(cột) khác đã nhân thêm một số khác không.[r]
(1)(2)số thực (phức) viết thành m hàng n cột sau:
11 12
21 22
1
n n
m m m n
a a a
a a a
a a a
(3)11 12 1
21 22 2
1 2 j n j n
i i ij in
m m mj mn
a a a a
a a a a
a a a a
a a a a
Hàng thứ i
Cột thứ Cột thứ j aij: Phần tử nằm hàng i cột j
aij
(4)1 0 2
3 1.5 5
A
2 8 6
2 9 0
0 7 2
B
23
33
đường chéo
(5)1 Ma trận không: aij 0, , i j
Ví dụ:
0 0 0 0
O
(6)2 Ma trận vuông: m = n.
Ví dụ:
0 8 1 3
; 4 2 0
2 7
5 2
(7)3 Ma trận chéo: ma trận vuông có:
ij 0, .
a i j
(các phần tử ngồi đường chéo = 0)
Ví dụ:
2 0 0
11
22
0
0
0 nn
a
a
a
(8)4 Ma trận đơn vị: ma trận chéo có:
1, 1, 2, ,
ii
a i n
Ký hiệu: I, In
Ví dụ:
2
1 0
1 0
, ,
0
0
0
n
I I I
(9)5 Ma trận tam giác: ma trận vng có
0, .
ij
a i j
Ví dụ: 1 2 5 4
0
0
0 0
(tam giác trên)
0, .
ij
a i j (tam giác dưới)
2 0 0 2
(10)6 Ma trận hình thang: ma trân cấp mn có:
0, .
ij
a i j
có dạng sau:
11 12 1
22 2
0
0 0 0
r n
r n
r r r n
a a a a
a a a
a a
Khi: a a a11 22 33 a r r
(11)1 3 0 0 0 0 0 0 0
(12)7 Ma trận cột:là ma trận có n=1.
Ma trận cột có dạng:
11 21
1
:
i m
m
a a
a a
(13)8 Ma trận hàng: ma trận có m=1.
Ma trận hàng có dạng:
(14)9 Ma trận nhau:
ij m n ij mn ij ij , ,
A a b B a b i j
10 Ma trận chuyển vị: cho ma trận
A=[aij]mn, ma trận chuyển vị ma trận A ký hiệu: AT xác định AT=[b
ij]nm với
bij=aji với i,j
(15)Ví dụ:
11 12 11 21
21 22 12 22
1 2
n m
n T m
m m mn m n n n n m n m
a a a a a a
a a a a a a
A A
a a a a a a
2 7
(16)11 Đa thức ma trận:
Cho đa thức
và ma trân vng
Khi đó:
(trong ma trận đơn vị cấp với ma trân A)
[ ]ij n
A a
1
0
( ) n n
n n
P x a x a x a
1
0
( ) n n
n n n
P A a A a A a I
n
(17)Ví dụ:
Cho
2( )
P x x x
và ma trận
0 A
Khi đó:
2
2
( )
1 2
3
0 3
P A A A I
(18)1 Phép cộng hai ma trận:
ij m n ij mn ij ij mn
a b a b
1
3
Ví dụ:
1
1+ 0=11
2
2+3=55 -1
(19)2 3 3 3 4 2
1 4 6 1 2
4 2 0 6 2
?
5
?
? -1
(20)) )
) ( ) ( )
i A B B A ii A O A
iii A B C A B C
trận cấp, đó:
Ví dụ:
4 7
3
(21)2 Phép nhân số với ma trận:
ij mn . ij mn ,
a a
R.
Ví dụ:
3 2
2
2.3=66 2.(-2)=-4 -2
2
-4
14
2.0=0 10
0 -4
(22)2 3 3 4 0
5 1
?
0 15
-9 12
(23)cùng cấp,
) ( )
) ( )
) ( ) ( )
)
i A B A B
ii A A A
iii A A
iv A A
(24)1 3 3 9 6 18
2 3 2
5 2 15 6 30 12
1 3 1 3 6 18
(2.3) 6
5 2 5 2 30 12
(25)1 6 ( 1)
4 5
( 1)
A B A B
1 5
4 3
(26)2 4 1 3 2
3 7 2 4
2+(-2).1=0
(27)3 Phép nhân hai ma trận: Cho hai ma trận
Khi ma trận gọi tích hai ma trận A, B Trong đó:
; ,
mp pn
A B
[ ]
mp pn ij mn
A B c
1 2 , 1, ; 1,
ij i j i j ip pj
c a b a b a b i m j n
1
i
a ai2 aip Hàng thứ i ma trận A.
1 j
b b2 j bpj Cột thứ j ma trận B. Như = hàng thứ i ma trận A nhân tương ứng với cột thứ j ma trận B cộng lại.ij
(28)33 32 32
3 2 1 1 2
0 1 4 3 0
2 3 0 4 1
3
.3 +2 +1
.4
=1313
=
=3.2+2.0+1.(-1)=55
3
-1
(29)33 32 32
3 1 13
0
2
=0.1+(-1).3+4.4=13
Hàng
Cột
13
Hàng =0.2+1.0+4.(-1)=-4-4
(30)2 4 1
1 4 2
2 3 0
1 4
3 5 1
23
33
23
16
(31)1 2 3 3 1
0 4 2 2 0
5 1 1 6 3
(32)1 4 10 1 AB BA
(33)phù hợp để tồn ma trận tích
) ( ) ( )
) ( )
) ( )
) ( )
i A BC AB C
ii A B C AB AC
iii A B C AC BC
iv AI A IA A
(34)1 5
7
1 5 1 5
7 7
17 19 10 15
20 37
(35)1 0
8
3 0
1 0 7
0 8
0 3
AI A
IA A
(36)Tính f(A)? 1 4
Ta
có:
2
2
( )
3 5
3
1 4
3 5 15
1 4 12
14 35 15 18 50
f A A A I
(37)và ma trận Tính f(A) =?
1 3 0
A
(38)1 3 0 4 3 4 0 0 0 0
3
0 14 26 14 32 0
(39)( ) 2 3 1 5
, ( ) ? 0 4
f x x x
A f A
2
2
( ) 2 3
f A A A I
1 5
( )
0 4 f A
4 15
0
(40)2 0
3 ;
4 5
A B
(41)1 Nhân số khác không với hàng
(cột) ma trận Ký hiệu:
2 Đổi chỗ hai hàng (cột) ma trận Ký
hiệu:
3 Cộng vào hàng (cột) với hàng
(cột) khác nhân thêm số khác không Ký hiệu:
i
h
A B
i j h h
A B
i j
h h
(42)thang
2 ( 2)
1 1
2 1
4
1
h h
?=1+(-2)1=-1 -5
? -1
Ta làm cho phần
đường chéo =
0
3
h h 9 10 -1
0
4 1
h h
8
Ta lặp lại cho
phần ma trận
(43)2 ( 2)
2 1
4 10
1
h h h h h h
1 0 0
3
h h
-35 26
4
h h
-35 26
4 ( 1)
1
0
0 35 26
0 0
h h
(44)thang:
0 2 3
2 3
h h
2h ( 3)h
2
0
0
2
0
0
2h 3h
(45)thang:
3
h h
1
2
4
3
1 2 1 0
0 0 0
2
h h
4
h h
-1
-7
6
3
h h
4
(46)1 0 0 35 0 14 37
4 8h 14h
1
0
0 35
0 0 194
(47)thang:
3
h h
1
3
2
0
1 1 2 3
0 0 0
2
(48)2 6
3 2 1
4 3 5 5
x y z
x y z
x y z
1
3
4 5
1
0 19
0 38 38
(49)