Vieát phöông trình ñöôøng troøn aûnh cuûa ñöôøng troøn (C) qua pheùp: a. Ñoái xöùng qua truïc Ox b. Pheùp quay Q coù taâm quay O vaø goùc quay. Pheùp ñoàng daïng coù ñöôïc baèn[r]
(1)Vấn đề : PHÉP DỜI HÌNH
A Kiến thức
1 Phép biến hình
ª ĐN : Phép biến hình quy tắc để với điểm M mặt phẳng xác định điểm M mặt phẳng , điểm M gọi ảnh M qua phé
f
p biến hình
ª Kí hiệu : f phép biến hình M ảnh M qua phép f ta viết : M = f(M) hay f(M) = M hay f : M I M hay M I M Điểm M gọi tạo
1 2
ª
ảnh f phép biến hình đồng f(M) = M , M H
Điểm M gọi điểm bất động , kép , bất biến
f ,f phép biến hình f f phép biến hình
Nếu H l
à hình tập hợp điểm M = f(M), với M H, tạo thành hình H gọi ảnh H qua phép biến hình f ta viết : H = f(H)
2 Phép dời hình
ĐN : Phép dời hình phép biến hình khơng làm thay đổi khoảng cách hai điểm , tức với
hai điểm M,N ảnh M , N chúng , ta c
ó M N = MN ( Bảo tồn khoảng cách ) Tính chất : ( phép dời hình )
ĐL : Phép dời hình biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng , ba điểm không thẳng hàng
thành ba điểm không thẳng hàng HQ : Phép dời hình biến :
Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng
Tam giác thành t
am giác ( Trực tâm trực tâm , trọng tâm trọng tâm )
Đường trịn thành đường trịn ( Tâm biến thành tâm : I I , R = R )
Góc thành góc
I I
I
B Bµi tËp:
x = 2x 1 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) =
y = y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(1;2) b) B( 1;2) c) C(2; 4)
Giaûi :
a) A = f(A) = (1;5) b) B =
I
f(B) = ( 7;6) c) C = f(C) = (3; 1)
x = 2x y Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) =
y = x 2y + Tìm ảnh điểm sau : a) A(2;1) b) B( 1;3) c) C(
I
;4) Giaûi :
a) A = f(A) = (4;3) b) B = f(B) = ( 4; 4) c) C = f(C) = ( 7; 7)
3 Trong mpOxy cho phép biến hình f : M(x;y) M = f(M) = (3x;y) Đây có phải phép dời
hình hay không ? I
1 2
1 1
2 2
Giải : Lấy hai điểm M(x ;y ),N(x ;y ) Khi f : M(x ;y ) M = f(M) = (3x ; y ) f : N(x ;y ) N = f(N) = (3x ; y )
(2)
2 2
2 2
1
Ta có : MN = (x x ) (y y ) , M N = 9(x x ) (y y ) Nếu x x M N MN Vậy : f phép dời hình (Vì có số điểm f khơng bảo tồn khoảng cách)
PhÐp tÞch tiÕn
A Kiến thức
1 ĐN : Phép tịnh tiến theo vectơ u phép dời hình biến điểm M thành điểm M cho MM u
Kí hiệu : T hay T Khi : T (M) Mu u MM u
Phép tịnh tiến hoàn toàn xác định biết vectơ tịnh tiến Nếu T (M) M , M T phép đồng o o
2 Biểu thức tọa độ : Cho u = (a;b) phép tịnh tiến Tu
x = x + a
M(x;y)I M =T (M) (x ;y ) u y = y + b Phơng pháp tìm ảnh điểm
x = x + a
M(x;y)I M =T (M) (x ;y ) u y = y + b Ph¬ng pháp tìm ảnh hình
Cách : Dùng tính chất (cùng phương đthẳng , bán kính đường trịn : khơng đổi ) Lấy M (H) M (H )
(H) đường thẳng (H ) đường thẳng phương
I
Taâm I Taâm I
(H) (C) (H ) (C ) (cần tìm I )
+ bk : R + bk : R = R
Cách : Dùng biểu thức tọa độ
Tìm x theo x , tìm y theo y thay vào biểu thức tọa độ Cách
II
: Lấy hai điểm phân biệt : M, N (H) I M , N (H ) B, Bµi tËp
1 Trong mpOxy Tìm ảnh M điểm M(3; 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2;1) Giaûi
x x
Theo định nghóa ta có : M = T (M)u MM u (x 3; y 2) (2;1)
y y
M (5; 1) Tìm ảnh điểm qua phép tịnh tiến theo vectô u :
a) A( 1;1) , u = (3;1)
A (2;3) b) B(2;1) , u = ( 3;2)
B ( 1;3) c) C(3; 2) , u = ( 1;3) C (2;1)
5 Đường thẳng cắt Ox A( 1;0) , cắt Oy B(0;2) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (2; 1)
Giải Vì : A T (A) (1; 1) , B T (B) (2;1) u u
qua A (1; 1) x t
Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts : y 1 2t
(3)
6 Đường thẳng cắt Ox A(1;0) , cắt Oy B(0;3) Hãy viết phương trình đường thẳng ảnh qua phép tịnh tiến theo vectơ u = ( 1; 2)
Giaûi
Vì : A T (A) (0; 2) ,u
B T (B) ( 1;1) u
qua A (0; 2) x t
Mặt khác : T ( )u qua A ,B Do : ptts :
y 3t VTCP : A B = ( 1;3)
7 Tương tự : a) : x 2y = , u = (0 ; 3)
: x 2y b) : 3x y = , u = ( ; 2) : 3x y
8 Tìm ảnh c
2
ủa đường tròn (C) : (x + 1) (y 2) qua phép tịnh tiến theo vectơ u = (1; 3) Giải
x = x + x = x Biểu thức toạ độ phép tịnh tiến T : u
y = y y = y +
Vì : M(x;y) (
2 2 2
C) : (x + 1) (y 2) x (y 1) M (x ;y ) (C ) : x (y 1)
2
Vậy : Ảnh (C) (C ) : x (y 1)
Phép đối xứng trục A , Kiên thức bản:
1 ĐN1:Điểm M gọi đối xứng với điểm M qua đường thẳng a a đường trung trực đoạn MM Phép đối xứng qua đường thẳng gọi phép đối xứng trục Đườ
ng thẳng a gọi trục đối xứng ĐN2 : Phép đối xứng qua đường thẳng a phép biến hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua đường thẳng a
Kí hiệ
a o o o
u : Đ (M) M M MM M , với M hình chiếu M đường thẳng a
Khi…… :
Nếu M a Đ (M) M : xem M đối xứng với qua a ( M cịn gọi điểm bất động ) a M a Đ (M) M a a đường trung trực MM
Đ (M) M Đ (M ) Ma a
Đ (H) H Đ (H ) H , H ảnh hình H a a
d
ĐN : d trục đối xứng hình H Đ (H) H
Phép đối xứng trục hoàn toàn xác định biết trục đối xứng
Chú ý : Một hình khơng có trục đối xứng ,có thể có hay nhiều trục đối xứng
d
2 Biểu thức tọa độ : M(x;y) M Đ (M) (x ;y )
x = x x = x
ª d Ox : y = y ª d Oy : y = y I
a
PP : Tìm ảnh M = Đ (M) (d) M , d a
H = d a
H trung điểm MM M ?
a
a
ª PP : Tìm ảnh đường thẳng : = Đ ( ) TH1: ( ) // (a)
Laáy A,B ( ) : A B Tìm ảnh A = Đ (A) A , // (a)
w
(4)
min
min Tìm M ( ) : (MA+ MB)
Loại : A, B nằm phía ( ) : 1) gọi A đối xứng A qua ( )
2) M ( ), MA + MB MA + MB A B Do đó: (MA+MB) = A B M = (A B) ( ) w
min
Loại : A, B nằm khác phía ( ) : M ( ), MA + MB AB
Ta có: (MA+MB) = AB M = (AB) ( ) w
a
TH2 : // a Tìm K = a
Lấy P : P K Tìm Q = Đ (P) (KQ)
w
ÑOx ÑOy
1 Trong mpOxy Tìm ảnh M(2;1) đối xứng qua Ox , đối xứng qua Oy
HD : M(2;1) M (2; 1) M ( 2; 1)
2 Trong mpOxy Tìm ảnh M(a;b) đối xứng qua Oy , đối xứ
I I
ÑOy ÑOx
Ña Ñb
Ña Ñb
ng qua Ox
HD : M(a;b) M ( a;b) M ( a; b)
3 Cho đường thẳng (a) : x = , (b) : y + = điểm M( 1;2) Tìm : M M M HD : M( 1;2) M (5;2)
I I
I I
I I
Ña Ñb
Đa Đb
tđ(m;y) tđ(
M (5; 4) [ vẽ hình ] Cho đường thẳng (a) : x m = (m > 0) , (b) : y + n = (n > 0) Tìm M : M(x;y) M (x ;y ) M (x ;y )
x 2m x
HD : M(x;y) M
y y
I I
2m x; n)
x 2m x
M
y 2n y
5 Cho điểm M( 1;2) đường thẳng (a) : x + 2y + =
HD : (d) : 2x y + = , H = d a H( 2;0) , H trung điểm MM M ( 3; 2)
6 Cho điểm M( 4;
a a
1) đường thẳng (a) : x + y = M = Đ (M) ( 1;4) Cho đường thẳng ( ) : 4x y + = , (a) : x y + = Tìm ảnh = Đ ( )
HD :
4
Vì
1
a
caét a K a K( 2;1)
1
M( 1;5) d M, a d : x y H(1/ 2;7 / 2) : tđiểm MM M Ñ (M) (2;2) KM : x 4y + =
20 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : x 5y = ( ) : 5x y 13 = Tìm phép đối xứng qua trục biến ( ) thành ( )
Giải
1
Vì ( ) ( ) cắt Do trục đối xứng (a) phép đối xứng biến ( ) thành ( )
5
đường phân giác góc tạo ( ) ( )
1
1
x y (a ) | x 5y | | 5x y 13|
Từ suy (a) : x y (a )
1 25 25 +
Vậy có phép đối xứng qua trục ( ) : x y , ( ) : x y
Phép đối xứng tâm A , Kiến thức bản
1 ĐN : Phép đối xứng tâm I phép dời hình biến điểm M thành điểm M đối xứng với M qua I Phép đối xứng qua điểm gọi phép đối tâm
(5)
Neáu M I M I
Nếu M I M Đ (M)I I trung trực MM ĐN :Điểm I tâm đối xứng hình H Đ (H) H.I Chú ý : Một hình khơng có tâm đối xứng
I
Ñ
2 Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) phép đối xứng tâm I : M(x;y)o o M Đ (M) (x ; y ) I x = 2xo x
y 2yo y Tính chất :
Phép đối xứng tâm bảo toàn khoảng cách giư
I
õa hai điểm Biến tia thành tia
Bảo tồn tính thẳng hàng thứ tự điểm tương ứng
1 Tìm ảnh điểm sau qua phép đối xứng tâm I :
1) A( 2;3) , I(1;2) A (4;1)
2) B(3;1) , I( 1;2) B ( 5;3) 3) C(2;4) , I(3;1) C (4; 2) Giaûi :
x x
a) Gỉa sử : A Đ (A) I IAIA(x 1;y 2) ( 3;1) y 2 1 y 1 A (4;1)
Cách : Dùng biểu thức toạ độ
2 Tìm ảnh đường thẳng sau qua phép đối xứng tâm I :
1) ( ) : x 2y 0,I(2; 1) ( ) : x 2y
2) ( )
: x 2y 0,I(1;0) ( ) : x 2y 3) ( ) : 3x 2y 0,I(2; 3) ( ) : 3x 2y 0
Giải
PP : Có cách
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ
Cách : Xác định dạng // , dùng cơng thức tính khoảng cách d( ; ) Cách : Lấy A,B , tìm ảnh A ,B
I
A B
Ñ x x x x
1) Cách 1: Ta có : M(x;y) M
y y y y
I
I
Vì M(x;y) x 2y (4 x ) 2( y ) x 2y
M (x ;y ) : x 2y Đ
Vậy : ( ) ( ) : x 2y
Cách : Gọi = Đ ( )I I song song
: x + 2y + m = (m 5)
|5| | m | m (loại)
Theo đề : d(I; ) = d(I; ) | m |
m
2 2
1 2
(6)
3 Tìm ảnh đường tròn sau qua phép đối xứng tâm I :
2 2
1) (C) : x (y 2) 1,E(2;1) (C ) : (x 4) y
2) (C) : x
2 2
y 4x 2y 0,F(1;0) (C ) : x y 8x 2y 12 đ / nghiã hay biểu thức toạ độ
2
3) (P) : y = 2x x , taâm O(0;0)
E
2
(P ) : y = 2x x HD : a) Co ù2 caùch giaûi :
Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ Đ
Cách : Tìm tâm I I ,R R (đa õcho) b) Tương tự
4 Cho hai điểm A B Cho biết phép biến đổi M thàn I
h M cho AMBM hình bình hành Chứng minh hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với
(H) có tâm đối xứng HD : Dùng hình thoi
Gỉa sử hình (H) có hai trục đối xứng vng góc với
Lấy điểm M thuộc (H) M1 Đ (M) , Ma 2 Đ (M ) Khi , theob 1 định nghĩa M ,M1 2 (H)
Goïi O = a b , ta có : OM = OM MOM1 1 2AOM 1 OM = OM vaø M1 2
OM 2M OB
1
Suy : OM = OM vaø MOM2 1 M OM1 2 2(AOM +M OB)1 1 hay MOM1 90 180
Vaäy : O trung điểm M M 2
Do : M2 Đ (M), M (H),MO 2 (H) O tâm đối xứng (H)
8 Cho
N
ABC có AM CN trung tuyến CMR : Nếu BAM BCN = 30 ABC HD :
Tứ giác ACMN có NAM NCM 30 nên nội tiếp đtrịn tâm O, bkính R=AC MON 2NAM 60 Đ
Xét : AI B (O)I
N
M M
Đ
(O ) B (O ) A (O) 1 1
Ñ Ñ
C B (O) (O ) B (O ) C (O) 2 2 OO1 OO2 2R
Khi , ta có : OO O tam giác 1 2 MON 60
Vì O B O B R R 2R O O nên B trung ñieå1 2 1 2
I I
m O O 1 2 Suy : ABC OO O (Vì đồng dạng với BMN) 1 2 Vì OO O tam giác nên ABC tam giác 1 2
PhÐp quay A KiÕn thức bản:
1 ĐN : Trong mặt phẳng cho điểm O cố định góc lượng giác Phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho OM = OM (OM;OM ) = gọi phép quay tâm O với
Phép quay hoàn toàn xác định biết tâm góc quay Kí hiệu : Q .O
(7)
Chú ý : Chiều dương phép quay chiều dương đường tròn lựơng giác 2k
Q phép đồng , k (2k+1)
Q phép đối xứng tâm I , k Tính chất :
ĐL : Phép quay
phép dời hình HQ :
1.Phép quay biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng
Đường thẳng thành đường thẳng Tia thành tia
Đoạn thẳng thành đoạn thẳng B bµi tËp
(O ; )
/
1 Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(x;y) Tìm M = Q(O ; )(M) HD :
x = rcos Gọi M(x;y) Đặt : OM = r , góc lượng giác (Ox;OM) = M
y = rsin
Q / /
Vì : MI M Gọi M (x ;y ) đo
/ /
ä daøi OM = r (Ox;OM ) = + Ta có :
x = rcos( + ) = acos cos asin sin x cos ysin y = rsin( + ) = asin cos acos sin xsin y cos
x = x cos ysin /
Vaäy : M
y = xsin y cos
(O ; ) (I ; )
o o (I ; )
o o Đặc biệt :
Q // x = x cos ysin
M M
y = xsin y cos
Q / x x = (x x )coso o (y y )sin o
M M
y y = (x x )sin (y y )cos
I(x ;y ) o o o
Q M
I(x ;y ) I
I I w w
w
x x = (x x )cos (y y )sin
// o o o
M
y y = (x x )sino o (y y )coso
(O ; 45 )
2 Trong mpOxy cho phép quay Q Tìm ảnh : (O;45 )
2
a) Điểm M(2;2) b) Đường tròn (C) : (x 1) + y = Q
/ / /
Giaûi Goïi : M(x;y) I M (x ;y ) Ta coù : OM = 2, (Ox; OM) = x = rcos( +45 ) r cos cos45 rsin sin 45 x.cos45 y.sin 45 /
Thì M
y = rsin( +45 ) rsin cos45 r cos sin 45 y.cos45 x.sin 45
2
x = x y
/ 2 2
M
2
y = x y
2
(O ; 45 )
(O ; 45 ) (O ; 45 )
Q
/
a) A(2;2) A (0 ;2 2)
Q /
Taâm I(1;0) Tâm I ?
b) Vì (C) : Bk : R = 2 (C ) :
Bk : R = R =
Q 2 2 2 2
/ 2
I(1;0) I ( ; ) Vaäy : (C ) : (x ) + (y ) =
2 2
I
(8)4 Trong mpOxy cho đường thẳng ( ) : 2x y+1= Tìm ảnh đường thẳng qua : a) Phép đối xứng tâm I(1; 2) b) Phép quay Q
(O;90 ) Giải
a) Ta có : M (x ;y ) = Đ (M) biểu thức I
x x x x
tọa độ M y 4 y y 4 y
Vì M(x;y) ( ) : 2x y+1= 2(2 x ) ( y ) 2x y M (x ;y ) ( ) : 2x y
I
(O;90 ) Ñ
Vaäy : ( ) ( ) : 2x y Q
b) Cách : Gọi M(x;y) M (x ;y ) Đặt (Ox ; OM) = , OM = r , Ta coù (Ox ; OM ) = + 90 ,OM r
x = rcos Khi : M y
I
I
(O;90 )
(
Q
x r cos( 90 ) rsin y x y
M
= rsin y rsin( 90 ) rcos x y x
Vì M(x;y) ( ) : 2(y ) ( x ) + = x 2y + = M (x ;y ) ( ) : x 2y Q
Vaäy : ( )
I
I O;90 ) ( ) : x 2y 0
(O;90 ) (O;90 ) (O;90 )
Q
Cách : Lấy : M(0;1) ( ) M ( 1;0) ( ) Q
1
N( ;0) ( ) N (0; ) ( )
2
Q
( ) ( ) M N : x 2y I
I I
(O;90 ) (O;90 )
Q 1
Cách : Vì ( ) ( ) ( ) ( ) mà hệ số goùc : k k
2 Q
M(0;1) ( ) M (1;0) ( ) Qua M (1;0)
( ) : hsg ; k = ( )
I I
: x 2y
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy cho A(3;4) Hãy tìm toạ độ điểm A ảnh
o A qua phép quay tâm O goùc 90 HD :
Gọi B(3;0),C(0;4) hình chiếu A lên trục Ox,
Oy Phép o
quay tâm O góc 90 biến hình chữ nhật OABC thành hình chữ nhật OC A B Khi : C (0;3),B ( 4;0) Suy : A ( 4;3)
8 a)Trong mặt phẳng toạ độ Oxy , cho điểm A(0;3) Tìm B = Q (A) (O ; 45 ) HD : Phép quay Q biến điểm A Oy thành điểm B đt : y x,ta có :
(O ; 45 )
xB yB 2 2
Maø OB = xB yB x
OA OB
o
3 B( ; ).
B 2 2 2
4 3
b) Cho A(4;3) Tìm B = Q (A) B ( ; )
(O;60 ) 2
(9) ĐL : Nếu ABC A B C hai tam giác có phép dời hình biến ABC thành A B C Tính chất :
Nếu thực liên tiếp hai phép dời hình phép dời hình
Hai hình gọi có phép dời hình biến hình thành hình B Bµi tËp:
1 Cho hình chữ nhật ABCD Gọi E,F,H,I theo thứ tự trung điểm cạnh AB,CD,BC,EF Hãy tìm phép dời hình biến AEI thành FCH
HD :
Thực liên tiếp phép tịnh tie
án theo AE phép đối xứng qua đường thẳng IH Tw AE: AI E,EI B,II H TAE( AEI) EBH
ÑIH : E F,B C,H H Ñ ( EBH)IH FCH
ÑIH AE: T ( AEI) FCH
Do : ĐIH TAE( AEI) FCH AEI FCH
I I I
w w
3 [CB-1.20] Trong mpOxy , cho u = (3;1) đường thẳng (d) : 2x y = Tìm ảnh (d) qua phép dời hình có cách thực liên tiếp phép quay Q phép tịnh tiến
(O;90 ) T u
(O;90 ) u
Q T
HD : PP : d d d
Goïi d Q (d) Vì tâm O d nên Q (O) O d
(O;90 ) (O;90 )
Mặt khác : d d d : x 2y C (C 0) mà d qua O nên C = d : x + 2y = Cách khác : Chọn
I I
w
(O;90 ) Q
M(1;2) d M d
x OM cos( 90 ) x OM cos cos90 OMsin sin 90 x x cos90 ysin90
Ta coù : M
y OMsin( 90 ) y OMsin cos90 OM cos sin90 y y cos90 xsin90
I
x 1cos90 2sin 90 x M ( 2;1)
y y cos90 1sin 90
Goïi d T (d )u d // d d : x 2y C
x x x
Goïi O T (O)u OO = u O (3;1)
y y y
Vì d O C
w
C d : x 2y
Vaäy :T Qu (d) (d ) : x 2y (O;90 )
2
4 Tìm ảnh đường trịn (C) : x y 2x 4y có cách thực liên tiếp phép tịnh tiến theo u = (3; 1) phép ĐOy
ÑS : (C ) : (x + 4) 2(y 3) Phép vị tự
A Kiến thức b¶n
ĐN : Cho điểm I cố đinh số k Phép vị tự tâm I tỉ số k
k
Kí hiệu : V , phép biến hình biến điểm M thành điểm M cho IM k IM.I
k I
k Biểu thức tọa độ : Cho I(x ;y ) phép vị tự V o o I
x x = k (x x ) x = kx+ (1 k)x
V k o o o
M(x;y) M V (M) (x ;y ) I
y y = k (y y )o o y = ky+ (1 k)yo
(10)
3 Tính chất :
k k
1 M V (M), N V (N) M N = kMN , M N = |k|.MNI I
2 Biến ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng bảo toàn thứ tự điểm tương ứng Biến đường thẳng thành đường thẳng song song trùng với đường thẳng cho Biến tia thành tia
5 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên |k| Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với
7 Đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = |k|.R Biến góc thành góc
1 Tìm ảnh điểm sau qua phép vị tự tâm I , tỉ số k :
a) A(1;2) , I(3; 1) , k =
A ( 1;5) b) B(2; 3),I( 1; 2),k B ( 10;1)
1
c) C(8;3), I(2;1) , k =
2
C (5;2)
2 1
d) P( 3;2),Q(1;1),R(2; 4) , I O,k = 1/ P (1; ),Q ( ; )
3 3
(I;2)
2 ,R ( ; )
3
V x 3 4
HD : a) Goïi : A(1;2) A (x ;y ) IA 2IA (x 3;y 1) 2( 2;3)
y
x
A ( 1;5) y
I
2 Cho ba điểm A(0;3),B(2; 1),C( 1;5) Tồn hay không tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ?
HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B
(A;k)
nh C
V 1 k(2) 1
Khi : B C AC kAB k
2 k( 4)
Vậy : Tồn phép vị tự V 1 : B C (A; )
2
3 Cho ba điểm A( 1;2),B(3;1),C(4;3) Tồn hay không tồn ta
I
I
(A;k)
ïi phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C ?
HD : Gỉa sử tồn phép vị tự tâm A , tỉ số k biến B thành C V
Khi : B C AC kAB (1)
AC (5;4),
I
(A;k)
(1) 4k k /
AB (4;1) he ävô nghiệm AC kAB, k
1 k k
V
Vậy : Không tồn phép vị tự B C
I
2 2
13 Trong mpOxy , cho đường tròn (C ) : (x 1)1 (y 3) = (C ) : (x 4)2 (y 3) = a) Xác định toạ độ tâm vị tự ngồi hai đường trịn
b) Viết phương trình tiếp tuyến c
hung hai đường trịn HD : (C ) có tâm I (1;3) , bk : R1 1 1 ; (C ) có tâm I (4;3) , bk : R2 2 2
(11)
b) Tiếp tuyến chung ngồi hai đường trịn tiếp tuyến từ I đến (C ).1
Gọi đt qua I có hệ số góc k :y = k(x+2) ky y 2k
tiếp xúc (C )1 d(I ; ) R1 1 k
2
: 2.x 4y 12
: 2.x 4y 12 2
Phộp ng dng
A Kiến thức bản
1 ĐN : Phép biến hình F gọi phép đồng dạng tỉ số k (k > 0) với hai điểm M , N ảnh M , N ảnh chúng , ta có M N = k.MN
2 ĐL : Mọi phép đồng dạng F tỉ so
á k (k> 0) hợp thành phép vị tự tỉ số k phép dời hình D
3 Hệ : (Tính chất ) Phép đồng dạng :
1 Biến điểm thẳng hàng thành điểm thẳng hàng (và bảo toàn thứ tự ) Biến đường thẳng thành đường thẳng
3 Biến tia thành tia
4 Biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng mà độ dài nhân lên k ( k tỉ số đồng dạng ) Biến tam giác thành tam giác đồng dạng với ( tỉ số k)
6 Biến đường trịn có bán kính R thành đường trịn có bán kính R = k.R Biến góc thành góc
4
Hai hình đồng dạng :
ĐN : Hai hình gọi đồng dạng với có phép đồng biến hình thành hình F
H đồng dạng G F đồng dạng : HI G Cho điểm M
a) Dựng ảnh phép đồng dạng F hợp thành phép đối xứng trục Đ phép vị tự V tâm O ,a với O a , tỉ số k =
b) Dựng ảnh phép đồng dạng F
a O
hợp thành phép vị tự V tâm O , tỉ số k = phép quay tâm I với góc quay = 90
Giải
Đ V
a) Gọi : M M1 M2
M (a) M1 M M trung điểm OM2 M (a) v
I I
w
w O M :1
a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 M (a) O M :1
a trung trực đoạn MM1 M trung điểm đoạn OM 1 2 b) Gọ
w
3 90
O I
V Q
i M M1 M Khi : 2
OM1 3OM , IM = IM vaø (IM ;IM ) 901 1 2
I I
2 Cho ABC có đường cao AH H đoạn BC Biết AH = , HB = , HC = Phép đồng dạng F biến HBA thành HAC F hợp thành hai phép biến hình ?
A) P
1 hép đối xứng tâm H phép vị tự tâm H tỉ số k =
2 B) Phép tịnh tiến theo BA phép vị tự tâm H tỉ số k = C) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép quay tâm H , góc (H
B;HA) D) Phép vị tự tâm H tỉ số k = phép đối xứng trục AH
(12)1 (H, )
H
1 (H, )
H
V Đ
A) Gọi : A A' A''
V Ñ
B B' B''
A sai
I I
I I
(H,2) BA
(H,2) BA
(H,2) BA
T V
B) Goïi : A A' A''
T V
B B' A A'
T V
H H' H''
B sai
I I
I I
I I
(H,2) (H,90 ) (H,2) (H,90 ) (H,2) (H,90 )
Q V
C) Goïi : H H H
Q V
A A' A '' C
Q V
B B' B'' A
C
I I
I I
I I
(H,2) AH
(H,2) AH
(H,2) AH
V Đ
D) Gọi : H H H
V Đ
A A' A' A' AH
V Ñ
B B' B''
D sai
I I
I I
I I
3 Cho hình bình hành ABCD có tâm O Trên cạnh AB lấy điểm I cho IA 2IB gọi G trọng tâm ABD F phép đồng dạng biến AGI thành COD F hợp thành
hai phép biến hình sau ?
A) Phép tịnh tiến theo GO phép vị tự V(B; 1) B) Phép đối xứng tâm G phép vị tự V(B; )
2
C) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng
2 taâm O
2
D) Phép vị tự V(A; ) phép đối xứng tâm G
(13)
2/3
O A
HD :
3 Vì G trọng tâm ABD nên AO AG
2
Theo giả thiết , ta có : AB AJ
Phép đối xứng tâm O , biến A thành C B thành D ( O bất biến ) Đ
V
AI AI
2/3 2/3
O O
A Ñ A Ñ
V V
C G I O I O I I B I D
O
3
V(A; ) Ñ
2
AGI AOB COD
Phép đồng dạng F
bài tập ôn chương 1
Bài 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ đường tròn (C) có pt : x2 + y2 4x + 4y
-1 =
a) Viết phương trình ảnh đường tròn (C) qua phép đối xứng trục Oy b) Viết phương trình ảnh đường trịn (C) qua phép tịnh tiến
Bài 2: Cho đường tròn (O) (O’) cắt A B Một đường thẳng thay đổi qua A cắt (O) A C, cắt (O’) A D Gọi M N trung điểm AC AD.
a) Tìm quỹ tích trung điểm I đoạn MN
b) Tìm quỹ tích trung điểm J đoạn CD
Bài 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy xét phép hình F biến điểm M(x;y) thành điểm M'(x+1; y ) Chứng minh F phép tịnh tiến
Bài 4: Trong mặt phẳng Oxy cho (P) có phương trình : y2 = 4x Viết phương trình ảnh (P)
qua Đox , Đoy
Bài 5: Cho đường tròn (O,R) hai điểm B,D cố định cho đường thẳng BD không cắt đường tròn , điểm A thay đổi (O,R) Vẽ hình bình hành ABCD Tìm quỹ tích điểm C
Bài 6: Cho hai đường tròn (C1) (C2) có tâm I1 , I2 bán kính theo thứ rự R1= , R2
= Biết I1I2 = 15 Hãy vẽ hình xác định tâm vị tự tâm vị tự ngồi hai đường trịn
Bài : Cho đường tròn (C) x2 + y2 – 4x - 2y + = Xác định phường trình đường trịn (C
1) đối
xứng với đường tròn (C) qua điểm E(1,2) (1 điểm)
Bài : Cho đường trịn (O) đường kính AB đường thẳng d vng góc với AB B Với đường
kính MN thay đổi đường tròn (MN khác AB) Gọi P, Q giao điểm d với các
đường thẳng AM AN Đường thẳng qua M, song song với AB cắt đường thẳng AN H.
a)Chứng minh: H trực tâm tam giác MPQ. b) Chứng minh: ABMH hình
bình hành.
c) Điểm H chạy đường nào?
Bài Cho tam giác ABC, tâm O, ba đường cao AA1,BB1,CC1 Hãy tìm xem có phép
biến hình biến ABC thành nó.
Bài 10 : Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn (C): x2 + y2 +2x – 4y –11 = 0
a) Viết phương trình ảnh (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm phép tịnh tiến biến (C) thành (C’): (x – 10)2 + (y + 5)2 =16.
Bài 11: Cho ABC Gọi P, Q hai điểm thay đổi hai cạnh AB, AC cho AP = CQ
(14)b) Chứng minh đường trịn ngoại tiếp APQ ln qua điểm cố định khác A
Bài 12: Cho đường trịn tâm O, đường kính AB.Gọi CD đường kính thay đổi ( khác AB ) E là trung điểm OA, CE cắt AD I, DE cắt AC J Tìm quĩ tích điểm I điểm J
Bài 13: Trong đường tròn (C) : x2-4x+y2-1=0 Viết phương trình đường trịn ảnh đường tròn (C) qua phép: a Đối xứng qua trục Ox b Phép đối xứng tâm I(-1,2)
Bài 14: Trong mặt phẳng Oxy cho đường tròn
(C): x2 + y2 +2x – 4y –11 = 0
a) Viết phương trình ảnh (C) qua phép đối xứng trục Ox.
b) Tìm phép vị tự biến (C) thành (C’): (x – 10)2 + (y + 5)2 =16.
Bài 15: Trong mặt phẳng Oxy cho M (2 ; 3), tìm ảnh điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - x = 0
Bài 16: Trong mặt phẳng Oxy, cho đường trịn (C) có phương trình: ( x - )2 + ( y - )2 = , tìm
phương trình đường trịn (C’) ảnh ( C) qua phép vị tự tâm O tỉ số k =
Bài 17: Cho hình vng ABCD tâm O Phép quay Q có tâm quay O góc quay Với giá trị nào , phép quay Q biến hình vng ABCD thành ?
Bài 17: Nếu IA2 AB phép vị tự tâm I biến A thành B theo tỉ số k bao nhiêu?
Bài 18: Cho đường tròn ( ) :C x2 y2 6x 2y 1 0
Tìm phương trình đường trịn đối xứng với ( )C
qua đường thẳng ( ) :d x y 0
Bài 19: Cho hai đường thẳng ( ) : 3k x y 0 , ( ) :l x y 0 Phép đối xứng tâm I biến ( )k thành
( ') : 3k x y 1 0, ( )l thành ( ') :l x y 0 Tìm tọa độ I
Bài 20: Tìm phương trình đường thẳng đối xứng với đường thẳng ( ) : 3 x 4y 5 0 qua điểm
1; 2 I
Bài 21: Cho đường tròn ( ) :C x12y 22 4 Ảnh ( )C qua phép vị tự VO2 đường tròn ( ')C
có phương trình
Bài 22: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M( 2;1) Phép dời hình có cách thực liên
tiếp phép đối xứng qua tâm O phép tịnh tiến theo vectơ v(2;3)biến M thành điểm N Tìm tọa
độ điểm N
Bài 23: Trong mặt phẳng Oxy cho điểm M(1;2) Phép đồng dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O, tỉ số vị tự k = -2 phép đối xứng tâm O biến M thành điểm N. Tìm tọa độ N
Bài 24: Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho điểm I(1;1) đường thẳng d: x + y + = Phép
đối xứng tâm I biến đường thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình d’
Bài 25: Trong mặt phẳng Oxy, cho điểm E(-3;5) vectơ v = ( 1; - 2) Phép tịnh tiến theo vectơ
v biến điểm F , tìm tọa độ điểm F
Bài 26: Trong mặt phẳng Oxy cho (d): 2x y 0 Phép vị tự tâm O tỉ số k 2 biến đường
thẳng d thành đường thẳng d’ , tìm phương trình d’
Bài 27: Trong mặt phẳng Oxy, điểm A( 3;1) , tìm ảnh điểm A qua phép đối xứng qua đường
thaúng yx
Bài 28: Cho tam giác ABC , O tâm đường trịn ngoại tiếp tam giác Với giá trị sau
(15)Bài 29: Cho đường trịn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - = Ảnh (C) qua phép vị tự
V(O;
1
2) đường trịn (C') ,tìm phương trình ( C’)
Bài 31: Cho M'(4;-3) Gọi M' = Q(o;900)(M) Tọa độ M ?
Bài 32: Cho đường trịn (C) có phương trình: x2+ y2 -2x + 6y - = Ảnh (C) qua phép vị tự
V(0; 12) đường trịn (C'), tìm phương trình ( C’)
Bài 33: Cho đường thẳng (D) qua hai điểm A(1;3) B(-2;5) Phép đối xứng tâm I(2;3) biến
đường thẳng (D) thành đường thẳng (D1) Hãy viết phương trình đường thẳng (D1).
Bài 34: cho hình lục giác ABCDEF Tìm trục tâm đối xứng hình
Bài 34: Trong mặt phẳng Oxy cho M (2 ; -3), Tìm tọa độ điểm ảnh điểm M qua phép đối xứng qua đường thẳng y - 2x =
Bài 34: Trong mặt phẳng Oxy cho bốn điểm A(-3;2), B(1;-2), C(2;5), D(-1;-3) Gọi A1 ảnh A qua phép tịnh tiến theo vectô BCuuur Gọi A2 ảnh A1 qua phép đối xứng t âm D.Tìm tọa độ A2
Bài 34: Trong hệ trục tọa độ Oxy.Gọi V phép vị tự tâm O tỉ số -2 T phép tịnh tiến theo vecto )
2 ; (
u , F phép hợp thành V T Tìm ảnh đường thẳng (d) -3x – 8y = qua F
Bài 34: Trong mặt phẳng Oxy Tìm ảnh đường tròn (C):(x – 2)2 + (y – 4)2 = 16 qua việc
thực liên tiếp ÐOy
v
T với (2;3)
v .
Bài : Trong mp Oxy cho v = ( -1 ; 4) ; hai điểm A( ; 5) ; B( -1 ; 1), C(1 -3) đường thẳng d
coù pt x – 2y + = 0
1 Tìm tọa độ A1 ; B1 theo thứ tự ảnh A, B qua Tv.
A1=Tv(A)suy ra: A1(2;9)
2 Tìm tọa độ A2 ; B2 theo thứ tự ảnh A, B qua ĐOx, ĐOy
3 Tìm tọa độ A3 ; B3 theo thứ tự ảnh A, B qua Đd
4 Tìm tọa độ A4 ; B4 theo thứ tự ảnh A, B qua ĐC
5 Tìm tọa độ A5 ; B5 theo thứ tự ảnh A, B qua phép quay tâm O, góc quay 900
A5theo CT x5=-x suy ra:x5 = -3; y5= -y suy ra: y5 = -5
6 Tìm tọa độ A6 ; B6 theo thứ tự ảnh A, B qua phép vị tự tâm C, tỉ số -3
OA6= -3OA suy
7 Tìm tọa độ điểm C cho A ảnh C qua Tv.
Bài : Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng (d) qua điểm A(2 ; 4) ; B( 3; 5) u ( 1; ).
1) Viết ptts đt (d) Tìm ảnh đt (d) (d’) qua phép tịnh tiến theo vectơ u.
2) Viết pt đường trịn (C) nhận AB làm đường kính Tìm ảnh (C) (C’) qua phép tịnh
tieán theo vecto u
Bài : Trong mp Oxy cho đt (d) có pt : x – 2y + = Hãy viết ptđt (d’) ảnh (d) qua phép đối xứng trục Ox.
Bài : Trong mp Oxy cho đường trịn (C) có pt : x2 + y2 – 2x + y – = Hãy viết pt đường tròn
(C’) ảnh (C) qua phép đối xứng trục Oy.
Bài : Trong mp Oxy cho điểm M( 1, 5), đt d có phương trình x – 2y + = đường tròn (C) :
x2 + y2 – 2x + 4y – = 0.
(16)Baøi : Trong mp Oxy cho đt d có pt : x – 5y + = đt d’ có pt 5x – y – 13 = Tìm ptđt ,
biết phép đối xứng qua đt biến d thành d’.
Baøi : Trong mp Oxy cho đt d1 có pt : x + 2y – = đt d2 có pt : x – 2y + = Tìm ptđt ,
biết phép đối xứng qua đt biến d1 thành d2.
Bài : Trong mp Oxy cho I( 2; -3) đt (d) : 3x + 2y – = Tìm tọa độ I’ pt đt d’ lượt ảnh I d qua phép đối xứng tâm O.
Bài : Trong mp Oxy cho hai điểm I( ; 2) ; M( -2 ; 3), đt (d) có pt 3x – y + = đường trịn
(C) có pt : x2 + y2 + 2x – 6y + = Hãy tìm ảnh M, (d) (C) qua :
1) Phép đối xứng qua gốc tọa độ O. 2) Phép đối xứng qua tâm I.
Bài 10 : Trong mp Oxy cho A( -1; 2) đt (d) : x – 2y + = 0. 1) Viết pt đường trịn (C) có tâm A tiếp xúc với đt (d) 2) Viết pt ảnh (C) qua phép đối xứng tâm I(2 ; 3).
Bài 11 : Trong mp tọa độ Oxy cho đt (a) : 3x – 5y + = đường tròn (C) : x2 + y2 – 4x + y –
= 0,
v = ( ; -2) Viết phương trình ảnh (a) vaø (C) qua
a) Phép tịnh tiến v. b) Phép đối xứng trục Ox. c) Phép đối xứng tâm I( ;
-2)
Bài 12: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho đường tròn (C) có tâm I(2;-1), bán kính Viết pt ảnh
của ( C) qua phép tịnh tiến v = ( -1 ; -4).
Baøi 13 : Trong mp Oxy cho A( ; -3) ; B( ; 4) ; C( ; 5), Tìm : 1 A’ = TBC (A) ; B = TAB(B’) ; C’ = ĐO(C).
2 Pt đt (d) ảnh đt AB qua ĐC
3 Pt đường trịn (C’) ảnh đường trịn (C) có tâm A bán kính BC.
Bài 14 : Trong mp Oxy cho M( 1; 5) ; đường thẳng (d) : x – 2y + = đường tròn (C) qua điểm A(1, 3) , B(5, 6), C(7, 0)
1 Tìm ảnh M, d , (C) qua ĐOx.
2 Tìm ảnh M qua phép đx qua đường thẳng d.
Bài 15 : Cho hình bình hành ABCD Dựng ảnh tam giác ABC qua phép tịnh tiến AD.
Bài 16 : Cho tứ giác ABCD Hai đường thẳng AC BD cắt E Xác định ảnh tam giác ABE qua phép đối xứng qua đường thẳng CD.
Bài 17 : Trong mp oxy cho điểm M( -2; ) Phép vị tự tâm O tỉ số k = -2 biến điểm M thành điểm N Tìm tọa độ điểm N
Bài 18: Trong mp Oxy cho đường thẳng d có PT: 2x + y – = Phép vị tự tâm O tỉ số k = biến d thành đường thẳng d' Tìm phương trình d'?
Bài 19 : mp Oxy cho đường trịn (C) có phương trình : ( x -1 )2 + y2 = 16 phép vị tự tâm O tỉ
số k = biến (C) thành đường trịn (C') Tìm phương trình (C')
Bài 20 : Trong mp Oxy cho điểm M(1;2) phép đồng dạng có cách thực liên tiếp
pheùp
o
V phép đối xứng qua trục Oy biến M thành điểm N Tìm N ?
Bài 21 :Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng d có phương trình : x + y + = phép đồng
dạng có cách thực liên tiếp phép vị tự tâm O tỉ số 12 phép đối xứng qua trục