Áp dụng định lý Viet, ta thấy cả hai nghiệm này đều dương nên các giá trị m > 4 cũng bị loại... Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp.[r]
(1)20 Đề số 20
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm) Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số
( )= -3 +4
f x x x
1) Khảo sát biến thiên vẽ đồ thị hàm số 2) Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số: G(x)=
3
1
2sin 2sin
2
æ + - ổ + +
ỗ ữ ỗ ÷
è x ø è x ø
Câu II (2,0 điểm)
1) Tìm m cho phương trình sau có nghiệm nhất: ln(mx)=2ln(x+1)
2) Giải phương trình: sin3x.(1 cot )+ x +cos3x(1 tan )+ x = 2sin 2x
Câu III (1,0 điểm) Tính giới hạn:
2
2
lim
3
®
- +
+
-x
x
e x
x x
Câu IV (1,0 điểm) Xác định vị trí tâm độ dài bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD có AB=2,AC=3,AD=1,CD= 10,DB= 5,BC= 13
Câu V (1,0 điểm) Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm vớix³2 :
2
3
3
+ = ìï í
+ + + =
ïỵ
x y
x y m
II PHẦN RIÊNG (3,0 điểm) A Theo chương trình Chuẩn Câu VI.a (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình đường trịn nội tiếp tam giác ABC với đỉnh: A(–2;3), 1;0 , (2;0)
4
ổ
ỗ ữ
ố ø
B C
2) Trong khơng gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d qua điểm (- -4; 5;3)
M cắt hai đường thẳng: ' : 11
2
+ + =
ì
í - + = ỵ
x y
d
y z
2 1
'' :
2
- +
-= =
-x y z
d
Câu VII.a (1,0 điểm) Tìm n cho
6 14
+ + =
-n n n
C C C n n, Cnk số tổ hợp chập k từ n phần tử
B Theo chương trình Nâng cao Câu VI.b (2,0 điểm)
1) Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, viết phương trình elip với tiêu điểm
( ) ( )
1 -1;1 , 5;1
F F tâm sai e=0,
2) Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, viết phương trình hình chiếu vng góc đường thẳng :
3
- =
ì
í - + - = ỵ
x z
d
x y z mặt phẳng P x: -2y+ + =z
Câu VII.b (1,0 điểm) Với n nguyên dương cho trước, tìm k cho 2n- 2n+ n k n k
C C lớn nhỏ
(2)Hướng dẫn giải ĐỀ SỐ 20 Câu I: 2) Đặt 2sin
2 + =
x t ị t ẻ 5; 2 é- ù
ê ú
ë û ( ) ( )
3 3 4.
= = - +
g x f t t t
( ) ( )
3 27 27 54 32 49
3 ;
2 8
0 4; 0;
5 125 25 125 150 32
3
2 8
- - +
ỉ- ư= - - + = =
-ỗ ữ
ố ứ
= = = =
- +
ỉ = - + = =
ỗ ữ ố ứ
CD CT
f
f f f f
f
Þ Max = 4, Min = 49
8
-Câu II: 1) ĐKXĐ: x> -1,mx>0 Như trước hết phải có m¹0 Khi đó, PT Û mx=(x+1)2Ûx2+ -(2 m x) + =1 0 (1)
Phương trình có:
4
D=m - m
à Vi mẻ(0; 4) ị D < ị (1) vơ nghiệm
· Với m=0, (1) có nghiệm x= -1< Þ loại
· Với m=4, (1) có nghiệm x = thoả ĐKXĐ nên PT cho có nghiệm
http://kinhhoa.violet.vn
· Với m<0, ĐKXĐ trở thành - < <1 x Khi D>0 nên (1) có hai nghiệm phân biệt
( )
1, 1<
x x x x Mặt khác, f( 1)- = <m 0, (0) 0f = > nên x1< - <1 x2<0, tức có x2 nghiệm phương trình cho Như vậy, giá trị m<0 thoả điều kiện toán
· Với m>4 Khi đó, điều kiện xác định trở thành x > (1) có hai nghiệm phân
biệt x x1, 2 (x1<x2) Áp dụng định lý Viet, ta thấy hai nghiệm dương nên giá trị m>4cũng bị loại
Tóm lại, phương trình cho có nghiệm v ch khi: mẻ -Ơ( ;0)ẩ{ }4 2) ĐKXĐ:
2
p
¹k
x cho sin 2x³0
Khi đó, VT = 3 2
sin x+cos x+sin xcosx+cos xsinx
= 2
(sinx+cos )(sinx x-sin cosx x+cos x)+sin cos (sinx x x+cos )x = sinx+cosx
PT Û sin cos 2sin sin cos 20
(sin cos ) 2sin (1)
+ ³
ì
+ = Û í
+ =
ỵ
x x
x x x
x x x
(1) Û sin 2+ x=2sin 2xÛsin 2x= >1( 0) Û 2
2
p p p p
= + Û = +
x k x k
Để thoả mãn điều kiện sinx+cosx³0, nghiệm là:
p p
= +
x k Câu III: Ta có:
2
2 1 1
3 4
- + = - + + - =
+ - - +
-x x
e x x e x
x
x x x x
=
2
1 1
3
- + +
+
-x
x e x
x x x =
2
2
1 1 ( )
(3 4) (2 )
æ - + + - + + +
ỗ ữ
+ - +
è ø
x
x e x x x
x x x x
=
( )
2
2
2 ( )
2
2
1
ỉ - - + + +
ỗ + ữ
ỗ + + ÷
-è ø
x
x e x x x
x x x
x x =
2
2
2
2
1
ổ - - + + +
-ỗ + ÷
+
+ +
è ø
x
e x x
x x
x
Þ
0
2
lim ( 2).4
3
®
- + = - - + =
+
-x
x
e x
(3)Câu IV: Ta có: 2 2 2 2
10 ; ; 13 ;
= = + = = + = = +
CD AC AD DB AD AB BC AB AC
Do tứ diện ABCD có ba mặt ba tam giác vuông đỉnh A
Lấy điểm E, F, G, H cho đa diện ABEC.DGHF hình hộp chữ nhật Hiển nhiên, mặt cầu ngoại tiếp tứ diện mặt cầu ngoại tiếp hình hộp Tâm mặt cầu trung điểm I đoạn AH, bán kính 1 22 32 12 14
2 2
= = + + =
R AH
Câu V: Đặt 2
( )= + +3 (3- ) +5
f x x x Þ
2
3 ( )
3 (3 )
-¢ = +
+ - +
x x
f x
x x
2
2
2
( ) 14 (3 )
2 18 27
£ £ ì
¢ = Û - + = - + Û í
+ - =
ỵ
x
f x x x x x x
x x
Phương trình thứ hai có D'=81 54 135+ = =9.15, hai nghiệm: 1,2 15
2 - ± =
x
Dễ kiểm tra hai nghiệm bị loại nhỏ Vậy, đạo hàm hàm số i du trờn [2;Ơ), ngoi f Â(3)>0 nờn f ¢( )x > " ³0, x Do đó, giá trị nhỏ
nhất f x( ) f(2)= 7+ Cng d thy lim ( )
đƠ = ¥
x f x Từ suy ra: hệ phương trình cho có nghiệm (với x³2) m³ 6+
Câu VI.a: 1) Điểm D(d;0) thuộc đoạn BC chân đường phân giác góc A
http://kinhhoa.violet.vn
khi
( ) ( )
2
2
2
9
1 3
4
4 4 1 3 1.
2 4 3
ổ + -ỗ ữ
- è ø
= Û = Þ - = - Þ =
- +
-d
DB AB
d d d
DC AC d
Phương trình AD:
3
+
-= Û + - =
-x y
x y ; AC: 3
4
+
-= Û + - =
-x y
x y
Giả sử tâm I đường trịn nội tiếp có tung độ b Khi hồnh độ 1- b bán kính cũng b Vì khoảng cách từ I tới AC phải b nên ta có:
( )
2
3
3
3
- +
-= Û - -= +
b b
b b b Þ
4
3
3
2 é = Þ = -ê
ê
ê - = - Þ = êë
b b b
b b b
Rõ ràng có giá trị
2 =
b hợp lý Vậy, phương trình đường tròn nội tiếp DABC
là:
2
1 1
2
æ - +ổ - =
ỗ ữ ỗ ữ
èx ø èy ø
2) Mặt phẳng P’ qua đường thẳng d’ có phương trình dạng:
m(2x+3y+11) (+n y-2z+7)= Û0 2mx+(3m+n y) -2nz+11m+7n=0
Để mặt phẳng qua M, phải có: m( 15 11)- - + + - - +n( 7)= Û = -0 n 3m
Chọn m=1,n= -3, ta phương trình P’: 2x+6z-10=0
Đường thẳng d” qua A(2; 1;1- ) VTCP urm=(2;3; 5)- Mặt phẳng P” qua M d” có hai VTCP mur uuurMA(6; 4; 2- ) rn(3; 2; 1- ) Vectơ pháp tuyến P” là:
3; 5, 5; 2;3, (7; 13; 5) 2; 1;3 3;
ổ - -
=ỗ ữ= -
-è ø
ur
p
(4)Đường thẳng d phải giao tuyến P’ P” nên có phương trình: 10
7 13 29
+ - =
ì
í - - - =
ỵ
x z
x y z
Câu VII.a: Điều kiện: n³3
Theo giả thiết thì: n+3 (n n- +1) n n( -1)(n-2)=9n2-14n Û n2-9n+14= Û0 n =
Câu VI.b: 1) Giả sử M x y( ), điểm thuộc elip Vì bán trục lớn elip 0, = =c =
a e
nên ta có: 2 2
1+ 2=10Û ( +1) +( -1) + ( -5) +( -1) =10
MF MF x y x y
Û
2
( 2) ( 1)
1
25 16
- + - =
x y
2) Mặt phẳng Q qua d có phương trình dạng: m x( -2z) (+n 3x-2y+ +z 5)=0
Û (m+3n x) -2ny+ -( 2m+n z) +5n=0
(Q) ^ (P) Û 1.(m+3 )n - -2( ) 1.( 2n + - m+n)= Û - +0 m 8n=0 Chọn m = 8, n = 1, ta phương trình Q: 11x-2y-15z+ =5
Vì hình chiếu d’ d P giao tuyến P Q nên phương trình d’ là:
11 15
- + + =
ì
í - - + =
ỵ
x y z
x y z
Câu VII.b: Ta chứng minh 2n+ 2n -n k n k
C C giảm k tăng, tức là: 2n+ 2n- > 2n+ +1 2n- -1
n k n k n k n k
C C C C (3)
http://kinhhoa.violet.vn
Thật vậy, ta có chuỗi biến đổi tương đương sau đây:
( ) ( )
( ) ( ) (( ) () ( ))
2 ! ! ! !
(3)
! ! ! ! ! ! ! !
2
1
1
+ - + +
-Û >
+ - + +
+ +
Û > Û + > +
- + + - + +
n k n k n k n k
n n k n n k n n k n n k
n k n k n n
n k n k n k n k
Bất đẳng thức cuối hiển nhiên; từ suy (3) Do đó, 2n+ 2n
-n k n k