Bài giảng Đề thi tuyển Học sinh giỏi_Toán 9

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn : Toán Thời gian : 120phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 4 điểm ) a/ Chứng minh rằng : A = 3n 4 - 14n 3 + 21n 2 - 10n chia hết cho 24 với mọi n ∈ N b/ Tìm các hệ số a, b để đa thức x 4 + ax 2 + b chia hết cho đa thức x 2 - 3x + 2 . Khi đó hãy tìm đa thức thương . Bài 2 : ( 4 điểm ) a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 +                 + + + ++         + − = yxyxxyyx yx xyxy yx A 11 . )( 2 2 1 . 11 : 3 b/ Giải phương trình : + = x 2 - 10x + 27 Bài 3 : ( 4 điểm ) a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = . Chứng minh rằng : + - < b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ? M = x - Bài 4 : ( 4 điểm ) Cho a, b, clà độ dài 3cạnh của ∆ABC . Gọi m, n, k là độ dài các đường phân giác trong của 3góc của ∆ABC . Chứng minh rằng : + + > + + Bài 5 : ( 4 điểm ) Cho ∆ABC vuông tại A , đường cao AH , HB = 20 cm , HC = 45 cm . Vẽ đường tròn tròn tâm A bán kính AH . Kẻ các tiếp tuyến BM , CN với đường tròn ( M , N là các tiếp điểm , khác điểm H ) . a/ Tính diện tích tứ giác BMNC b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA . Tính các độ dài AK , KN c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB . Tính các độ dài IM , IB ĐÁP ÁN Bài 1 : ( 4 điểm ) a/ Với mọi n ∈ N, tacó : A = 3n 4 - 14n 3 + 21n 2 - 10n = n ( 3n 3 - 14n 2 + 21n - 10 ) = n ( 3n 3 - 3n 2 - 11n 2 + 11n + 10n - 10 ) = n ( n - 1 ) ( 3n 2 - 11n + 10 ) = n ( n - 1 ) ( 3n 2 - 6n - 5n + 10 ) = n ( n -1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 5 ) = n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( 3n - 9 + 4 ) = 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 4n ( n - 1 ) ( n -2 ) * Vì n - 2 , n - 1 , n là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số + 2 và 1 số + 3 . Mà ( 2, 3 ) = 1 ; 2 . 3 = 6 nên n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 6 ⇒ 4n ( n - 1 ) ( n - 2 ) + 24 (1) * Mặt khác : n , n - 1, n - 2 , n - 3 là 4số nguyên liên tiếp nên có 2 số chẵn liên tiếp và do đó có 1số + 2 và số còn lại + 4 Nên n ( n - 1) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 8 ⇒ 3n ( n - 1 ) ( n - 2 ) ( n - 3 ) + 24 (2) Từ (1) và (2) ⇒ A = 3n 4 - 14n 3 + 21n 2 - 10n + 24 với ∀n ∈ N b/ Chia x 4 + ax 2 + b cho x 2 - 3x + 2 được thương là x 2 + 3x + a + 7 dư là ( 3a + 15 ) x + b - 2a - 14 Tacó phép chia hết ⇔    = −= ⇔    =−− =+ 4 5 0142 0153 b a ab a Vậy đa thức thương là : x 2 + 3x + 2 Bài 2 : ( 4 điểm ) a/ Tính giá trị biểu thức sau với x = 2 - và y = 2 + ( ) xy yx xy xyxy yx yxxy yx xyxy yx yxxy xyyx xyxy yx yxxyyxxy yx xyxy yx xy yx yxyx xy yx xyxy yx yxyxxyyx yx xyxy yx A − = − =         + +− =         + ++− =         + + + + − =         + + + + + − =                 + + + ++         + − = 1 : )( : )( .2 : )( 2 )( : . )( 2 )( 1 .: 11 . )( 2 2 1 . 11 : 2 2 2 22 32 3 Tacó : xy xyyx A 2 2 −+ = Với x = 2 - và y = 2 + thì : 2 )32)(32( )32)(32(23232 2 = +− +−−++− = A Suy ra A = - ( vì x < y ) b/ + = x 2 - 10x + 27 Đk : 4 ≤ x ≤ 6 Áp dụng BĐT Cosi cho 2số không âm , ta được : + = + ≤ + = 2 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ 5 16 14 =⇔    =− =− x x x Mặt khác : x 2 - 10x + 27 = ( x 2 - 10x + 25 ) + 2 = ( x - 5 ) 2 + 2 ≥ 2 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ x - 5 = 0 ⇔ x = 5 Do đó : + = x 2 - 10x + 27 ⇔ x = 5 Vậy nghiệm của pt là + x = 5 Bài 3 : ( 4 điểm ) a/ Cho 3số dương a, b, c thỏa a 2 + b 2 + c 2 = . Chứng minh rằng : + - < Tacó : ( a + b - c ) 2 ≥ 0 ⇒ a 2 + b 2 + c 2 + 2ab - 2bc - 2ac ≥ 0 ⇒ 2ab - 2bc - 2ac ≤ a 2 + b 2 + c 2 Mà a 2 + b 2 + c 2 = < 2 nên 2ab - 2bc - 2ac < 2 ⇒ < ( a , b, c > 0 ) ⇒ + - < b/ Với giá trị nào của x thì biểu thức sau có giá trị nhỏ nhất ? M = x - = ( x - 2009 ) - + + 2009 - = ( - ) 2 + 2008 ≥ 2008 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ - = 0 ⇔ x - 2009 = ⇔ x = 2009 Vậy GTNN của M là 2008 ⇔ x = 2009 Bài 4 : ( 4 điểm ) 2 1 1 M D A B C Qua điểm C vẽ đường thẳng song song AD cắt AB tại M ⇒ A 1 = M 1 ; A 2 = C 1 Mà A 1 = A 2 ( AD là tia phân giác của góc A ) Nên M 1 = C 1 ⇒ AM = AC Xét ∆AMC : MC < AM + AC = 2AM Xét ∆BMC ta có : AD // MC ⇒ = = Nên AD = < ⇒ > ( + ) ⇔ > ( + ) Tương tự : > ( + ) ; > ( + ) Vậy + + > + + Bài 5 : ( 4 điểm ) I K H C A B M N a/ Tính diện tích tứ giác BMNC Tacó : M, A, N thẳng hàng , tứ giác BMNC là hình thang . S BMNC = S ABM + S ABH + S AHC + S ANC = 2S ABH + 2S ACH = 2S ABC Áp dụng hệ thức về đường cao và ình chiếu trong tam giác vuông ABC : AH 2 = HB . HC = 20.45 = 900 ⇒ AH = 30 cm Vậy S BMNC = 2S ABC = 2 . AH . BC = 30 . 65 = 1950 cm 2 b/ Gọi K là giao điểm của CN và HA . Tính các độ dài AK , KN Tacó : ∆NKA ∽ ∆HKC ( g - g ) ⇒ = = ⇒ = = ⇒ 45NK = 30KA + 900 ⇒ 3NK - 2KA = 60 ⇒ 6NK - 4KA = 120 45KA = 30KN + 1350 2KN - 3KA = - 90 6NK - 9KA = - 270 ⇒ 5KA = 390 ⇒ KA = 78 ⇒ KN = 72 Vậy AK = 78cm và KN = 72cm c/ Gọi I là giao điểm của AM và CB . Tính các độ dài IM , IB Tacó ∆HKC = ∆ NIC ( cgv - gn kề cạnh ấy ) ⇒ KC = IC = 72 + 45 = 117 ⇒ IB = IC - BC = 117 - 65 = 52 KH = IN = 78 + 30 = 108 ⇒ IM = IN - MN = 108 - 60 = 48 Vậy IM = 48 cm và IB = 52 cm . KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Môn : Toán Thời gian : 120phút ( không kể thời gian giao đề ) Bài 1 : ( 4 điểm ) a/ Chứng minh. - = ( x - 20 09 ) - + + 20 09 - = ( - ) 2 + 2008 ≥ 2008 Dấu “ = ” xảy ra ⇔ - = 0 ⇔ x - 20 09 = ⇔ x = 20 09 Vậy GTNN của M là 2008 ⇔ x = 20 09 Bài 4 : ( 4 điểm