Hoûi coù bao nhieâu caùch haønh laäp 1 ñoaøn goàm 8 nhaø khoa hoïc trong ñoù coù ít nhaát 1 nhaø Toaùn hoïc.. Baøi 21: Coù bao nhieâu soá töï nhieân:?[r]
(1)Chủ đề I : Phương trình lượng giác bản I Tóm tắt lí thuyết
1 Phương trình sinx = a (1) * |a| > 1: PT (1) vô nghiệm * |a| 1: PT (1) có nghiệm
+ a giá trị đặc biệt(0, 1, 2, 3,
2 2
)
; : sin
2 a
Khi đó, (1) trở thành
sinx = sin ,
( ) ,
x k k
x k k
+ a không giá trị đặc biệt:
(1) arcsin , ( arcsin ) ,
x k k
x k k
Mở rộng:
sinf(x) = sin ( ) ,
( ) ( ) ,
f x k k
f x k k
( ) ( ) ,
sinf(x)= sin ( )
( ) ( ( )) ,
f x g x k k
g x
f x g x k k
3 Phương trình tanx = a (3)
Ñk: ,
2
x k k
+ a giá trị đặc biệt(0, , 1, 3
)
( ; ) : n
2 ta a
Khi đó, (3) trở thành tanxtan x k k,
+ a không giá trị đặc biệt: (3) xarctank k, Mở rộng :
tan ( ) tanf x f x( ) k k, tan ( ) tan ( )f x g x f x( )g x( )k k,
2 Phương trình cosx = a (2) * |a| > 1: PT (2) vô nghiệm * |a| 1: PT (2) có nghiệm
+ a giá trị đặc biệt(0, 1, 2, 3,
2 2
)
0; : cos a
Khi đó, (2) trở thành cosx = cos x k2 , k
+ a không giá trị đặc biệt:
(2) xarccos k2 , k Mở rộng:
cosf(x) = cos f x( ) k2 , k cos ( ) cos ( )f x g x f x( )g x( )k2 , k 4 Phương trình cotx = a (4)
Ñk: x k k ,
+ a giá trị đặc biệt(0, , 1, 3
)
(0, ) : cot a
Khi đó, (4) trở thành cotxcot x k k,
+ a không giá trị đặc biệt: (4) xarc cotk k, Mở rộng :
cot ( ) cotf x f x( ) k k, cot ( ) cot ( )f x g x f x( )g x( )k k,
* Lưu ý:
Trong công thức nghiệm PTLG không dùng đồng thời đơn vị độ rađian Trong công thức nghiệm PTLG( sử dụng hàm ngược arcsin, arccos….) dùng đơn vị rađian II Bài tập:
Giải phương tình sau: sinx =
2
2 sinx =
-2 sinx =
1 sinx =
4
(2)5 sin(x+ ) = -1
cosx = 7.cosx =
3 cosx = cos(5x+ ) = cos5
6 x
10.cos(5x-3) = cos 2x 11 sin3x + sin5x = 12 sin
cos
x
x 13 (2 + cosx)(3cos2x-1) = 14 cos3x – sin2x = 15 tanx = -1 16 tan3x =
3 17 tan(2x 3) tanx
18 tan(x 13 ) tan170
19 cotx 20 (cot3x+1).sinx = 21 tanx tan2x = -1 22 cot(4- 3x) = cot(2x+4) 23 sin
2 x
=-24 sin sin
x 25.sin
x 26 sin
x 27.
3 sin(3 )
6
x 28 sin(3x15 ) sin(750 0 x) 29.sin 3xsinx0 30 sin 2x cosx0 31 sinx+cos 2x=0 32.cosx=-
33.cos cos
x 34.cos
x 35.cos
x 36
1 cos(2 )
3
x 37 cos(x30 ) cos(600 0 )x 38 cos sin
6
x x
39
cos 2x sinx0 40 cos cos
3 x x
p
ổ ửữ
ỗ - ữ+ =
ỗ ữ
ỗố ứ 41 tanx tan
42
3 tan
3
x 43 tan
6
x
44.tanx
45 tan(2 )
x 46.tan(x 15 ) tan( 30 )0 47 tan 2sin
x+ p= 48
cot cot
x 49.cotx 3 50.cot
3 x
51.cotx 52 cot(2 )
x 53.cot(x45 ) cot(30 )0 54
cot( ) 2cos
3
x 55 sin3x + cos2x = 56 sin2x =
57
os
c x 58 sin 22 sin 32
x x 59 sinx.cosx= 1sin 3x 60.sin osx.cos2x.cos4x 1sin
8
x c x
Chủ đề II : Phương trình lượng giác thường gặp. I Tóm tắt lí thuyết:
PT bậc hslg: at+b = ( 1) (a, b: số, a 0, t: hàm lg) PP giải: Đưa ptlg để giải ( (1) t= -b
a
)
PT bậc hslg: at + bt + c = 2 ( 1) (a, b, c: số, a 0, t: hàm lg)
(3)- Trả lại cách đặt ban đầu để tìm nghiệm
PT bậc sinx cosx : asin2 x bsin cosx x ccos2x d
(1)
PP giaûi: (1) (a d)sin2 x bsin cosx x (c d) cos2x 0 (1')
* (a-d)(c-d) = 0: Đưa (1’) tích pt bậc đv hslg giải *(a-d)(c-d) 0:
+ cosx = 0: không thỏa pt(1’)
+ cosx 0: chia vế (1’) cho cos x2 đưa pt bậc theo tan x giải PT bậc sinx cosx: asinx + bcosx = c (2)(a2 b2 0)
PP giaûi:
2 2 2
2
(2) sin cos
cos sin sin cos
a b c
x x
a b a b a b
c
x x
a b
sin(x ) 2c 2
a b
( pt lg bản) * Lưu ý: asinx + bcosx = c có nghiệm 2
c a b asinx + bcosx = c vô nghiệm 2
c a b Một số công thức LG thường dùng:
2
2
2
2
2
1
sin cos tan cot cot
tan
sin 2sin cos sin cos sin
2 tan
tan
1 tan
cos cos sin (cos sin )(cos sin )
1 cos
2cos cos
2 cos
1 2sin sin
2
sin cos 2.sin( ) 2.c
4
x x x x x
x
x x x x x x
x x
x
x x x x x x x
x
x x
x
x x
x x x os( )
4
sin cos 2.sin( ) 2.cos( )
4
x
x x x x
II Bài tập:
Bài 1: Giải phương trình sau:
a 2sinx 0 b 2 cos x0 c tan
x d cotx -3 = 0 Bài 2: Giải phương trình sau:
a
2sin x3sinx 1 c tan2x 3 b
cos 2x cos 2x 4 d 2cot2x 5cotx 3
e
2sin x 1 f 2sin2x4sinx 1
(4)g cos 22 4 0
x h 2cot (2 ) 0
5
x i 3tan 52 10 t an5x+3 0
x j 2 cos 22 7 cos 2 3 0
x x
Bài 3: Giải phương trình sau:
a sin2x (1 3)sin cosx x 3 cos2 x 0
c sin2x 6sin cosx xcos2x2 b 4sin2 x 4sin cosx x 3cos2x 1
d 6sin2x7 sin cosx x 8cos2 x6 Bài 4: Giải phương trình sau:
a cosxsinx c 2sin 2x cos 2x10 b 5cos 2x12sin 2x13 d sin 3x cos 3x1 e sinx + cosx = f 3sinx + 4cosx = Bài 5: Giải phương trình sau:
a sinx +sin2x = c tan2x -2tanx =
b 8sin2x.cos2x.cos4x + 2= d cos3x – cos4x + cos5x = Bài 6: Giải phương trình sau:
a 2cos2 x 7 sinx 5 0
c tanxcotx 1 0 b cos2x – 2cosx – = d
2 cos xsin x
Bài 7: Giải phương trình sau:
a 3sinx + 4cosx = b sin cos cos 2x x xsin 8x
c 4cos 22 x 2( 1) cos 2x 3 0
d cosx – sinx = cos2x
e 2
4sin x3 sin 2x 2cos x4 f cos2x 3sin cosx x1 g cosx sinx cos3x h cos2x +3sinx =
i cos cos x
x j tan3x tanx0 k tan5x – tanx = l 2tanx -3cotx -2 =
m
sin sin
x x n cos2 x sinx 1 0
p 3sin2x + 4cos2x = q.4cos2 1sin 3sin2 3
2 2
x x
x
r cot2
2 3 x
s tan 12 12
x
t 2
25sin x15sin 2x9cos x25 u 2.sinx + cosx = v sinx + 1,5.cotx = w tan2x tan3x = Baøi 8: Cho phương trình : 3sinx - 4cosx = m
a Giải phương trình m =
b, Định m để phương trình có nghiệm
Bài : Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
a msin3x - cos3x = m+1 b (2m-1).cos3x + m son3x = m-1 Bài 10 : Với giá trị k phương trình sau vơ nghiệm : (k+1).sinx – k.cosx = 2k
(5)1.Quy tắc cộng: công việc thực 1 hành động.
HĐ 1: có m cách thực HĐ 2: có n cách thực
Như vậy, có (m+n) cách hồn thành cv
2.Quy tắc nhân: công việc thực bởi 2 hành động liên tiếp.
HĐ 1: có m cách thực HĐ 2: có n cách thực
Như vậy, có m.n cách hoàn thành cv II Bài tập:
Bài 1: Lớp 11B trường NCP gồm 25 HS nam 30 HS nữ Hỏi có cách chọn HS dự ĐH đồn trường?
Bài 2: HS có áo quần Hỏi HS có cách chọn quần áo để học? Bài 3: Để làm hồ sơ thi đại học, HS cần thực công việc:
Thứ : chọn trường ( có tất 50 trường) Thứ hai : chon khối thi ( có khối thi A, B , C , D) Hỏi có cách làm hồ sơ thi?
Bài 4: Mọi HS tốt nghiệp THPT có quyền dự thi vào trường ĐH ( có 50 trường) trường CĐ ( có 45 trường) trường THCN ( có 40 trường) Hỏi HS TN THPT có cách chọn trường để thi biết HS chọn trường
Bài 5: bé mang họ cha Nguyễn họ mẹ Trần; chữ lót Văn, Hữu, Hồng, Bích, Đình; cịn tên Nhân, Nghĩa, Trí, Đức, Ngọc Hỏi có cách đặt tên cho bé?
Bài 6: Có đường từ Hành Dũng đến TT Chợ Chùa; đường từ TT Chợ Chùa đến H.Đức a Hỏi có đường từ H.Dũng đến H.Đức mà phải qua TT Chợ Chùa?
b Hỏi có nhiêu đường từ H.Dũng đến H.Đức quay lại H.Dũng mà phải qua TTCC? Bài 7: Cho A= {1, 2, 3, 4, 5, 6} Hỏi lập số:
a Gồm chữ số lấy từ tập A?
b Gồm chữ số khác lấy từ tập A?
a Gồm chữ số lấy từ tập A số phải chia hết cho 2? Chủ đề IV: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp. I Tóm tắt lí thuyết:
1.Hốn vị:
* Sắp xếp n phần tử vào n vị trí hốn vị
* Số hoán vị:
! ( 1)( 2) 2.1
n
P n n n n
!
n : đọc n giai thừa
2.Chỉnh hợp:
* Lấy k ptử từ n ptử (kn) sx thứ tự( hay phân công nhiệm vụ) cho k ptử đgl chỉnh hợp chập k n ptử
* Số chỉnh hợp: !
(1 )
( )! k
n
n
A k n
n k
3.Tổ hợp:
* Lấy k ptử từ n ptử (kn) (không sx thứ tự, không phân công nhiệm vụ) cho k ptử đgl tổ hợp chập k n ptử
* Số tổ hợp: !
(1 )
!.( )! k
n
n
C k n
k n k
* Quy ước: 0! = * Nếu n = k k n
n n n
A A P
* Tính chất số k n
C :
(0 )
k n k
n n
C C k n
11 (1 )
k k k
n n n
C C C k n
II Bài tập:
Bài 1: Có cách xếp HS vào dãy ghế gồm chỗ ngồi?
(6)Bài 2: Có cách chọn HS từ 50 HS lớp 11B để 1HS làm lớp trưởng, 1HS làm LPHT ø 1HS làm BT ?
Bài 3: Có cách chọn HS từ 50 HS lớp 11B để dự ĐH đoàn trường ? Bài 4: Trong hộp đựng 10 viết Hỏi có cách lấy viết ?
Bài 5: Trong họp có 15 người, lúc chia tay mõi người bắt tay với người cịn lại Hỏi có bắt tay?
Bài 6: tổ có 12 HS hỏi có cách chọn HS để trực nhật Trong HS thực công việc : quét lớp, lau bảng xếp bàn ghế
Bài 7: Từ tập A= {1, 2, 3, 4, 5} lập số gồm chữ số khác nhau? Bài 8: lớp gồm 50 HS Hỏi có cách chọn HS để kiểm tra ?
Bài 9: Trên mặt phẳng cho điểm( khơng có điểm thẳng hàng) Hỏi lập tam giác có đỉnh điểm nói ?
Bài 10: Thực đơn gồm 10 ăn, loại hoa quả, loại nước uống Hỏi có cách chọn thực đơn bữa ăn gồm: ăn, loại hoa loại nước uống ?
Bài 11: Trong chạy đua có 12 ngựa cùn xuất phát Hỏi có khả xếp loại: a ngựa đầu tiên?
b ngựa nhất, nhì, ba?
Bài 12: lớp gồm 25 HS nam 30 HS nữ Hỏi có cách chọn HS nam HS nữ để Tham gia chiến dịch mùa hè xanh ?
Bài 13: Có cách từ thành phố A đến B Hỏi có cách từ A đến B quay A ? Bài 14: Nhân dịp 20 -11 lớp 11 chuẩn bị bó hoa màu hồng, bó hoa màu vàng bó hoa đủ
màu để tặng thầy Hỏi có cách chọn bó hoa để tặng GVCN ? Bài 15: Trong lớp 12C có HS giỏi Tốn, HS giỏi Lí, HS giỏi Hóa Hỏi có cách chọn
1 đội tuyển gồm HS ( HS môn)?
Bài 16: Khoa ngoại bệnh viện gồm 40 bác sĩ Hỏi có cách thành lập kíp mổ gồm người mổ phụ mổ?
Bài 17: đội bóng gồm 11 cầu thủ Hỏi có xếp cầu thủ đá luân lưu ?
Bài 18: Một hội đồng quản trị công ty A gồm nam nữ Hỏi có cách lập ban thường trực gồm 3nam nữ ?
Bài 19: đề trắc nghiệm gồm 10 câu, câu có phương án trả lời Hỏi thi có phương án trả lời ?
Bài 20: tập thể khoa học gồm nhà Toán học 10 nhà Vật lí Hỏi có cách hành lập đoàn gồm nhà khoa học có nhà Tốn học ?
Bài 21: Có số tự nhiên:
a Gồm chữ số ? b Gồm chữ số khác ?
c Gồm chữ số chia hết cho 5? d Gồm chữ số khác chia hết cho 5? e Gồm chữ số chia hết cho 2? f Gồm chữ số khác chia hết cho 2? Bài 22: Thập giác lồi có đường chéo ?
Bài 23: Cho tập A= { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} Hỏi lập số : a Gồm chữ số? b Gồm chữ số khác ?
c Gồm chữ số chia hết cho 5? d Gồm chữ số khác chia hết cho 5? e Gồm chữ số chia hết cho 2? f Gồm chữ số khác chia hết cho 2? g Gồm chữ số nhỏ 345 ?
(7)a A7 b A6 c A9 d A11
e
C f
C g
C h 13 C
i 3
C C j
A C k
15 12 10
A A C l.C2523 C1513 3.C107 Bài 25: Giải phương trình sau :
a 20
n
A n b.An5 18An42 c.An2 A1n 3 d 10 9
n n n
A A A e An2 An13 f
n n n
C C C n
g m! ((mm1)!1)! 16
h
2
14 14 14
k k k
C C C
k Cn6 Cn4 (n )
Chủ đề V: Nhị thức Niuton. I Tóm tắt lí thuyết:
* Cơng thức nhị thức Niuton:
0 1 2 2 2 1
( )n n n n k n k k n n n n n n
n n n n n n n
a b C a C a b C a b C a b C a b C ab C b
(1)
* Hệ quả:
0 2
2n k n n n
n n n n n n n
C C C C C C C
0
0 ( 1)k k ( 1)n n
n n n n n
C C C C C
* Số hạng tổng quát khai triển (1) là: k n k k (0 ) n
C a b k n
II Bài tập:
Bài 1: Tìm hệ số
x khai trieån :
a 2 x12 b 1 2 x10
Baøi 2: Tìm hệ số
x khai triển :
a
11
1
x x b
8
1
x x Bài 3: Tìm số hạng khơng chứa x khai triển :
a
10
1
x x b
6
1
x x Bài 4: Biết hệ số
x khai triển 1 3 xn 90 Hãy tìm n ?
Bài 5: Biết tổng hệ số khai triển 1 2 xn 729 Hãy tìm n ?
Bài 6: Biết tổng hệ số khai triển 1 3
n x
x laø 1024 Tìm hệ số
6
x khai triển ?
Bài 7: Tìm hệ số x y25 10 khai trieån
15
x xy
Bài 8: Tìm hệ số
x khai triển :
a x14x15x16x17 b 2x143x154x165x17 Bài 9: Tìm số hạng có số mũ x gấp đôi số mũ y khai triển
28
y x
x Chủ đề VI: Biến cố – Xác suất biến cố.
(8)I Tóm tắt lí thuyết:
1 Khơng gian mẫu: tập hợp kết xảy phép thử( kí hiệu : )
2 Biến cố: tập hợp không gian mẫu (kí hiệu : A, B…)
3 Biến cố đối biến cố A A\A Biến cố A B xảy ra A B xảy Biến cố A B xảy ra A B xảy NếuA B thì A B đgl bcố xung khắc Hai biến cố A, B đgl độc lập xảy biến cố không ảnh hưởng đến xảy biến cố
8 bcố A, B độc lập xảyra kí hiệu A.B
1.Xác suất biến cố A là: P(A)= ( ) ( ) n A n Trong đó, n(A) : số phần tử biến cố A n( ) : số phần tử kgian mẫu P( ) 1 P A( ) 1 P A( )
3 Neáu A B xung khắc :
P A B( )P A( )P B( ) Nếu A B độc lập :
P A B( )P A P B( ) ( )
II Bài tập:
Bài 1: Gieo súc sắc cân đối, đồng chất quan sát số chấm xuất a Xây dựng khơng gian mẫu
b Xác định biến cố :
A:” xuất mặt chẵn chấm” B:” xuất mặt lẻ chấm”
C:” xuất mặt có số chấm không nhỏ 3” c Tính xác suất biến cố
d Trong biến cố tìm biến cố xung khắc ?
Bài 2: Từ hộp đựng 15 bi đen bi trắng có kích thước Bốc ngẫu nhiên viên Tính xác suất để : a bi trắng ? b bi đen ?
Bài 3: Gieo đồng tiền lần quan sát xuất mặt sấp (S), ngửa (N) a Xây dựng khơng gian mẫu
b Xác định biến cố :
A:” Lần gieo đầu xuất mặt sấp” B:” Cả lần xuất mặt nhau” C:” Có lần xuất mặt sấp” D:” Có lần xuất mặt sấp” Bài 4: Gieo súc sắc lần Quan sát số chấm xuất
a Xây dựng khơng gian mẫu
b Xác định biến cố A:” Tổng số chấm lần gieo nhau” c Tính xác suất biến cố A
Bài 5: Gieo súc sắc lần Quan sát số chấm xuất a Xây dựng không gian mẫu
b Xác định biến cố :
A:” Tổng số chấm lần gieo 6”
B:” Số chấm lần gieo thứ tổng số chấm lần gieo thứ 3” Bài 6: lô hàng gồm 50 sản phẩm, có 20 sp khơng chất lượng Chọn ngẫu