ dù đoán giới hạn dÃy số

Chứng minh nhận định trên:

+ Bằng phơng pháp quy nạp ta dễ dàng chứng minh đợc xn∈ (0 ;

π

) vµ d·y (xn) không giảm dÃy (xn) có giới hạn

+ Gọi giới hạn a, ta có:

2 sin( ), (1)

5

a a π a

π

= +

+ Bằng phơng pháp giải tích (xét hàm sè ( ) 2 sin( )

5

f x x π x x

π

= + − ) ta cã (1) cã nghiÖm lµ

a =

π .

VËy: lim xn =

2

π

3) Một số dạng tập sử dụng ngoại khoá thi giải Toán MTBT: Bài 1: Cho d·y sè (un), (n = 0, 1, 2, ):

(2 3) (2 3)

2

n n

n

u = + − −

a) Chøng minh un nguyªn víi mäi n tù nhiªn

b) Tìm tất n ngun để un chia hết cho

Bài 2: Cho dãy số (an) đợc xác định bởi:

2

1

2

4 15 60 , *

o

n n n

a

a + a a n N

=  

= + − ∈



a) Xác định công thức số hạng tổng quát an

b) Chøng minh r»ng sè: ( )

1

8

5 n

A= a + biểu diễn đợc dới dạng tổng bình phơng số nguyên liên tiếp với n ≥

Bài 3: Cho dãy số (un) xác định bởi:

2

0,

1999 ,

o

n n n

u u

u + u + u n N

= =



 = − ∈



T×m tất số tự nhiên n cho un sè nguyªn tè

Bài 4: Cho dãy số (an) xác định bởi:

1

5, 11

2 , 2,

n n n

a a

a+ a a − n n N

= =



 = − ≥ ∈

 Chøng minh r»ng:

a) DÃy số có vô số số dơng, sè ©m b) a2002 chia hÕt cho 11

Bài 5: Cho dãy số (an) xác định bởi:

2 2 , 3, n n n a a a

a n n N

a − − = =   +  = ≥ ∈  

Chøng minh an nguyªn víi mäi n tù nhiªn

Bài 6: Dãy số (an) đợc xác định theo công thức:

(2 3)n , *

n

a =  +  n N∈

  ; (kÝ hiÖu (2 3)

n  + 

 

Phần III: Các toán số Tính toán máy kết hợp giấy:

Bài 1: a) Nêu phơng pháp (kết hợp máy giấy) tính xác kết phÐp tÝnh sau: A = 12578963 x 14375

b) TÝnh chÝnh x¸c A

c) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: B = 1234567892

d) TÝnh chÝnh x¸c cđa sè: C = 10234563

Gi¶i:

a) NÕu tÝnh máy tràn hình nên ta làm nh sau:

A = 12578963.14375 = (12578.103 + 963).14375 = 12578.103.14375 + 963.14375

* Tính máy: 12578.14375 = 180808750 12578.103.14375 = 180808750000

* Tính máy: 963.14375 = 13843125

Từ ta có: A = 180808750000 + 13843125 = 180822593125 (Tính máy) Hoặc viết: 180808750000 = 180000000000 + 808750000 cộng máy: 808750000 + 13843125 = 822593125 ⇒ A = 180822593125

b) Giá trị xác A là: 180822593125

c) B =1234567892=(123450000 + 6789)2 = (1234.104)2 + 2.12345.104.6789 + 67892

Tính máy: 123452 = 152399025

2x12345x6789 = 167620410 67892 = 46090521

VËy: B = 152399025.108 + 167620410.104 + 46090521

= 15239902500000000 + 1676204100000 + 46090521= 15241578750190521 d) C = 10234563 = (1023000 + 456)3= (1023.103 + 456)3

= 10233.109 + 3.10232.106.456 + 3.1023.103.4562 + 4563

Tính máy:

10233 = 1070599167

3.10232.456 = 1431651672

3.1023.4562 = 638155584

4563 = 94818816

Bài (Thi giải Toán MTBT khu vực - Năm học 2003-2004) Tính kết tích sau:

a) M = 2222255555 x 2222266666 b) N = 20032003 x 20042004

Đáp số: a) M = 4938444443209829630 b) N = 401481484254012

Bài 3: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau:

a) A = 1,123456789 - 5,02122003 b) B = 4,546879231 + 107,3564177895 Đáp số: a) A = b) B =

Bài 4: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tính kết phép tính sau:

A = 52906279178,48 : 565,432 Đáp số: A =

Bài 5: Tính xác số A =

2 12

10

3

 + 

 

 

Giải:

- Dùng máy tính, tính số kÕt qu¶:

2

10

34

3+ = vµ

2

10

1156

 +  =

 

 

10

334

3+ = vµ

2

10

111556

 +  =

 

 

10

3334 3+ = vµ

2

10

11115556

 +  =

 

 

NhËn xÐt: 10

k+

lµ sè nguyên có (k - 1) chữ số 3, tận lµ sè

2

10

3

k

 + 

số nguyên gồm k ch÷ sè 1, (k - 1) ch÷ sè 5, ch÷ sè cuèi cïng lµ

* Ta dễ dàng chứng minh đợc nhận xét đó:

2 T×m sè d phép chia số a cho số b:

Định lí: Với hai số nguyên a b, b 0, tồn cặp số nguyên q r cho:

a = bq + r vµ ≤ r < |b|

* Từ định lí cho ta thuật tốn lập quy trình ấn phím tìm d phép chia a cho b: + Bớc 1: Đa số a vào ô nhớ A , số b vào ô nhớ B

+ Bíc 2: Thùc hiƯn phÐp chia A cho B {ghi nhớ phần nguyên q} + Bớc 3: Thực A - q ì B = r

Bài 5: a) ViÕt mét quy tr×nh Ên phÝm t×m sè d chia 18901969 cho 3041975 b) TÝnh sè d

c) Viết quy trình ấn phím để tìm số d chia 3523127 cho 2047 Tìm số d Giải:

a) Quy tr×nh Ên phÝm: 18901969 SHIFT STO A 3041975 SHIFT STO B ANPHA A ÷ ANPHA B = (6,213716089) SHIFT A - × B = (650119)

b) Sè d lµ: r = 650119

c) Tơng tự quy trình câu a), ta đợc kết là: r = 240

Bµi 6: (Thi giải Toán MTBT lớp 12 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2002-2003) Tìm thơng số d phép chia: 123456789 cho 23456

Đáp số: q = 5263; r = 7861

Bài 7: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm häc 2003-2004) T×m sè d phÐp chia:

a) 987654321 cho 123456789 b) 815 cho 2004

H.DÉn:

a) Sè d lµ: r =

b) Ta ph©n tÝch: 815 = 88.87

- Thực phép chia 88 cho 2004 đợc số d r

1 = 1732

- Thực phép chia 87 cho 2004 đợc số d r

2 = 968

Bổ đề (cơ sở thuật toán Euclide)

NÕu a = bq + r th× (a, b) = (b, r)

Từ bổ đề trên, ta có thuật tốn Euclide nh sau (với hai số nguyên dơng a, b): - Chia a cho b, ta đợc thơng q1 d r1: a = bq1 + r1

- Chia b cho r1, ta đợc thơng q2 d r2: b = r1q2 + r2

- Chia r1 cho r2, ta đợc thơng q3 d r3: r1 = r2q3 + r3

Tiếp tục trình trên, ta đợc dãy giảm: b, r1, r2, r3 dãy dần đến 0, số tự

nhiên nên ta se thực không b phép chia Thuật toán kết thúc sau số hữu hạn bớc bổ đề cho ta:

(a, b) = (b, r1) = rn

Định lí: Nếu x, y hai số nguyên khác 0, BCNN chúng luôn tồn bằng: ( , )

xy x y

Bài 8: Tìm UCLN hai số:

a = 24614205, b = 10719433 Gi¶i:

* Thực máy thuật tốn tìm số d phép chia số a cho số b, ta đợc: - Chia a cho b đợc: 24614205 = 10719433 x + 3175339 - Chia 10719433 cho 3175339 đợc: 10719433 = 3175339 x + 1193416 - Chia 3175339 cho 1193416 đợc: 3175339 = 1193416 x + 788507 - Chia 1193416 cho 788507 đợc: 1193416 = 788507 x + 404909 - Chia 788507 cho 404909 đợc: 788507 = 404909 x + 383598 - Chia 404909 cho 383598 đợc: 404909 = 383598 x + 21311 - Chia 383598 cho 21311 đợc: 383598 = 21311 x 18 +

⇒ UCLN(a, b) = 21311

Bài 9: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) Tìm ớc chung lớn bội chung nhỏ nhÊt cđa:

a = 75125232 vµ b = 175429800 §¸p sè: UCLN(a, b) = ; BCNN(a, b) =

Định lí: Đối với số tự nhiên a m tuỳ ý, số d cña phÐp chia a, a2, a3, a4 cho m lặp lại

một cách tuần hoàn (có thể không đầu) Chứng minh Ta lấy m + luỹ thừa đầu tiên:

a, a2, a3, a4 , am, am+1

và xét số d chúng chia cho m Vì chia cho m có số d {0, 1, 2, , m - 2, m - 1}, mà lại có m + số, nên số phải có hai số có số d chia cho m Chẳng hạn hai số ak ak + l, l > 0.

Khi đó:

ak≡ ak + l (mod m) (1)

Với n ≥ k nhân hai vế phép đồng d (1) với an - k đợc:

an≡ an + l (mod m)

Điều chứng tỏ vị trí tơng ứng với ak số d lặp lại tuần hoµn.

Số l đợc gọi chu kỳ tuần hoàn số d chia luỹ thừa a cho m Sau ta xét số dạng bi s dng nh lớ trờn:

Bài toán: Xét luỹ thừa liên tiếp số 2:

21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29,

Tìm xem chia luỹ thừa cho nhận đợc loại số d ? Giải: Ta có:

21 = 2, 22 = 4, 23 = ≡ (mod 5), 24 = 16 ≡ (mod 5) (1)

Để tìm số d chia 25 cho ta nhân hai vế phép đồng d (1) với đợc:

25 = 24.2 ≡ 1x2 ≡ (mod 5)

26 = 25.2 ≡ 2x2 ≡ (mod 5)

27 = 26.2 ≡ 4x2 ≡ (mod 5)

Ta viết kết vào hai hàng: hàng ghi luỹ thừa, hàng dới ghi số d tơng ứng chia luỹ thừa nµy cho 5:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 1) (2 1) (2

⇒ hàng thứ hai cho ta thấy số d lập lại cách tuần hoàn: sau số d (2, 4, 3, 1) lại lặp lại theo ỳng th t trờn

Bài 10: Tìm số d chia 22005 cho 5

Bµi 11: Tìm chữ số cuối số: 34

2 Gi¶i:

- Xét luỹ thừa chia cho 10 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, ta thực theo quy trình sau:

1 SHIFT STO A ∧ ANPHA A

ANPHA : ANPHA A ANPHA = ANPHA A + = = .) ta đợc kết sau:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211

(2 6) (2 6) (2

⇒ hµng thø hai cho ta thấy số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ số (2, 4, 8, 6) ta cã 34 = 81 ≡ (mod 4) ⇒ sè d chia 34

2 cho 10 Vậy chữ số cuối số 34

2 Bài 12: Tìm hai chữ số cuèi cïng cña sè:

A = 21999 + 22000 + 22001

Giải: Xét luỹ thừa chia cho 100 (sử dụng MTBT để tính luỹ thừa 2, thực theo quy trình nh 11), ta đợc kết sau:

21 22 23 24 25 26 27 28 29 210 211 212

2 (4 16 32 64 28 56 12 24 48 96

213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224

92 84 68 36 72 44 88 76 52) (4 16

⇒ số d lặp lại tuần hoàn chu kỳ 20 số (từ số đến số 52) Ta có: 1999 ≡ 19 (mod 20) ⇒ số d chia 21999 cho 100 88

2000 ≡ (mod 20) ⇒ sè d chia 22000 cho 100 lµ 76

2001 ≡ (mod 20) ⇒ sè d chia 22001 cho 100 lµ 52

88 + 76 + 52 = 216 ≡ 16 (mod 100)

Bµi 13: Chøng minh r»ng ( )148 2004+10 chia hÕt cho 11

Gi¶i:

- Ta cã: 14 ≡ (mod 11) ⇒ ( )148 2004≡ ( )38 2004

(mod 11) Do 38 = 6561 ≡ (mod 11), nªn ( )38 2004

= 65612004≡ 52004 (mod 11)

Xét tuần hoàn số d chia luü thõa cña cho 11:

51 52 53 54 55 56 57 58

(5 1) (5 1)

⇒ 52004 = (54)501≡ 1501 (mod 11) ≡ 1 (mod 11) (1)

Mặt khác: 10 ≡ 10 (mod 11) (2) Cộng vế với vế phép đồng d (1) (2) có:

2004

8

14 +10 ≡ 11 (mod 11) ≡ (mod 11) ⇒1482004+10 chia hÕt cho 11.

Bµi 14: Chøng minh r»ng sè 222555 + 555222 chia hÕt cho 7.

Giải:

1) Trớc hết tìm số d phép chia 222555 cho 7:

- V× 222 = x 31 + 5, nªn 222 ≡ (mod 7) ⇒ 222555 ≡ 5555 (mod 7)

- XÐt tuần hoàn số d chia luỹ thõa cña cho 7:

51 52 53 54 55 56 57 58

(5 1) (5

⇒ 5555 = 56.92 + 3 = (56)92.53 ≡ 53≡ (mod 7) (1)

VËy sè d chia 222555 cho 6.

2) Tơng tự, tìm số d cđa phÐp chia 555222 cho 7:

- V× 555 = x 79 + 2, nªn 555 ≡ (mod 7) ⇒ 555222 ≡ 2222 (mod 7)

- Xét tuần hoàn số d chia luü thõa cña cho 7:

21 22 23 24 25 26 27 28

(2 4) (2

⇒ 2222 = 23.74 = (23)74 ≡ 174≡ (mod 7) (2)

VËy sè d chia 555222 cho 1.

5 Số nguyên tố:

Định lí (Định lí sè nguyªn tè):

Mọi số nguyên dơng n, n > 1, đợc viết cách (khơng tính đến việc xếp nhân tử) dới dạng:

1

1 k, e e e

k

n= p p p

với k, ei số tự nhiên pi số nguyên tố thoả mÃn:

1 < p1 < p2 < < pk

Khi đó, dạng phân tích đợc gọi dạng phân tích tắc số n Bài 15: Tìm ớc nguyên tố nhỏ lớn số:

A = 2152 + 3142

H DÉn:

- TÝnh máy, ta có: A = 144821

- Đa giá trị số A vào ô nhớ A : 144821 SHIFT STO A - Lấy giá trị ô nhớ A lần lợt chia cho số nguyên tố tõ sè 2:

ANPHA A ÷ = (72410,5) ANPHA A ÷ = (48273,66667)

tiếp tục chia cho số nguyên tố: 5, 7, 11, 13, ,91: ta nhận đợc A không chia hết cho số Lấy A chia cho 97, ta đợc:

ANPHA A ÷ 97 = (1493) VËy: 144821 = 97 x 1493

NhËn xÐt: NÕu mét sè n lµ hợp số phải có ớc số nguyên tố nhá h¬n n

⇒ để kiểm tra xem 1493 có hợp số hay khơng ta cần kiểm tra xem 1493 có chia hết cho số nguyên tố nhỏ 1493 40< hay không

- Thực máy ta có kết 1493 không chia hết cho số nguyên tố nhỏ 40 1493 số nguyên tố

Vậy A = 2152 + 3142 cã íc sè nguyªn tè nhá nhÊt 97, lớn 1493.

Bài 15: Tìm ớc nguyên tố nhỏ lớn sè: A = 10001

Gi¶i:

- Sè c¸c íc sè cđa N chØ chøa thõa sè: lµ 7, lµ 5, lµ - Sè c¸c íc sè cđa N chøa hai thõa sè nguyªn tè:

là: 7x5 = 35; là: 7x3 = 21; là: 5x3 = 15 - Số ớc số N chứa ba thừa số nguyên tố 2, 3, 7x5x3 = 105 Nh số ớc số N là: + + + 35 + 21 + 15 + 105 + = 192 Định lí (Xác định số ớc số số tự nhiên n):

Cho số tự nhiên n, n > 1, giả sử phân tích n thừa số nguyên tố ta đợc:

1

1 k, e e e

k

n= p p p

víi k, ei số tự nhiên pi số nguyên tố thoả mÃn:

1 < p1 < p2 < < pk

Khi số ớc số n đợc tính theo cơng thức:

τ(n) = (e1 + 1) (e2 + 1) (ek + 1)

Bài 17: (Thi giải Toán MTBT lớp 10 + 11 tỉnh Thái Nguyên - Năm học 2003-2004) HÃy tìm số ớc dơng số A = 6227020800

Gi¶i:

- Phân tích A thừa số ngun tố, ta đợc: A = 210.35.52.7.11.13

áp dụng định lí ta có số ớc dơng A là:

τ (A)= 11.6.3.2.2.2 = 1584

Bài 18: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004): Có số tự nhiên ớc của:

N = 1890 x 1930 x 1945 x 1954 x 1969 x 1975 x 2004 Gi¶i:

- Phân tích N thừa số nguyên tố, ta đợc:

N = 25 x 34 x 55 x x 11 x 79 x 167 x 179 x 193 x 389 x 977

áp dụng định lí 2, ta có số ớc dơng N là:

τ(N)= x x x x x x x x x x = 46080

6 Tìm số tự nhiên theo điều kiện cho tríc:

1 4x y z

chia hÕt cho Gi¶i:

- Sè lín nhÊt d¹ng 4x y z chia hết cho phải có dạng:

19293 4z víi z ∈{0, 1, 2, ,8, 9}

lần lợt thử với z = 9; 8; 7; 6; đến z = 5, ta có: 1929354 ữ = (275622)

VËy sè lín nhÊt d¹ng 4x y z chia hÕt cho lµ 1929354, thơng 275622

- Số nhỏ dạng 4x y z chia hÕt cho sÏ phải có dạng:

10203 4z với z {0, 1, 2, ,8, 9}

lần lợt thử với z = 0; 1; 2; đến z = 3, ta có:

1020334 ÷ = (145762)

VËy sè nhá nhÊt d¹ng 4x y z chia hết cho 1020334, thơng 145762

Bài 20: Tìm số lớn nhất, số nhỏ số tự nhiên dạng: 4x y z chia hết cho 13.

Đáp số: - Số lớn nhÊt d¹ng 4x y z chia hÕt cho 13 1929304

- Số nhỏ dạng 4x y z chia hÕt cho 13 lµ 1020344

Bài 21: (Đề thi chọn đội tuyển tỉnh Phú Thọ tham gia kì thi khu vực năm 2004) Tìm tất số n dạng:

1235679

N = x y chia hÕt cho 24 H.DÉn:

- V× N M 24 ⇒ N M ; N M ⇒ (37 + x + y) M ; 4x yM ⇒ y chØ cã thĨ lµ ; ; ; ;

Dïng m¸y tÝnh, thư c¸c gi¸ trị x thoả mÃn: (x + y + 1) M vµ 4x yM 8, ta cã:

N1 = 1235679048 ; N2 = 1235679840

Bài 22: Tìm số bình phơng có tận ba chữ số Có hay không số bình ph-ơng có tận bốn chữ số ?

- Ch÷ sè cuèi cïng x2 chữ số cuối x Tính máy bình

ph-¬ng cđa sè:

2, 12, 22, 32, 42, 52, 62, 72, 82, 92, 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 ta chØ cã c¸c số:

12, 62, 38, 88 bình phơng có tận hai chữ số

- Tính máy bình phơng số:

12, 112, 212, 312, 412, 512, 612, 712, 812, 912; 62, 162, 262, 362, 462, 562, 662, 762, 862, 962; 38, 138, 238, 338, 438, 538, 638, 738, 838, 938 88, 188, 288, 388, 488, 588, 688, 788, 888, 988 ta đợc: 462, 962, 38, 538 bình phơng có tận 444

* Tơng tự cách làm trên, ta có kết luận: khơng có N để N2 kết thỳc bi 4444.

Bài 23: Tìm tất sè cã ch÷ sè tho· m·n:

1) Số tạo thành ba chữ số cuối lớn số tạo thành ba chữ số đầu đơn vị 2) Là số phơng

H DÉn:

- Gọi số cần tìm là: n a a a a a a=

- Đặt x a a a= Khi Êy a a a4 = +x vµ n = 1000x + x + = 1001x + = y2

hay (y - 1)(y + 1) = 7.11.13x

VËy hai ba sè nguyªn tè 7, 11, 13 phải ớc hai thừa số vế trái số lại phải ớc thừa số lại vế trái

Dùng máy tính, xét khả đến đáp số:

n = 183184 ; 328329 ; 528529 ; 715716

Bài 24: Tìm tất số tự nhiên x thoả mãn: 10000 < x < 15000 chia x cho 393 nh 655 có số d 210

H.DÉn:

⇒ x -210 chia hÕt cho BCNN (393 ; 655) = 1965

⇒ x -210 = 1965.k ; (k = 1, 2, ) hay x = 1965k + 210

- Tõ gi¶ thiÕt 10000 < x < 15000 ⇒ 10000 < 1965k + 210 < 15000 hay 9790 < 1965k < 14790 ⇒ ≤ k <

Tính máy:

Với k = 5, ta cã: x = 1965.5 + 210 = 10035 Víi k = 6, ta cã: x = 1965.6 + 210 = 12000 Víi k = 7, ta cã: x = 1965.7 + 210 = 13965 Vậy số phải tìm lµ: 10035, 12000, 13965

Bài 25: Tìm chữ số x, y, z để 579xyz chia hết cho 5, 9. Giải:

- Vì số 5, 7, đôi nguyên tố nên ta phải tìm chữ số x, y, z cho 579xyz chia hết cho 5.7.9 = 315.

Ta cã 579xyz = 579000 + xyz = 1838.315 + 30 + xyz

⇒ 30 + xyz chia hÕt cho 315 Vì 30 30 + xyz < 1029 nên (Dùng máy tính tìm bội 315 kho¶ng (30 ; 1029):

- Nếu 30 + xyz = 315 xyz = 315 - 30 = 285 - Nếu 30 + xyz = 630 xyz = 630 - 30 = 600 - Nếu 30 + xyz = 945 xyz = 945 - 30 = 915 Vậy ta có đáp số sau:

x y z

2

6 0

9

Bµi 26: (Thi Quèc tÕ IMO 1962):

Tìm số nguyên dơng nhỏ có tính chất sau: 1) Viết dới dạng thập phân a có tận cïng lµ sè

2) Nếu bỏ chữ số cuối đặt chữ số lên trớc chữ số lại đợc số gấp lần chữ số ban đầu

Gi¶i:

- Từ điều kiện 1) số dạng: a a a1 6n

- Tõ ®iỊu kiÖn 2), ta cã: 6a a a = 4.1 n a a a (*)1 6n

- Đặt a a a a= n , th×: a a a = 10a + 61 6n

6a a a = 6.101 n n + a

- Khi (*) trở thành:

6.10n + a = 4.(10a + 6) ⇔ 2.(10n - 4) = 13a (**)

Đẳng thức (**) chứng tỏ vế trái chia hết cho 13 Vì (2 ; 13) = nên: 10n - chia hÕt cho 13.

Bài toán quy về: Tìm số tự nhiên n nhỏ để (10n - 4) chia hết cho 13, tìm s a v

số cần tìm có dạng: 10a +

Thử lần lợt máy giá trị n = 1; 2; (10n - 4) lần lợt là:

6, 96, 996, 9996, 99996, số chia hết cho 13 là: 99996 Khi a = 15384 ⇒ Số cần tỡm l: 153846

Bài 27: Tìm số tự nhiên n cho:

a) 2n + chia hÕt cho n + b) n + chia hÕt cho - n H.DÉn:

a) Lập công thức (2n + 7) : (n + 1) máy thử lần lợt n = 0, 1, 2, ta đợc n = n = 2n + chia hết cho n +

Chứng minh với n ≥ 5, ta có 2n + không chia hết cho n + 1, thật vậy: (2n + 7) M (n + 1) ⇒ [(2n + 7) - 2(n + 1)] M (n + 1) ⇒ M (n + 1) ⇒ n ≤ Vậy số n cần tìm

Bài 28: Tìm số tự nhiên n nhỏ cho n3 số có chữ số đầu chữ số cuối l s 1.

Giải: Nhận xét:

1) Để n3 có tận 11 n có tận số Thử máy số:

11, 21, 31, 81, 91

đợc số 71 luỹ thừa bậc ba có tận 11 2) Để n3 có tận 111 n có phải tận số 471

(Thử máy với số: 171, 271, 371, 871, 971 ) 3) §Ĩ n3 cã tận 1111 n phải có tận lµ sè 8471

(Thử máy với số: 1471, 2471, 3471, 8471, 9471 ) - Giả sử m số chữ số đứng số 111 1111:

+ NÕu m = 3k, k ∈Z+, th×:

111 x 103k+4 < n3 = 111 1111 < 112 x 103k+4

( {4 {3 {4

3

111000 000000 111 1111 112000 000000

m k

k = k

< <

14243 14243 )

⇒ 31110.10k 3 3111 1111 31120.10k n

+ < = < +

Tính máy:

10,35398805 x 10k+1 < n < 10,3849882 x 10k+1

Do đó, với k ≥ Cho k = ta đợc n bắt đầu số 103, nghĩa là: n = 103 8471

⇒ Số nhỏ số là: n = 1038471

Bµi 29: a) Tìm số tự nhiên n nhỏ mà n2 bắt đầu số 19 kết thúc số 89

b) Tìm số tự nhiên n cho: n2 = 2525xxxxxx89 (trong xxxxxx số khác

nhau) Gi¶i:

a) Tríc hết ta tìm số n2 có tận 89:

- Vì n2 có tận nên n có tận 7.

- Thử máy số: 13, 23, , 93 ; 17, 27, , 97 ta tìm đợc:

để n2 có tận 89 n phải có số tận số sau:

17, 33, 67, 83 (*) * B©y ta tìm số n2 bắt đầu số 19:

- Để n2 bắt đầu số 19 phải có dạng:

19 x 10k n2 < 20 x 10k ⇔ 19.10k 20.10k n

≤ < (1) + NÕu k = 2m th× ta cã (1), trë thµnh:

19.10m 20.10m n

≤ <

⇔ 4,3588989.10m≤ n < 4,472135955.10m (2)

Trong (2) ta cho m = 0, 1, 2, (tính máy): ta đợc n là: 44, 436, 437, 438, 439, , 447 + Nếu k = 2m ta có (1), trở thành:

190.10m ≤ <n 200.10m

⇔ 13,78404875.10m≤ n < 14,14213562.10m (3)

Trong (3) ta cho m = 0, 1, 2, (tính máy): ta đợc n là: 14, 138, 139, , 141 1379, 1380, 1381, , 1414 Tóm lại để n bắt đầu số 19 n là:

14, 44, 138, 139, , 141, 436, 437, , 447, 1379, 1380, , 1414 (**) Tõ (*) vµ (**) ta nhận thấy số có số 1383 thoả mÃn toán b) Ta có: 2525 x 108≤ x2 < 2526 x 108

⇔ 50,24937811 x 104≤ x < 50,25932749 x 104

VËy : 502493 < x < 502593

Bài 30: Với giá trị tự nhiên n thì:

1,01n - 1 < (n - 1) 1,01n > n.

Giải:

- Ta cã:

1,01512 ≈ 163,133 < 512

1,011024≈ 26612,56 > 1024

VËy: 512 < n < 1024

Thu hẹp khoảng cách chứa n phơng pháp chia đôi: - Chia đôi đoạn [512 ; 1024], ta có:

521 1024

768

1,01 1,01 2083,603 768

+

= = >

VËy l¹i cã: 512 < n < 768

Sau số bớc chia đôi nh đến: 650 < n < 652

Cuèi cïng ta cã: 1,01651 = 650,45 < 651

1,01652 = 656,95 > 652 ⇒ n = 652

Ta hoµn toµn giải toán quy trình MTBT:

(Tht to¸n: XÐt hiƯu 1,01A - A , g¸n cho A giá trị tự nhiên: 0, 1, 2,

dừng lại hiệu chuyển từ (-) sang (+)) - Gán cho ô nhớ A giá trị tự nhiên đầu tiên:

SHIFT STO A

- LËp c«ng thøc tÝnh hiƯu 1,01A - A gán giá trị ô nhớ sè tù nhiªn kÕ tiÕp:

1,01 ∧ ANPHA A - ANPHA A

: ANPHA A ANPHA = ANPHA A + - Lặp lại công thức trên:

= =

7 Một số dạng toán khác:

7.1 Số có đuôi bất biến với luỹ thừa:

1) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận ; ; (và số ấy) có chữ số tận ; ; (có bất biến)

2) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 25 76 (và số ấy) có chữ số tận 25 76 (có bất biến)

3) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 376 625 (và số ấy) có chữ số tận 376 625 (có bất biến)

4) Luỹ thừa bậc số có chữ số tận 9376 0625 (và số ấy) có chữ số tận 9376 0625 (có bất biến)

Bài 31: Tìm số d chia số 133762005! cho 2000 (TH & TT T 3/ 317)

Gi¶i:

- Giả sử A, B hai số tự nhiên có tận 376, thì:

A.B = (1000.a + 376)(1000.b + 376) = 376000(a + b) + 106a.b + 3762

= 2000t + 1376; víi a, b t ∈ N

⇒ A.B chia 2000 cã sè d lµ 1376

Với k > chia 13376k cho 2000 (thực (k - 1) lần phép nhân số có tận

376 chia cho 2000) đợc d 1376 Đề ứng với k = 2005! Bài 32: Tìm chữ số tận số:

A = 21999 + 22000 + 22001

H.DÉn:

- Ta cã: 21999 + 22000 + 22001 = 21999(1 + + 22) = x 29 x 210 x 21980

= x 29 x 210 x (220)99

- Ta cã (dïng m¸y): 29 = 512

210 = 1024 ;

220 = 1048576

NhËn xÐt: sè cã chữ số tận 76, luỹ thừa bậc có chữ số tận 76 VËy (220)99 cịng cã sè tËn cïng lµ 76.

⇒ 21999 + 22000 + 22001 = x 512 x 1024 x ( 76) = 16.

Bài 33: Tìm bốn chữ số tận cđa 51994.

Gi¶i:

- Ta cã: 54 = 625

- Nhận thấy số có tận 625 luỹ thừa bậc có tận 625 - Do đó:

51994 = 54k + 2 = 25.(54)k = 25.(625)k = 25( 625) = 5625.

VËy ch÷ sè tËn cïng cđa số 51994 5625.

7.2 Khai triển nhị thức Newton toán chia hết: -Ta có khai triển:

( )n n n n 2 n n n

n n n

a b+ = a + C a b C a− + − b + + C ab− − + b

( 1) 2 ( 1)( 2) 3 ( 1) 2

1.2 1.2.3 1.2

n n n n n n n n n n n n n n

a na b− + a b− − − a b− − a b − nab− b

= + + + + + + +

- Khi chøng minh vỊ tÝnh chia hÕt cđa luỹ thừa, cần nhớ số kết sau: 1) an - bn chia hÕt cho a - b (a ≠ b)

2) a2n + 1 + b2n + 1 chia hÕt cho a + b (a ≠ -b)

3) (a + b)n = BS a + bn (BS a: bội số a)

Đặc biÖt:

(a + 1)n = BS a + 1

(a - 1)2n = BS a + 1

(a - 1)2n + 1 = BS a - 1

Bài 34: Tìm số d chia 2100 cho:

a) b) c) 125 Giải:

a) Luỹ thừa sát víi mét béi cđa lµ 23 = = (9 - 1)

- Ta cã: 2100 = 2(23)33 = 2(9 - 1)33 = 2(BS - 1) = BS - = BS + 7

VËy sè d chia 2100 cho lµ 7.

b) L thõa cđa s¸t víi mét béi cđa 25 lµ 210 = 1024 = (BS 25 - 1)

- Ta cã: 2100 = (210)10 = (BS 25 - 1)10 = BS 25 +

VËy sè d chia 2100 cho 25 lµ 1

c) Dïng c«ng thøc Newton:

2100 (5 1)50 550 50.549 50.49.52 50.5 1

= − = − + + − +

VËy 2100 = BS 125 + ⇒ Sè d cđa 2100 chia cho 125 lµ 1

Tổng quát: Nếu số tự nhiên n khơng chia hết cho chia n100 cho 125 ta c s d l 1.

Bài 35: Tìm ba ch÷ sè tËn cïng cđa 2100.

H.DÉn: - Ta t×m d phÐp chia 2100 cho 1000.

- Tríc hÕt t×m sè d cđa phÐp chia 2100 cho 125 Theo bµi 34: 2100 = BS 125 + 1, mµ 2100 lµ sè

chẵn, nên ba chữ số tận (dùng máy tính để thử): 126, 376, 626 876

- HiĨn nhiªn 2100 chia hÕt ba chữ số tận phải chia hÕt cho Bèn sè

trªn chØ cã 376 thoả mÃn điều kiện Vậy ba chữ số tận 2100 376.

Tổng quát: Nếu n số tự nhiên chẵn không chia hết cho ba chữ số tận n100

376

Bài 36: Tìm ba chữ số tận 3100.

Giải: - Ta phân tích nh sau: 3100 (10 1)50 1050 50.49.102 50.10 1

= − = − + − +

= BS 1000 + 500 - 500 + = BS 1000 + VËy 3100 tËn 001.

Tổng quát: Nếu n số tự nhiên lẻ không chia hết cho ba chữ số tận n100

001

Bài 37: Thay dấu * chữ sè thÝch hỵp:

896 = 496 * * 290 961.

H.DÉn:

- Ta cã: (896 - 1) M (89 - 1) ⇒ (896 - 1) M 11

(896 - 1) M (893 + 1) ⇒ (896 - 1) M (89 + 1) (896 - 1) M

- Đặt A = (896 - 1) = 496 x y 290 960 Ta cã A chia hÕt cho vµ 11.

Ta có tổng chữ số hàng lẻ (từ phải sang trái) A bằng: 36 + y ; tổng chữ số hàng chẵn A bằng: 18 + x

A chia hÕt cho nªn: 54 + x + yM ⇒ x + y ∈ {0 ; ; 18}

A chia hÕt cho 11 nªn: [(36 + y) - (18 + x)] M 11 ⇒ x - y ∈ {-4 ; 7} + NÕu x + y = th× x = y = (lo¹i)

+ NÕu x + y = 18 x = y = (loại)

+ NÕu x + y = : chó ý (x + y) (x - y) chẵn lẻ nên: x - y = x = ; y =

7.3 Tìm chữ số thứ k (k ∈ N) số thập phân vơ hạn tuần hồn: Định lí: (Dấu hiệu nhận biết phân số đổi đợc số thập phân hữu hạn)

Điều kiện cần đủ để phân số tối giản viết đợc thành số thập phân hữu hạn mẫu số khơng chứa thừa số ngun tố ngồi

* Từ định lí ta rút nhận xét sau: Nếu phân số tối giản a

b cã mÉu b kh«ng chøa thừa số nguyên tố 2, thừa số

nguyên tố 2, chứa thừa số nguyên tố khác số d trình chia phải nhỏ b nên số d số trong:

{1; 2; 3; ;b-1}

Nh phép chia a cho b, nhiều sau (b - 1) lần chia gặp số d khác nhau, nhng chắn sau b lần chia ta gặp lại số d gặp trớc Do đó, ta tiếp tục chia số d lặp lại dĩ nhiên chữ số thơng lặp lại

Từ để tìm chữ số thứ k sau dấu phảy số thập phân vơ hạn tuần hồn, ta cần xác định đợc chu kỳ lặp lại chữ số thơng, từ dễ dàng suy c ch s cn tỡm

Bài 38: Tìm chữ số thập phân thứ 2005 sau dấu phảy số:

) ; ) ; ) 10; )

37 41 51 49

a A= b B= c C= d C=

H.DÉn:

a) Sè 0,027 027 (027) 37

A= = tuần hoàn chu kỳ chữ số 027

Vì 2005 (mod 3) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy A là: b) Số 0,02439 02439(02439)

41

B= = tuần hoàn chu kỳ chữ số 02439

Vì 2005 (mod 5) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy B là: c) Số 10 0,(1960784313725490)

51

C= = TH chu kú 16 ch÷ sè:1960784313725490

Vì 2005 (mod 16) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy C là: d) Số 0,(020408163265306122448979591836734693877551)

49

D= =

tuần hoàn chu kỳ 42 chữ số 020408163265306122448979591836734693877551 Vì 2005 31 (mod 42) nên chữ số thứ 2005 sau dấu phảy D là:

Bài 1: Tính gãc cđa tam gi¸c ABC, biÕt:

AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415

Đáp sè: µA= ; µB= ; µC= Bài 2: Tính cạnh BC, góc B , góc C cđa tam gi¸c ABC, biÕt:

AB = 11,52 ; AC = 19,67 góc àA= 54o3512

Đáp số: BC = ; µB= ; µC= Bµi 3: Tính cạnh AB, AC, góc C tam giác ABC, biÕt:

BC = 4,38 ; µA= 54o35’12’’ ; àB

= 101o157

Đáp số: AB= ; AC = ; àC= Bài 4: Tam giác ABC cã ba c¹nh: AB = 4,123 ; BC = 5,042 ; CA = 7,415 Điểm M nằm cạnh BC cho: BM = 2,142

1) Tính độ dài AM?

2) Tính bán kính đờng trịn ngoại tiếp tam giác ABM 3) Tính bán kính đờng trịn ni tip tam giỏc ACM

Đáp số: 1) AM = 2) R = 3) r = Bài 5: Tam giác ABC có: àB= 49o27 ; àC= 73o52 cạnh BC = 18,53.

Tính diện tích S tam giác ? Đáp số: S =

Bài 6: Tam giác ABC có chu vi 58 (cm) ; µB= 57o18’ vµ µC= 82o35’

Tính độ dài cạnh AB, BC, CA ?

Đáp số: AB = ; BC = ; CA =

Bài 7: Tam giác ABC có 90o < µA < 180o vµ sinA = 0,6153 ; AB = 17,2 ; AC = 14,6.

TÝnh: 1) Độ dài cạnh BC ? Trung tuyến AM ? 2) Gãc µB= ?

3) Diện tích tam giác S = ?

Đáp số: BC = ; AM = ; µB= ; S = Bài 8: Tam giác ABC có µA= 90o ; AB = (cm) ; AC = (cm).

Tính độ dài đờng phân giác AD phân giác AE ? Đáp số: AD = ; AE =

2 Đa giác, hình tròn: * Một số công thức:

1) a giác n cạnh, độ dài cạnh a:

Gv : Ngyễn Ngọc Huy

a A

α

+ Gãc ë t©m:

n π

α = (rad), hc: o 360 a

n

= (độ) + Góc đỉnh: àA n

n π

−

= (rad), àA n 2.180

n

= ()

+ DiÖn tÝch: cot

4

na

S = g

2) Hình tròn phần hình tròn: + Hình tròn bán kính R:

- Chu vi: C = 2πR - DiÖn tÝch: S = R2

+ Hình vành khăn:

- DiÖn tÝch: S = π(R2 - r2) = π(2r + d)d

+ Hình quạt:

- Độ dài cung: l = αR ; (α: rad) - DiÖn tÝch:

2

S= Rα (α: rad)

2

360

R a π

= (a: độ)

Bài 9: Ba đờng trịn có bán kính cm đơi tiêp xúc ngồi (Hình vẽ) Tính diện tích phần xen ba đờng trịn ?

H.DÉn:

Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - Squ¹t

Tam giác O1O2O3 đều, cạnh nên:

1

1

6.6

2

O O O

S∆ = =

Squ¹t =

2 .9.60 3

360 360

R a

π = π = π

⇒ Sg¹ch xäc = S∆O1O2O3 - Squ¹t = 9 18 1, 451290327

2

π − π

− = ≈

Bài 10: Cho hình vng ABCD, cạnh a = 5,35 Dựng đờng trịn tâm A, B, C, D có bán kính R =

2

a

Tính diện tích xen đờng trịn H.Dẫn: Sgạch = SABCD - 4Squạt

Gv : Ngyễn Ngọc Huy

O

O R r

d

O R

O1 O2

O3

Squạt =

1

4 SH.tròn = 4R

2

⇒ Sg¹ch = a2 -

1

4πR2 = a2 - 4πa2 = a2(1 - 1

4 π) ≈ 6,142441068

Bài 11: Cho đờng trịn tâm O, bán kính R = 3,15 cm Từ điểm A ngồi đờng trịn vẽ hai tiếp tuyến AB AC (B, C hai tiếp điểm thuộc (O) ) Tính diện tích phần giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC Biết OA = a = 7,85 cm

H.DÉn:

- TÝnh α: cosα = OBOA = Ra = 3,157,85

⇒ cos 3,15

7,85

α = −

SOBAC = 2SOBA = aRsinα

Squ¹t =

2.2 2.

360 180

R R

π α = π α

Sg¹ch = SOBAC - Squ¹t = aRsinα - 2.

180

R

π α ≈ 11,16 (cm2)

Bài 12: Tính diện tích phần đợc tơ đậm hình trịn đơn vị (R = 1) (Xem hình 1) Đáp số:

Bài 13: Tính tỷ lệ diện tích phần đợc tơ đậm diện tích phần cịn lại hỡnh trũn n v (Xem hỡnh 2)

Đáp sè:

A

B

C α

O

phần V Đa giác hình tròn Bài (Sở GD & ĐT Đồng Nai, 1998, vßng TØnh, cÊp PTTH & PTCS)

Một ngơi năm cánh có khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp 9,651 cm Tìm bán kính đờng trịn ngoi tip (qua nh)

Giải: Ta có công thức tính khoảng cách

gia hai nh khụng k ngơi năm cánh (hình vẽ): cos18 10

2

o R

AC d= = R = +

C«ng thức d= cos18R o hiển nhiên. Công thức cos18 10

2

o = + cã thÓ chøng minh nh sau: Ta cã:

3 2 cos36 sin 54 3sin18 4sin 18

1 sin 18 cos 18

2 2

o o o o

o o + + + −

− = = = =

hay 4sin 183 o− 2sin 182 o− 3sin18o+ =1 0. Suy sin18o nghiệm phơng trình:

3 2

4x − 2x −3x+ =1 (x−1)(4x + 2x− =1) VËy sin18

4

o = − + .

Tõ ®©y ta cã: cos 182 1 sin 182 1 ( 1)2 10 5.

4 16

o = − o = − − = +

hay cos18 10 10

16

o = + = +

Suy cos18 10

o R

d= R = +

vµ

2cos18o 10 5

d d

R= =

+

Cách giải 1: 9.651 ữ ữ 18 o,,, cos = (5.073830963)

Cách giải 2: 2ì 9.651ữ [( [( 10 + 2ì )] = (5.073830963) Bài (Sở GD & ĐT TP Hồ Chí Minh, 1996, vòng 1)

Tính khoảng cách hai đỉnh khơng liên tiếp cánh nội tiếp đờng trịn bán kính R= 5,712cm

Cách giải 1: Ta có cơng thức tính khoảng cách hai đỉnh khơng kề ngơi năm cánh (xem hình vẽ chứng minh 1):

10 cos18

2

o R

d= R = +

A B

C

D E

TÝnh: MODE 2× 5.712× 18o,,, cos = (10.86486964)

Cách giải 2: 10 + 2ì = = ì 5.712 = ữ 2= (10,86486964) §¸p sè: 10,86486964

Bài Cho đờng trịn tâm O, bán kính R 11, 25 = cm Trên đờng tròn cho, đặt cung

90 , o 120 o

AB = BC = cho A C nằm phía BO a) Tính cạnh đờng cao AH tam giác ABC

b) Tính diện tích tam giác ABC(chính xác đến 0,01) Giải: a) Theo hình vẽ:

s® AC» = s® BC»- s® AB» = 1200 - 900 = 300

Tính góc nội tiếp ta đợc:ABCã= 150; ACBã= 450 Suy ra: BACã= 1200; CAHã= 450; BAHã= 750

Ta cã: AB R= 2; BC= R

Vì ∆ AHC vng cân, nên AH= HC (đặt AH = x)

Theo định lí Pitago ta có: AH2= AB2− HB2 Do đó:

( ) ( )2

2 3 2

x + R − x = R hay 2x2− 2R 3x R+ 2= 0 Suy ra:

3

R R

x = − ;

3

R R

x = +

Vì AH< AC< R, nên nghiệm

3

R R

x = + bị loại Suy ra: ( 1) R

AC= AH = −

Gäi diÖn tÝch ∆ABC lµ S, ta cã:

1 3 2(3 3)

2 2

R R R

S= AH BC⋅ = ⋅ − ⋅R = −

Ên phÝm: 11.25 Min × = MODE (15.91) VËyAB≈ 15,91cm ấn tiếp phím: MR ì = Kết quả:19.49 Vậy: BC≈ 19, 49cm Ên phÝm: MR × [( 3 − 1 = ÷ 2 = (5.82) VËyAC≈ 5,82cm Ên tiÕp phím: MR ì [( 1= ữ = (4.12) VËy:AH≈ 4,12cm Ên tiÕp phÝm: MR SHIFT x2 ì [( 3 3 = ữ 4 =

Kết quả: S 40,12cm2.

Bài (Thi trắc nghiệm học sinh giỏi toán toàn nớc Mỹ, 1972)

Cho hình vng ABCD cạnh 12 Vẽ đoạn AE với E điểm cạnh CD DE = 5cm Trung trực AE cắt AE AD, và BCtại M P , Q Tỷ số độ dài đoạn PM MQ là:

(A) 5:12; (B) 5:13; (C) 5:19; (D) 1:4; (E) 5:21 Gi¶i: VÏ RS qua M song song víi c¹nh AB,CD

Ta cã: MQMP = MRMS

Vì RM đờng trung bình tam giác ADE nên

2 DE

MR=

Gv : Ngyễn Ngọc Huy

O A

B C

H

S E

D

P

M

Mµ: MS= RS MR−

VËy:

2 DE

MP MR

DE MQ = MS = RS−

¸p dơng b»ng sè víi DE= 5cm RS, =12 cm: ab c/ 2 = Min ÷ [( 12 − MR = (

19) Đáp số (C)

Chú ý: Nếu không sử dụng phân số (5 ab c/ 2) mà dùng (5 ữ 2) máy cho đáp số dới dạng s thp

phân

HÃy tính: ữ = Min ÷ [( 12 − MR (0.2631579) So s¸nh: ab c/ 19 SHIFT ab c/ ab c/ KÕt qu¶: 0.2631579

Nh vậy, hai kết nh nhau, nhng kết đợc thực dới dạng phân số (khi khai báo ab c/

2), kết đợc thực dới dạng số thập phân (khi khai báo ữ 2) Bài Trên đờng trịn tâm O, bán kính R= 15, 25 cm, ngời ta đặt cung liên tiếp:

»

AB= 600, BC»= 900, CD» = 1200 a) Tø giác ABCD hình gì? b) Chứng minh AC BD

c) Tính cạnh đờng chéo ABCD theo R xác đến 0,01 d) Tính diện tích t giỏc ABCD

Giải: a) sđADằ= 3600 - (sđABằ+sđ BC»+s®CD») = 3600 - (600 + 900 + 1200) = 900.

Suy ra: AD» = BC», ABD·= BDC·= 450 (v× cïng b»ng

0

90 ) Từ ta có: AB CD// Vậy ABCD hình thang

Mặt khác, ADBÃ= BCDÃ (cùng

0

60 +90 ) Vậy ABCD hình thang cân (đpcm)

b) Vì ABDÃ= BACÃ= 450 (vì cïng b»ng

0

90 ) Suy AEB·= 900, vËy AC⊥ BD (®pcm)

c) Theo cách tính cạnh tam giác đều, tứ giác đều, lục giác nội tiếp đờng trịn bán kính R, ta có:

AB R= ; AD BC= = R 2; DC= R Các tamgiácAEB CED, vuông cân, suy

2 AB AE= ,

2 CD CE= VËy:

2 R

AE= ,

2 R

CE= Suy (1 3)

2

R R R

AC= AE EC+ = + = +

R

A B

C D

E

60°

120°

90°

d) 1 2(1 3)2 2(1 3)2 [ (1 3)]2

2 2

ABCD

R R R

S = AC DB⋅ = AC = ⋅ + = + = +

TÝnh: MR ì [( + = ữ = SHIFT x2 MODE 2 (433.97).

VËy SABCD ≈ 433,97cm2

Ên tiÕp: 15.25 Min × = KÕt qu¶: 21.57 VËy AD BC= ≈ 21,57cm

Ên tiÕp phÝm: MR × = (26.41) VËy: CD≈ 26, 41cm. Ên tiÕp phÝm: MR × [( + = ÷ = (29.46) VËy AC= BD≈ 29, 46cm

Bài Cho đờng trịn tâm O, bán kính R= 3,15 cm Từ điểm A ngồi đờng trịn vẽ hai tiếp

tuyÕn AB vµ AC (B, C hai tiếp điểm thuộc (O))

Tớnh din tích phần mặt phẳng giới hạn hai tiếp tuyến cung tròn nhỏ BC biết AO a= = 7,85 cm (chính xác đến 0,01 cm)

Gi¶i: Ta cã: cos 3,15 7,85 OB R OA a

α = = = SABOC = 2SAOB = a R .sinα ; Squ¹t OBC

2.2

360 180

R R

π α π α

= =

Sg¹ch xäc= SABOC - Squ¹t OBC

2

sin

180 R

aR α π α

= −

Tính máy: 3.15 ữ 7.85 = SHIFT cos-1 SHIFT suuo,,, Min sin ×

7.85 × 3.15 − SHIFT ì 3.15SHIFT x2 ì MR ữ 180 = (11.16)

Đáp số: Sgạch xọc = 11,16 cm2

Bi Tính diện tích hình có cạnh cong(hình gạch sọc) theo cạnh hình vng a = 5,35 xác đến 0,0001cm Giải: Diện tích hình gạch xọc MNPQ

(SMNPQ) diện tích hình vuông ABCD (SABCD) trừ lần diện tích

4 hình tròn b¸n kÝnh a R= MNPQ

S = 4

4 R

a − π 2

4 a a π

= − 2(4 ) a −π

= 5,35 (42 )

π −

=

Ên phÝm: 5.35 SHIFT x2 ì [( 4 = ữ 4= MODE 2 (6.14)

KÕt luËn:SMNPQ ≈ 6,14 cm2

Bài Tính diện tích phần hình phẳng (phần gạch xọc) giới hạn cung tròn cạnh tam giác ABC (xem hình vẽ),

biÕt: AB BC CA a= = = = 5, 75 cm

Gi¶i: R OA OI= = = IA= 2AH = ⋅2 a

O B

α

A

C

A N B

Suy ra: 3 a

R= ÃAOI= 600.

Diện tích hình gạch xọc diện tích tam giác ABC trừ diện tích hình hoa (gồm hình viên phân có bán kính R góc tâm 600).

ABC

a

S∆ = ; 1

2

2 3 3 3 3

4 12

O AI

R a a

S∆

  = =   ⋅ =

 

DiÖn tích viên phân:

2 3 3 2(2 3 3)

6 12

R R R R

π π  π −

− =  −  =

 

TÝnh theo a, diƯn tÝch mét viªn ph©n b»ng: 2(2 3) 36

a π − ;

Sg¹ch xäc

2 3 2(2 3 3) 2(9 )

6

4 36 12

a a π − a − π

= − ⋅ =

; Sg¹ch xäc

2

5,75 (9 ) 12

π − =

BÊm tiÕp: 5,75 SHIFT x2 ì [( 9ì 3 4ì SHIFT )] ữ 12 =

Kết quả: Sgạch xọc 8,33 cm2.

Bài Viên gạch cạnh a= 30cm có hoa văn nh hình vẽ a) Tính diện tích phần gạch xọc hình

ó cho, chớnh xỏc n 0,01 cm

b) Tính tỉ số phần trăm diện tích phần gạch xọc diện tích viên gạch

Giải: a) Gọi R bán kính hình tròn Diện tích S hình viên phân bằng:

2 2( 2) 2( 2)

4 16

R R R a

S= π − = π − = π −

VËy diện tích hình gồm viên phân 2( 2)

a π − .

DiƯn tÝch phÇn g¹ch xäc b»ng: 2( 2) 2(4 )

2

a a

a − π − =

Tính máy: 30SHIFT x2 Min ì [( 4 − SHIFT π )] ÷ 2=

MODE (386.28) VËy Sg¹ch xäc ≈ 386,28 cm2

Ên phÝm tiÕp: ÷ MR SHIFT % (42.92)

TØ số diện tích phần gạch xọc diện tích viên gạch 42,92% Đáp số: 386,28 cm2; 42,92 %.

Bài 10 Nhân dịp kỷ niệm 990 năm Thăng Long, ngời ta cho lát lại đờng ven hồ Hoàn Kiếm viên gạch hình lục giác Dới viên gạch lục giác có mầu (các hình trịn mầu, phần cịn lại mầu khác)

Hãy tính diện tích phần gạch mầu tỉ số diện tích hai phần đó, biết AB a= = 15 cm

Giải: Bán kính đờng trịn nội tiếp tam giác

lµ: a a 3

R= = Diện tích hình tròn là: 2

12 a

R

= Diện tích hình tròn là:

2 a .

Tính máy: 15SHIFT x2 ì ữ 2 = Min (353.4291)

Diện tích toàn viên gạch là:6 3

4

a a

⋅ =

Diện tích phần gạch xọc là: 3

2

a − πa .

Bấm tiếp phím: 3ì 15SHIFT x2 ì 3 ữ = − MR = (231.13797)

Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % Kết quả: 65.40

Đáp số: 353,42 cm2 (6 hình tròn); 231,14 cm2 (phần gạch xọc); 65,40 %

Bài 11 Viên gạch hình lục giác ABCDEF có hoa văn hình nh hình vẽ, đỉnh hình M N P Q R S, , , , , là trung điểm cạnh lục giác

Viên gạch đợc tô hai mầu (mầu hình mầu phần lại)

Biết cạnh lục giác a = 16,5 cm

+ Tính diện tích phần (chính xác đến 0,01) + Tính tỉ số phần trăm hai diện tích Giải: Diện tích lục giác ABCDEF bằng: S1=6

2

a

⋅ =3a2 Lơc gi¸c nhỏ có cạnh a

2

b= , cánh tam giác có cạnh a

b= Từ suy ra: diện tích lục giác cạnh b S2 bằng: S2 =

2

3b =

2

3a

8 , diện tích tam giác cạnh b S3: S3 =

2

3a

TÝnh trªn máy: 3ì 16.5 SHIFT x2 ì 3 ữ 8ì 2 = MODE 2 (353.66) Min

Ên tiÕp phÝm: 3ì 16,5SHIFT x2 ì 3 ữ 2= MR = (353.66)

Ên tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % KÕt quả: 100 Vậy diện tích hai phần

Lời bình: Có thể chứng minh phần có 12 tam giác nhau, diện tích hai phần Từ cần tính diện tích lục giác chia đôi

Bài 12 Cho lục giác cấp ABCDEF có cạnh AB a= = 36 mm Từ trung điểm cạnh dựng lục giác A B C D E F' ' ' ' ' ' hình cánh có đỉnh trung điểm

', ', ', ', ', '

A B C D E F (xem hình vẽ) Phần trung tâm hình lục giác cấp MNPQRS Với lục giác ta lại làm tơng tự

nh lục giác ban đầu ABCDEF đợc hình lục giác cấp Đối với

Gv : Ngyễn Ngọc Huy

lục giác cấp 3, ta lại làm tơng tự nh đợc lục giác cấp Đến ta dừng lại Các cánh hình đợc tơ mầu (gạch xọc), cịn hình thoi hình chia thành

2 tam giác tô hai mầu: mầu gạch xọc mầu "trắng" Riêng lục giác cấp đ ợc tô mầu trắng

a) Tính diện tích phần đợc tơ mầu "trắng" theo a

b) TÝnh tØ số phần trăm diện tích phần "trắng" diện tích hình lục giác ban đầu

Gii: a) Chia lục giác thành tam giác có cạnh a đờng chéo qua đỉnh đối xứng qua tâm, từ ta có S =

4 a

⋅ = 3

a .Chia lục giác ABCDEF thành 24 tam giác có cạnh a

2 Mỗi tam giác cạnh a

2 cã diện tích diện tích tam giác "trắng" A NB' ' (xem h×nh vÏ) Suy diƯn tÝch tam giác trắng vòng

24= diƯn tÝch lơc gi¸c cÊp ABCDEF VËy diƯn tÝch tam giác trắng vòng là: 3

4 a

⋅ (1) b) Tơng tự với cách tính ta có:

2 a MN= =b ;

2 b c=

Diện tích tam giác trắng lục giác cÊp MNPQRS lµ:1 3

b

⋅ (2) DiƯn tÝch tam gi¸c trắng lục giác cấp là: 3

4 c

⋅ (3) Diện tích lục giác trắng (với

2 c

d= ): 3

d (4) Tãm l¹i ta cã:

S1 =

2

1 3

a

⋅ =3 23

a ; S =1

4

2

3 b

⋅ =1 2 3 2 a ⋅ ⋅ = 3 a ; S3 =

4

2

3 c

⋅ = 2 3 a ⋅ ⋅ = 3

a ; S =

2

3

d =

2 3 a ⋅ = 3 a .

Str¾ng =S1+S2+S3+S4 =3a2 3(

1 2 + + )=

2

3

a

6

2 2 + + . Ên phÝm: 3× 36 SHIFT x2 ì 3 ữ 2 = MODE 2 (3367.11) Min

VËy SABCDEF = 3367,11 mm2

Ên tiÕp phÝm: 2SHIFT xy 4 + 2SHIFT x + 2= ÷ 2 SHIFT y

x 6× MR = (1157.44) Vậy Strắng 1157,44 mm2

ấn tiếp phím: ữ MR SHIFT % (34.38) VËy trang ABCDEF

S

S ≈ 34,38%

Bài 13 Cho hình vng cấp ABCD với độ dài cạnh AB 40 = a = cm Lấy A B C D, , , làm tâm, thứ tự vẽ cung trịn bán kính a, bốn cung trịn cắt M N P Q, , , Tứ giỏc

MNPQ hình vuông, gọi hình vuông cấp Tơng tự nh trên, lấy M N P Q, , , làm tâm vẽ

các cung tròn

bỏn kớnh MN, c giao điểm E F G H, , ,

là hình vng cấp Tơng tự làm tiếp đợc

hình vuông cấp XYZT dừng lại (xem hình vẽ) a) Tính diện tích phần hình không bị

tơ mầu (phần để trắng theo a)

b) T×m tỉ số phần trăm hai diện tích tô mầu không tô mầu

Giải: a) Tính diện tích cánh hoa trắng cấp (bằng viên phân trừ lần diện tích hình vuông cấp 2)

S1 =

2

2

a a

4 -

4 b

(b cạnh hình vuông cấp 2) Tơng tự, tính diện tích cánh hoa trắng cấp cấp 3:

2

2 4( - )

4

b b

S = π − c (c cạnh hình vuông cấp 3). 2

3 ( - )

4 c c

S = π − d (d lµ cạnh hình vuông cấp 4)

Rút gọn: S1 = a2(π - 2) - 2b2; S2 = b2(π - 2) - 2c2; S3 = c2(π - 2) - 2d2 ;

Str¾ng=S1+S2+S3 =π (a2 + b2 + c2)-4(b2 + c2)-2 (a2 + d2)

b) Ta cã: MCQ·= 300; b = QM = 2MK = 2a.sin150 = a(2sin150) T¬ng tù: c = 2b.sin150 = a(2sin150)2; d = 2c.sin150 = a(2sin150)3.

Ký hiÖu x = 2sin150, ta cã: b = a.x; c = ax2; d = ax3.

Thay vào cơng thức tính diện tích Strắng ta đợc:

Str¾ng = π (a2 + a2 x2 + a2 x4) - 4(a2 x2 + a2 x4) - 2(a2 + a2 x6)

= π a2(1 + x2 + x4) - 4a2(x2 + x4) - 2a2(1 + x6)

Ên phÝm: 15 o,,, sin × = Min SHIFT xy 4 + MR SHIFT x2

+ = × SHIFT π × 40SHIFT x2 − 4× 40SHIFT x2 ×

[( MR SHIFT x2 + MR SHIFT xy 4)] − 2× 40SHIFT x2 ×

[( + MR SHIFT xy 6= MODE 2 (1298.36) Min VËy Str¾ng ≈ 1298,36 cm2

BÊm tiÕp phÝm: 40SHIFT x2 − MR = (301.64)

VËy Sg¹ch xäc ≈ 301,64 cm2

BÊm tiÕp phÝm: ÷ MR SHIFT % (23.23) VËy gach xoc

trang

S

S ≈ 23,23%

Bài 14 Cho tam giác ABC có cạnh a 33,33 = cm tâm O Vẽ cung tròn qua hai đỉnh trọng tâm O tam giác đợc hình Gọi A B C', ', ' là trung điểm cạnh BC, CA AB

Ta lại vẽ cung tròn qua hai trung điểm điểm O, ta đợc hình nhỏ

a) Tính diện tích phần cắt bỏ (hình gạch xọc) tam giác ABC để đợc hình lỏ cũn li

b) Tính tỉ số phần trăm phần cắt bỏ diện tích tam giác ABC

Giải: A B C' ' ' tam giác

nhận O làm tâm (vì AA BB CC', ', ' đờng cao, đờng trung tuyến ∆ A B C' ' ') có điểm chung O, ngha l khụng cú phn din tớch chung

Mỗi viên phân có góc tâm 600, bán kính b»ng 2

3 đờng cao tam giác Gọi S1 diện tích viên phân Khi S1 =

2 3

-6

OA OA

π =

12

OA (2π -3 3). Ta cã:

3

OA=

2

a =

3

a .

Gäi S lµ diƯn tÝch lớn, S' diện tích nhỏ Khi Êy:

S =6S1 =

2

2

OA (2π -3 3)= a

(2π -3 3) Gọi cạnh tam giác A B C' ' ' b, tơng tự ta có:

S'= b

(2π -3 3) =

2

24 a (2π -3

3) Tổng diện tích là: S + S' = (2π -3 3)( 2

6 24

a a

+ ) DiƯn tÝch phÇn gạch xọc (phần cắt bỏ) S''.

S''= ABC

S∆ -(S + S')=

a - (2π -3 3)( 2

2

7

) ( )

6 24 12

a a π a

+ = −

TÝnh S∆ABC: 33.33SHIFT x2 × ÷ = (481.0290040) Min

TÝnh S'' : 7× 3 ữ 8 5 ữ 12ì = ì 33.33SHIFT x2 = (229.4513446)

VËy S'' ≈ 229,45 cm2.

ấn tiếp phím để tính

ABC

S''

S : ữ MR SHIFT % Kết quả: 47.70 §¸p sè: S'' ≈ 229,45 cm2;

ABC

S''

S ≈ 47,70 %

B A'

O A

B'

PhÇn VI Hình học không gian Bài 15 (Sở GD&ĐT Hà Néi, 1996, vßng trêng, líp 10)

1) Tính thể tích V hình cầu bán kính R= 3,173 2) Tính bán kính hình cầu cã thĨ tÝch V = 137, 45dm3.

Gi¶i: 1) Ta có công thức tính thể tích hình cầu:

2) Tõ c«ng thøc

3

V = π R suy 3

4 V R

=

áp dụng: 3ì 137.45ữ ữ π = SHIFT xy 1 ab c/ 3 = (3.20148673)

Đáp số: V =133.8134725 dm3; R= 3, 201486733dm.

Bài 16 (Sở GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kÕt, PTTH & PTCB) TÝnh gãc HCHR ph©n tư mªtan (H: Hydro, C: Carbon)

Giải: Gọi G tâm tứ diện ABCD cạnh a, I tâm tam giác đềuBCD Góc SHCH phân tử mêtan góc SAGB tứ diện ABCD Khi ta có:

3 a IB=

Suy 2 ( )2

3

a a

AI= AB − IB = a − =

vµ 3

4 2 a

BG= AG= AI= Gäi E điểm AB Khi sin 23 23 2

a AE AGE

AG a

= = = .

TÝnhAGB:2 ab c/ 3 SHIFT sin-1 = × 2 = SHIFT o,,,suuu (109 28 16.39o o ) Đáp số: 109 28'16''o .

A

B C

D

Bµi 17 (Së GD & ĐT TP HCM, 1998, vòng chung kết, PTTH & PTCB)

Cho hình chóp tứ giác SABCD, biết trung đoạn d = 3, 415cm, góc cạnh bên đáy 42 17 'o Tính thể tích.

Giải: Gọi cạnh đáy chóp tứ giác SABCD a, chiều cao h, ϕ góc cạnh bên đáy Khi SH tg

AH = ϕ hay

2 a

h SH= = tg Mặt khác, ( )2

2 a

h + = d hay ( )2 ( )2

2

a a

tgϕ + = d

Suy

2

d a

tgϕ =

+ vµ

2

2 1 2

a d

h tg tg

tg

ϕ ϕ

ϕ

= =

+

Thể tích tứ diện đợc tính theo cơng thức:

2

2

2

2

1 4

3 1 2 (1 ) (1 2 )

d tg d d tg

V ha

tg

tg tg

ϕ ϕ

ϕ

ϕ ϕ

= = =

+

+ +

TÝnh máy:

4ì ữ 3ì 3.415SHIFT xy 3ì 42 o,,, 17 o,,, tan Min ÷ [( + 2× MR SHIFT x2 )] SHIFT xy 3ab c/ 2= (15.795231442)

Đáp số: V = 15,795cm3.

A B C

D

S

Phần VII Phơng pháp lặp giải gần

phơng trình f x( ) 0=

Nội dung phơng pháp: Giả sử phơng trình có nghiệm khoảng ( , )a b Giải phơng trình ( )

f x = b»ng phơng pháp lặp gồm bớc sau:

1 Đa phơng trình f x( ) 0= phơng trình tơng đơng x g x= ( ) Chọn x0∈ ( , )a b làm nghiệm gần ban đầu

3.Thay x x= vào vế phải phơng trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm

gần thứ x1= g x( )0 Thay x1= g x( )0 vào vế phải phơng

trình x g x= ( ) ta đợc nghiệm gần thứ hai x2= g x( )1 Lặp lại trình trên, ta nhận đợc dãy

nghiệm gần

1 ( )0

x = g x , x2 = g x( )1 , x3= g x( )2 , x4 = g x( )3 , ,xn= g x( n−1),

Nếu dãy nghiệm gần { }xn , n=1, 2, hội tụ, nghĩa tồn lim n

n→ ∞ x = x (với giả thiết hàm

( )

g x liên tục khoảng ( , )a b ) ta cã:

1

lim n lim ( n ) (lim n ) ( )

n n n

x= → ∞ x = → ∞g x− = g → ∞ x− = g x

Chứng tỏ x nghiệm phơng trình x g x= ( ) x nghiệm phơng trình f x( ) 0=

Tính hội tụ: Có nhiều phơng trình dạng x g x= ( ) tơng đơng với phơng trình f x( ) 0= Phải chọn hàm số g x( ) cho dãy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp dãy hội tụ hội tụ nhanh tới nghiệm Ta có tiêu chuẩn sau

Định lý Giả sử ( , )a b khoảng cách ly nghiệm x phơng trình f x( ) 0= phơng trình x g x= ( ) t-ơng đt-ơng với pht-ơng trình f x( ) 0= NÕu g x( ) vµ g x'( ) lµ hàm số liên tục cho

[ ]

( ) ,

g x′ ≤ <q x a b từ vị trí ban đầu x0 ( , )a b dÃy { }xn xây dựng theo phơng pháp lặp

1

( )

n n

x = g x − sÏ héi tơ tíi nghiƯm nhÊt x khoảng ( , )a b phơng trình f x( ) 0=

Thí dụ Giải phơng trình x3− x2− =1 0.

Phơng trình có nghiệm khoảng (1;1.5) tơng đơng với

3 1

x= x + Do g x( )= 3x2+1 có đạo hàm

2

3

2 '( )

3 ( 1) x g x

x =

+ tháa m·n ®iỊu kiƯn

1 '( )

4

g x = < khoảng (1;1.5) nên dÃy lỈp

1

n n

x+ = x + héi tơ tíi nghiƯm từ điểm khoảng (1;1.5)

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS: Khai báo hàm g x( )= 3x2+1:

SHIFT ( ALPHA X x2 + 1)

Bắt đầu tính toán CALC máy X? Khai báo giá trị ban đầu x0=1 bấm phím =

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0=1 b»ng c¸ch bÊm phÝm =

Khai b¸o d·y xÊp xØ 3

1 ( ) n

n n

x+ = g x = x + :

SHIFT ( Ans x2 + )

Sau thực dãy lặp = ta đến x=1.465571232

Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến chữ số thập phân) x=1.465571232 Thí dụ Tìm nghiệm gần phơng trình ex+ − =x 0.

Vì f x( )= ex+ −x 3 có đạo hàm f x'( )= ex+ >1 0 ∀x nên đồng biến

toàn trục số Hơn nữa, f(0)= −3, f(1)= − >e nên phơng trình cho có nghiệm nằm khoảng (0,1)

Phơng trình cho tơng đơng với x= ln(3− x) Đặt g x( ) ln(3= − x) '( )

3 g x

x = −

− nªn ( )

1

'( ) 0,1

g x < ∀ ∈x

Do dãy lặp xn+1= ln(3− xn) hội tụ từ điểm khoảng (0,1) Dãy lặp máy Casio fx-570 MS:

Khai b¸o g x( ) ln(3= − x): ln ( ALPHA X ) Bắt đầu tính toán CALC máy X? Khai báo giá trị ban đầu

1

x = : ab c/ 2 vµ bÊm phÝm =

Sau thực dãy lặp CALC Ans = ta đến

26 27 28 0.792059968

x = x = x =

Vậy nghim gn ỳng l 0,792059968

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu

1

x = : ab c/ 2 vµ bÊm phÝm =

Khai b¸o d·y xÊp xØ xn+1= g x( ) ln(3n = − xn): ln ( − Ans )

Sau thực dãy lặp = ta đến x26 = x27 = x28 = 0,792059968

Vậy nghiệm xấp xỉ (chính xác đến chữ số thập phân) x= 0,792059968

Nhận xét Nếu địi hỏi nghiệm xác đến chữ số thập phân sau dấu phẩy cần sau 13 bớc lặp ta đến nghiệm 0,79206

Nhận xét Nếu ta đa phơng trình ex+ − =x 0 dạng x= −3 ex g x( ) 3= −ex có đạo hàm '( ) x

g x = −e không thỏa mÃn điều kiện

( )

'( ) 0,1 g x ≤ <q ∀ ∈x nên ta cha thể nói đợc hội tụ dãy lặp

> solve(exp(x)+x-3,x);

-LambertW(exp(3)) + Máy cho đáp số thông qua hàm LambertW

Ta tính xác nghiệm đến 30 chữ số nhờ lệnh: > evalf(",30);

.79205996843067700141839587788 Lời bình: Maple cho ta đáp số đến độ xác tuỳ ý Thí dụ Tìm nghiệm gần phơng trình x+ lnx=

Vì f x( )= +x lnx hàm đồng biến ngặt (0,+ ∞) Hơn f(1) 0= > f( )1 1 e = − <e nên phơng trình có nghiệm khoảng ( ,1)1

e Phơng trình cho tơng đơng với x e= −x = g x( ) Vì g x'( )= −e−x nên '( ) x 1

e

g x e

e

−

= ≤ < víi mäi x ( ,1)1 e

nên dÃy lặp xn+1= exn hội tụ

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS:

Khai b¸o g x( )= e−x: SHIFT ex ( ALPHA X )

Bắt đầu tính toán CALC máy X? Khai báo giá trị ban đầu

1 x = :

1 ab c/ 2 bấm phím = Sau thực dãy lặp CALC Ans = ta đến x= 0,567143290

Vậy nghiệm gần ỳng l x= 0,567143290

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS: Khai báo giá trị ban đầu

1

x = : ab c/ 2 vµ bÊm phÝm =

Khai b¸o ( n) n

x n

x+ = g x = e− : SHIFT ex ( − Ans )

Sau thực dãy lặp = ta đến x= 0,567143290 Vậy nghiệm gần x= 0,567143290

Thí dụ Tìm nghiệm gần phơng trình x= cos :x = g x( )

Vì f x( )= −x cosx có đạo hàm f x'( ) sin= + x≥ ∀x số điểm rời rạc

2

x= − +π kπ nên hàm đồng biến ngặt Do f(0)= −1 ( ) 2

f π = nên phơng trình có nghiệm kho¶ng (0, )

2 π

HiĨn nhiªn '( ) sin sin( )

g x = − x < π ε− < víi mäi (0, )

x∈ π ε− với ε đủ nhỏ nên dãy xn+1= cosxn hội tụ khoảng (0, )

2

DÃy lặp m¸y Casio fx-570 MS:

Bắt đầu tính tốn CALC máy X? Khai báo giá trị ban đầu x0= 1.5 bấm phím = Sau

thực dãy lặp CALC Ans = ta đến x= 0,739085133 radian Dãy lặp máy Casio fx-500 MS Casio fx-570 MS:

BÊm phÝm MODE MODE MODE MODE (tÝnh theo Radian) trªn Casio fx-570 MS hc MODE MODE MODE (tÝnh theo Radian) Casio fx-500 MS

Khai báo giá trị ban đầu x0=1.5: 1.5 bấm phím =

Khai b¸o xn+1= g x( n) cos= xn: cos Ans

Sau thực dãy lặp = ta đến x= 0.739085133 Thí dụ Tìm nghiệm gần phơng trình x3−3x+ =1 0.

Vì f( 2)− = −1, f( 1) 3− = , f(1)= −1,f(2) 3= x3−3x+ =1 0 phơng trình bậc nên có

nghiƯm khoảng ( 2, 1) , ( 1,1) ,(1, 2)

Phơng trình tơng đơng với x= 33x−1 Xét khoảng ( 2, 1)− − .

Đặt g x( )= 33x1 Ta có

3

1

'( )

16 (3 1) g x

x

= < <

− nªn d·y xn+1= 33xn−1 héi tơ kho¶ng ( 2, 1)− −

D·y lặp máy Casio fx-570 MS: ấn phím MODE (tÝnh theo sè thùc)

Khai b¸o g x( )= 33x−1: SHIFT ( 3× ALPHA X − )

Bắt đầu tính toán CALC máy X? Khai báo giá trị ban đầu x0= bÊm phÝm =

Sau thực dãy lặp CALC Ans = ta đến x1≈ −1,879385242

DÃy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS : Khai báo giá trị ban đầu x0= −1: − vµ bÊm phÝm =

Khai b¸o

1 ( )

n n n

x+ = g x = x − : SHIFT ( 3ì Ans − ) Sau thực dãy lặp = ta đến x1≈ −1,879385242

Vậy nghiệm gần x1≈ −1,879385242

Dùng sơ đồ Horner để hạ bậc, sau giải phơng trình bậc hai ta tìm đợc hai nghiệm cịn lại là: 1,53208886

x≈ vµ x≈ 0,3472963

Chú ý: Để tính nghiệm x2≈ 0,3472963 ta khơng thể dùng phơng trình tơng đơng x= 33x− =1 g x( ) nh

trên

1 '( )

(3 1) g x

x =

không thỏa mÃn điều kiện g x'( ) <q khoảng (0,1) dÃy lặp

3

1

n n

x+ = x không hội tụ (HÃy thử khai báo giá trị ban đầu x= 0,3472963 thực dÃy lỈp

3

1

n n

NhËn xÐt 1: Cã thĨ gi¶i phơng trình x3 3x+ =1 0 Casio fx-570 MS Casio fx-570 MS theo

chơng trình cài sẵn máy, quy trình bấm phím sau: Vào MODE giải phơng trình bậc ba: MODE MODE > 3 Khai b¸o hƯ sè: = = (-) = =

Máy đáp số x1=1.53088886

BÊm tiÕp phÝm = , m¸y hiƯn x2= −1.879385242

BÊm tiÕp phÝm = , m¸y hiƯn x3= 0.347296355

Vậy phơng trình có ba nghiệm thực

1 1.53088886

x = ;x2= −1.879385242; x3= 0.347296355

Thí dụ Tìm giao điểm đồ thị hàm số f x( )= −x3+ 3x2−1 với trục hồnh (chính xác đến 10−7)

Giải: Giao điểm đồ thị hàm số f x( )= −x3+3x2−1 với trục hoành nghiệm phơng trình

3

( ) f x = −x + x − =

V× f( 1) 3− = , f(0)= −1, f(1) 1= , f(2,5) 2,125= vµ f(3)= nên phơng trình có nghiệm khoảng ( 1;0) ,(0;1)và (2,5;3).

Phng trỡnh f x( )= −x3+ 3x2− =1 0 tơng đơng với 3 2

3 x= x Đặt g x( )= 33x2−1 th×

2

3

2 '( )

(3 1) x g x

x =

− vµ g x'( ) < 0,9 1< DÃy lặp máy Casio fx-570 MS:

BÊm phÝm MODE (tÝnh theo sè thùc)

Khai b¸o g x( )= 33x2−1: SHIFT ( 3ì ALPHA X x2 1 )

Bắt đầu tÝnh to¸n b»ng CALC m¸y hiƯn X? Khai b¸o gi¸ trị ban đầu x0= 2,7 bấm phím =

Sau thực dãy lặp CALC Ans = ta đến nghiệm x≈ 2,879385242 Dãy lặp máy Casio fx-570 MS Casio fx-500 MS :

Khai báo giá trị ban đầu x0= 2,7: 2.7=

Khai b¸o 3

1 ( ) n

n n

x+ = g x = x − : SHIFT ( 3× Ans x2 − 1 )

Sau thực dãy lặp = ta đến x≈ 2,879385242 Vậy nghiệm gần ỳng l x 2,879385242

Hai nghiệm lại tìm phơng pháp lặp phân tích thừa số tìm nghiệm ph-ơng trình bậc hai lần dùng phph-ơng pháp lặp

Bài tập

Bài tập Tìm khoảng cách ly nghiệm phơng trình sau đây:

1) x4 4x =1 0; 2) x3− 9x2+18x− =1 0; 3) lgx−3x+ =5 0.

1) x3−7x+ =4 0; 2) x3+ 2x2−9x+ =3 0; 3)32x5+ 32x−17 0= ;

4)x6−15x− 25 0= ; 5)2x5− 2cosx+ =1 0; 6)x2+sinx− =1 0;

7) 2cos3x− 4x− =1 0; 8) 1 ( 0)

2

x − tgx− = −π < <x ; 9) Cho − < <1 x Tìm nghiệm gần cosx tg x+ = 0;

10) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lê Hồng Phong): 10a) x4− x2+ 7x+ =2 0 ; 10b) x− 6x− =1 0.

Bài tập (Thi Giải toán máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Hà Nội, 18.12.1996) Tìm nghiệm gần phơng trình:

1) x3+5x− =1 0; 2) x6−15x− 25 0= ; 3) x9+ −x 10 0= ;

4) x− 6x− =1 0; 5) x3−cosx= 0; 6) cot 0 (0 )

2 x− gx= < <x π ; 7) Tìm nghiệm gần (lấy số lẻ) phơng trình: x2− tgx− =1 0;

8) Tìm nghiệm gần (lấy số lẻ thập phân) của: x2+sinx− =1 0.

Bài tập (Thi Giải toán máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Đồng Nai, 15.2.1998) Tìm nghiệm gần phơng trình:

1) x3+5x− =2 0; 2) x9+ − =x 7 0; 3) x+ 7x− =1 0; 4) x+ 7x− =2 0.

Bài tập (Thi Giải tốn máy tính bỏ túi, Sở GD & ĐT Tp HCM, 15.3.1998) Tìm nghiệm gần phơng trình:

1) 3x− 28x− =5 0; 2) x5− 2x− sin(3x− + =1) 0;

3) Tìm nghiệm âm gần phơng trình: x10− 5x3+ 2x− =3 0;

4) (Câu hỏi thêm cho trờng chuyên Lª Hång Phong):

Tìm nghiệm gần phơng trình 2x+3x+ 5x =11x.

Bài tập Tìm nghiệm gần phơng trình máy tính điện tử bỏ túi: 1) x3+ 3x2− =3 0; 2) x3− − =x 1 0; 3)x3+ 5x− =1 0;

4) 5x3− 20x+ =3 0; 5) 8x3+32x−17 0= ; 6) x5− −x 0, 0= ;

7) x3+ −x 1000 0= ; 8) x7+ 5x− =1 0; 9) x16+ − =x 8 0;

10) x− x=1; 11) 5x− x− =3 0; 12) x 1 x + = ; 13) x− 3x=1; 14) 3x− 26x− =5 0; 15) 3x− 28x− =5 0

16) 4x+ 5x = 6x; 17) 13x+11x= 19x; 18) 2x+ 3x+ 4x =10x; 19) x3+ logx− =2 0; 20)

2cosx e− x = 0; 21)cos log (0 )