HỆ THỐNG KIẾN THỨC cơ bản TOÁN

Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN Mơn : Hình Học - THCS  Điểm - Đường thẳng - Người ta dùng chữ in hoa A, B, C, để đặt tên cho điểm - Bất hình tập hợp điểm Một điểm hình - Người ta dùng chữ thường a, b, c, m, p, để đặt tên cho đường thẳng (hoặc dùng hai chữ in hoa dùng hai chữ thường, ví dụ đường thẳng AB, xy, ) - Điểm C thuộc đường thẳng a (điểm C nằm đường thẳng a đường thẳng a qua điểm C), kí hiệu là: C �a - Điểm M không thuộc đường thẳng a (điểm M nằm ngồi đường thẳng a đường thẳng a khơng qua điểm M), kí hiệu là: M �a Ba điểm thẳng hàng - Ba điểm thuộc đường thẳng ta nói chúng thẳng hàng - Ba điểm khơng thuộc đường thẳng ta nói chúng không thẳng hàng Đường thẳng trùng nhau, cắt nhau, song song - Hai đường thẳng AB BC hình vẽ bên hai đường thẳng trùng - Hai đường thẳng có điểm chung ta nói chúng cắt nhau, điểm chung gọi giao điểm (điểm E giao điểm) - Hai đường thẳng khơng có điểm chung nào, ta nói chúng song song với Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 nhau, kí hiệu xy//zt Khái niệm tia, hai tia đối nhau, hai tia trùng - Hình gồm điểm O phần đường thẳng bị chia điểm O gọi tia gốc O (có hai tia Ox Oy hình vẽ) - Hai tia chung gốc tạo thành đường - Hai tia chung gốc tia nằm thẳng gọi hai tia đối (hai tia gọi hai tia trùng tia Ox Oy hình vẽ hai tia đối - Hai tia AB Ax hai tia trùng nhau) Đoạn thẳng, độ dài đoạn thẳng - Đoạn thẳng AB hình gồm điểm A, điểm B tất điểm nằm A B - Mỗi đoạn thẳng có độ dài Độ dài - Hai điểm A B hai mút (hoặc hai đoạn thẳng số dương đầu) đoạn thẳng AB Khi AM + MB = AB ? - Nếu điểm M nằm hai điểm A B AM + MB = AB Ngược lại, AM + MB = AB điểm M nằm hai điểm A B Trung điểm đoạn thẳng - Trung điểm M đoạn thẳng AB điểm nằm A, B cách A, B (MA = MB) - Trung điểm M đoạn thẳng AB cịn gọi điểm đoạn thẳng AB Nửa mặt phẳng bờ a, hai nửa mặt phẳng đối - Hình gồm đường thẳng a phần mặt phẳng bị chia a gọi nửa mặt phẳng bờ a - Hai nửa mặt phẳng có chung bờ gọi hai nửa mặt phẳng đối (hai nửa mặt phẳng (I) (II) đối nhau) Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Góc, góc bẹt - Góc hình gồm hai tia chung gốc, gốc chung hai tia gọi đỉnh góc, hai tia hai cạnh góc � � - Góc xOy kí hiệu xOy O �xOy - Điểm O đỉnh góc - Hai cạnh góc : Ox, Oy - Góc bẹt góc có hai cạnh hai tia đối 10 So sánh hai góc, góc vng, góc nhọn, góc tù - So sánh hai góc cách so sánh số đo chúng - Hai góc xOy uIv kí hiệu � � là: xOy  uI v - Góc xOy nhỏ góc uIv, ta viết: �  uI � v � uI � v  xOy � xOy - Góc có số đo 900 = 1v, góc vng - Góc nhỏ góc vng góc nhọn - Góc lớn góc vng nhỏ góc bẹt góc tù � � � 11 Khi xOy  yOz  xOz - Nếu tia Oy nằm hai tia Ox Oz � � � xOy  yOz  xOz � � � - Ngược lại, xOy  yOz  xOz tia Oy nằm hai tia Ox Oz 12 Hai góc kề nhau, phụ nhau, bù nhau, kề bù Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 - Hai góc kề hai góc có cạnh chung hai cạnh lại nằm hai nửa mặt phẳng đối có bờ chứa cạnh chung - Hai góc phụ hai góc có tổng số đo 900 - Hai góc bù hai góc có tổng số đo 1800 - Hai góc vừa kề nhau, vừa bù gọi hai góc kề bù 13 Tia phân giác góc - Tia phân giác góc tia nằm hai cạnh góc tạo với hai cạnh hai góc � � � � � - Khi: xOz  zOy  xOy v�xOz = zOy => tia Oz tia phân giác góc xOy - Đường thẳng chứa tia phân giác góc đường phân giác góc (đường thẳng mn đường phân giác góc xOy) 14 Đường trung trực đoạn thẳng a) Định nghĩa: Đường thẳng vng góc với đoạn thẳng trung điểm gọi đường trung trực đoạn thẳng b) Tổng quát: a đường trung trực AB a  AB t�i I � �  � I A =I B a A B I 15 Các góc tạo đường thẳng cắt hai đường thẳng Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 a) Các cặp góc so le trong: � v�B � A � � A ; v�B b) Các cặp góc đồng vị: � v�B � A � � A 1 ; v�B ; � v�B � A � � A 3 ; v�B c) Khi a//b thì: � v�B � A � v�B � A 2; gọi cặp góc phía bù a A B 41 16 Hai đường thẳng song song a) Dấu hiệu nhận biết - Nếu đường thẳng c cắt hai đường thẳng a, b góc tạo thành có cặp góc so le (hoặc cặp góc đồng vị nhau) a b song song với b c a b b) Tiên đề Ơ_clít - Qua điểm ngồi đường thẳng có đường thẳng song song với đường thẳng M b a c, Tính chất hai đường thẳng song song - Nếu đường thẳng cắt hai đường thẳng song song thì:  Hai góc so le nhau;  Hai góc đồng vị nhau;  Hai góc phía bù d) Quan hệ tính vng góc với tính song song Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 c - Hai đường thẳng phân biệt vng góc với đường thẳng thứ ba chúng song song với b a  c� �� a / /b b  c� a c - Một đường thẳng vng góc với hai đường thẳng song song vng góc với đường thẳng b c  b� �� c  a a / /b� a e) Ba đường thẳng song song - Hai đường thẳng phân biệt song song với đường thẳng thứ ba chúng song song với a//c b//c � a//b a b c 17 Góc ngồi tam giác a) Định nghĩa: Góc ngồi tam giác góc kề bù với góc tam giác b) Tính chất: Mỗi góc ngồi tam giác tổng hai góc khơng kề với � A �B � ACx A B C x 18 Hai tam giác Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 a) Định nghĩa: Hai tam giác hai tam giác có cạnh tương ứng nhau, góc tương ứng ABC  A 'B 'C ' AB  A 'B '; AC  A 'C '; BC  B 'C ' � � �� �A � '; B �B � '; C �C �' A � b) Các trường hợp hai tam giác *) Trường hợp 1: Cạnh - Cạnh - Cạnh (c.c.c) - Nếu ba cạnh tam giác ba cạnh tam giác hai tam giác N� u ABC v�A'B'C' c� : AB  A 'B '� � AC  A 'C '�� ABC  A 'B 'C '(c.c.c) BC  B 'C ' � � *) Trường hợp 2: Cạnh - Góc - Cạnh (c.g.c) - Nếu hai cạnh góc xen tam giác hai cạnh góc xen tam giác hai tam giác N� u ABC v�A'B'C' c� : AB  A 'B '� � �B �' � B �� ABC  A 'B 'C '(c.g.c) BC  B 'C ' � � A B C A' A B' C' B C B ' A' C' *) Trường hợp 3: Góc - Cạnh - Góc (g.c.g) Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 A - Nếu cạnh hai góc kề tam giác cạnh hai góc kề tam giác hai tam giác N� u ABC v�A'B'C' c� : � � B  B' � � � BC  B 'C '�� ABC  A 'B 'C '(g.c.g) �C �' � C � C B A' C' B' c) Các trường hợp hai tam giác vuông  Trường hợp 1: Nếu hai cạnh góc vng tam giác vng hai cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C'  Trường hợp 2: Nếu cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vuông cạnh góc vng góc nhọn kề cạnh tam giác vng hai giác vng B B' A C A' C' Page | Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079  Trường hợp 3: Nếu cạnh huyền góc nhọn tam giác vng cạnh huyền góc nhọn tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C'  Trường hợp 4: Nếu cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vuông cạnh huyền cạnh góc vng tam giác vng hai tam giác vng B B' A C A' C' A 19 Quan hệ yếu tố tam giác (quan hệ góc cạnh đối diện tam giác) - Trong tam giác, góc đối diện với cạnh lớn góc lớn � >C � ABC : N� u AC > AB th�B B  Trong tam giác, cạnh đối diện với góc lớn lớn � >C � th�AC > AB ABC : N� u B 20 Quan hệ đường vng góc đường xiên, đường xiên hình chiếu  Khái niệm đường vng góc, đường xiên, hình chiếu đường xiên ι k�AH - L�y A �d, d, l�y B d v�B H K hi ��: Page | C Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 - Đoạn thẳng AH gọi đường vng góc kẻ từ A đến đường thẳng d - Điểm H gọi hình chiếu A đường thẳng d - Đoạn thẳng AB gọi đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d - Đoạn thẳng HB gọi hình chiếu đường xiên AB đ.thẳng d  Quan hệ đường xiên đường vuông góc: Trong đường xiên đường vng góc kẻ từ điểm đường thẳng đến đường thẳng đó, đường vng góc đường ngắn  Quan hệ đường xiên hình chiếu: Trong hai đường xiên kẻ từ điểm nằm đường thẳng đến đường thẳng đó, thì:  Đường xiên có hình chiếu lớn lớn  Đường xiên lớn có hình chiếu lớn  Nếu hai đường xiên hai hình chiếu ngược lại, hai hình chiếu hai đường xiên 21 Quan hệ ba cạnh tam giác Bất đẳng thức tam giác - Trong tam giác, tổng độ dài hai cạnh lớn độ dài cạnh lại A AB + AC > BC AB + BC > AC AC + BC > AB B C - Trong tam giác, hiệu độ dài hai cạnh nhỏ độ dài cạnh lại AC - BC < AB AB - BC < AC AC - AB < BC - Nhận xét : Trong tam giác, độ dài cạnh lớn hiệu nhỏ tổng độ dài hai cạnh lại VD: AB - AC < BC < AB + AC 21 Tính chất ba đường trung tuyến tam giác Page | 10 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 �ax  by  c � �a'x  b'y  c' Cho hệ phương trình: a, b, c, a’, b’, c’ chứa tham số m Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m ? *) Cách 1:  Bước 1: Từ phương trình hệ ta rút m theo x y m = A(x,y)  Bước 2: Thay m = A(x,y) vào phương trình thứ hai hệ ta hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m *) Cách 2: Sử dụng hệ phương trình có tham số m dạng bậc �ax  by  c �m  A (x,y)  � � a'x  b'y  c' �m  B(x,y)  Bước 1: Từ hệ phương trình �  Bước 2: Cho A(x,y) = B(x,y) Đây hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào tham số m Lưu ý: Ta cần rút gọn hệ thức cho ngắn gọn, đơn giản Dạng 11: Tìm giá trị tham số để hai hệ phương trình tương đương - Hai hệ phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm (tức nghiệm hệ nghiệm hệ ngược lại) Dạng 12: Giải hệ phương trình theo phương pháp đặt ẩn phụ giải số hệ phương trình khơng dạng hệ hai phương trình bậc hai ẩn (hệ đặc biệt) VI – Phương trình bậc hai ẩn Page | 54 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 PHẦN I: PHƯƠNG TRÌNH KHƠNG CHỨA THAM SỐ I Định nghĩa: Phương trình bậc hai ẩn (nói gọn phương trình bậc hai) phương trình có dạng ax  bx  c  ( a �0) Trong đó: x ẩn; a, b, c số cho trước gọi hệ số II Phân loại Phương trình khuyết c: ax2 + bx = (a �0) Phương pháp giải: ax2 + bx = (a, b �0) � x(ax + b) = � x0 � � b � x � a b Phương trình có hai nghiệm x1 = 0; x2 = a Phương trình khuyết b: ax2 + c = (a, c �0) Phương pháp giải: c x2  a ax2 + c = (a �0) � +) c Nếu a < � Phương trình vơ nghiệm c +) Nếu a > � Phương trình có hai nghiệm phân biệt: x1  c c x2   a ; a Phương trình bậc hai đầy đủ: ax2 + bx + c = (a , b, c �0) *) Công thức nghiệm:  = b2 - 4ac +)  < � Phương trình vơ nghiệm +)  > � phương trình có hai nghiệm phân biệt: b   b   2a ; x2 = 2a x1 = b +)  = � Phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = 2a Page | 55 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 * ) Công thức nghiệm thu gọn b Nếu b = 2b’ (b’ = ) ta có : ’ = b’2 - ac + Nếu ’ >  phương trình có hai nghiệm phân biệt : x1  b '  ' b '  ' ; x2  a a + Nếu ’ =  phương trình có nghiệm kép x1 = x2 = + Nếu ’ <  phương trình vơ nghiệm b ' a PHẦN II – CÁC DẠNG PHƯƠNG TRÌNH CHỨA THAM SỐ Dạng 1: Giải phương trình biết giá trị tham số Thay giá trị tham số vào phương trình giải phương trình Dạng 2: Giải biện phương trình theo tham số Tổng quát:  Với a = 0: Phương trình trở thành phương trình bậc bx + c = c b + Nếu b �0 phương trình có nghiệm x = + Nếu b = c �0 phương trình vơ nghiệm + Nếu b = c = phương trình có vơ số nghiệm  Với a �0 phương trình trở thành phương trình bậc hai có biệt số:  = b2 – 4ac ( hay  ’ = b’2 – ac) + Nếu  < (  ’ < 0) phương trình vô nghiệm + Nếu  = (  ’ = 0) phương trình có nghiệm kép : b 2a  b' a = x1 = x2 = + Nếu  > (  ’ > 0) phương trình có hai nghiệm phân biệt: b   b'  ' b   b'  '   a a x1 = 2a ; x2 = 2a Dạng 3: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm - Xét hai trường hợp hệ số a:  Trường hợp 1: a = 0, ta tìm vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phương trình kết luận với giá trị m phương trình có nghiệm  �0  ' �0  Trường hợp 2: a ≠ 0, phương trình bậc hai ẩn có nghiệm � Page | 56 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Dạng 4: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm phân biệt Phương trình bậc hai ẩn có hai nghiệm phân biệt �a �0 �   0(  '  0) � � Dạng 5: Tìm điều kiện tham số để phương trình có nghiệm kép �a �0 �   0(  '  0) � � Phương trình bậc hai ẩn có nghiệm kép Dạng 6: Tìm điều kiện tham số để phương trình vơ nghiệm - Xét hai trường hợp hệ số a:  Trường hợp 1: a = 0, ta tìm vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào phương trình kết luận với giá trị m phương trình vơ nghiệm  Trường hợp 2: a ≠ 0, phương trình bậc hai ẩn vơ nghiệm �   0  '  0 Dạng 7: Chứng minh phương trình ln có hai nghiệm phân biệt Để chứng minh phương trình ln ln có hai nghiệm phân biệt: �a �0 � ac   Cách 1: Chứng minh: � a �0 � � 0  Cách 2: Chứng minh: � Chú ý: Cho tam thức bậc hai  = am  bm  c � �a  �   b  4ac    0,  m Để chứng minh ta cần chứng minh � m Dạng 8: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm dấu, trái dấu, có hai nghiệm dương, có hai nghiệm âm, có hai nghiệm dương phân biệt, có hai nghiệm âm phân biệt, có hai nghiệm hai số đối nhau, có hai nghiệm hai số nghịch đảo Cho phương trình ax  bx  c  ; a, b, c chứa tham số Page | 57 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 �S  x  x � � �P  x1 x2  Theo định lí Vi - ét, ta có : � �a �0 � � �0 � � �P  a) Phương trình có hai nghiệm dấu  b a c a �a �0 � � �0 � ac  � �a �0 � �P  � b) Phương trình có hai nghiệm trái dấu c) Phương trình có hai nghiệm dương �a �0 � ac  � �a �0 � �0 � � �P  �S  �� �a �0 � �0 � � �P  �S  d) Phương trình có hai nghiệm âm � � e) Phương trình có hai nghiệm dương phân biệt �a �0 �  � � �P  �S  �� �a �0 �  � � �P  �S  f) Phương trình có hai nghiệm âm phân biệt � � g) Phương trình có hai nghiệm hai số đối Page | 58 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 � �a �0 � � �0 � S  x1  x2   b  � � � a h) Phương trình có nghiệm hai số nghịch đảo � �a �0 � � �0 � c 1 �P  x1 x2  � � a Dạng 9: Tính giá trị biểu thức liên hệ hai nghiệm  Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b a c a  Bước 2: Tính x1 + x1 = x1.x1 =  Bước 3: Biểu thị biểu thức theo x + x1 x1.x1 ; sau thay giá trị x + x1 x1.x1 vào để tính giá trị biểu thức Chú ý: a2  b2  (a  b)2  2ab a3  b3  (a  b)3  3ab(a  b) (a  b)2  (a  b)2  4ab ( a  b)2  (a  b)  a.b (a,b �0) a4  b4  (a2  b2 )2  2a2b2 a3  b3  a a  b b  ( a  b)(a  ab  b) (a,b �0) Dạng 10: Tìm điều kiện m để phương trình có hai nghiệm x 1, x2 thỏa mãn điều kiện sau:  n  x1   x2   x x x12  x22  k x13  x23  t a) b) c) d) , Page | 59 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079  Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm x1, x2 Giải hệ �a �0 �  �0 � ĐK: � m=? �S  x  x   b � a � �P  x1 x2  c a  Bước 2: Theo hệ thức Vi – ét, ta có: �  Bước 3: Biến đổi điều kiện đề (là đẳng thức bất đẳng thức) để có tổng tích hai nghiệm, sau thay tổng tích hai nghiệm có bước vào điều kiện vừa biến đổi; từ giải phương trình bất phương trình với biến tham số để tìm giá trị tham số Tiếp theo kiểm tra xem giá trị tham số tìm có thỏa mãn hệ điều kiện bước hay khơng ? Hoặc có toán ta kết hợp điều kiện đề với hệ thức Vi - ét để tìm hai nghiệm x1, x2 (giải hệ phương trình với hai ẩn x 1, x2); sau ta thay x1, x2 vào hệ thức Vi – ét cịn lại để tìm tham số Dạng 11: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm x = x1 Tìm nghiệm cịn lại  Bước 1: Thay x = x1 vào phương trình, ta có: ax12  bx1  c  � m  ?  Bước 2: Để tìm nghiệm cịn lại x2 ta thực theo hai cách: Cách 1: Thay giá trị m vào phương trình ban đầu Từ có phương trình bậc hai giải phương trình ta tìm x2 Cách 2: Tính x2 nhờ định lí Vi - ét: x2  S  x1 ho�c x2 = P : x1 Dạng 12: Tìm phương trình bậc hai biết trước hai nghiệm số  Trường hợp 1: Cho nghiệm x1, x2 Ta có phương trình với ẩn x : ( x  x1 ) x  x2   � x  ( x1  x2 ) x  x1 x2   Trường hợp 2: Khơng có x1, x2 riêng  Bước 1: Tìm S = x1  x2 P = x1 x2  Bước 2: Phương trình với ẩn x x  Sx  P  Phương trình có nghiệm � S �4 P Dạng 13: Lập phương trình bậc hai biết mối liên hệ hai nghiệm phương trình cần lập với hai nghiệm phương trình cho trước Page | 60 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079  Bước 1: Kiểm tra ĐK có nghiệm phương trình  Bước 2: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình cho x1  x2  b c , x1.x2  a a  Bước 3: Tính tổng tích hai nghiệm phương trình cần lập x x4 thông qua mối liên hệ với x1 , x2  Bước 4: Lập phương trình Dạng 14: Tìm đẳng thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số  Cách 1:  Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 �a �0 �  �0 Giải hệ điều kiện � b � S  x1  x2  � � a � c � P  x1.x2  a Bước 2: Tính hệ thức Vi - ét: �   Bước 3: Khử tham số hệ thức Vi – ét, tìm hệ thức liên hệ S P Đó hệ thức độc lập với tham số nghiệm phương trình  Cách 2:  Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1, x2 �a �0 �  �0 Giải hệ điều kiện �  Bước 2: Giải phương trình tìm x1, x2  Bước 3: Tìm hệ thức (khử tham số) Dạng 15: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ tam thức bậc hai y  ax  bx  c (a �0) Cách 1: Biến đổi y = kA2(x) + m (m số)  k < � kA2(x) �0 � kA2(x) + m �m � y �m Giá trị lớn y m đạt A(x) =  k > � kA2(x) �0 � kA2(x) + m �m � y �m Giá trị nhỏ y m đạt A(x) = Page | 61 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Cách 2: y = ax2 + bx + c � ax2 + bx + c – y = + Bước 1: Tính   ' + Bước 2: Đặt điều kiện  �0 (  ' �0) � Giải bất phương trình chứa ẩn y  y �m � Giá trị nhỏ y m đạt x b b' 2a = a  =  '= �  y �m � Giá trị lớn y m đạt  =  '= � x b b' 2a = a Dạng 16: Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức liên hệ hai nghiệm  Bước 1: Kiểm tra có nghiệm phương trình x1  x2  b c , x1.x2  a a  Bước 2: Tính  Bước 3: Biến đổi biểu thức liên hệ hai nghiệm A(x 1; x2) dạng có chứa x 1+ x2 x1.x2  Bước 4: Thay x1 + x2 x1.x2 vào biểu thức A Khi A trở thành tam thức bậc hai ẩn tham số  Bước 5: Tìm giá trị lớn nhỏ A Chọn giá trị tham số thích hợp Dạng 17: Chứng minh biểu thức liên hệ hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số x ,x  Bước 1: Tìm điều kiện tham số để phương trình có hai nghiệm b � x1  x2  � � a � c � x1.x2  a Bước 2: Tính hệ thức Vi- ét: �   Bước 3: Tính giá trị biểu thức theo x 1+ x2 x1.x2 ; thấy kết số => Biểu thức liên hệ giữu hai nghiệm không phụ thuộc vào tham số Dạng 18: Tìm giá trị tham số để hai nghiệm phương trình thỏa mãn bất đẳng thức cho Dạng 19: Tìm hai số biết tổng tích chúng u v  S � � u.v  P (S2 Nếu hai số u v thoả mãn � trình x - Sx + P = �4P) Thì u v nghiệm phương (*) Page | 62 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 - Nếu phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt u  x1 � � v  x2 hai cặp số thỏa mãn � x1 ,x2 Do x, y có vai trị nên có u  x2 � � �v  x1 x  x2  a � - Nếu phương trình (*) có nghiệp kép u=v=a - Nếu phương trình (*) vơ nghiệm => Khơng tìm cặp giá trị (u, v) thỏa mãn yêu cầu đề Dạng 20: Tìm giá trị tham số để hai phương trình bậc hai ẩn có nghiệm chung 2 Cho hai phương trình ax  bx  c  (a �0) v�a'x  b'x  c'  (a' �0) Trong a,b,c,a',b',c' chứa tham số m *) Cách 1:  Hai phương trình có nghiệm chung hệ phương trình: � � ax  bx  c  (a �0) � � a'x  b'x  c'  (a' �0) có nghiệm �  Trừ vế với vế hai phương trình hệ ta có phương trình dạng: A(m).x = B(m) +) Nếu A(m) = 0, từ đẳng thức ta rút vài giá trị m, sau thay trực tiếp vào hai phương trình � giải hai phương trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phương trình có nghiệm chung hay không ? B(m) +) Nếu A (m) �0 � x = A (m) (chứa tham số) Thay vào hai phương trình ta rút vài giá trị m, sau thay giá trị m vào hai phương trình � giải hai phương trình khơng chứa tham số xét xem ứng với giá trị m hai phương trình có nghiệm chung hay không ? B(m) +) Nếu A (m) �0 � x = A (m) (không chứa tham số), kết luận nghiệm chung hai phương trình Thay nghiệm chung vào hai phương trình ta rút giá trị m  Kết luận: ứng với giá trị m hai phương trình có nghiệm chung, nghiệm chung ? Page | 63 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 *) Cách 2: Chỉ thực cách giải số tốn đơn giản Từ hai phương trình ax  bx  c  � m = A(x) a'x  b'x  c'  � m = B(x) Ta có: A(x) = B(x) Giải phương trình ta nghiệm chung hai phương trình, sau thay nghiệm chung vào hai phương trình ta tìm giá trị tham số m, cần thiết thử lại để kiểm tra Cách 3: Chỉ thực cách giải số toán đơn giản Từ hai phương trình ta rút m theo x vào phương trình kia, phương trình ẩn x; từ phương trình ta tìm nghiệm chung, sau tìm m = ? Dạng 21: Chứng minh hai phương trình bậc hai ẩn có phương trình có nghiệm 2 Cho hai phương trình ax  bx  c  (a �0) v�a'x  b'x  c'  (a' �0) Trong a,b,c,a',b',c' chứa tham số Chứng minh hai phương trình có nghiệm Phương pháp:  , Cách 1: Gọi biệt thức hai phương trình Ta cần chứng minh    �0 � 1 �0   , +) �0 �0   �0 � 1 �0  +) �0 Vậy hai phương trình có nghiệm Cách 2: Chứng minh phản chứng   0, 2  Giả sử hai phương trình vơ nghiệm Khi Ta lập luận dẫn đến điều vơ lí => phải có hai biệt thức khơng âm Vậy có hai phương trình có nghiệm Dạng 22: Tìm giá trị tham số để hai phương trình tương đương - Lí thuyết chung: Hai phương trình gọi tương đương chúng có tập nghiệm *) Dạng 22.1: Hai phương trình bậc Tìm nghiệm hai phương trình theo tham số cho hai nghiệm nhau, từ tìm giá trị tham số để hai phương trình tương đương *) Dạng 22.2: Hai phương trình bậc hai ẩn Xét hai trường hợp  Trường hợp1: Hai phương trình có nghiệm chung Page | 64 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Trước hết tìm giá trị tham số để hai phương trình có nghiệm chung sau thay giá trị tham số vào hai phương trình tìm tập nghiệm chúng Nếu tập nghiệm hai phương trình tương đương => giá trị tham số �1  �  0 �  Trường hợp 2: Hai phương trình vơ nghiệm � � Giá trị tham số  �0 ho�c 2 �0 Đặc biệt: Nếu nhận thấy hai phương trình có hai nghiệm ( ) � Hai phương trình tương đương hai nghiệm phương trình hai nghiệm phương trình kia, ta áp dụng vi - ét cho hai phương trình tìm tham số x1  x2   b   b' ;x1x2  c   c'  m  ? a a' a a' Cụ thể ta có: Dạng 23: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình 23.1: Tìm giá trị tham số biết nghiệm phương trình Cho phương trình ax2 + bx + c = (a �0) có nghiệm x = x1 Cách giải:  Bước1: Thay x = x1 vào phương trình ax12 + bx1 + c =  Bước 2: Giải phương trình có ẩn tham số 23.2: Tìm giá trị tham số biết hai nghiệm phương trình Cho phương trình ax2 + bx + c = (1) (a �0) có hai nghiệm x = x1; x = x2 Cách 1:  Bước 1: Thay x = x1; x = x2 vào phương trình (1) ta có hệ phương trình: � ax12  bx1  c  � � ax2  bx2  c  �  Bước 2: Giải hệ phương trình có ẩn tham số Cách 2:  Bước 1: Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm b � x1  x2  � � a � �x x  c a  Bước 2: Theo Vi - ét �  Bước 3: Thay x = x1; x = x2 vào hệ giải ta giá trị tham số Dạng 24: Xác định giá trị tham số để tam thức bậc hai luôn dương luôn âm với x Page | 65 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Cho tam thức bậc hai f(x) = ax  bx  c (a �0) f(x) =  � a(x  b x  c )  a �x  b a a 2a � +) Nếu   � hợp sau  x b 2a    2  b  4ac 4a  � � b � a �x  2a � �    � � 4a �  4a  f(x) > 0, x � �a  � 0 �  f(x) < 0, x � �a  � 0 �  f(x) ≥ 0, x � �a  �  �0 �  f(x) ≤ 0, x � �a  �  �0 � > Khi f(x) dấu với hệ số a, ta có trường   � f (x)  a(x  b ) 2a +) Nếu b => f(x) dấu với hệ số a, trừ trường hợp x = 2a b Khi x = 2a f(x) = VII – Giải toán cách lập phương trình, lập hệ phương trình LÍ THUYẾT CHUNG Các bước giải tốn cách lập phương trình Bước 1: Lập phương trình - Chọn ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho ẩn số; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải phương trình Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận Page | 66 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 Các bước giải tốn cách lập hệ phương trình Bước 1: Lập hệ phương trình - Chọn hai ẩn số xác định điều kiện thích hợp cho chúng; - Biểu diễn đại lượng chưa biết theo ẩn đại lượng biết; - Lập hai phương trình biểu thị mối quan hệ đại lượng Bước 2: Giải hệ hai phương trình nói Bước 3: Trả lời: Kiểm tra xem nghiệm hệ phương trình, nghiệm thoả mãn điều kiện ẩn, nghiệm không kết luận PHÂN DẠNG BÀI TẬP CHI TIẾT Dạng 1: Toán chuyển động - Ba đại lượng: S, v, t S S - Quan hệ: S = vt; t = v ; v = t (dùng cơng thức S = v.t từ tìm mối quan hệ S , v t) - Chú ý tốn canơ : Vxi dịng = Vthực + Vnước ; Vngược dòng = Vthực – Vnước *) Toán gặp cần ý đến tổng quãng đường thời gian bắt đầu khởi hành *) Toán đuổi kịp ý đến vận tốc quãng đường đuổi kịp Dạng 2: Toán quan hệ số ab  10a  b abc  100a  10b  c Điều kiện: < a �9; �b, c �9 (a, b, c � Z ) Dạng 3: Toán làm chung, làm riêng, suất *) Bài tốn làm chung, làm riêng: + Qui ước: Cả cơng việc đơn vị + Tìm đv thời gian đối tượng tham gia toán thực phần công việc + Công thức: Phần công việc = Th� i gian Page | 67 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 + Số lượng công việc = Thời gian Năng suất *) Bài toán suất: + Gồm ba đại lượng: Tổng sản phẩm ; suất; thời gian + Quan hệ: Tổng sản phẩm = Năng suất Thời gian; Tỉng s¶n phÈm Tổng sản phẩm Năng suất ; Nng sut = Thời gian => Thời gian = Dạng 4: Toán diện tích Dạng 5: Tốn có quan hệ hình học Dạng 6: Tốn có nội dung lí, hóa Dạng 7: Tốn dân số, toán phần trăm Page | 68 ... xác định (có nghĩa) � - Biểu thức có dạng - Biểu thức có dạng A �0 � � C0 � Dạng : Rút gọn biểu thức chứa bậc hai, bậc ba LÍ THUYẾT CHUNG: a) Các cơng thức biến đổi thức  A 1) A 2) AB  3) 4)... a) Hàm số cho bảng b) Hàm số cho công thức Page | 37 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 - Hàm hằng: hàm có cơng thức y = m (trong x biến, m��) - Hàm số bậc nhất: Là hàm số có dạng cơng thức y = ax +... để đa thức f(x) = Ax + B đa thức A 0 � �  Bước 1: Đa thức f(x) = Ax + B đa thức �B   Bước 2: Giải hệ tìm giá trị tham số Page | 48 Thầy Mạnh SĐT: 0901 186 079 V - Các dạng tốn hệ phương